Loigiai.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết và dễ hiểu cho mục 1 trang 32, 33, 34 của Chuyên đề học tập Toán 10 - Kết nối tri thức. Bài giải được trình bày rõ ràng, logic, giúp học sinh nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải bài tập.
Chúng tôi luôn cập nhật nhanh chóng và chính xác các lời giải bài tập Toán 10, đáp ứng nhu cầu học tập của học sinh trên toàn quốc.
Trong Bài 25 SGK Toán 10 (bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống), ta đã biết:
Trong Bài 25 SGK Toán 10 (bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống), ta đã biết:
\({(a + b)^1} = a + b\)
\({(a + b)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}\)
\({(a + b)^3} = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3}\)
\({(a + b)^4} = {a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4a{b^3} + {b^4}\)
\({(a + b)^5} = {a^5} + 5{a^4}b + 10{a^3}{b^2} + 10{a^2}{b^3} + 5a{b^4} + {b^5}\)
Với \(n \in \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}\) trong khai triển của mỗi nhị thức \({(a + b)^n}\):
a) Có bao nhiêu số hạng?
b) Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng bao nhiêu?
c) Số mũ của a và b thay đổi thế nào khi chuyển từ số hạng này đến số hạng tiếp theo, tính từ trái sangg phải?
Lời giải chi tiết:
Trong khai triển của mỗi nhị thức \({(a + b)^n}\):
a) Có \(n + 1\) số hạng.
b) Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng luôn bằng n.
c) Số mũ của a giảm dần từ n về 0 khi chuyển từ số hạng này đến số hạng tiếp theo, tính từ trái sangg phải.
Số mũ của b tăng dần từ 0 đến n khi chuyển từ số hạng này đến số hạng tiếp theo, tính từ trái sangg phải.
Tìm các hàng 7 và 8 của tam giác Pascal.
Lời giải chi tiết:
Ta đã có hàng 6 từ Hoạt động 2 trang 33:
\(\begin{array}{l}{(a + b)^6}\quad \quad 1\quad 6\quad 15\quad 20\quad 15\quad 6\quad 1\\{(a + b)^7}\quad \,1\quad 7\quad 21\quad 35\quad 35\quad 21\quad 7\quad 1\\{(a + b)^7}\;\;1\quad 8\quad 28\quad 56\quad 70\quad 56\quad 28\quad 8\quad 1\end{array}\)
Hàng 7: \(1 + 6 = 7,{\rm{ }}6 + 15 = 21,{\rm{ }}15 + 20 = 35\)
Hàng 8: \(1 + 7 = 8,{\rm{ 7}} + 21 = 28,{\rm{ 21 + 35 = 56,}}\;{\rm{35 + 35 = 70}}\)
a) Quan sát ba dòng đầu, hoàn thành tiếp hai dòng cuối theo mẫu:
\({(a + b)^1} = a + b = C_1^0a + C_1^1b\)
\({(a + b)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2} = C_2^0{a^2} + C_2^1ab + C_2^2{b^2}\)
\({(a + b)^3} = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3} = C_3^0{a^3} + C_3^1{a^2}b + C_3^2a{b^2} + C_3^3{b^3}\)
\({(a + b)^4} = {a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4a{b^3} + {b^4} = ...\)
\({(a + b)^5} = {a^5} + 5{a^4}b + 10{a^3}{b^2} + 10{a^2}{b^3} + 5a{b^4} + {b^5} = ...\)
Nhận xét rằng các hệ số khai triển của hai số hạng cách đều số hạng đầu và số hạng cuối luôn bằng nhau. Hãy so sánh, chẳng hạn \(C_4^1\) và \(C_4^3\), \(C_5^2\) và \(C_5^3\). Từ đó hãy dự đoán hệ thức giữa \(C_n^k\) và \(C_n^{n - k}(0 \le k \le n)\)
b) Từ tính chất của tam giác Pascal, hãy so sánh \(C_1^0 + C_1^1\) và \(C_2^1\), \(C_2^0 + C_2^1\) và \(C_3^1,...\) Từ đó hãy dự đoán hệ thức giữa \(C_{n - 1}^{k - 1} + C_{n - 1}^k\) và \(C_n^k.\)
Lời giải chi tiết:
a) \({(a + b)^4} = {a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4a{b^3} + {b^4} = C_4^0{a^4} + C_4^1{a^3}b + C_4^2{a^2}{b^2} + C_4^3a{b^3} + C_4^4{b^4}\)
\(\begin{array}{l}{(a + b)^5} = {a^5} + 5{a^4}b + 10{a^3}{b^2} + 10{a^2}{b^3} + 5a{b^4} + {b^5}\\ = C_5^0{a^5} + C_5^1{a^4}b + C_5^2{a^3}{b^2} + C_5^3{a^2}{b^3} + C_5^4a{b^4} + C_5^5{b^5}\end{array}\)
Dễ thấy \(C_4^1 = C_4^3\) , \(C_5^2 = C_5^3\). Dự đoán \(C_n^k = C_n^{n - k}(0 \le k \le n)\)
b) Từ tính chất trong tam giác Pascal: Mọi số (khác 1) đều là tổng của hai số ở ngay phía trên nó.
Ta suy ra: \(C_1^0 + C_1^1 = C_2^1\), \(C_2^0 + C_2^1 = C_3^1\)
Dự đoán: \(C_{n - 1}^{k - 1} + C_{n - 1}^k = C_n^k.\)
a) Sử dụng tam giác Pascal viết khai triển của \({(a + b)^7}\)
b) Sử dụng tam giác Pascal viết khai triển của \({(2x - 1)^4}\)
Phương pháp giải:
Dựa vào hàng tương ứng của tam giác Pascal
b) Viết khai triển của \({(a + b)^4}\)rồi thay \(a = 2x,b = - 1\) vào khai triển nhận được.
Lời giải chi tiết:
a) Khai triển của \({(a + b)^7}\) có dạng
\({(a + b)^7} = {a^7} + ?{a^6}b + ?{a^5}{b^2} + ?{a^4}{b^3} + ?{a^3}{b^4} + ?{a^2}{b^5} + ?a{b^6} + ?{b^7}\)
Các hệ số trong khai triển này là các hệ số ở hàng 7 của tam giác Pascal. Do đó ta có ngay
\({(a + b)^7} = {a^7} + 7{a^6}b + 21{a^5}{b^2} + 35{a^4}{b^3} + 35{a^3}{b^4} + 21{a^2}{b^5} + 7a{b^6} + {b^7}\)
b) Ta viết khai triển của \({(a + b)^4}\)rồi thay \(a = 2x,b = - 1\) vào khai triển nhận được.
Dựa vào hàng 4 của tam giác Pascal, ta có
\({(a + b)^4} = {a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4a{b^3} + {b^4}\)
Với \(a = 2x,b = - 1\) ta được:
\(\begin{array}{l}{(2x - 1)^4} = {\left( {2x} \right)^4} + 4.{\left( {2x} \right)^3}\left( { - 1} \right) + 6.{\left( {2x} \right)^2}{\left( { - 1} \right)^2} + 4.2x.{\left( { - 1} \right)^3} + {\left( { - 1} \right)^4}\\ = 16{x^4} - 32{x^3} + 24{x^2} - 8x + 1\end{array}\)
Hãy chứng minh các công thức trên bằng cách sử dụng công thức tính số các tổ hợp
Phương pháp giải:
\(C_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}\)
Lời giải chi tiết:
Tính chất đối xứng
\(C_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}} = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!\left[ {n - (n - k)} \right]!}} = C_n^{n - k}\)
Hệ thức Pascal
\(\begin{array}{l}C_{n - 1}^{k - 1} + C_{n - 1}^k = \frac{{(n - 1)!}}{{(k - 1)!\left( {n - k} \right)!}} + \frac{{(n - 1)!}}{{k!\left( {n - 1 - k} \right)!}}\\ = \frac{{(n - 1)!}}{{(k - 1)!\left( {n - k - 1} \right)!}}\left( {\frac{1}{{n - k}} + \frac{1}{k}} \right)\\ = \frac{{(n - 1)!}}{{(k - 1)!\left( {n - k - 1} \right)!}}.\frac{n}{{(n - k).k}} = \frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}} = C_n^k\end{array}\)
Trong Bài 25 SGK Toán 10 (bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống), ta đã biết:
\({(a + b)^1} = a + b\)
\({(a + b)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}\)
\({(a + b)^3} = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3}\)
\({(a + b)^4} = {a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4a{b^3} + {b^4}\)
\({(a + b)^5} = {a^5} + 5{a^4}b + 10{a^3}{b^2} + 10{a^2}{b^3} + 5a{b^4} + {b^5}\)
Với \(n \in \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}\) trong khai triển của mỗi nhị thức \({(a + b)^n}\):
a) Có bao nhiêu số hạng?
b) Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng bao nhiêu?
c) Số mũ của a và b thay đổi thế nào khi chuyển từ số hạng này đến số hạng tiếp theo, tính từ trái sangg phải?
Lời giải chi tiết:
Trong khai triển của mỗi nhị thức \({(a + b)^n}\):
a) Có \(n + 1\) số hạng.
b) Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng luôn bằng n.
c) Số mũ của a giảm dần từ n về 0 khi chuyển từ số hạng này đến số hạng tiếp theo, tính từ trái sangg phải.
Số mũ của b tăng dần từ 0 đến n khi chuyển từ số hạng này đến số hạng tiếp theo, tính từ trái sangg phải.
Tìm các hàng 7 và 8 của tam giác Pascal.
Lời giải chi tiết:
Ta đã có hàng 6 từ Hoạt động 2 trang 33:
\(\begin{array}{l}{(a + b)^6}\quad \quad 1\quad 6\quad 15\quad 20\quad 15\quad 6\quad 1\\{(a + b)^7}\quad \,1\quad 7\quad 21\quad 35\quad 35\quad 21\quad 7\quad 1\\{(a + b)^7}\;\;1\quad 8\quad 28\quad 56\quad 70\quad 56\quad 28\quad 8\quad 1\end{array}\)
Hàng 7: \(1 + 6 = 7,{\rm{ }}6 + 15 = 21,{\rm{ }}15 + 20 = 35\)
Hàng 8: \(1 + 7 = 8,{\rm{ 7}} + 21 = 28,{\rm{ 21 + 35 = 56,}}\;{\rm{35 + 35 = 70}}\)
a) Sử dụng tam giác Pascal viết khai triển của \({(a + b)^7}\)
b) Sử dụng tam giác Pascal viết khai triển của \({(2x - 1)^4}\)
Phương pháp giải:
Dựa vào hàng tương ứng của tam giác Pascal
b) Viết khai triển của \({(a + b)^4}\)rồi thay \(a = 2x,b = - 1\) vào khai triển nhận được.
Lời giải chi tiết:
a) Khai triển của \({(a + b)^7}\) có dạng
\({(a + b)^7} = {a^7} + ?{a^6}b + ?{a^5}{b^2} + ?{a^4}{b^3} + ?{a^3}{b^4} + ?{a^2}{b^5} + ?a{b^6} + ?{b^7}\)
Các hệ số trong khai triển này là các hệ số ở hàng 7 của tam giác Pascal. Do đó ta có ngay
\({(a + b)^7} = {a^7} + 7{a^6}b + 21{a^5}{b^2} + 35{a^4}{b^3} + 35{a^3}{b^4} + 21{a^2}{b^5} + 7a{b^6} + {b^7}\)
b) Ta viết khai triển của \({(a + b)^4}\)rồi thay \(a = 2x,b = - 1\) vào khai triển nhận được.
Dựa vào hàng 4 của tam giác Pascal, ta có
\({(a + b)^4} = {a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4a{b^3} + {b^4}\)
Với \(a = 2x,b = - 1\) ta được:
\(\begin{array}{l}{(2x - 1)^4} = {\left( {2x} \right)^4} + 4.{\left( {2x} \right)^3}\left( { - 1} \right) + 6.{\left( {2x} \right)^2}{\left( { - 1} \right)^2} + 4.2x.{\left( { - 1} \right)^3} + {\left( { - 1} \right)^4}\\ = 16{x^4} - 32{x^3} + 24{x^2} - 8x + 1\end{array}\)
a) Quan sát ba dòng đầu, hoàn thành tiếp hai dòng cuối theo mẫu:
\({(a + b)^1} = a + b = C_1^0a + C_1^1b\)
\({(a + b)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2} = C_2^0{a^2} + C_2^1ab + C_2^2{b^2}\)
\({(a + b)^3} = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3} = C_3^0{a^3} + C_3^1{a^2}b + C_3^2a{b^2} + C_3^3{b^3}\)
\({(a + b)^4} = {a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4a{b^3} + {b^4} = ...\)
\({(a + b)^5} = {a^5} + 5{a^4}b + 10{a^3}{b^2} + 10{a^2}{b^3} + 5a{b^4} + {b^5} = ...\)
Nhận xét rằng các hệ số khai triển của hai số hạng cách đều số hạng đầu và số hạng cuối luôn bằng nhau. Hãy so sánh, chẳng hạn \(C_4^1\) và \(C_4^3\), \(C_5^2\) và \(C_5^3\). Từ đó hãy dự đoán hệ thức giữa \(C_n^k\) và \(C_n^{n - k}(0 \le k \le n)\)
b) Từ tính chất của tam giác Pascal, hãy so sánh \(C_1^0 + C_1^1\) và \(C_2^1\), \(C_2^0 + C_2^1\) và \(C_3^1,...\) Từ đó hãy dự đoán hệ thức giữa \(C_{n - 1}^{k - 1} + C_{n - 1}^k\) và \(C_n^k.\)
Lời giải chi tiết:
a) \({(a + b)^4} = {a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4a{b^3} + {b^4} = C_4^0{a^4} + C_4^1{a^3}b + C_4^2{a^2}{b^2} + C_4^3a{b^3} + C_4^4{b^4}\)
\(\begin{array}{l}{(a + b)^5} = {a^5} + 5{a^4}b + 10{a^3}{b^2} + 10{a^2}{b^3} + 5a{b^4} + {b^5}\\ = C_5^0{a^5} + C_5^1{a^4}b + C_5^2{a^3}{b^2} + C_5^3{a^2}{b^3} + C_5^4a{b^4} + C_5^5{b^5}\end{array}\)
Dễ thấy \(C_4^1 = C_4^3\) , \(C_5^2 = C_5^3\). Dự đoán \(C_n^k = C_n^{n - k}(0 \le k \le n)\)
b) Từ tính chất trong tam giác Pascal: Mọi số (khác 1) đều là tổng của hai số ở ngay phía trên nó.
Ta suy ra: \(C_1^0 + C_1^1 = C_2^1\), \(C_2^0 + C_2^1 = C_3^1\)
Dự đoán: \(C_{n - 1}^{k - 1} + C_{n - 1}^k = C_n^k.\)
Hãy chứng minh các công thức trên bằng cách sử dụng công thức tính số các tổ hợp
Phương pháp giải:
\(C_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}\)
Lời giải chi tiết:
Tính chất đối xứng
\(C_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}} = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!\left[ {n - (n - k)} \right]!}} = C_n^{n - k}\)
Hệ thức Pascal
\(\begin{array}{l}C_{n - 1}^{k - 1} + C_{n - 1}^k = \frac{{(n - 1)!}}{{(k - 1)!\left( {n - k} \right)!}} + \frac{{(n - 1)!}}{{k!\left( {n - 1 - k} \right)!}}\\ = \frac{{(n - 1)!}}{{(k - 1)!\left( {n - k - 1} \right)!}}\left( {\frac{1}{{n - k}} + \frac{1}{k}} \right)\\ = \frac{{(n - 1)!}}{{(k - 1)!\left( {n - k - 1} \right)!}}.\frac{n}{{(n - k).k}} = \frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}} = C_n^k\end{array}\)
Mục 1 của Chuyên đề học tập Toán 10 - Kết nối tri thức thường tập trung vào một chủ đề cụ thể, đòi hỏi học sinh phải nắm vững lý thuyết và áp dụng vào giải quyết các bài toán thực tế. Việc hiểu rõ bản chất của vấn đề là yếu tố then chốt để đạt kết quả tốt. Loigiai.com.vn cung cấp lời giải chi tiết, từng bước, giúp học sinh dễ dàng theo dõi và hiểu rõ phương pháp giải.
Bài tập 1 thường là các bài tập cơ bản, nhằm kiểm tra mức độ hiểu bài của học sinh. Lời giải của chúng tôi sẽ trình bày rõ ràng các bước thực hiện, từ việc xác định dữ kiện đầu vào đến việc áp dụng công thức và đưa ra kết quả cuối cùng.
Các bài tập 2 và 3 có thể phức tạp hơn bài tập 1, đòi hỏi học sinh phải vận dụng kiến thức đã học để giải quyết. Chúng tôi sẽ phân tích kỹ đề bài, chỉ ra các điểm quan trọng và hướng dẫn học sinh cách tiếp cận bài toán một cách hiệu quả.
Bài tập 4 và 5 thường là các bài tập nâng cao, đòi hỏi học sinh phải có khả năng tư duy logic và sáng tạo. Lời giải của chúng tôi sẽ cung cấp các phương pháp giải khác nhau, giúp học sinh lựa chọn phương pháp phù hợp nhất với khả năng của mình.
Để giải tốt các bài tập trong mục 1, học sinh cần nắm vững các kiến thức lý thuyết sau:
Các kiến thức và kỹ năng được học trong mục 1 có ứng dụng rộng rãi trong thực tế, đặc biệt trong các lĩnh vực khoa học kỹ thuật và kinh tế. Việc nắm vững kiến thức này sẽ giúp học sinh có lợi thế trong học tập và công việc sau này.
Để học tập hiệu quả, học sinh nên:
| Công thức | Mô tả |
|---|---|
| a2 + b2 | Công thức tính tổng bình phương |
| (a + b)2 | Công thức bình phương của một tổng |
Loigiai.com.vn hy vọng rằng lời giải chi tiết và những chia sẻ trên sẽ giúp các bạn học sinh học tập tốt môn Toán 10. Chúc các bạn thành công!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Khám phá thế giới phân dạng, từ hình học trừu tượng đến ứng dụng trong nghệ thuật và tự nhiên. Tìm hiểu cách phân dạng tạo ra vẻ đẹp vô hạn!
Bạn đã bao giờ gặp một điều nghe có vẻ vô lý nhưng lại chứa đựng sự thật? Khám phá thế giới Paradox - những mâu thuẫn thú vị giúp bạn nhìn nhận cuộc sống dưới một góc độ mới lạ. Đọc ngay!
Khám phá 'Tên của trò chơi là bắt cóc' - cuốn sách hấp dẫn đưa bạn vào thế giới ngầm đầy rẫy những kẻ ác. Đánh giá chi tiết, phân tích sâu sắc và lý do bạn nên đọc ngay!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán lớp 1 khó nhất! Hướng dẫn phụ huynh cách hỗ trợ con học toán hiệu quả, tạo hứng thú và đạt kết quả tốt nhất. Khám phá các mẹo học tập thông minh!
Review sách 'Dữ liệu tử thần' của Jeffery Deaver. Khám phá cách tội phạm sử dụng thông tin cá nhân và học cách bảo vệ dữ liệu của bạn ngay hôm nay!
