Trắc nghiệm Các dạng toán về quan hệ chia hết, tính chất chia hết Toán 6 Cánh diều

Sử dụng tính chất 2: \(a \vdots m\) và \(b\not \vdots m\)\( \Rightarrow \left( {a + b} \right)\not \vdots m\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2m = 2.m \Rightarrow 2m \vdots 2\\3\not \vdots 2\end{array} \right.\\ \Rightarrow a = 2m + 3\not \vdots 2\\\left. \begin{array}{l}2n \vdots 2\\1\not \vdots 2\end{array} \right\} \Rightarrow b = 2n + 1\not \vdots 2\end{array}\)

=> Đáp án A, B sai.

\(a + b = 2m + 3 + 2n + 1 = 2m + 2n + 4 = 2.\left( {m + n + 2} \right) \vdots 2\)

Đáp án C đúng.

Nếu tất cả các số hạng chia hết cho 2 thì A chia hết cho 2, nếu trong tổng có 1 số hạng không chia hết cho 2 thì A không chia hết cho 2.

Do 12\( \vdots \)2; 14\( \vdots \)2; 16\( \vdots \)2 nên để A \(\not\vdots \)2 thì x \(\not\vdots \)2

=> x\( \in \){1; 3; 5; 7;…} là các số lẻ.

Sử dụng tính chất 1: Nếu tất cả các số hạng của một tổng đều chia hết cho cùng một số thì tổng chia hết cho số đó để suy ra điều kiện của \(x.\)

Ta thấy \(15 \, \vdots \, 5\) và \(1003\) không chia hết cho $5$ nên để \(A = 15 + 1003 + x\) chia hết cho \(5\) thì \(\left( {1003 + x} \right)\) chia hết cho \(5.\)

Mà \(1003\) chia \(5\) dư \(3\) nên để \(\left( {1003 + x} \right)\) chia hết cho \(5\) thì \(x\) chia \(5\) dư \(2.\)

Sử dụng tính chất 1: Nếu tất cả các số hạng của một tổng đều chia hết cho cùng một số thì tổng chia hết cho số đó để suy ra điều kiện của \(n.\)

Vì \(n \, \vdots \, n\) nên để \((n + 4) \, \vdots \, n\) thì \(4 \, \vdots \, n\) (tính chất chia hết của một tổng)

Vì 4 chia hết cho 1; 2; 4 nên \(n \in \left\{ {1;2;4} \right\}\)

Vậy có ba giá trị của \(n\) thỏa mãn điều kiện đề bài.

+) Ư\(\left( a \right) = \left\{ {x \in N|a \vdots x} \right\}\)

+) Kết hợp các điều kiện của đề bài để tìm số thích hợp

Ta có $x \in Ư\left( {32} \right)$ và $x > 5$

$x \in Ư\left( {32} \right)$ thì $x \in {\rm{\{ 1; 2; 4; 8; 16; 32\} }}$

Kết hợp với điều kiện $x > 5$, ta được: $x \in \left\{ {8;16;32} \right\}$

 +) \(B\left( a \right) = \left\{ {m.a|m \in N} \right\} = \left\{ {0;a;2a;...} \right\}\)

 +) Kết hợp các điều kiện của đề bài để tìm số thích hợp

$\,\,\left\{ \begin{array}{l}x \in B\left( 8 \right)\\8 < x \le 88\end{array} \right. $ suy ra $ \left\{ \begin{array}{l}x \in {\rm{\{ 0;8;16;24; 32;}}...{\rm{\} }}\\8 < x \le 88\end{array} \right.$

Do đó $x \in \left\{ {16;24;32;40;48;56;64;72;80;88} \right\}$

Vậy có \(10\) số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

+) \(B\left( 9 \right) = \left\{ {9.m|m \in N} \right\}\)

+) Kết hợp điều kiện $x$ là số có hai chữ số để tìm $x$

Số có hai chữ số là số lớn hơn hoặc bằng $10$ và nhỏ hơn hoặc bằng $99$.

Gọi $A = \left\{ {x \in B\left( 9 \right)|10 \le x \le 99} \right\}$

 Suy ra \(A = \left\{ {18;27;36;...;\,99} \right\}\)

Số phần tử của A là \(\left( {99 - 18} \right):9 + 1 = 10\) (phần tử)

Vậy có $10$ bội của $9$ là số có hai chữ số. 

+) \(B\left( 9 \right) = \left\{ {9.m|m \in N} \right\}\)

+) Kết hợp điều kiện $x < 63$ để tìm $x$.

$\,\left\{ \begin{array}{l}x \in B\left( 9 \right)\\x < 63\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \in {\rm{\{ 0;9;18;27;36;}}...{\rm{\} }}\\x < 63\end{array} \right.$

$ \Rightarrow x \in \left\{ {{\rm{0;9;18;27;36}};45;54} \right\}$

Sử dụng tính chất 2: Nếu chỉ có một số hạng của tổng không chia hết cho một số, còn các số hạng khác đều chia hết cho số đó thì tổng không chia hết cho số đó để suy ra điều kiện của \(x.\)

Ta có: \(A = \left( {12 + 15} \right) + 36 + x\) . Vì \(12 + 15 = 27\,\, \vdots \,\,9\) và \(36\,\, \vdots \,\,9 \)\(\Rightarrow \left( {12 + 15 + 36} \right) = \left( {27 + 36} \right)\,\, \vdots \,\,9\) nên để A không chia hết cho $9$ thì $x$ không chia hết cho $9.$

Nhân \(a + 4b\) với 10, biến đổi rồi chứng minh dựa vào TC1: Nếu số hạng của một tổng đều chia hết cho cùng một số thì tổng chia hết cho số đó.

Xét \(10.\left( {a + 4.b} \right) = 10.a + 40.b \)\(= \left( {10.a + b} \right) + 39.b\) .

Vì \(\left( {10.a + b} \right)\,\, \vdots \,\,13\) và \(39b\,\, \vdots \,\,13\) nên \(10.\left( {a + 4.b} \right)\,\, \vdots \,\,13\) .

Do $10$ không chia hết cho $13$ nên suy ra \(\left( {a + 4.b} \right)\,\, \vdots \,\,13\) .

Vậy nếu \(10a + b\) chia hết cho $13$ thì \(a + 4b\) chia hết cho $13.$

TC1: Nếu số hạng của một hiệu đều chia hết cho cùng một số thì hiệu chia hết cho số đó.

Vì \(\left( {n + 2} \right) \vdots \left( {n + 2} \right)\) nên theo tính chất 1 để \(\left( {n + 7} \right) \vdots \left( {n + 2} \right)\) thì \(\left[ {\left( {n + 7} \right) - \left( {n + 2} \right)} \right] \vdots \left( {n + 2} \right)\) hay \(5 \vdots \left( {n + 2} \right)\) .

Suy ra \(\left( {n + 2} \right) \in \left\{ {1;5} \right\}\) .

Vì \(n + 2 \ge 2\) nên \(n + 2 = 5 \Rightarrow n = 5 - 2 = 3.\)

Vậy \(n = 3.\)

Vậy có một số tự nhiên \(n\) thỏa mãn yêu cầu.

Sử dụng tính chất 1: “Nếu tất cả các số hạng của một tổng đều chia hết cho cùng một số thì tổng chia hết cho số đó” và tính chất 2: “Nếu chỉ có một số hạng của tổng không chia hết cho một số, còn các số hạng khác đều chia hết cho số đó thì tổng không chia hết cho số đó” để giải bài toán.

+) Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là \(n;n + 1;n + 2\) $\left( {n \in N} \right)$ thì tổng ba số tự nhiên liên tiếp là \(n + n + 1 + n + 2 = 3n + 3\). Vì \(3 \vdots 3\) nên \(\left( {3n + 3} \right) \vdots 3\) suy ra A đúng.

+) Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp là \(n;n + 1;n + 2;n + 3\) $\left( {n \in N} \right)$ thì tổng bốn số tự nhiên liên tiếp là \(n + n + 1 + n + 2 + n + 4 = 4n + 7\). Vì $4 \vdots 3;\,7\not \vdots \,4$ nên \(\left( {4n + 7} \right)\not \vdots 4\) suy ra B đúng, D sai.

+) Gọi năm số tự nhiên chẵn liên tiếp là \(2n;2n + 2;2n + 4;2n + 6;2n + 8\) $\left( {n \in N} \right)$ thì tổng năm số tự nhiên chẵn liên tiếp là \(2n + 2n + 2 + 2n + 4 + 2n + 6 + 2n + 8 = 10n + 20\). Vì $10 \vdots 10;\,20 \vdots 10$ nên \(\left( {10n + 20} \right) \vdots 10\) suy ra C đúng.

Sử dụng tính chất 1: “Nếu tất cả các số hạng của một tổng đều chia hết cho cùng một số thì tổng chia hết cho số đó” và tính chất 2: “Nếu chỉ có một số hạng của tổng không chia hết cho một số, còn các số hạng khác đều chia hết cho số đó thì tổng không chia hết cho số đó” để giải bài toán.

Vì a chia cho 12 được số dư là 9 nên \(a = 12k + 9\left( {k \in N} \right)\)

Vì \(12k\, \vdots\, 3;9 \,\vdots \,3 \Rightarrow a = \left( {12k + 9} \right) \vdots\, 3\)

Và \(12k\, \vdots \,4;9\) không chia hết cho 4 nên \(a = 12k + 9\) không chia hết cho 4.

Vậy a chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 4.

Tổng C có 12 số hạng nên nhóm ba số hạng liền nhau , biến đổi để chứng minh dựa vào tính chất : \(a \, \vdots \, m \Rightarrow a.k \, \vdots \, m \, (k \in \mathbb{N})\)

Ghép ba số hạng liên tiếp thành một nhóm , ta được

\(C = 1 + 3 + {3^2} + {3^3} + ... + {3^{11}}\)\( = \left( {1 + 3 + {3^2}} \right) + \left( {{3^3} + {3^4} + {3^5}} \right)... + \left( {{3^9} + {3^{10}} + {3^{11}}} \right)\)

\( = \left( {1 + 3 + {3^2}} \right) + {3^3}\left( {1 + 3 + {3^2}} \right) + ... + {3^9}\left( {1 + 3 + {3^2}} \right)\)\( = \left( {1 + 3 + {3^2}} \right)\left( {1 + {3^3} + {3^6} + {3^9}} \right)\)

\( = 13.\left( {1 + {3^3} + {3^6} + {3^9}} \right) \, \vdots \, 13\) (do \(13 \, \vdots \, 13\))

Vậy \(C \, \vdots \, 13.\)

Ư\(\left( a \right) = \left\{ {x \in N|a \vdots x} \right\}\)

$8 \vdots \left( {x - 1} \right) \Rightarrow \left( {x - 1} \right) \in $Ư\(\left( 8 \right)\)

$ \Rightarrow \left( {x - 1} \right) \in \left\{ {1;2;4;8} \right\}$

+ Với \(x - 1 = 1\) thì \(x = 1 + 1\) hay \(x = 2\)

+ Với \(x - 1 = 2\) thì \(x = 1 + 2\) hay \(x = 3\)

+ Với \(x - 1 = 4\) thì \(x = 1 + 4\) hay \(x = 5\)

+ Với \(x - 1 = 8\) thì \(x = 1 + 8\) hay \(x = 9\)

$ \Rightarrow x \in \left\{ {2;3;5;9} \right\}$

- Chia đội thành các nhóm đều nhau tức là 24 chia hết cho số học sinh trong một nhóm.

- Số học sinh trong 1 nhóm: ước của 24 và lớn hơn hoặc bằng 2 đồng thời nhỏ hơn 24.

- Tìm số nhóm tương ứng với số học sinh.

Để chia đều 24 bạn thành các nhóm bằng nhau thì số học sinh trong nhóm phải là ước của 24. Các ước của 24 là: 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24.

Vì mỗi nhóm có ít nhất 2 bạn đồng thời số nhóm không thể là 1 nên số học sinh trong một nhóm cũng không thể là 24 bạn.

Vậy số học sinh trong một nhóm chỉ có thể là: 2;3;4;6;8;12.

Vậy cô có thể chia đội thành:

+ 12 nhóm, mỗi nhóm có 2 bạn;

+ 8 nhóm, mỗi nhóm có 3 bạn;

+ 6 nhóm, mỗi nhóm có 4 bạn;

+ 4 nhóm, mỗi nhóm có 6 bạn;

+ 3 nhóm, mỗi nhóm có 8 bạn.

+ 2 nhóm, mỗi nhóm có 12 bạn.

+) Dùng tính chất của bội.

+) Sử dụng dấu hiệu chia hết của các số $5$ và $9.$

$\overline {abcd} \in B\left( 5 \right)$

Ta có:

 $\overline {abcd} \in B\left( 5 \right) \Rightarrow \overline {abcd} \vdots 5 \Rightarrow d \in \left\{ {0;5} \right\}$

$d = 5 \Rightarrow \overline {abcd} = 2345$

 \({\rm{d}} = 0 \Rightarrow \) Loại, vì $a,b,c,d$ là $4$ số tự nhiên liên tiếp tăng dần.

Vậy $\overline {abcd} = 2345.$