Chương V. Giới hạn. Hàm số liên tục

Chương V: Giới hạn. Hàm số liên tục - SBT Toán 11 Kết nối tri thức

Chương V trong sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức tập trung vào hai khái niệm nền tảng của giải tích: giới hạn và tính liên tục của hàm số. Việc nắm vững kiến thức này là vô cùng quan trọng, không chỉ cho việc học tập ở bậc trung học phổ thông mà còn là nền tảng cho các môn học nâng cao sau này.

I. Giới hạn của hàm số

Giới hạn của hàm số tại một điểm là giá trị mà hàm số tiến tới khi biến số độc lập tiến tới điểm đó. Khái niệm giới hạn giúp chúng ta hiểu được hành vi của hàm số tại những điểm mà hàm số có thể không xác định hoặc có những biến đổi phức tạp.

• Định nghĩa giới hạn: Nếu với mọi số dương ε (epsilon) nhỏ tùy ý, tồn tại một số dương δ (delta) sao cho nếu 0 < |x - a| < δ thì |f(x) - L| < ε, ta nói rằng giới hạn của f(x) khi x tiến tới a bằng L, ký hiệu là lim_x→a f(x) = L.
• Các dạng giới hạn vô cùng: Hàm số có thể tiến tới vô cùng dương hoặc vô cùng âm khi x tiến tới một giá trị nhất định.
• Tính chất của giới hạn: Giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương của các hàm số.

II. Hàm số liên tục

Hàm số được gọi là liên tục tại một điểm nếu giới hạn của hàm số tại điểm đó bằng giá trị của hàm số tại điểm đó. Tính liên tục là một tính chất quan trọng của hàm số, đảm bảo rằng hàm số không có những sự gián đoạn đột ngột.

• Định nghĩa hàm số liên tục: Hàm số f(x) được gọi là liên tục tại x₀ nếu:
• f(x₀) xác định.
• lim_x→x0 f(x) tồn tại.
• lim_x→x0 f(x) = f(x₀).
• Các loại hàm số liên tục: Hàm đa thức, hàm lượng giác, hàm mũ, hàm logarit đều là các hàm số liên tục trên miền xác định của chúng.
• Điều kiện đảm bảo tính liên tục: Hàm số là tổ hợp của các hàm số liên tục thì liên tục.

III. Bài tập minh họa

Bài 1: Tính lim_x→2 (x² - 4) / (x - 2)

Lời giải:

lim_x→2 (x² - 4) / (x - 2) = lim_x→2 (x - 2)(x + 2) / (x - 2) = lim_x→2 (x + 2) = 4

Bài 2: Xét tính liên tục của hàm số f(x) = { x², nếu x ≤ 1; 2x - 1, nếu x > 1 } tại x = 1

Lời giải:

f(1) = 1² = 1

lim_x→1^- f(x) = lim_x→1^- x² = 1

lim_x→1⁺ f(x) = lim_x→1⁺ (2x - 1) = 1

Vì lim_x→1 f(x) = f(1) = 1, nên hàm số f(x) liên tục tại x = 1.

IV. Luyện tập và củng cố

Để nắm vững kiến thức về giới hạn và tính liên tục, các em nên luyện tập thêm nhiều bài tập khác nhau. Loigiai.com.vn cung cấp đầy đủ các bài tập trong sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức cùng với lời giải chi tiết, giúp các em tự tin hơn trong quá trình học tập.

V. Kết luận

Chương V: Giới hạn. Hàm số liên tục là một chương quan trọng trong chương trình Toán 11. Việc hiểu rõ các khái niệm và tính chất của giới hạn và tính liên tục sẽ giúp các em giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong tương lai. Chúc các em học tập tốt!