Giải mục 4 trang 53 Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều

• HĐ 5
• HĐ 6
• Luyện tập - vận dụng 3

Trong mặt phẳng, xét đường hypebol (H) là tập hợp các điểm M sao cho \(\left| {M{F_1} - M{F_2}} \right| = 2a\), ở đó \({F_1}{F_2} = 2c\) với \(c > a > 0\). Ta chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) có gốc là trung điểm của đoạn thẳng \({F_1}{F_2}\). Trục \(Oy\) là đường trung trực của \({F_1}{F_2}\) và \({F_2}\) nằm trên tia \(Ox\) (Hình 16). Khi đó \({F_1}( - c;0),{F_2}(c;0)\) là các tiêu diểm của hypebol (H)

Giả sử điểm \(M\left( {x;y} \right)\) thuộc hypebol (H), chứng minh:

a) \(M{F_1}^2 = {x^2} + 2cx + {c^2} + {y^2}\)

b) \(M{F_2}^2 = {x^2} - 2cx + {c^2} + {y^2}\)

c) \(M{F_1}^2 - M{F_2}^2 = 4cx\)

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: \(\overrightarrow {M{F_1}} = \left( { - c - x; - y} \right) \Rightarrow M{F_1}^2 = {\left( { - c - x} \right)^2} + {y^2} = {x^2} + 2cx + {c^2} + {y^2}\)

b) Ta có: \(\overrightarrow {M{F_2}} = \left( {c - x; - y} \right) \Rightarrow M{F_2}^2 = {\left( {c - x} \right)^2} + {y^2} = {x^2} - 2cx + {c^2} + {y^2}\)

c) \(M{F_1}^2 - M{F_2}^2 = \left( {{x^2} + 2cx + {c^2} + {y^2}} \right) - \left( {{x^2} - 2cx + {c^2} + {y^2}} \right) = 4cx\)

Với mỗi điểm M thuộc hypebol (H), từ hai đẳng thức \(M{F_1}^2 - M{F_2}^2 = 4cx\) và \(\left| {M{F_1} - M{F_2}} \right| = 2a\), chứng minh \(M{F_1} = \left| {a + \frac{c}{a}x} \right| = \left| {a + ex} \right|\) và \(M{F_2} = \left| {a - \frac{c}{a}x} \right| = \left| {a - ex} \right|\)

Lời giải chi tiết:

+ Ta có: \(M{F_1}^2 - M{F_2}^2 = \left( {M{F_1} - M{F_2}} \right)\left( {M{F_1} + M{F_2}} \right) = \left( {M{F_1} - M{F_2}} \right).\left| {2a} \right| = 4cx\)

\( \Rightarrow M{F_1} - M{F_2} = \frac{{2c}}{{\left| a \right|}}x\)

+ Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}M{F_1} + M{F_2} = \left| {2a} \right|\quad \left( 1 \right)\\M{F_1} - M{F_2} = \frac{{2c}}{{\left| a \right|}}x\quad \left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Từ (1) và (2) suy ra:

 \(2M{F_1} = \left| {2a} \right| + \frac{{2c}}{{\left| a \right|}}x \Rightarrow M{F_1} = \left| a \right| + \frac{c}{{\left| a \right|}}x = \left| {a + \frac{c}{a}x} \right| = \left| {a + ex} \right|\)

\(M{F_2} = 2\left| a \right| - M{F_1} = 2\left| a \right| - \left( {\left| a \right| + \frac{c}{{\left| a \right|}}x} \right) = \left| a \right| - \frac{c}{{\left| a \right|}}x\)\( = \left| {a - \frac{c}{a}x} \right| = \left| {a - ex} \right|\)

Cho hypebol (H) có phương trình chính tắc: \(\frac{{{x^2}}}{{144}} - \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1\). Giả sử điểm M là diderm chuẩn thuộc hypebol có hoành độ là 15. Tìm độ dài các bán kính qua tiêu của điểm M.

Phương pháp giải:

Phương trình của hypebol \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) trong đó \(a > 0,b > 0\). Khi đó ta có:

+ Độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm \(M(x;y)\) là: \(M{F_1} = \left| {a + \frac{c}{a}x} \right|;M{F_2} = \left| {a - \frac{c}{a}x} \right|\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \(a = 12,b = 3,c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt {144 + 9} = 3\sqrt {17} \).

Do đó \(e = \frac{{3\sqrt {17} }}{{12}} = \frac{{\sqrt {17} }}{4}\).

Vậy độ dài các bán kính qua tiêu của điểm M là:

\(M{F_1} = \left| {12 + \frac{{\sqrt {17} }}{4}.15} \right|;M{F_2} = \left| {12 - \frac{{\sqrt {17} }}{4}.15} \right|\)