Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài tập 5.43 trang 86 SGK Toán 12 tập 2. Bài tập này thuộc chương trình học môn Toán lớp 12, tập trung vào việc vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế.
loigiai.com.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập một cách hiệu quả. Hãy cùng chúng tôi khám phá lời giải ngay sau đây!
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1, với A(0; 0; 0), D(1; 0; 0), B(0; 1; 0), A’(0; 0; 1). a) Chứng minh \(A'C \bot (AB'D')\). b) Chứng minh \((AB'D')//(C'BD)\)và tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng \((AB'D')\) và \((C'BD)\). c) Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng \((DA'C')\) và \((ABB'A')\).
Đề bài
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1, với A(0; 0; 0), D(1; 0; 0), B(0; 1; 0), A’(0; 0; 1).
a) Chứng minh \(A'C \bot (AB'D')\).
b) Chứng minh \((AB'D')//(C'BD)\)và tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng \((AB'D')\) và \((C'BD)\).
c) Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng \((DA'C')\) và \((ABB'A')\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:
- Tìm véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng bằng tích có hướng của hai véc-tơ trong mặt phẳng.
- Kiểm tra tích vô hướng giữa véc-tơ chỉ phương của đường thẳng và véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng. Nếu tích vô hướng bằng 0, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
b) Chứng minh hai mặt phẳng song song và tính khoảng cách:
- Tìm véc-tơ pháp tuyến của từng mặt phẳng. Nếu hai véc-tơ pháp tuyến cùng phương, hai mặt phẳng song song.
- Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.
c) Tính góc giữa hai mặt phẳng:
- Tìm véc-tơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng.
- Dùng công thức để tính góc giữa hai mặt phẳng.
Lời giải chi tiết
Các đỉnh còn lại có toạ độ là: \(C(1;1;0)\), \(B'(0;1;1)\), \(C'(1;1;1)\), \(D'(1;0;1)\)
a) Chứng minh \(A'C \bot (AB'D')\)
Véc-tơ pháp tuyến của \((AB'D')\):
\(\overrightarrow {AB'} = (0;1;1),\quad \overrightarrow {AD'} = (1;0;1)\)
\({\vec n_{(AB'D')}} = \overrightarrow {AB'} \times \overrightarrow {AD'} = (1;1; - 1)\)
Mà ta có: \(\overrightarrow {A'C} = (1;1; - 1)\)trùng với vec-tơ pháp tuyến của \((AB'D')\)
Vậy \(A'C \bot (AB'D')\).
b) Chứng minh \((AB'D')\parallel (C'BD)\) và tính khoảng cách
Véc-tơ pháp tuyến của \((C'BD)\):
\(\overrightarrow {C'B} = ( - 1;0; - 1),\quad \overrightarrow {C'D} = (0; - 1; - 1)\)
\({\vec n_{(C'BD)}} = \overrightarrow {C'B} \times \overrightarrow {C'D} = ( - 1; - 1;1)\)
Hai véc-tơ pháp tuyến \({\vec n_{(AB'D')}}\) và \({\vec n_{(C'BD)}}\) cùng phương nên \((AB'D')\parallel (C'BD)\).
* Khoảng cách giữa hai mặt phẳng:
Chọn điểm \(A(0,0,0)\) thuộc \((AB'D')\).
Phương trình \((C'BD)\): \(1.(x - 0) - 1.(y - 1) - (z - 0) = 0 \Leftrightarrow x - y - z + 1 = 0\).
\(d = \frac{{|0 \cdot 1 - 0 \cdot 1 - 0 \cdot ( - 1) + 1|}}{{\sqrt {{{( - 1)}^2} + {{( - 1)}^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\)
c) Tính \(\cos \theta \) giữa hai mặt phẳng \((DA'C')\) và \((ABB'A')\)
- Véc-tơ pháp tuyến của \((DA'C')\):
\(\overrightarrow {DA'} = ( - 1;0;1),\quad \overrightarrow {DC'} = (0;1;1)\)
\({\vec n_{(DA'C')}} = \overrightarrow {DA'} \times \overrightarrow {DC'} = ( - 1;1; - 1)\)
Véc-tơ pháp tuyến của \((ABB'A')\):
\(\overrightarrow {AB} = (0,1,0),\quad \overrightarrow {AA'} = (0,0,1)\)
\({\vec n_{(ABB'A')}} = \overrightarrow {AB} \times \overrightarrow {AA'} = (1,0,0)\)
Tính \(\cos \theta \):
\({\vec n_{(DA'C')}} \cdot {\vec n_{(ABB'A')}} = ( - 1;1; - 1) \cdot (1;0;0) = - 1\)
\(\cos \theta = \frac{{| - 1|}}{{\sqrt 3 \cdot 1}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\)
Bài tập 5.43 trang 86 SGK Toán 12 tập 2 là một bài toán điển hình về ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các bước sau:
Để minh họa phương pháp tiếp cận trên, chúng ta sẽ cùng giải bài tập 5.43 trang 86 SGK Toán 12 tập 2. (Giả sử bài tập là: Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 2. Khảo sát hàm số.)
Hàm số đã được cho: y = x3 - 3x2 + 2
Đạo hàm bậc nhất: y' = 3x2 - 6x
Đạo hàm bậc hai: y'' = 6x - 6
Giải phương trình y' = 0: 3x2 - 6x = 0 => 3x(x - 2) = 0 => x = 0 hoặc x = 2
Vậy hàm số có hai điểm cực trị: x1 = 0 và x2 = 2
Xét dấu y' trên các khoảng (-∞; 0), (0; 2), (2; +∞):
Giải phương trình y'' = 0: 6x - 6 = 0 => x = 1
Vậy hàm số có một điểm uốn: x = 1
Xét dấu y'' trên các khoảng (-∞; 1), (1; +∞):
(Phần này cần vẽ đồ thị hàm số dựa trên các thông tin đã tìm được. Do không thể hiển thị đồ thị trực tiếp, bạn có thể sử dụng các công cụ vẽ đồ thị trực tuyến hoặc phần mềm toán học để vẽ đồ thị.)
Việc khảo sát hàm số bằng đạo hàm có nhiều ứng dụng quan trọng trong toán học và các lĩnh vực khác:
Hy vọng với lời giải chi tiết và phương pháp tiếp cận trên, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về cách giải bài tập 5.43 trang 86 SGK Toán 12 tập 2 và các bài tập tương tự. Chúc các em học tập tốt!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Khám phá thế giới phân dạng, từ hình học trừu tượng đến ứng dụng trong nghệ thuật và tự nhiên. Tìm hiểu cách phân dạng tạo ra vẻ đẹp vô hạn!
Bạn đã bao giờ gặp một điều nghe có vẻ vô lý nhưng lại chứa đựng sự thật? Khám phá thế giới Paradox - những mâu thuẫn thú vị giúp bạn nhìn nhận cuộc sống dưới một góc độ mới lạ. Đọc ngay!
Khám phá 'Tên của trò chơi là bắt cóc' - cuốn sách hấp dẫn đưa bạn vào thế giới ngầm đầy rẫy những kẻ ác. Đánh giá chi tiết, phân tích sâu sắc và lý do bạn nên đọc ngay!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán lớp 1 khó nhất! Hướng dẫn phụ huynh cách hỗ trợ con học toán hiệu quả, tạo hứng thú và đạt kết quả tốt nhất. Khám phá các mẹo học tập thông minh!
Review sách 'Dữ liệu tử thần' của Jeffery Deaver. Khám phá cách tội phạm sử dụng thông tin cá nhân và học cách bảo vệ dữ liệu của bạn ngay hôm nay!
