loigiai.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập trong mục 1 của Chuyên đề học tập Toán 10 - Chân trời sáng tạo, trang 26, 27, 28 và 29. Chúng tôi hy vọng sẽ giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập.
Với đội ngũ giáo viên giàu kinh nghiệm, chúng tôi cam kết cung cấp những lời giải chính xác, đầy đủ và dễ tiếp thu.
Bằng cách tô màu trên lưới ô vuông như hình dưới đây
Chứng minh rằng đẳng thức sau đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\)
\(1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{{n(n + 1)}}{2}\)
Phương pháp giải:
Chứng minh mệnh đề đúng với \(n \ge p\) thì:
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với \(n = p\)
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên \(n = k \ge p\) và chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1.\) Kết luận.
Lời giải chi tiết:
Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.
Bước 1: Với \(n = 1\) ta có \(1 = \frac{{1(1 + 1)}}{2}\)
Như vậy mệnh đề đúng cho trường hợp \(n = 1\)
Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với \(n = k\), nghĩa là có:
\(1 + 2 + 3 + ... + k = \frac{{k(k + 1)}}{2}\)
Ta sẽ chứng minh mệnh đề cũng đúng với \(n = k + 1\), nghĩa là cần chứng minh
\(1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = \frac{{(k + 1)(k + 2)}}{2}\)
Thật vậy ta có
\(\begin{array}{l}1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = \frac{{k(k + 1)}}{2} + (k + 1)\\ = \frac{{k(k + 1) + 2(k + 1)}}{2} = \frac{{(k + 1)(k + 2)}}{2}\end{array}\)
Vậy mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\)
Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 3\)
\({2^{n + 1}} > {n^2} + n + 2\)
Phương pháp giải:
Chứng minh mệnh đề đúng với \(n \ge p\) thì:
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với \(n = p\)
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên \(n = k \ge p\) và chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1.\) Kết luận.
Lời giải chi tiết:
Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.
Bước 1: Với \(n = 3\) ta có \({2^{3 + 1}} > {3^2} + 3 + 2\)
Như vậy mệnh đề đúng cho trường hợp \(n = 3\)
Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với \(n = k\), nghĩa là có:
\({2^{k + 1}} > {k^2} + k + 2\)
Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức đúng với \(n = k + 1\), nghĩa là cần chứng minh
\({2^{k + 1 + 1}} > {(k + 1)^2} + k + 1 + 2\)
Sử dụng giả thiết quy nạp, với lưu ý \(k \ge 3\), ta có
\(\begin{array}{l}{2^{k + 1 + 1}} = {2.2^{k + 1}}\\\quad \quad > 2({k^2} + k + 2) = {(k + 1)^2} + {k^2} + 1 + 2\\\quad \quad > {(k + 1)^2} + k + 1 + 2\end{array}\)
Vậy bất đẳng thức đúng với \(n = k + 1\).
Theo nguyên lí quy nạp toán học, bất đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 3\).
Bằng cách tô màu trên lưới ô vuông như hình dưới đây,
Một học sinh phát hiện ra công thức sau:
\(1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = {n^2}\quad (1)\)
a) Hãy chỉ ra công thức (1) đúng với \(n = 1,2,3,4,5.\)
b) Từ việc tô màu trên lưới ô vuông như Hình 1, bạn học sinh khẳng định rằng công thức (1) chắc chắn đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\). Khẳng định như vậy đã thuyết phục chưa? Tại sao?
Lời giải chi tiết:
a) Kiểm tra bằng tính toán trực tiếp. Ta có
\(1 = {1^2}\) nên (1) đúng với \(n = 1\)
\(1 + 3 = 4 = {2^2}\) nên (1) đúng với \(n = 2\)
\(1 + 3 + 5 = 9 = {3^2}\) nên (1) đúng với \(n = 3\)
\(1 + 3 + 5 + 7 = 16 = {4^2}\) nên (1) đúng với \(n = 4\)
\(1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = {5^2}\) nên (1) đúng với \(n = 5\)
b) Khẳng định của bạn HS chỉ là phỏng đoán. Việc tô màu hay tính toán trực tiếp không thể kiểm chứng hết tất cả các giá trị của n (mà chỉ kiểm chứng được một số hữu hạn giá trị n nào đó). Do đó khẳng định của bạn HS là chưa thuyết phục.
Bằng cách tô màu trên lưới ô vuông như hình dưới đây,
Một học sinh phát hiện ra công thức sau:
\(1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = {n^2}\quad (1)\)
a) Hãy chỉ ra công thức (1) đúng với \(n = 1,2,3,4,5.\)
b) Từ việc tô màu trên lưới ô vuông như Hình 1, bạn học sinh khẳng định rằng công thức (1) chắc chắn đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\). Khẳng định như vậy đã thuyết phục chưa? Tại sao?
Lời giải chi tiết:
a) Kiểm tra bằng tính toán trực tiếp. Ta có
\(1 = {1^2}\) nên (1) đúng với \(n = 1\)
\(1 + 3 = 4 = {2^2}\) nên (1) đúng với \(n = 2\)
\(1 + 3 + 5 = 9 = {3^2}\) nên (1) đúng với \(n = 3\)
\(1 + 3 + 5 + 7 = 16 = {4^2}\) nên (1) đúng với \(n = 4\)
\(1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = {5^2}\) nên (1) đúng với \(n = 5\)
b) Khẳng định của bạn HS chỉ là phỏng đoán. Việc tô màu hay tính toán trực tiếp không thể kiểm chứng hết tất cả các giá trị của n (mà chỉ kiểm chứng được một số hữu hạn giá trị n nào đó). Do đó khẳng định của bạn HS là chưa thuyết phục.
Chứng minh rằng đẳng thức sau đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\)
\(1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{{n(n + 1)}}{2}\)
Phương pháp giải:
Chứng minh mệnh đề đúng với \(n \ge p\) thì:
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với \(n = p\)
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên \(n = k \ge p\) và chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1.\) Kết luận.
Lời giải chi tiết:
Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.
Bước 1: Với \(n = 1\) ta có \(1 = \frac{{1(1 + 1)}}{2}\)
Như vậy mệnh đề đúng cho trường hợp \(n = 1\)
Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với \(n = k\), nghĩa là có:
\(1 + 2 + 3 + ... + k = \frac{{k(k + 1)}}{2}\)
Ta sẽ chứng minh mệnh đề cũng đúng với \(n = k + 1\), nghĩa là cần chứng minh
\(1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = \frac{{(k + 1)(k + 2)}}{2}\)
Thật vậy ta có
\(\begin{array}{l}1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = \frac{{k(k + 1)}}{2} + (k + 1)\\ = \frac{{k(k + 1) + 2(k + 1)}}{2} = \frac{{(k + 1)(k + 2)}}{2}\end{array}\)
Vậy mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\)
Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 3\)
\({2^{n + 1}} > {n^2} + n + 2\)
Phương pháp giải:
Chứng minh mệnh đề đúng với \(n \ge p\) thì:
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với \(n = p\)
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên \(n = k \ge p\) và chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1.\) Kết luận.
Lời giải chi tiết:
Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.
Bước 1: Với \(n = 3\) ta có \({2^{3 + 1}} > {3^2} + 3 + 2\)
Như vậy mệnh đề đúng cho trường hợp \(n = 3\)
Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với \(n = k\), nghĩa là có:
\({2^{k + 1}} > {k^2} + k + 2\)
Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức đúng với \(n = k + 1\), nghĩa là cần chứng minh
\({2^{k + 1 + 1}} > {(k + 1)^2} + k + 1 + 2\)
Sử dụng giả thiết quy nạp, với lưu ý \(k \ge 3\), ta có
\(\begin{array}{l}{2^{k + 1 + 1}} = {2.2^{k + 1}}\\\quad \quad > 2({k^2} + k + 2) = {(k + 1)^2} + {k^2} + 1 + 2\\\quad \quad > {(k + 1)^2} + k + 1 + 2\end{array}\)
Vậy bất đẳng thức đúng với \(n = k + 1\).
Theo nguyên lí quy nạp toán học, bất đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 3\).
Mục 1 của Chuyên đề học tập Toán 10 - Chân trời sáng tạo tập trung vào việc ôn tập và mở rộng kiến thức về hàm số bậc hai. Đây là một phần quan trọng trong chương trình Toán 10, đóng vai trò nền tảng cho các kiến thức nâng cao hơn trong các lớp học tiếp theo. Việc nắm vững các khái niệm và kỹ năng liên quan đến hàm số bậc hai là điều cần thiết để đạt kết quả tốt trong các kỳ thi.
Mục 1 bao gồm các nội dung chính sau:
Trang 26 tập trung vào việc xác định các hệ số a, b, c của hàm số bậc hai và xác định dạng của đồ thị (parabol). Các bài tập yêu cầu học sinh phải nắm vững định nghĩa và các tính chất của hàm số bậc hai.
Ví dụ, bài 1 yêu cầu xác định hệ số a của hàm số y = 2x2 - 3x + 1. Đáp án là a = 2.
Trang 27 tiếp tục củng cố kiến thức về hàm số bậc hai, đồng thời giới thiệu thêm về đỉnh của parabol và trục đối xứng. Các bài tập yêu cầu học sinh phải sử dụng công thức để tính tọa độ đỉnh và phương trình trục đối xứng.
Ví dụ, bài 2 yêu cầu tìm tọa độ đỉnh của parabol y = x2 - 4x + 3. Đáp án là (2, -1).
Trang 28 tập trung vào việc vẽ đồ thị của hàm số bậc hai. Các bài tập yêu cầu học sinh phải xác định các điểm đặc biệt của đồ thị (đỉnh, giao điểm với trục tung, giao điểm với trục hoành) và vẽ đồ thị một cách chính xác.
Ví dụ, bài 3 yêu cầu vẽ đồ thị của hàm số y = -x2 + 2x + 1.
Trang 29 là phần bài tập tổng hợp, yêu cầu học sinh phải vận dụng tất cả các kiến thức đã học để giải quyết các bài toán phức tạp hơn. Các bài tập thường liên quan đến việc tìm điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm, tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của hàm số bậc hai, và giải các bài toán thực tế.
Ví dụ, bài 4 yêu cầu tìm giá trị của m để phương trình x2 - 2mx + m + 2 = 0 có nghiệm.
Giải mục 1 trang 26, 27, 28, 29 Chuyên đề học tập Toán 10 - Chân trời sáng tạo là một bước quan trọng trong quá trình học tập môn Toán 10. Hy vọng rằng với những lời giải chi tiết và hướng dẫn cụ thể mà loigiai.com.vn cung cấp, các em học sinh sẽ tự tin hơn trong việc học tập và đạt kết quả tốt nhất.
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Khám phá thế giới phân dạng, từ hình học trừu tượng đến ứng dụng trong nghệ thuật và tự nhiên. Tìm hiểu cách phân dạng tạo ra vẻ đẹp vô hạn!
Bạn đã bao giờ gặp một điều nghe có vẻ vô lý nhưng lại chứa đựng sự thật? Khám phá thế giới Paradox - những mâu thuẫn thú vị giúp bạn nhìn nhận cuộc sống dưới một góc độ mới lạ. Đọc ngay!
Khám phá 'Tên của trò chơi là bắt cóc' - cuốn sách hấp dẫn đưa bạn vào thế giới ngầm đầy rẫy những kẻ ác. Đánh giá chi tiết, phân tích sâu sắc và lý do bạn nên đọc ngay!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán lớp 1 khó nhất! Hướng dẫn phụ huynh cách hỗ trợ con học toán hiệu quả, tạo hứng thú và đạt kết quả tốt nhất. Khám phá các mẹo học tập thông minh!
Review sách 'Dữ liệu tử thần' của Jeffery Deaver. Khám phá cách tội phạm sử dụng thông tin cá nhân và học cách bảo vệ dữ liệu của bạn ngay hôm nay!
