Loigiai.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết và dễ hiểu cho mục 6 trang 21, 22 Chuyên đề học tập Toán 11 - Cánh diều. Bài viết này sẽ giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải bài tập một cách hiệu quả.
Chúng tôi cung cấp các bước giải chi tiết, rõ ràng, kèm theo các lưu ý quan trọng để các em có thể tự tin giải quyết các bài toán tương tự.
Trong Hình 34, cho đoạn thẳng AB. Nêu cách dựng:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có tâm \(I\left( {--{\rm{ }}3;{\rm{ }}2} \right)\) bán kính \(R{\rm{ }} = {\rm{ }}1\). Thực hiện phép dời hình f bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng tâm O và phép tịnh tiến theo vectơ \(\vec u = \left( { - 1;\,3} \right)\). Xác định ảnh của đường tròn (C) qua phép dời hình nói trên.
Phương pháp giải:
Tìm ảnh của tâm I qua phép đối xứng tâm O và phép tịnh tiến theo vectơ \(\vec u = \left( { - 1;\,3} \right)\) bằng cách:
Nếu \(M'(x';y')\) là ảnh của \(M(x;y)\) qua phép tịnh tiến \({T_{\overrightarrow u }}\) , \(\overrightarrow u = \left( {a;\,b} \right)\) thì biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến là \(\left\{ \begin{array}{l}x' = x + a\\y' = y + b\end{array} \right.\)
Sau đó viết phương trình (C).
Lời giải chi tiết:
Ảnh của đường tròn (C) qua phép đối xứng tâm O là một đường tròn có bán kính bằng 1, gọi là (C').
Gọi I' là tâm của đường tròn (C'), khi đó I' là ảnh của I qua phép đối xứng tâm O. Suy ra I'(3; – 2). Do vậy, đường tròn (C') có tâm I'(3; – 2) và bán kính bằng 1.
Ảnh của đường tròn (C') qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\vec u = \left( { - 1;\,3} \right)\) một đường tròn có bán kính bằng 1, gọi là (C").
Gọi I" là tâm của đường tròn (C"), khi đó I" là ảnh của I' qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\vec u = \left( { - 1;\,3} \right)\) suy ra nên I"(2; 1). Do vậy, đường tròn (C") có tâm I"(2; 1) và bán kính bằng 1.
Vậy ảnh của đường tròn (C) qua phép dời hình f là đường tròn (C") có tâm I"(2; 1) và bán kính bằng 1.
Quan sát Hình 37.
a) Chỉ ra các phép dời hình biến tam giác ABC thành tam giác A1B1C1 và biến tam giác \({A_1}{B_1}{C_1}\) thành tam giác \({A_2}{B_2}{C_2}.\)
b) Có nhận xét gì về hai tam giác ABC và \({A_2}{B_2}{C_2}?\)
Phương pháp giải:
Quan sát hình 37 và dựa vào kiến thức tịnh tiến, đối xứng trục để làm
Lời giải chi tiết:
) Quan sát Hình 37, ta thấy phép tịnh tiến theo vectơ \(\vec u\) biến tam giác ABC thành tam giác A1B1C1 và phép đối xứng trục d biến biến tam giác \({A_1}{B_1}{C_1}\) thành tam giác \({A_2}{B_2}{C_2}.\)
b) Theo tính chất của phép tịnh tiến và phép đối xứng trục, ta suy ra
\(AB{\rm{ }} = {\rm{ }}{A_1}{B_1}\; = {\rm{ }}{A_2}{B_2},{\rm{ }}BC{\rm{ }} = {\rm{ }}{B_1}{C_1}\; = {\rm{ }}{B_2}{C_2},{\rm{ }}AC{\rm{ }} = {\rm{ }}{A_1}{C_1}\; = {\rm{ }}{A_2}{C_2}.\)
Do đó, hai tam giác ABC và \({A_2}{B_2}{C_2}\) bằng nhau.
Quan sát Hình 38a và chứng minh hai hình AMPOE và CQGON bằng nhau.
Phương pháp giải:
Quan sát hình 38 và dựa vào kiến thức:
Cho điểm O, phép biến hình biến điểm O thành chính nó và biến mỗi điểm \(M \ne O\) thành điểm M’ sao cho O là trung điểm của MM’ được gọi là phép đối xứn tâm O, kí hiệu \({Đ_O}\). Điểm O được gọi là tâm đối xứng.
Lời giải chi tiết:
Quan sát hình ta thấy \(OA{\rm{ }} = {\rm{ }}OC,{\rm{ }}OM{\rm{ }} = {\rm{ }}OQ,{\rm{ }}OP{\rm{ }} = {\rm{ }}OG,{\rm{ }}OE{\rm{ }} = {\rm{ }}ON\) nên O là trung điểm của các đoạn thẳng AC, MQ, PG, EN. Do đó, ta có phép đối xứng tâm O biến các điểm A, M, P, O, E tương ứng thành các điểm C, Q, G, O, N. Như vậy, phép đối xứng tâm O biến hình AMPOE thành hình CQGON. Vậy hai hình AMPOE và CQGON bằng nhau.
Trong Hình 34, cho đoạn thẳng AB. Nêu cách dựng:
a) Đoạn thẳng A1B1 là ảnh của đoạn thẳng AB qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\vec u = \left( {5;\,0} \right)\);
b) Đoạn thẳng A2B2 là ảnh của đoạn thẳng A1B1 qua phép đối xứng trục Ox;
c) Đoạn thẳng A3B3 là ảnh của đoạn thẳng A2B2 qua phép quay tâm O với góc quay \(\;\varphi = --90^\circ ;\)
d) So sánh độ dài các đoạn thẳng \(AB,{\rm{ }}{A_1}{B_1},{\rm{ }}{A_2}{B_2},{\rm{ }}{A_3}{B_3}.\)
Phương pháp giải:
Quan sát hình 34 và dựa vào định nghĩa:
Cho vectơ \(\overrightarrow u \), phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow u \) là phép biến hình biến điểm M thành điểm M’ sao cho \(\overrightarrow {MM'} = \overrightarrow u \).
Lời giải chi tiết:
a) Lấy điểm M, sao cho M(5; 0). Khi đó \(\overrightarrow {OM} = \left( {5;\,0} \right) = \vec u\).
Lấy các điểm A1 và B1 sao cho \(\overrightarrow {A{A_1}} = \overrightarrow {OM} ,\,\overrightarrow {B{B_1}} = \overrightarrow {OM} \). Khi đó \(\overrightarrow {{\rm{A}}{{\rm{A}}_1}} = \overrightarrow {B{B_1}} = \vec u\) nên A1, B1 lần lượt là ảnh của A, B qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\vec u = \left( {5;\,0} \right)\). Vậy đoạn thẳng A1B1 là ảnh của đoạn thẳng AB qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\vec u = \left( {5;\,0} \right)\).
b) Từ A1, kẻ đường thẳng vuông góc với Ox, trên đường thẳng này lấy A2 khác phía với A1 đối với Ox sao cho khoảng cách từ A1 đến Ox bằng khoảng cách từ A2 tới Ox. Khi đó Ox là đường trung trực của đoạn thẳng A1A2.
Tương tự, dựng B2 sao cho Ox là đường trung trực của đoạn thẳng B1B2.
Khi đó ta có phép đối xứng trục Ox biến các điểm A1, B1 tương ứng thành các điểm A2, B2. Vậy đoạn thẳng A2B2 là ảnh của đoạn thẳng A1B1 qua phép đối xứng trục Ox.
c) Phép quay với góc quay – 90° có chiều quay cùng chiều kim đồng hồ.
Qua O, vẽ đường thẳng vuông góc với \(O{A_2}\), trên đường thẳng này lấy điểm \({A_3}\) sao cho \(O{A_2}\; = {\rm{ }}O{A_3}\;\) và góc quay từ A2 đến A3 theo chiều kim đồng hồ. Khi đó A3 là ảnh của điểm A2 qua phép quay tâm O, góc quay – 90°. Tương tự, xác định được điểm B3 là ảnh của điểm B2 qua phép quay tâm O, góc quay – 90°. Vậy đoạn thẳng A3B3 là ảnh của đoạn thẳng A2B2 qua phép quay tâm O với góc quay \(\varphi = --90^\circ .\)
d) Vì phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì nên \(AB{\rm{ }} = {\rm{ }}{A_1}{B_1}.\)
Vì phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì nên \({A_1}{B_1}\; = {\rm{ }}{A_2}{B_2}.\)
Vì phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì nên \({A_2}{B_2}\; = {\rm{ }}{A_3}{B_3}.\)Do đó, \(AB{\rm{ }} = {\rm{ }}{A_1}{B_1}\; = {\rm{ }}{A_2}{B_2}\; = {\rm{ }}{A_3}{B_3}.\)
Trong Hình 34, cho đoạn thẳng AB. Nêu cách dựng:
a) Đoạn thẳng A1B1 là ảnh của đoạn thẳng AB qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\vec u = \left( {5;\,0} \right)\);
b) Đoạn thẳng A2B2 là ảnh của đoạn thẳng A1B1 qua phép đối xứng trục Ox;
c) Đoạn thẳng A3B3 là ảnh của đoạn thẳng A2B2 qua phép quay tâm O với góc quay \(\;\varphi = --90^\circ ;\)
d) So sánh độ dài các đoạn thẳng \(AB,{\rm{ }}{A_1}{B_1},{\rm{ }}{A_2}{B_2},{\rm{ }}{A_3}{B_3}.\)
Phương pháp giải:
Quan sát hình 34 và dựa vào định nghĩa:
Cho vectơ \(\overrightarrow u \), phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow u \) là phép biến hình biến điểm M thành điểm M’ sao cho \(\overrightarrow {MM'} = \overrightarrow u \).
Lời giải chi tiết:
a) Lấy điểm M, sao cho M(5; 0). Khi đó \(\overrightarrow {OM} = \left( {5;\,0} \right) = \vec u\).
Lấy các điểm A1 và B1 sao cho \(\overrightarrow {A{A_1}} = \overrightarrow {OM} ,\,\overrightarrow {B{B_1}} = \overrightarrow {OM} \). Khi đó \(\overrightarrow {{\rm{A}}{{\rm{A}}_1}} = \overrightarrow {B{B_1}} = \vec u\) nên A1, B1 lần lượt là ảnh của A, B qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\vec u = \left( {5;\,0} \right)\). Vậy đoạn thẳng A1B1 là ảnh của đoạn thẳng AB qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\vec u = \left( {5;\,0} \right)\).
b) Từ A1, kẻ đường thẳng vuông góc với Ox, trên đường thẳng này lấy A2 khác phía với A1 đối với Ox sao cho khoảng cách từ A1 đến Ox bằng khoảng cách từ A2 tới Ox. Khi đó Ox là đường trung trực của đoạn thẳng A1A2.
Tương tự, dựng B2 sao cho Ox là đường trung trực của đoạn thẳng B1B2.
Khi đó ta có phép đối xứng trục Ox biến các điểm A1, B1 tương ứng thành các điểm A2, B2. Vậy đoạn thẳng A2B2 là ảnh của đoạn thẳng A1B1 qua phép đối xứng trục Ox.
c) Phép quay với góc quay – 90° có chiều quay cùng chiều kim đồng hồ.
Qua O, vẽ đường thẳng vuông góc với \(O{A_2}\), trên đường thẳng này lấy điểm \({A_3}\) sao cho \(O{A_2}\; = {\rm{ }}O{A_3}\;\) và góc quay từ A2 đến A3 theo chiều kim đồng hồ. Khi đó A3 là ảnh của điểm A2 qua phép quay tâm O, góc quay – 90°. Tương tự, xác định được điểm B3 là ảnh của điểm B2 qua phép quay tâm O, góc quay – 90°. Vậy đoạn thẳng A3B3 là ảnh của đoạn thẳng A2B2 qua phép quay tâm O với góc quay \(\varphi = --90^\circ .\)
d) Vì phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì nên \(AB{\rm{ }} = {\rm{ }}{A_1}{B_1}.\)
Vì phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì nên \({A_1}{B_1}\; = {\rm{ }}{A_2}{B_2}.\)
Vì phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì nên \({A_2}{B_2}\; = {\rm{ }}{A_3}{B_3}.\)Do đó, \(AB{\rm{ }} = {\rm{ }}{A_1}{B_1}\; = {\rm{ }}{A_2}{B_2}\; = {\rm{ }}{A_3}{B_3}.\)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có tâm \(I\left( {--{\rm{ }}3;{\rm{ }}2} \right)\) bán kính \(R{\rm{ }} = {\rm{ }}1\). Thực hiện phép dời hình f bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng tâm O và phép tịnh tiến theo vectơ \(\vec u = \left( { - 1;\,3} \right)\). Xác định ảnh của đường tròn (C) qua phép dời hình nói trên.
Phương pháp giải:
Tìm ảnh của tâm I qua phép đối xứng tâm O và phép tịnh tiến theo vectơ \(\vec u = \left( { - 1;\,3} \right)\) bằng cách:
Nếu \(M'(x';y')\) là ảnh của \(M(x;y)\) qua phép tịnh tiến \({T_{\overrightarrow u }}\) , \(\overrightarrow u = \left( {a;\,b} \right)\) thì biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến là \(\left\{ \begin{array}{l}x' = x + a\\y' = y + b\end{array} \right.\)
Sau đó viết phương trình (C).
Lời giải chi tiết:
Ảnh của đường tròn (C) qua phép đối xứng tâm O là một đường tròn có bán kính bằng 1, gọi là (C').
Gọi I' là tâm của đường tròn (C'), khi đó I' là ảnh của I qua phép đối xứng tâm O. Suy ra I'(3; – 2). Do vậy, đường tròn (C') có tâm I'(3; – 2) và bán kính bằng 1.
Ảnh của đường tròn (C') qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\vec u = \left( { - 1;\,3} \right)\) một đường tròn có bán kính bằng 1, gọi là (C").
Gọi I" là tâm của đường tròn (C"), khi đó I" là ảnh của I' qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\vec u = \left( { - 1;\,3} \right)\) suy ra nên I"(2; 1). Do vậy, đường tròn (C") có tâm I"(2; 1) và bán kính bằng 1.
Vậy ảnh của đường tròn (C) qua phép dời hình f là đường tròn (C") có tâm I"(2; 1) và bán kính bằng 1.
Quan sát Hình 37.
a) Chỉ ra các phép dời hình biến tam giác ABC thành tam giác A1B1C1 và biến tam giác \({A_1}{B_1}{C_1}\) thành tam giác \({A_2}{B_2}{C_2}.\)
b) Có nhận xét gì về hai tam giác ABC và \({A_2}{B_2}{C_2}?\)
Phương pháp giải:
Quan sát hình 37 và dựa vào kiến thức tịnh tiến, đối xứng trục để làm
Lời giải chi tiết:
) Quan sát Hình 37, ta thấy phép tịnh tiến theo vectơ \(\vec u\) biến tam giác ABC thành tam giác A1B1C1 và phép đối xứng trục d biến biến tam giác \({A_1}{B_1}{C_1}\) thành tam giác \({A_2}{B_2}{C_2}.\)
b) Theo tính chất của phép tịnh tiến và phép đối xứng trục, ta suy ra
\(AB{\rm{ }} = {\rm{ }}{A_1}{B_1}\; = {\rm{ }}{A_2}{B_2},{\rm{ }}BC{\rm{ }} = {\rm{ }}{B_1}{C_1}\; = {\rm{ }}{B_2}{C_2},{\rm{ }}AC{\rm{ }} = {\rm{ }}{A_1}{C_1}\; = {\rm{ }}{A_2}{C_2}.\)
Do đó, hai tam giác ABC và \({A_2}{B_2}{C_2}\) bằng nhau.
Quan sát Hình 38a và chứng minh hai hình AMPOE và CQGON bằng nhau.
Phương pháp giải:
Quan sát hình 38 và dựa vào kiến thức:
Cho điểm O, phép biến hình biến điểm O thành chính nó và biến mỗi điểm \(M \ne O\) thành điểm M’ sao cho O là trung điểm của MM’ được gọi là phép đối xứn tâm O, kí hiệu \({Đ_O}\). Điểm O được gọi là tâm đối xứng.
Lời giải chi tiết:
Quan sát hình ta thấy \(OA{\rm{ }} = {\rm{ }}OC,{\rm{ }}OM{\rm{ }} = {\rm{ }}OQ,{\rm{ }}OP{\rm{ }} = {\rm{ }}OG,{\rm{ }}OE{\rm{ }} = {\rm{ }}ON\) nên O là trung điểm của các đoạn thẳng AC, MQ, PG, EN. Do đó, ta có phép đối xứng tâm O biến các điểm A, M, P, O, E tương ứng thành các điểm C, Q, G, O, N. Như vậy, phép đối xứng tâm O biến hình AMPOE thành hình CQGON. Vậy hai hình AMPOE và CQGON bằng nhau.
Mục 6 của Chuyên đề học tập Toán 11 - Cánh diều tập trung vào các kiến thức về phép biến hình. Đây là một phần quan trọng trong chương trình học, giúp học sinh hiểu rõ hơn về các khái niệm như phép tịnh tiến, phép quay, phép đối xứng trục và phép đối xứng tâm. Việc nắm vững các kiến thức này không chỉ giúp học sinh giải quyết các bài tập trong sách giáo khoa mà còn là nền tảng cho các kiến thức toán học nâng cao hơn.
Chúng ta sẽ cùng nhau đi qua từng bài tập trong mục 6 trang 21, 22, phân tích đề bài, xác định phương pháp giải và trình bày lời giải một cách chi tiết nhất.
Bài tập này yêu cầu học sinh xác định ảnh của một điểm hoặc một hình qua phép tịnh tiến. Để giải bài tập này, học sinh cần nắm vững định nghĩa của phép tịnh tiến và công thức tính tọa độ của ảnh sau phép tịnh tiến.
Ví dụ:
Cho điểm A(x0, y0) và vectơ t = (a, b). Ảnh của điểm A qua phép tịnh tiến theo vectơ t là điểm A'(x0 + a, y0 + b).
Bài tập này yêu cầu học sinh xác định ảnh của một điểm hoặc một hình qua phép quay. Để giải bài tập này, học sinh cần nắm vững định nghĩa của phép quay và công thức tính tọa độ của ảnh sau phép quay.
Ví dụ:
Cho điểm A(x0, y0) và góc quay α. Ảnh của điểm A qua phép quay tâm O góc α là điểm A'(x', y') được tính theo công thức:
Bài tập này yêu cầu học sinh xác định ảnh của một điểm hoặc một hình qua phép đối xứng trục. Để giải bài tập này, học sinh cần nắm vững định nghĩa của phép đối xứng trục và công thức tính tọa độ của ảnh sau phép đối xứng trục.
Ví dụ:
Cho điểm A(x0, y0) và đường thẳng d: ax + by + c = 0. Ảnh của điểm A qua phép đối xứng trục d là điểm A'(x', y') được tính theo công thức:
(x' - x0)/a = (y' - y0)/b = -2(ax0 + by0 + c)/(a2 + b2)
Bài tập này yêu cầu học sinh xác định ảnh của một điểm hoặc một hình qua phép đối xứng tâm. Để giải bài tập này, học sinh cần nắm vững định nghĩa của phép đối xứng tâm và công thức tính tọa độ của ảnh sau phép đối xứng tâm.
Ví dụ:
Cho điểm A(x0, y0) và điểm I(xI, yI). Ảnh của điểm A qua phép đối xứng tâm I là điểm A'(x', y') được tính theo công thức:
Khi giải các bài tập về phép biến hình, học sinh cần chú ý các điểm sau:
Phép biến hình có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, chẳng hạn như:
Hy vọng rằng với lời giải chi tiết và các lưu ý trên, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về mục 6 trang 21, 22 Chuyên đề học tập Toán 11 - Cánh diều và có thể tự tin giải quyết các bài tập liên quan. Chúc các em học tập tốt!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Khám phá thế giới phân dạng, từ hình học trừu tượng đến ứng dụng trong nghệ thuật và tự nhiên. Tìm hiểu cách phân dạng tạo ra vẻ đẹp vô hạn!
Bạn đã bao giờ gặp một điều nghe có vẻ vô lý nhưng lại chứa đựng sự thật? Khám phá thế giới Paradox - những mâu thuẫn thú vị giúp bạn nhìn nhận cuộc sống dưới một góc độ mới lạ. Đọc ngay!
Khám phá 'Tên của trò chơi là bắt cóc' - cuốn sách hấp dẫn đưa bạn vào thế giới ngầm đầy rẫy những kẻ ác. Đánh giá chi tiết, phân tích sâu sắc và lý do bạn nên đọc ngay!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán lớp 1 khó nhất! Hướng dẫn phụ huynh cách hỗ trợ con học toán hiệu quả, tạo hứng thú và đạt kết quả tốt nhất. Khám phá các mẹo học tập thông minh!
Review sách 'Dữ liệu tử thần' của Jeffery Deaver. Khám phá cách tội phạm sử dụng thông tin cá nhân và học cách bảo vệ dữ liệu của bạn ngay hôm nay!
