Loigiai.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết bài 1 trang 32 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo. Bài viết này cung cấp đáp án đầy đủ, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.
Chúng tôi luôn cập nhật nhanh chóng và chính xác các lời giải bài tập Toán 10, đáp ứng nhu cầu học tập của học sinh trên toàn quốc.
Chứng minh các đẳng thức sau đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\):
Đề bài
Chứng minh các đẳng thức sau đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\):
a) \(1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n + 1) = \frac{{n(n + 1)(n + 2)}}{3}\)
b) \(1 + 4 + 9 + ... + {n^2} = \frac{{n(n + 1)(2n + 1)}}{6}\)
c) \(1 + 2 + {2^2} + {2^3} + {2^4} + ... + {2^{n - 1}} = {2^n} - 1\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Chứng minh mệnh đề đúng với \(n \ge p\) thì:
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với \(n = p\)
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên \(n = k \ge p\) và chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1.\) Kết luận.
Lời giải chi tiết
a) Ta chứng minh a) bằng phương pháp quy nạp
Với \(n = 1\) ta có \(1.2 = \frac{{1.(1 + 1).(1 + 2)}}{3}\)
Vậy a) đúng với \(n = 1\)
Giải sử a) đúng với \(n = k\) nghĩa là có \(1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + k(k + 1) = \frac{{k(k + 1)(k + 2)}}{3}\)
Ta chứng minh a) đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh \(1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + k(k + 1) + (k + 1)(k + 2) = \frac{{(k + 1)(k + 2)(k + 3)}}{3}\)
Thật vậy, ta có
\(\begin{array}{l}1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + k(k + 1) + (k + 1)(k + 2)\\ = \frac{{k(k + 1)(k + 2)}}{3} + (k + 1)(k + 2)\\ = (k + 1)(k + 2)\left[ {\frac{k}{3} + 1} \right]\\ = \frac{{(k + 1)(k + 2)(k + 3)}}{3}\end{array}\)
Vậy a) đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).
b) Ta chứng minh b) bằng phương pháp quy nạp
Với \(n = 1\) ta có \(1 = \frac{{1.(1 + 1)(2.1 + 1)}}{6}\)
Vậy b) đúng với \(n = 1\)
Giải sử b) đúng với \(n = k\) nghĩa là có \(1 + 4 + 9 + ... + {k^2} = \frac{{k(k + 1)(2k + 1)}}{6}\)
Ta chứng minh b) đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh \(1 + 4 + 9 + ... + {k^2} + {(k + 1)^2} = \frac{{(k + 1)(k + 2)\left[ {2(k + 1) + 1} \right]}}{6}\)
Thật vậy, ta có
\(\begin{array}{l}1 + 4 + 9 + ... + {k^2} + {(k + 1)^2} = \frac{{k(k + 1)(2k + 1)}}{6} + {(k + 1)^2}\\ = \frac{{(k + 1)}}{6}\left[ {k(2k + 1) + 6(k + 1)} \right] = \frac{{(k + 1)}}{6}.\left( {2{k^2} + k + 6k + 6} \right)\\ = \frac{{(k + 1)}}{6}.\left( {2{k^2} + 7k + 6} \right) = \frac{{(k + 1)}}{6}.(k + 2).(2k + 3)\\ = \frac{{(k + 1)(k + 2)\left[ {2(k + 1) + 1} \right]}}{6}\end{array}\)
Vậy b) đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).
c) Ta chứng minh c) bằng phương pháp quy nạp
Với \(n = 1\) ta có \(1 = {2^1} - 1\)
Vậy c) đúng với \(n = 1\)
Giải sử c) đúng với \(n = k\) nghĩa là có \(1 + 2 + {2^2} + {2^3} + {2^4} + ... + {2^{k - 1}} = {2^k} - 1\)
Ta chứng minh c) đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh \(1 + 2 + {2^2} + {2^3} + {2^4} + ... + {2^{k - 1}} + {2^k} = {2^{k + 1}} - 1\)
Thật vậy, ta có
\(\begin{array}{l}1 + 2 + {2^2} + {2^3} + {2^4} + ... + {2^{k - 1}} + {2^k}\\ = {2^k} - 1 + {2^k} = {2.2^k} - 1 = {2^{k + 1}} - 1\end{array}\)
Vậy c) đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).
Bài 1 trang 32 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo thuộc chương trình học Toán 10, tập trung vào việc vận dụng các kiến thức về tập hợp, các phép toán trên tập hợp, và các tính chất cơ bản của tập hợp số. Việc giải bài tập này đòi hỏi học sinh phải nắm vững định nghĩa, các ký hiệu, và các quy tắc liên quan đến tập hợp.
Bài 1 thường bao gồm các dạng bài tập sau:
Để giúp học sinh hiểu rõ hơn về cách giải bài 1 trang 32, chúng ta sẽ đi vào phân tích từng phần của bài tập. (Ở đây sẽ là lời giải chi tiết cho từng ý của bài 1, ví dụ:)
Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5}. Hãy xác định xem các số 2, 6, 8 có thuộc tập hợp A hay không?
Lời giải:
Số 2 thuộc tập hợp A vì 2 là một phần tử của A.
Số 6 không thuộc tập hợp A vì 6 không phải là một phần tử của A.
Số 8 không thuộc tập hợp A vì 8 không phải là một phần tử của A.
Liệt kê các phần tử của tập hợp B = {x | x là số chẵn nhỏ hơn 10}.
Lời giải:
Tập hợp B bao gồm các số chẵn nhỏ hơn 10, tức là B = {0, 2, 4, 6, 8}.
Khi giải các bài tập về tập hợp, học sinh cần lưu ý những điều sau:
Tập hợp có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ:
Để rèn luyện thêm kỹ năng giải bài tập về tập hợp, học sinh có thể tham khảo các bài tập tương tự sau:
Bài 1 trang 32 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về tập hợp. Hy vọng với lời giải chi tiết và các lưu ý trên, học sinh sẽ giải bài tập này một cách dễ dàng và hiệu quả. Loigiai.com.vn luôn đồng hành cùng học sinh trên con đường chinh phục môn Toán.
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Khám phá thế giới phân dạng, từ hình học trừu tượng đến ứng dụng trong nghệ thuật và tự nhiên. Tìm hiểu cách phân dạng tạo ra vẻ đẹp vô hạn!
Bạn đã bao giờ gặp một điều nghe có vẻ vô lý nhưng lại chứa đựng sự thật? Khám phá thế giới Paradox - những mâu thuẫn thú vị giúp bạn nhìn nhận cuộc sống dưới một góc độ mới lạ. Đọc ngay!
Khám phá 'Tên của trò chơi là bắt cóc' - cuốn sách hấp dẫn đưa bạn vào thế giới ngầm đầy rẫy những kẻ ác. Đánh giá chi tiết, phân tích sâu sắc và lý do bạn nên đọc ngay!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán lớp 1 khó nhất! Hướng dẫn phụ huynh cách hỗ trợ con học toán hiệu quả, tạo hứng thú và đạt kết quả tốt nhất. Khám phá các mẹo học tập thông minh!
Review sách 'Dữ liệu tử thần' của Jeffery Deaver. Khám phá cách tội phạm sử dụng thông tin cá nhân và học cách bảo vệ dữ liệu của bạn ngay hôm nay!
