Trắc nghiệm Bài tập ôn tập chương 2: Số nguyên Toán 6 Chân trời sáng tạo

Sử dụng quy tắc cộng hai số nguyên âm:

Muốn cộng hai số nguyên âm, ta cộng hai số đối của chúng với nhau rồi đặt dấu “-” trước kết quả.

Muốn cộng hai số nguyên âm, ta cộng hai số đối của chúng với nhau rồi đặt dấu “-” trước kết quả .

+ Số đối của 0 là 0.

+ Áp dụng quy tắc chuyển vế, quy tắc cộng hai số nguyên cùng dấu để tìm x.

Số đối của số 0 là 0.

Vì \(x - 236\) là số đối của số 0 nên

\(\begin{array}{l}x - 236 = 0\\x\;\;\;\;\;\;\;\;\; = 0 + 236\\x\;\;\;\;\;\;\;\;\; = 236.\end{array}\)

Sử dụng khái niệm tập hợp và khái niệm số đối của tập hợp để tìm ra tập hợp F.

Số đối của a là –a; số đối của 0 là 0.

Tập hợp F gồm các phần tử của E và \(E = \left\{ {3; - \,8;\,0} \right\}\) nên $3; - 8;0$ là các phần tử của tập F

Số đối của 3 là -3

Số đối của -8 là 8

Số đối của 0 là 0

Do đó tập hợp F gồm các phần tử của E và các số đối của chúng là \(F = \left\{ {3;\, - 8;\;\,0;\, - 3;\;\,8} \right\}\)

+ Sử dụng định nghĩa tập hợp các số nguyên: Tập hợp gồm các số nguyên âm, số 0 và các số nguyên dương được gọi là tập hợp các số nguyên.

+ Tập hợp gồm các số nguyên dương và các số nguyên âm là tập con của tập \(\mathbb{Z}\)

+ Chú ý đến cách sử dụng kí hiệu thuộc \( \in\) và tập con \( \subset\).

Ta có: \(M = \left\{ { - 5;\,\;8;\;\,7} \right\}\) suy ra \(M \subset \mathbb{Z}\) .

Ta sử dụng các kiến thức:

+ Khi biểu diễn trên trục số, điểm a nằm bên trái điểm b thì số nguyên a nhỏ hơn số nguyên b

+ Mọi số nguyên dương đều lớn hơn số $0.$

+ Mọi số nguyên âm đều nhỏ hơn số $0.$

+ Mọi số nguyên âm đều nhỏ hơn bất kì số nguyên dương nào.

+ Từ đó sắp xếp các số theo thứ tự giảm dần.

Các số được xếp theo thứ tự giảm dần là: \(1280;\,\;43;\,\;28;\;\,1;\;\,0;\, - 52;\, - 291.\)

Bước 1: Tìm các giá trị của x thỏa mãn $ - 7 < \;x \le {\rm{5}}.$ Bước 2: Tính tổng các giá trị của x vừa tìm được

Vì $ - 7 < \;x \le {\rm{5}}$ nên $x\; \in \;\left\{ { - 6; - 5; - 4; - 3; - 2; - 1;0;1;2;3;4;5} \right\}$ Tổng các số nguyên $x$ là: $( - 6) + ( - 5) + ( - 4) + ( - 3) + ( - 2) + ( - 1) + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5$$ = \left( { - 6} \right) + [( - 5) + 5\left] { + \left[ {\left( { - 4} \right) + 4} \right] + } \right[( - 3) + 3\left] + \right[( - 2) + 2\left] + \right[( - 1) + 1] + 0$$ = ( - 6) + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = - 6$

+ Ta sử dụng qui tắc phá ngoặc

Khi bỏ dấu ngoặc có dấu “-“ đằng trước, ta phải đổi dấu tất cả các số hạng trong dấu ngoặc : dấu “+” chuyển thành dầu “-“ và dấu “-“ chuyển thành dấu “+”.

Khi bỏ dấu ngoặc có dấu “+” đằng trước thì dấu các số hạng trong ngoặc vẫn được giữ nguyên.

+ Sử dụng qui tắc cộng số nguyên và tính chất giao hoán để thực hiện phép tính

Ta có: $(52 - 69 + 17) - (52 + 17) $

$ = 52 - 69 + 17 - 52 - 17 $

$ = (52 - 52) + (17 - 17) - 69 $

$ = 0 + 0 - 69 $

$ = - 69$

Ta có thể làm như sau:Bước 1: Tìm $x + 84$ bằng cách lấy số bị trừ trừ đi hiệuBước 2: Tìm $x$ bằng cách lấy tổng trừ số hạng đã biết

Hoặc ta có thể phá ngoặc rồi rút gọn vế trái, sau đó thực hiện qui tắc chuyển vế để tìm \(x\)

Ta có $17 - \left( {x + 84} \right) = 107$

\(\begin{array}{l}x + 84 = 17 - 107\\x + 84 = - \left( {107 - 17} \right)\\x + 84 = - 90\\x = - 90 - 84\\x = - \left( {90 + 84} \right)\\x = - 174\end{array}\)

Vậy \(x = - 174.\)

Bước 1: Thu gọn vế tráiBước 2: Tìm x

Ta có $44 - x - 16{\rm{ }} = - 60$

\(\begin{array}{l}\left( {44 - 16} \right) - x = - 60\\28 - x = - 60\\x = 28 - \left( { - 60} \right)\\x = 28 + 60\\x = 88\end{array}\)

Vậy \(x = 88.\)

Áp dụng quy tắc cộng hai số nguyên cùng dấu, khác dấu.

Vì \(\left( { - 9} \right) + 19 = 10;\,\;19 + \left( { - 9} \right) = 10\) nên \(\left( { - 9} \right) + 19 = 19 + \left( { - 9} \right)\).

Do đó câu A đúng, câu B, C sai.

Vì \(\left( { - 9} \right) + \left( { - 9} \right) = - 18;\,19 + 19 = 38;\, - 18 \ne 38\) nên câu D sai.

Từ đề bài ta đưa về tìm ước chung của 8 và 15

Tìm ước của 8; tìm ước của 15 từ đó suy ra ước chung của 8 và 15

Vì $8\,\; \vdots \;\,x$ và $15\;\, \vdots \;\,x\;$ $ \Rightarrow \;x\; \in \;$ ƯC$\left( {8,15} \right)$ Ư$\left( 8 \right) = \left\{ { - 8; - 4; - 2; - 1;1;2;4;{\rm{8}}} \right\}$ Ư$\left( {15} \right) = \left\{ { - 15; - 5; - 3; - 1;1;3;5;15} \right\}$ Vậy: ƯC$\left( {8,15} \right) = \left\{ { - 1;{\rm{ }}1} \right\}$ Hay $x\; \in \;\left\{ { - 1;{\rm{ }}1} \right\}$

+Biểu thức có chứa phép tính nhân, chia, cộng, trừ thì ta thực hiện tính phép nhân, chia trước, thực hiện tính phép tính cộng, trừ sau+ Biểu thức có chứa dấu ngoặc thì ta thực hiện bỏ ngoặc theo thứ tự: $()\; \to \;[]\; \to \;\{ \} $

Ta có$\begin{array}{l}455 - 5.[( - 5) + 4.( - 8)]\\ = 455 - 5.( - 5 - 32)\\ = 455 - 5.[ - (5 + 32)]\\ = 455 - 5.( - 37)\\ = 455 + 185\\ = 640\end{array}$

Nhận thấy \(640\, \vdots \,10\) nên chọn A.

Biểu thức có chứa phép tính nhân và phép tính trừ nên ta thực hiện tính phép nhân trước, thực hiện tính phép trừ sau.

Ta có $\left( { - 9} \right).\left( { - 12} \right) - \left( { - 13} \right).6\; = 108 - \left( { - 78} \right) = 108 + 78 = 186$

Sử dụng quy tắc dấu ngoặc, quy tắc trừ hai số nguyên cùng dấu, khác dấu, tính chất giao hoán, tính chất kết hợp, cộng với số đối để tính giá trị của biểu thức.

\(\begin{array}{l} - 567 - \left( { - 113} \right) + \left( { - 69} \right) - \left( {113 - 567} \right)\\ = - 567 - \left( { - 113} \right) + \left( { - 69} \right) - 113 + 567\\ = \left( { - 567 + 567} \right) - \left( { - 113 + 113} \right) + \left( { - 69} \right)\\ = 0 - 0 + \left( { - 69} \right)\\ = - 69.\end{array}\)

Ta sử dụng $A.{\rm{ }}B = 0$ thì $A = 0$ hoặc $B = 0$

Ta có $\left( {x - 12} \right).\left( {8 + x} \right) = 0$

TH1:

 \(\begin{array}{l}x - 12 = 0\\x = 12\end{array}\)

TH2:

\(\begin{array}{l}8 + x = 0\\x = - 8\end{array}\)

Vậy \(x = 12\); \(x = - 8.\)

Ta thực hiện lũy thừa trước sau đó tính ngoặc tròn rồi đến ngoặc vuông

Ta có \( - 4.[12:{( - 2)^2} - 4.( - 3)] - {( - 12)^2}\)

$\begin{array}{l} = - 4.[12:4 - ( - 12)] - 144 \\= - 4.(3 + 12) - 144 = - 4.15 - 144\\ = - 60 - 144 = - (60 + 144) = - 204\end{array}$

Sử dụng tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng; tính chất giao hoán, tính chất kết hợp để tính giá trị của biểu thức.

\(\begin{array}{l}A = - 128.\left[ {\left( { - 25} \right) + 89} \right] + 128.\left( {89 - 125} \right)\\ = - 128.\left( { - 25} \right) - 128.89 + 128.89 + 128.\left( { - 125} \right)\\ = \left( { - 128.89 + 128.89} \right) - \left[ {128.\left( { - 25} \right) - 128.\left( { - 125} \right)} \right]\\ = 0 - 128.\left[ {\left( { - 25} \right) + 125} \right]\\ = - 128.100\\ = - 12800.\end{array}\)

Vậy giá trị của A là số chẵn, số âm có chữ số tận cùng là 0 và không chia hết cho 3.

+ Sử dụng khái niệm bội và ước của một số nguyên để tìm các ước của $-5$

+ Lập bảng giá trị để tìm x

Ta có: -5 là bội của \(x + 2\) suy ra \(x + 2\) là ước của -5.

Mà \(Ư\left( { - 5} \right) = \left\{ { \pm 1;\, \pm 5} \right\}\) nên suy ra \(x + 2 \in \left\{ { \pm 1;\, \pm 5} \right\}\)

Xét bảng:

Vậy \(x \in \left\{ { - 1;\,3;\, - 3;\, - 7} \right\}\) .

Sử dụng quy tắc cộng hai số nguyên cùng dấu, khác dấu; quy tắc nhân hai số nguyên khác dấu; quy tắc chuyển vế và định nghĩa lũy thừa với số mũ tự nhiên.

\(\begin{array}{l}{\left( {x + 3} \right)^3}:3 - 1 = - 10\\{\left( {x + 3} \right)^3}:3= - 10 + 1\\{\left( {x + 3} \right)^3}:3= - 9\\{\left( {x + 3} \right)^3} = \left( { - 9} \right).3\\{\left( {x + 3} \right)^3} = - 27\\{\left( {x + 3} \right)^3} = {\left( { - 3} \right)^3}\\x + 3 = - 3\\x= - 3 - 3\\x= - 6.\end{array}\)

Vậy \({x_1} = - 6 < - 5\).

+ Sử dụng khái niệm bội và ước của một số nguyên để tìm các ước của 5.

+ Lập bảng giá trị để tìm x.

Ta có: \(\left( {x + 1} \right) \in Ư\left( 5 \right) \) suy ra \( \left( {x + 1} \right) \in \left\{ { - 5;\, - 1;\;\,1;\,\;5} \right\}.\)

Xét bảng:

Vậy \(x \in \left\{ {0;\,4;\, - 2;\, - 6} \right\}\) .

Thay \(x = - 12\) vào biểu thức ta tính được giá trị của biểu thức.

Thay \(x = - 12\) vào biểu thức ta được:

\(\begin{array}{l}\left( { - 12 - 8} \right)\left( { - 12 + 17} \right)\\ = \left( { - 20} \right).5\\ = - 100\end{array}\)

Biến đổi vế trái sử dụng tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng, tính chất kết hợp; quy tắc nhân hai số nguyên để rút gọn.

Từ đó so sánh với vế phải ở các đáp án.

+ Đáp án A: Xét \(a\left( {b - c} \right) - a\left( {b + d} \right) = - a\left( {c + d} \right)\), với \(a,b,c,d \in \mathbb{Z}\)

\(\begin{array}{l}VT = a\left( {b - c} \right) - a\left( {b + d} \right)\\ = ab - ac - ab - ad\\ = \left( {ab - ab} \right) - \left( {ac + ad} \right)\\ = 0 - a\left( {c + d} \right)\\ = - a\left( {c + d} \right)\\ = VP\end{array}\)

Vậy \(a\left( {b - c} \right) - a\left( {b + d} \right) = - a\left( {c + d} \right)\) với \(a,b,c,d \in \mathbb{Z}\) hay A đúng.

+ Đáp án B: Với \(a,\,b,\,c \in \mathbb{Z}\) xét \(a\left( {b + c} \right) - b\left( {a - c} \right) = \left( {a + b} \right)c.\)

\(\begin{array}{l}VT = a\left( {b + c} \right) - b\left( {a - c} \right)\\\,\,\,\,\,\,\, = ab + ac - ba + bc\\\,\,\,\,\,\,\, = \left( {ab - ba} \right) + \left( {ac + bc} \right)\\\,\,\,\,\,\,\, = 0 + c\left( {a + b} \right)\\\,\,\,\,\,\,\, = c\left( {a + b} \right)\\VP = \left( {a + b} \right)c\\ \Rightarrow VT = VP\end{array}\)

Vậy \(a\left( {b + c} \right) - b\left( {a - c} \right) = \left( {a + b} \right)c.\) Hay B đúng.

Vậy cả A, B đều đúng

+ Cộng các dữ kiện đề bài cho để tính tổng \(x + y + z\)

+ Từ đó tính \(x;y;z\)

Ta có: $x + y = 11,{\rm{ }}y + z = 10,{\rm{ }}z + x = - 3$ nên

\(\begin{array}{l}\left( {x + y} \right) + \left( {y + z} \right) + \left( {z + x} \right) = 11 + 10 + \left( { - 3} \right)\\ x + y + y + z + z + x = 21 + \left( { - 3} \right)\\ \left( {x + x} \right) + \left( {y + y} \right) + \left( {z + z} \right) = 18\\ 2x + 2y + 2z = 18\\ 2\left( {x + y + z} \right) = 18\\ x + y + z = 9\end{array}\)

Vậy \(x + y + z = 9.\)+) $z = (x + y + z) - (x + y) = 9 - 11 = - 2$+)$x = (x + y + z) - (y + z) = 9 - 10 = - 1$+) $y = (x + y + z) - (x + z) = 9 - \left( { - 3} \right) = 12$Vậy \(x = - 1;y = 12;z = - 2.\)

+ Biến đổi \(2n - 1\) thành tổng hai số nguyên trong đó một số hạng có chứa \(n + 1\) .

+ Sử dụng tính chất chia hết của một tổng, hiệu và định nghĩa bội và ước của một số nguyên

+ Lập bảng để tìm ra n

Ta có:

\(2n - 1 = 2n + 2 - 3 = \left( {2n + 2} \right) - 3 = 2\left( {n + 1} \right) - 3\)

Vì \(\left( {2n - 1} \right) \vdots \left( {n + 1} \right)\) nên \(\left[ {2\left( {n + 1} \right) - 3} \right] \vdots \left( {n + 1} \right)\) .

Mà \(2\left( {n + 1} \right) \vdots \left( {n + 1} \right)\) , suy ra \( - 3 \vdots \left( {n + 1} \right) \Rightarrow n + 1 \in U\left( { - 3} \right) = \left\{ { \pm 1;\, \pm 3} \right\}\) .

Ta có bảng sau:

Vậy \(n \in \left\{ { - 4;\, - 2;\,0;\,2} \right\}\)

Do đó có 4 số nguyên \(n\) thỏa mãn đề bài.

+ Ta thấy tích hai số là một số âm khi hai số đó trái dấu.

+ Từ đó chia hai trường hợp:

TH1: \(n + 3 > 0\) và \(n - 2 < 0\)

TH2: \(n + 3 < 0\) và \(n - 2 > 0\)

Từ các trường hợp ta tìm giá trị của n.

Vì \(\left( {n + 3} \right)\left( {n - 2} \right) < 0\) nên suy ra \(n + 3\) và \(n - 2\) là hai số trái dấu.

TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}n + 3 > 0\\n - 2 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}n > 0 - 3\\n < 0 + 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}n > - 3\\n < 2\end{array} \right. \Leftrightarrow - 3 < n < 2 \Rightarrow n \in \left\{ { - 2;\, - 1;\;\,0;\;\,1} \right\}\) vì \(n \in Z.\)

TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}n + 3 < 0\\n - 2 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}n < 0 - 3\\n > 0 + 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}n < - 3\\n > 2\end{array} \right.\) suy ra không có giá trị nào của n thỏa mãn.

Vậy \(n \in \left\{ { - 2;\, - 1;\,\;0;\;\,1} \right\}\).

Tổng các số nguyên thỏa mãn là \(\left( { - 2} \right) + \left( { - 1} \right) + 0 + 1 = - 2.\)

Áp dụng tính chất \({A^2} \ge 0\) với mọi A và tính chất \(m - {A^2} \le m\) để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức.

\(C = - {\left( {x - 5} \right)^2} + 10\)

Ta có: \({\left( {x - 5} \right)^2} \ge 0,\,\forall x \in \mathbb{Z} \Rightarrow - {\left( {x - 5} \right)^2} \le 0,\;\,\forall x \in \mathbb{Z}\)\( \Rightarrow - {\left( {x - 5} \right)^2} + 10 \le 10,\,\;\forall x \in \mathbb{Z}\)

Suy ra \(C \le 10\,\,\forall x \in \mathbb{Z}\) .

\(C = 10\) khi \({\left( {x - 5} \right)^2} = 0 \Rightarrow x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5\)

Vậy giá trị lớn nhất của C là 10 khi \(x = 5\) .

Sử dụng quy tắc cộng hai số nguyên âm:

Muốn cộng hai số nguyên âm, ta cộng hai số đối của chúng với nhau rồi đặt dấu “-” trước kết quả.

Muốn cộng hai số nguyên âm, ta cộng hai số đối của chúng với nhau rồi đặt dấu “-” trước kết quả .

+ Số đối của 0 là 0.

+ Áp dụng quy tắc chuyển vế, quy tắc cộng hai số nguyên cùng dấu để tìm x.

Số đối của số 0 là 0.

Vì \(x - 236\) là số đối của số 0 nên

\(\begin{array}{l}x - 236 = 0\\x\;\;\;\;\;\;\;\;\; = 0 + 236\\x\;\;\;\;\;\;\;\;\; = 236.\end{array}\)

Sử dụng khái niệm tập hợp và khái niệm số đối của tập hợp để tìm ra tập hợp F.

Số đối của a là –a; số đối của 0 là 0.

Tập hợp F gồm các phần tử của E và \(E = \left\{ {3; - \,8;\,0} \right\}\) nên $3; - 8;0$ là các phần tử của tập F

Số đối của 3 là -3

Số đối của -8 là 8

Số đối của 0 là 0

Do đó tập hợp F gồm các phần tử của E và các số đối của chúng là \(F = \left\{ {3;\, - 8;\;\,0;\, - 3;\;\,8} \right\}\)

+ Sử dụng định nghĩa tập hợp các số nguyên: Tập hợp gồm các số nguyên âm, số 0 và các số nguyên dương được gọi là tập hợp các số nguyên.

+ Tập hợp gồm các số nguyên dương và các số nguyên âm là tập con của tập \(\mathbb{Z}\)

+ Chú ý đến cách sử dụng kí hiệu thuộc \( \in\) và tập con \( \subset\).

Ta có: \(M = \left\{ { - 5;\,\;8;\;\,7} \right\}\) suy ra \(M \subset \mathbb{Z}\) .

Ta sử dụng các kiến thức:

+ Khi biểu diễn trên trục số, điểm a nằm bên trái điểm b thì số nguyên a nhỏ hơn số nguyên b

+ Mọi số nguyên dương đều lớn hơn số $0.$

+ Mọi số nguyên âm đều nhỏ hơn số $0.$

+ Mọi số nguyên âm đều nhỏ hơn bất kì số nguyên dương nào.

+ Từ đó sắp xếp các số theo thứ tự giảm dần.

Các số được xếp theo thứ tự giảm dần là: \(1280;\,\;43;\,\;28;\;\,1;\;\,0;\, - 52;\, - 291.\)

Bước 1: Tìm các giá trị của x thỏa mãn $ - 7 < \;x \le {\rm{5}}.$ Bước 2: Tính tổng các giá trị của x vừa tìm được

Vì $ - 7 < \;x \le {\rm{5}}$ nên $x\; \in \;\left\{ { - 6; - 5; - 4; - 3; - 2; - 1;0;1;2;3;4;5} \right\}$ Tổng các số nguyên $x$ là: $( - 6) + ( - 5) + ( - 4) + ( - 3) + ( - 2) + ( - 1) + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5$$ = \left( { - 6} \right) + [( - 5) + 5\left] { + \left[ {\left( { - 4} \right) + 4} \right] + } \right[( - 3) + 3\left] + \right[( - 2) + 2\left] + \right[( - 1) + 1] + 0$$ = ( - 6) + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = - 6$

+ Ta sử dụng qui tắc phá ngoặc

Khi bỏ dấu ngoặc có dấu “-“ đằng trước, ta phải đổi dấu tất cả các số hạng trong dấu ngoặc : dấu “+” chuyển thành dầu “-“ và dấu “-“ chuyển thành dấu “+”.

Khi bỏ dấu ngoặc có dấu “+” đằng trước thì dấu các số hạng trong ngoặc vẫn được giữ nguyên.

+ Sử dụng qui tắc cộng số nguyên và tính chất giao hoán để thực hiện phép tính

Ta có: $(52 - 69 + 17) - (52 + 17) $

$ = 52 - 69 + 17 - 52 - 17 $

$ = (52 - 52) + (17 - 17) - 69 $

$ = 0 + 0 - 69 $

$ = - 69$

Ta có thể làm như sau:Bước 1: Tìm $x + 84$ bằng cách lấy số bị trừ trừ đi hiệuBước 2: Tìm $x$ bằng cách lấy tổng trừ số hạng đã biết

Hoặc ta có thể phá ngoặc rồi rút gọn vế trái, sau đó thực hiện qui tắc chuyển vế để tìm \(x\)

Ta có $17 - \left( {x + 84} \right) = 107$

\(\begin{array}{l}x + 84 = 17 - 107\\x + 84 = - \left( {107 - 17} \right)\\x + 84 = - 90\\x = - 90 - 84\\x = - \left( {90 + 84} \right)\\x = - 174\end{array}\)

Vậy \(x = - 174.\)

Bước 1: Thu gọn vế tráiBước 2: Tìm x

Ta có $44 - x - 16{\rm{ }} = - 60$

\(\begin{array}{l}\left( {44 - 16} \right) - x = - 60\\28 - x = - 60\\x = 28 - \left( { - 60} \right)\\x = 28 + 60\\x = 88\end{array}\)

Vậy \(x = 88.\)

Áp dụng quy tắc cộng hai số nguyên cùng dấu, khác dấu.

Vì \(\left( { - 9} \right) + 19 = 10;\,\;19 + \left( { - 9} \right) = 10\) nên \(\left( { - 9} \right) + 19 = 19 + \left( { - 9} \right)\).

Do đó câu A đúng, câu B, C sai.

Vì \(\left( { - 9} \right) + \left( { - 9} \right) = - 18;\,19 + 19 = 38;\, - 18 \ne 38\) nên câu D sai.

Từ đề bài ta đưa về tìm ước chung của 8 và 15

Tìm ước của 8; tìm ước của 15 từ đó suy ra ước chung của 8 và 15

Vì $8\,\; \vdots \;\,x$ và $15\;\, \vdots \;\,x\;$ $ \Rightarrow \;x\; \in \;$ ƯC$\left( {8,15} \right)$ Ư$\left( 8 \right) = \left\{ { - 8; - 4; - 2; - 1;1;2;4;{\rm{8}}} \right\}$ Ư$\left( {15} \right) = \left\{ { - 15; - 5; - 3; - 1;1;3;5;15} \right\}$ Vậy: ƯC$\left( {8,15} \right) = \left\{ { - 1;{\rm{ }}1} \right\}$ Hay $x\; \in \;\left\{ { - 1;{\rm{ }}1} \right\}$

+Biểu thức có chứa phép tính nhân, chia, cộng, trừ thì ta thực hiện tính phép nhân, chia trước, thực hiện tính phép tính cộng, trừ sau+ Biểu thức có chứa dấu ngoặc thì ta thực hiện bỏ ngoặc theo thứ tự: $()\; \to \;[]\; \to \;\{ \} $

Ta có$\begin{array}{l}455 - 5.[( - 5) + 4.( - 8)]\\ = 455 - 5.( - 5 - 32)\\ = 455 - 5.[ - (5 + 32)]\\ = 455 - 5.( - 37)\\ = 455 + 185\\ = 640\end{array}$

Nhận thấy \(640\, \vdots \,10\) nên chọn A.

Biểu thức có chứa phép tính nhân và phép tính trừ nên ta thực hiện tính phép nhân trước, thực hiện tính phép trừ sau.

Ta có $\left( { - 9} \right).\left( { - 12} \right) - \left( { - 13} \right).6\; = 108 - \left( { - 78} \right) = 108 + 78 = 186$

Sử dụng quy tắc dấu ngoặc, quy tắc trừ hai số nguyên cùng dấu, khác dấu, tính chất giao hoán, tính chất kết hợp, cộng với số đối để tính giá trị của biểu thức.

\(\begin{array}{l} - 567 - \left( { - 113} \right) + \left( { - 69} \right) - \left( {113 - 567} \right)\\ = - 567 - \left( { - 113} \right) + \left( { - 69} \right) - 113 + 567\\ = \left( { - 567 + 567} \right) - \left( { - 113 + 113} \right) + \left( { - 69} \right)\\ = 0 - 0 + \left( { - 69} \right)\\ = - 69.\end{array}\)

Ta sử dụng $A.{\rm{ }}B = 0$ thì $A = 0$ hoặc $B = 0$

Ta có $\left( {x - 12} \right).\left( {8 + x} \right) = 0$

TH1:

 \(\begin{array}{l}x - 12 = 0\\x = 12\end{array}\)

TH2:

\(\begin{array}{l}8 + x = 0\\x = - 8\end{array}\)

Vậy \(x = 12\); \(x = - 8.\)

Ta thực hiện lũy thừa trước sau đó tính ngoặc tròn rồi đến ngoặc vuông

Ta có \( - 4.[12:{( - 2)^2} - 4.( - 3)] - {( - 12)^2}\)

$\begin{array}{l} = - 4.[12:4 - ( - 12)] - 144 \\= - 4.(3 + 12) - 144 = - 4.15 - 144\\ = - 60 - 144 = - (60 + 144) = - 204\end{array}$

Sử dụng tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng; tính chất giao hoán, tính chất kết hợp để tính giá trị của biểu thức.

\(\begin{array}{l}A = - 128.\left[ {\left( { - 25} \right) + 89} \right] + 128.\left( {89 - 125} \right)\\ = - 128.\left( { - 25} \right) - 128.89 + 128.89 + 128.\left( { - 125} \right)\\ = \left( { - 128.89 + 128.89} \right) - \left[ {128.\left( { - 25} \right) - 128.\left( { - 125} \right)} \right]\\ = 0 - 128.\left[ {\left( { - 25} \right) + 125} \right]\\ = - 128.100\\ = - 12800.\end{array}\)

Vậy giá trị của A là số chẵn, số âm có chữ số tận cùng là 0 và không chia hết cho 3.

+ Sử dụng khái niệm bội và ước của một số nguyên để tìm các ước của $-5$

+ Lập bảng giá trị để tìm x

Ta có: -5 là bội của \(x + 2\) suy ra \(x + 2\) là ước của -5.

Mà \(Ư\left( { - 5} \right) = \left\{ { \pm 1;\, \pm 5} \right\}\) nên suy ra \(x + 2 \in \left\{ { \pm 1;\, \pm 5} \right\}\)

Xét bảng:

Vậy \(x \in \left\{ { - 1;\,3;\, - 3;\, - 7} \right\}\) .

Sử dụng quy tắc cộng hai số nguyên cùng dấu, khác dấu; quy tắc nhân hai số nguyên khác dấu; quy tắc chuyển vế và định nghĩa lũy thừa với số mũ tự nhiên.

\(\begin{array}{l}{\left( {x + 3} \right)^3}:3 - 1 = - 10\\{\left( {x + 3} \right)^3}:3= - 10 + 1\\{\left( {x + 3} \right)^3}:3= - 9\\{\left( {x + 3} \right)^3} = \left( { - 9} \right).3\\{\left( {x + 3} \right)^3} = - 27\\{\left( {x + 3} \right)^3} = {\left( { - 3} \right)^3}\\x + 3 = - 3\\x= - 3 - 3\\x= - 6.\end{array}\)

Vậy \({x_1} = - 6 < - 5\).

+ Sử dụng khái niệm bội và ước của một số nguyên để tìm các ước của 5.

+ Lập bảng giá trị để tìm x.

Ta có: \(\left( {x + 1} \right) \in Ư\left( 5 \right) \) suy ra \( \left( {x + 1} \right) \in \left\{ { - 5;\, - 1;\;\,1;\,\;5} \right\}.\)

Xét bảng:

Vậy \(x \in \left\{ {0;\,4;\, - 2;\, - 6} \right\}\) .

Thay \(x = - 12\) vào biểu thức ta tính được giá trị của biểu thức.

Thay \(x = - 12\) vào biểu thức ta được:

\(\begin{array}{l}\left( { - 12 - 8} \right)\left( { - 12 + 17} \right)\\ = \left( { - 20} \right).5\\ = - 100\end{array}\)

Biến đổi vế trái sử dụng tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng, tính chất kết hợp; quy tắc nhân hai số nguyên để rút gọn.

Từ đó so sánh với vế phải ở các đáp án.

+ Đáp án A: Xét \(a\left( {b - c} \right) - a\left( {b + d} \right) = - a\left( {c + d} \right)\), với \(a,b,c,d \in \mathbb{Z}\)

\(\begin{array}{l}VT = a\left( {b - c} \right) - a\left( {b + d} \right)\\ = ab - ac - ab - ad\\ = \left( {ab - ab} \right) - \left( {ac + ad} \right)\\ = 0 - a\left( {c + d} \right)\\ = - a\left( {c + d} \right)\\ = VP\end{array}\)

Vậy \(a\left( {b - c} \right) - a\left( {b + d} \right) = - a\left( {c + d} \right)\) với \(a,b,c,d \in \mathbb{Z}\) hay A đúng.

+ Đáp án B: Với \(a,\,b,\,c \in \mathbb{Z}\) xét \(a\left( {b + c} \right) - b\left( {a - c} \right) = \left( {a + b} \right)c.\)

\(\begin{array}{l}VT = a\left( {b + c} \right) - b\left( {a - c} \right)\\\,\,\,\,\,\,\, = ab + ac - ba + bc\\\,\,\,\,\,\,\, = \left( {ab - ba} \right) + \left( {ac + bc} \right)\\\,\,\,\,\,\,\, = 0 + c\left( {a + b} \right)\\\,\,\,\,\,\,\, = c\left( {a + b} \right)\\VP = \left( {a + b} \right)c\\ \Rightarrow VT = VP\end{array}\)

Vậy \(a\left( {b + c} \right) - b\left( {a - c} \right) = \left( {a + b} \right)c.\) Hay B đúng.

Vậy cả A, B đều đúng

+ Cộng các dữ kiện đề bài cho để tính tổng \(x + y + z\)

+ Từ đó tính \(x;y;z\)

Ta có: $x + y = 11,{\rm{ }}y + z = 10,{\rm{ }}z + x = - 3$ nên

\(\begin{array}{l}\left( {x + y} \right) + \left( {y + z} \right) + \left( {z + x} \right) = 11 + 10 + \left( { - 3} \right)\\ x + y + y + z + z + x = 21 + \left( { - 3} \right)\\ \left( {x + x} \right) + \left( {y + y} \right) + \left( {z + z} \right) = 18\\ 2x + 2y + 2z = 18\\ 2\left( {x + y + z} \right) = 18\\ x + y + z = 9\end{array}\)

Vậy \(x + y + z = 9.\)+) $z = (x + y + z) - (x + y) = 9 - 11 = - 2$+)$x = (x + y + z) - (y + z) = 9 - 10 = - 1$+) $y = (x + y + z) - (x + z) = 9 - \left( { - 3} \right) = 12$Vậy \(x = - 1;y = 12;z = - 2.\)

+ Biến đổi \(2n - 1\) thành tổng hai số nguyên trong đó một số hạng có chứa \(n + 1\) .

+ Sử dụng tính chất chia hết của một tổng, hiệu và định nghĩa bội và ước của một số nguyên

+ Lập bảng để tìm ra n

Ta có:

\(2n - 1 = 2n + 2 - 3 = \left( {2n + 2} \right) - 3 = 2\left( {n + 1} \right) - 3\)

Vì \(\left( {2n - 1} \right) \vdots \left( {n + 1} \right)\) nên \(\left[ {2\left( {n + 1} \right) - 3} \right] \vdots \left( {n + 1} \right)\) .

Mà \(2\left( {n + 1} \right) \vdots \left( {n + 1} \right)\) , suy ra \( - 3 \vdots \left( {n + 1} \right) \Rightarrow n + 1 \in U\left( { - 3} \right) = \left\{ { \pm 1;\, \pm 3} \right\}\) .

Ta có bảng sau:

Vậy \(n \in \left\{ { - 4;\, - 2;\,0;\,2} \right\}\)

Do đó có 4 số nguyên \(n\) thỏa mãn đề bài.

+ Ta thấy tích hai số là một số âm khi hai số đó trái dấu.

+ Từ đó chia hai trường hợp:

TH1: \(n + 3 > 0\) và \(n - 2 < 0\)

TH2: \(n + 3 < 0\) và \(n - 2 > 0\)

Từ các trường hợp ta tìm giá trị của n.

Vì \(\left( {n + 3} \right)\left( {n - 2} \right) < 0\) nên suy ra \(n + 3\) và \(n - 2\) là hai số trái dấu.

TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}n + 3 > 0\\n - 2 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}n > 0 - 3\\n < 0 + 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}n > - 3\\n < 2\end{array} \right. \Leftrightarrow - 3 < n < 2 \Rightarrow n \in \left\{ { - 2;\, - 1;\;\,0;\;\,1} \right\}\) vì \(n \in Z.\)

TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}n + 3 < 0\\n - 2 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}n < 0 - 3\\n > 0 + 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}n < - 3\\n > 2\end{array} \right.\) suy ra không có giá trị nào của n thỏa mãn.

Vậy \(n \in \left\{ { - 2;\, - 1;\,\;0;\;\,1} \right\}\).

Tổng các số nguyên thỏa mãn là \(\left( { - 2} \right) + \left( { - 1} \right) + 0 + 1 = - 2.\)

Áp dụng tính chất \({A^2} \ge 0\) với mọi A và tính chất \(m - {A^2} \le m\) để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức.

\(C = - {\left( {x - 5} \right)^2} + 10\)

Ta có: \({\left( {x - 5} \right)^2} \ge 0,\,\forall x \in \mathbb{Z} \Rightarrow - {\left( {x - 5} \right)^2} \le 0,\;\,\forall x \in \mathbb{Z}\)\( \Rightarrow - {\left( {x - 5} \right)^2} + 10 \le 10,\,\;\forall x \in \mathbb{Z}\)

Suy ra \(C \le 10\,\,\forall x \in \mathbb{Z}\) .

\(C = 10\) khi \({\left( {x - 5} \right)^2} = 0 \Rightarrow x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5\)

Vậy giá trị lớn nhất của C là 10 khi \(x = 5\) .