Chương VIII. Quan hệ vuông góc trong không gian. Phép chiếu song song

Chương VIII: Quan hệ vuông góc trong không gian. Phép chiếu song song - Giải Toán 11 Chân trời sáng tạo

Chương VIII của sách Toán 11 Chân trời sáng tạo là một phần quan trọng trong chương trình học, đặt nền móng cho việc hiểu sâu hơn về hình học không gian. Chương này tập trung vào việc nghiên cứu các khái niệm cơ bản như đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng, và đặc biệt là phép chiếu song song.

I. Quan hệ vuông góc trong không gian

1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:

• Định nghĩa: Một đường thẳng được gọi là vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.
• Điều kiện: Để chứng minh một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng, ta cần chứng minh nó vuông góc với hai đường thẳng bất kỳ nằm trong mặt phẳng đó và không song song.
• Tính chất: Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó cũng vuông góc với mọi mặt phẳng chứa đường thẳng đó.

2. Hai mặt phẳng vuông góc:

• Định nghĩa: Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc nếu góc giữa hai mặt phẳng đó bằng 90 độ.
• Điều kiện: Để chứng minh hai mặt phẳng vuông góc, ta cần chứng minh có một đường thẳng vuông góc với cả hai mặt phẳng đó.

3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

• Định nghĩa: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng.
• Cách tính: Sử dụng định lý cosin trong tam giác vuông để tính góc.

4. Góc giữa hai mặt phẳng:

• Định nghĩa: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng vuông góc với hai mặt phẳng đó.
• Cách tính: Sử dụng định lý cosin trong tam giác để tính góc.

II. Phép chiếu song song

1. Định nghĩa: Phép chiếu song song là một phép biến hình biến mỗi điểm của hình (H) thành điểm của hình (H') nằm trên đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước và đi qua điểm đó.

2. Tính chất:

• Phép chiếu song song bảo toàn tính thẳng hàng của các điểm.
• Phép chiếu song song bảo toàn tỷ số độ dài trên một đường thẳng.
• Phép chiếu song song biến đường tròn thành elip.

3. Ứng dụng:

• Vẽ hình trong không gian.
• Xây dựng bản vẽ kỹ thuật.

III. Bài tập minh họa

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).

Giải:

1. Gọi O là giao điểm của AC và BD.
2. Vì SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên SA vuông góc với AC.
3. Tam giác SAC vuông tại A, suy ra góc SCA là góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).
4. tan SCA = SA/AC = a/(a√2) = 1/√2.
5. Suy ra SCA ≈ 35.26 độ.

Bài 2: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau. Trên (P) có đường thẳng d. Hãy xác định vị trí của đường thẳng d' trên (Q) sao cho d và d' vuông góc với nhau.

Giải:

d' là đường thẳng đi qua giao điểm của (P) và (Q) và vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q).

IV. Luyện tập và củng cố

Để nắm vững kiến thức về chương VIII, các em nên làm thêm nhiều bài tập trong sách giáo khoa và các tài liệu tham khảo. Đồng thời, hãy tìm hiểu thêm về các ứng dụng thực tế của các khái niệm và tính chất đã học.

loigiai.com.vn hy vọng rằng với những kiến thức và bài tập giải chi tiết trên, các em sẽ học tốt môn Toán 11 và đạt kết quả cao trong các kỳ thi.