Chương 5. Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu

Chương 5: Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu - SBT Toán 12 Chân trời sáng tạo

Chương 5 của sách bài tập Toán 12 Chân trời sáng tạo Tập 2 là một phần quan trọng trong chương trình học, tập trung vào việc xây dựng và ứng dụng các phương trình trong không gian ba chiều. Việc nắm vững kiến thức này không chỉ giúp học sinh giải quyết các bài toán hình học không gian mà còn là nền tảng cho các môn học liên quan trong tương lai.

I. Phương trình mặt phẳng

1. Vectơ pháp tuyến: Một mặt phẳng được xác định duy nhất bởi một điểm và một vectơ pháp tuyến. Vectơ pháp tuyến là vectơ vuông góc với mọi vectơ nằm trong mặt phẳng.

2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng: Ax + By + Cz + D = 0, trong đó (A, B, C) là tọa độ của vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.

3. Các dạng phương trình khác:

• Phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và có vectơ pháp tuyến cho trước.
• Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.

II. Phương trình đường thẳng trong không gian

1. Vectơ chỉ phương: Một đường thẳng được xác định duy nhất bởi một điểm và một vectơ chỉ phương. Vectơ chỉ phương là vectơ song song với đường thẳng.

2. Phương trình tham số của đường thẳng:

x = x₀ + at

y = y₀ + bt

z = z₀ + ct

Trong đó (x₀, y₀, z₀) là tọa độ của một điểm thuộc đường thẳng và (a, b, c) là tọa độ của vectơ chỉ phương.

3. Phương trình chính tắc của đường thẳng:

(x - x₀)/a = (y - y₀)/b = (z - z₀)/c

III. Phương trình mặt cầu

1. Tâm và bán kính: Mặt cầu là tập hợp tất cả các điểm trong không gian cách một điểm cố định (tâm) một khoảng không đổi (bán kính).

2. Phương trình mặt cầu: (x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = R², trong đó (a, b, c) là tọa độ của tâm và R là bán kính.

IV. Quan hệ tương giao giữa đường thẳng và mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng

1. Đường thẳng và mặt phẳng:

• Đường thẳng song song với mặt phẳng.
• Đường thẳng nằm trong mặt phẳng.
• Đường thẳng cắt mặt phẳng.

2. Hai mặt phẳng:

• Hai mặt phẳng song song.
• Hai mặt phẳng cắt nhau.

V. Bài tập minh họa

Bài 1: Lập phương trình mặt phẳng đi qua điểm A(1, 2, 3) và có vectơ pháp tuyến n = (1, -1, 2).

Giải: Phương trình mặt phẳng có dạng: 1(x - 1) - 1(y - 2) + 2(z - 3) = 0 => x - y + 2z - 5 = 0

Bài 2: Tìm giao điểm của đường thẳng d: x = 1 + t, y = 2 - t, z = 3 + 2t và mặt phẳng (P): x + y - z + 1 = 0.

Giải: Thay phương trình đường thẳng vào phương trình mặt phẳng, ta được: (1 + t) + (2 - t) - (3 + 2t) + 1 = 0 => -2t = -1 => t = 1/2. Thay t = 1/2 vào phương trình đường thẳng, ta được giao điểm I(3/2, 3/2, 4).

loigiai.com.vn hy vọng với bộ lời giải chi tiết này, các em học sinh sẽ tự tin hơn trong việc học tập và giải quyết các bài toán liên quan đến phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu trong chương trình Toán 12 Chân trời sáng tạo Tập 2.