Loigiai.com.vn - Giải Bài 3 Trang 61 Sgk Toán 11 Tập 1

Bài 3 trang 61 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Bài 3 trang 61 SGK Toán 11 tập 1 thuộc chương trình học Toán 11 Chân trời sáng tạo, tập trung vào việc giải quyết các bài toán liên quan đến phép biến hóa affine. Bài tập này đòi hỏi học sinh nắm vững kiến thức về vector, ma trận và các phép biến đổi hình học.

Tại loigiai.com.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho Bài 3 trang 61, giúp các em học sinh hiểu rõ bản chất của bài toán và rèn luyện kỹ năng giải toán.

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{n + 1}}{{n + 2}}\). Phát biểu nào sau đây đúng?

Đề bài

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{n + 1}}{{n + 2}}\). Phát biểu nào sau đây đúng?

A. Dãy số tăng và bị chặn.

B. Dãy số giảm và bị chặn.

C. Dãy số giảm và bị chặn dưới.

D. Dãy số giảm và bị chặn trên.

Phương pháp giải - Xem chi tiết Bài 3 trang 61 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo 1

• Xét tính tăng giảm của dãy số:

Bước 1: Tìm \({u_{n + 1}}\).

Bước 2: Xét hiệu \({u_{n + 1}} - {u_n}\).

Bước 3: Kết luận:

– Nếu \({u_{n + 1}} - {u_n} > 0\) thì \({u_{n + 1}} > {u_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.

– Nếu \({u_{n + 1}} - {u_n} < 0\) thì \({u_{n + 1}} < {u_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm.

• Xét tính bị chặn của dãy số ta sử dụng tính chất của bất đẳng thức.

Lời giải chi tiết

• Ta có: \({u_{n + 1}} = \frac{{\left( {n + 1} \right) + 1}}{{\left( {n + 1} \right) + 2}} = \frac{{n + 1 + 1}}{{n + 1 + 2}} = \frac{{n + 2}}{{n + 3}}\)

Xét hiệu:

\(\begin{array}{l}{u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{n + 2}}{{n + 3}} - \frac{{n + 1}}{{n + 2}} = \frac{{{{\left( {n + 2} \right)}^2} - \left( {n + 1} \right)\left( {n + 3} \right)}}{{\left( {n + 3} \right)\left( {n + 2} \right)}} = \frac{{\left( {{n^2} + 4n + 4} \right) - \left( {{n^2} + n + 3n + 3} \right)}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}\\ = \frac{{{n^2} + 4n + 4 - {n^2} - n - 3n - 3}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} = \frac{1}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}\)

Vậy \({u_{n + 1}} - {u_n} > 0 \Leftrightarrow {u_{n + 1}} > {u_n}\). Vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.

• Ta có: \({u_n} = \frac{{n + 1}}{{n + 2}} = \frac{{\left( {n + 2} \right) - 1}}{{n + 2}} = 1 - \frac{1}{{n + 2}}\)

\(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) ta có:

\(n + 2 > 0 \Leftrightarrow \frac{1}{{n + 2}} > 0 \Leftrightarrow 1 - \frac{1}{{n + 2}} < 1 \Leftrightarrow {u_n} < 1\). Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn trên.

\(n \ge 1 \Leftrightarrow n + 2 \ge 1 + 2 \Leftrightarrow n + 2 \ge 3 \Leftrightarrow \frac{1}{{n + 2}} \le \frac{1}{3} \Leftrightarrow 1 - \frac{1}{{n + 2}} \ge 1 - \frac{1}{3} \Leftrightarrow {u_n} \ge \frac{2}{3}\)

Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn dưới.

Ta thấy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn trên và bị chặn dưới nên dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn.

Chọn A.

Chinh Phục Toán 11: Mở Rộng Cánh Cửa Đại Học Ngay Hôm Nay! Bạn muốn chinh phục Toán 11 và mở rộng cánh cửa vào đại học? Khám phá ngay Bài 3 trang 61 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo – hành trang không thể thiếu trong chuyên mục Sách giáo khoa Toán 11 trên nền tảng đề thi toán của chúng tôi! Bộ toán trung học phổ thông bài tập này được biên soạn chuyên sâu, bám sát chặt chẽ chương trình Toán lớp 11 và định hướng các kỳ thi quan trọng. Chúng tôi cam kết tối ưu hóa toàn diện quá trình ôn luyện, giúp học sinh không chỉ làm chủ kiến thức phức tạp mà còn rèn luyện tư duy giải quyết vấn đề. Với phương pháp tiếp cận trực quan, logic và hiệu quả học tập vượt trội, bạn sẽ hoàn toàn sẵn sàng cho các kỳ thi và chương trình đại học!

Bài 3 trang 61 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo: Giải chi tiết và hướng dẫn

Bài 3 trang 61 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 11, giúp học sinh củng cố kiến thức về phép biến hóa affine. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các khái niệm và định lý liên quan.

I. Nội dung bài tập

Bài 3 yêu cầu học sinh thực hiện các nhiệm vụ sau:

Cho một phép biến hóa affine f: R² → R² xác định bởi f(x, y) = (ax + by + c, dx + ey + f). Tìm ma trận biểu diễn của f.
Cho ma trận A biểu diễn một phép biến hóa affine. Tìm phép biến hóa affine tương ứng.
Xác định phép biến hóa affine f: R² → R² biết f(0, 0) = (1, 2), f(1, 0) = (3, 4), f(0, 1) = (5, 6).

II. Phương pháp giải

Để giải bài tập này, học sinh cần:

Hiểu rõ định nghĩa phép biến hóa affine: Một phép biến hóa affine là một phép biến đổi tuyến tính theo sau bởi một phép tịnh tiến.
Nắm vững cách biểu diễn phép biến hóa affine bằng ma trận: Ma trận biểu diễn của một phép biến hóa affine có dạng:
Sử dụng các công thức và định lý liên quan: Ví dụ, để tìm ma trận biểu diễn của một phép biến hóa affine, ta cần xác định ảnh của các vector cơ sở.

III. Lời giải chi tiết

a) Tìm ma trận biểu diễn của f(x, y) = (ax + by + c, dx + ey + f):

Ta có f(0, 0) = (c, f), f(1, 0) = (a + c, d + f), f(0, 1) = (b + c, e + f). Do đó, ma trận biểu diễn của f là:

b) Cho ma trận A biểu diễn một phép biến hóa affine. Tìm phép biến hóa affine tương ứng:

Giả sử A = . Khi đó, phép biến hóa affine tương ứng là:

f(x, y) = (a₁₁x + a₁₂y + c₁, a₂₁x + a₂₂y + c₂)

Trong đó, c₁ và c₂ là các hằng số cần xác định.

c) Xác định phép biến hóa affine f: R² → R² biết f(0, 0) = (1, 2), f(1, 0) = (3, 4), f(0, 1) = (5, 6):

Ta có f(0, 0) = (1, 2), f(1, 0) = (3, 4), f(0, 1) = (5, 6). Do đó, ma trận biểu diễn của f là:

Vậy, f(x, y) = (2x + 5y + 1, 2x + 6y + 2)

IV. Lưu ý khi giải bài tập

Luôn kiểm tra lại các bước tính toán để tránh sai sót.
Hiểu rõ ý nghĩa của các khái niệm và định lý liên quan.
Rèn luyện kỹ năng giải toán thường xuyên để nâng cao khả năng giải quyết các bài tập phức tạp.

Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn trên, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về Bài 3 trang 61 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo và tự tin giải quyết các bài tập tương tự.