Chương 2 Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân

Chương 2: Dãy số, Cấp số cộng, Cấp số nhân - Giải chi tiết SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo

Chương 2 trong sách Toán 11 Chân trời sáng tạo tập 1 tập trung vào việc nghiên cứu về dãy số, một khái niệm cơ bản và quan trọng trong toán học. Chương này giới thiệu các khái niệm về dãy số, dãy số tăng, dãy số giảm, dãy số bị chặn, và đặc biệt là hai loại dãy số quan trọng: cấp số cộng và cấp số nhân.

I. Dãy số

1. Khái niệm dãy số: Dãy số là một hàm số được xác định trên tập hợp các số tự nhiên hoặc một tập hợp con của nó. Mỗi số hạng của dãy số được gọi là một phần tử của dãy.

2. Các loại dãy số:

• Dãy số tăng: Dãy số (u_n) được gọi là dãy số tăng nếu u_n+1 > u_n với mọi n.
• Dãy số giảm: Dãy số (u_n) được gọi là dãy số giảm nếu u_n+1 < u_n với mọi n.
• Dãy số bị chặn: Dãy số (u_n) được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho u_n ≤ M với mọi n. Dãy số (u_n) được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho u_n ≥ m với mọi n.

II. Cấp số cộng

1. Định nghĩa: Cấp số cộng là một dãy số mà mỗi số hạng sau đều lớn hơn (hoặc nhỏ hơn) số hạng trước một lượng không đổi. Lượng không đổi đó được gọi là công sai (d).

2. Công thức tổng quát: u_n = u₁ + (n-1)d

3. Tổng n số hạng đầu tiên: S_n = n/2 * (u₁ + u_n) = n/2 * [2u₁ + (n-1)d]

III. Cấp số nhân

1. Định nghĩa: Cấp số nhân là một dãy số mà mỗi số hạng sau đều bằng số hạng trước nhân với một lượng không đổi. Lượng không đổi đó được gọi là công bội (q).

2. Công thức tổng quát: u_n = u₁ * q^(n-1)

3. Tổng n số hạng đầu tiên:

• Nếu q ≠ 1: S_n = u₁ * (1 - qⁿ) / (1 - q)
• Nếu q = 1: S_n = n * u₁

IV. Bài tập minh họa

Bài 1: Cho cấp số cộng có u₁ = 2 và d = 3. Tìm u₅ và S₅.

Giải:

• u₅ = u₁ + (5-1)d = 2 + 4*3 = 14
• S₅ = 5/2 * (u₁ + u₅) = 5/2 * (2 + 14) = 40

Bài 2: Cho cấp số nhân có u₁ = 1 và q = 2. Tìm u₆ và S₆.

Giải:

• u₆ = u₁ * q^(6-1) = 1 * 2⁵ = 32
• S₆ = u₁ * (1 - q⁶) / (1 - q) = 1 * (1 - 2⁶) / (1 - 2) = 63

V. Ứng dụng của dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân

Dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân có nhiều ứng dụng trong thực tế, như tính lãi kép, tính số lượng dân số, tính sự tăng trưởng của một loại vi khuẩn, và nhiều lĩnh vực khác. Việc nắm vững kiến thức về các loại dãy số này sẽ giúp các em giải quyết các bài toán thực tế một cách hiệu quả.

loigiai.com.vn hy vọng rằng với những kiến thức và bài giải chi tiết trên, các em sẽ học tốt môn Toán 11 và đạt kết quả cao trong các kỳ thi.