Loigiai.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập trong mục 1 của Chuyên đề học tập Toán 12 - Chân trời sáng tạo, cụ thể là các trang 6, 7, 8, 9 và 10. Chúng tôi hy vọng sẽ giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập.
Với đội ngũ giáo viên giàu kinh nghiệm, chúng tôi cam kết cung cấp những lời giải chính xác, đầy đủ và dễ tiếp thu.
Xét bài toán: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức (F = x + 2y) với (left( {x;y} right)) là nghiệm của hệ bất phương trình (left{ begin{array}{l}x - 2y + 4 ge 0x + y - 5 le 0x ge 0y ge 0end{array} right.) (I) Miền nghiệm ({Omega }) của hệ (I) là miền tứ giác (OABC) (được tô màu) trên Hình 1. Với giá trị (F) cho trước, xét đường thẳng (d:x + 2y - F = 0) hay (y = - frac{x}{2} + frac{F}{2}). Trả lời các câu hỏi sau để giải bài toán tr
Trả lời câu hỏi Vận dụng trang 10 Chuyên đề học tập Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho bài toán quy hoạch tuyến tính
\(F = 3x + 3y \to \max ,\min \)
có tập phương án \({\Omega }\) là miền tứ giác \(ABCD\) (được tô màu như Hình 5) với các đỉnh là \(A\left( {0;5} \right),\)\(B\left( {4;1} \right),C\left( {2;1} \right)\) và \(D\left( {0;2} \right)\).
a) Giải bài toán quy hoạch tuyến tính đã cho.
b) Hàm mục tiêu \(F\) đạt giá trị lớn nhất trên \({\Omega }\) tại bao nhiêu điểm? Giải thích.
Phương pháp giải:
Bước 1: Biểu diễn tập phương án của bài toán trên mặt phẳng toạ độ \(Oxy\).
Bước 2: Tính giá trị của biểu thức \(F\) tại các đỉnh của \({\Omega }\).
Trong trường hợp tập phương án là miền đa giác thì giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) trong các giá trị này là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của \(F\) trên \({\Omega }\).
Trong trường hợp tập phương án không là miền đa giác nằm trong góc phần tư thứ nhất và các hệ số \(a\) và \(b\) không âm thì giá trị nhỏ nhất trong các giá trị này là giá trị nhỏ nhất của \(F\) trên \({\Omega }\).
Lời giải chi tiết:
a) Giá trị của biểu thức \(F\) tại các đỉnh của \({\Omega }\):
\(F\left( {0;5} \right) = 3.0 + 3\,.5 = 15;F\left( {4;1} \right) = 3\,.4 + 3\,.1 = 15;F\left( {2;1} \right) = 3.2 + 3\,.1 = 9;F\left( {0;2} \right) = 3\,.0 + 3\,.2 = 6\)
Do đó: \(\mathop {\max }\limits_{\Omega } F = F\left( {0;5} \right) = F\left( {4;1} \right) = 15;\mathop {\min }\limits_{\Omega } F = F\left( {0;2} \right) = 6\).
b) Tại mọi điểm \(\left( {x;y} \right)\) trên cạnh \(AB\) của miền \({\Omega }\), ta luôn có \(x + y - 5 = 0\) hay \(x + y = 5\).
Do đó \(F = 3x + 3y = 3\left( {x + y} \right) = 3.5 = 15\).
Vậy hàm mục tiêu \(F\) đạt giá trị lớn nhất trên \({\Omega }\) tại mọi điểm thuộc ạnh \(AB\) của miền \({\Omega }\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 8 Chuyên đề học tập Toán 12 Chân trời sáng tạo
Xét bài toán quy hoạch tuyến tính:
\(F = 2x + y \to \max ,\min \)
với ràng buộc
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y - 4 \ge 0\\3x - y \ge 0\\x \ge 0\\y \ge 1\end{array} \right.\) (II)
Tập phương án \({\Omega }\) của bài toán là phần được tô màu trên Hình 3. Hai điểm \(A\left( {1;3} \right)\) và \(B\left( {3;1} \right)\) gọi là các đỉnh của \({\Omega }\).
Với giá trị \(F\) cho trước, xét đường thẳng \(d:2x + y = F\) hay \(d:y = - 2x + F\).
Trả lời các câu hỏi sau để giải bài toán trên.
a) Tìm giá trị của \(F\) để đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A\left( {1;3} \right)\). Gọi giá trị tìm được là \({F_A}\).
b) Khi giá trị của \(F\) tăng (hoặc giảm) thì tung độ giao điểm của \(d\) với trục \(Oy\) thay đổi như thế nào? Khi đó, phương của đường thẳng \(d\) có thay đổi không?
c) Nếu \(F < {F_A}\) thì \(d\) và \({\Omega }\) có điểm chung không? Từ đó, chỉ ra giá trị nhỏ nhất của hàm mục tiêu \(F = 2x + y\) trên \({\Omega }\).
d) Với giá trị nào của \(F\) thì \(d\) và \({\Omega }\) có điểm chung? Hàm mục tiêu \(F = 2x + y\) giá trị lớn nhất trên \({\Omega }\) hay không?
Phương pháp giải:
‒ Đường thẳng \(d:ax + by + c = 0\) đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) khi \(a{x_0} + b{y_0} + c = 0\).
‒ Tìm tung độ giao điểm của \(d\) với trục \(Oy\) và nhận xét tính tăng giảm khi giá trị của \(F\) tăng (hoặc giảm).
Lời giải chi tiết:
a) Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A\left( {1;3} \right)\) khi \(2.1 + 3 = F\) hay \(F = 5\).
Vậy \({F_A} = 5\).
b) Tung độ giao điểm của \(d\) với trục \(Oy\): \(y = - 2.0 + F = F\)
Do đó, khi giá trị của F tăng (hoặc giảm) thì tung độ giao điểm của \(d\) với trục \(Oy\) tăng (hoặc giảm) theo.
Đường thẳng \(d\) luôn có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {2;1} \right)\) nên phương của đường thẳng \(d\) không thay đổi.
c) Nếu \(F < {F_A}\) thì \(d\) và \({\Omega }\) không có điểm chung; Suy ra \(\mathop {\min }\limits_{\Omega }\) F = 5\).
d) \(d\) và \({\Omega }\) có điểm chung khi \(F \ge {F_A} = 5\).
Do đó hàm mục tiêu \(F = 2x + y\) không đạt giá trị lớn nhất trên \({\Omega }\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 6 Chuyên đề học tập Toán 12 Chân trời sáng tạo
Xét bài toán: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F = x + 2y\) với \(\left( {x;y} \right)\) là nghiệm của hệ bất phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + 4 \ge 0\\x + y - 5 \le 0\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.\) (I)
Miền nghiệm \({\Omega }\) của hệ (I) là miền tứ giác \(OABC\) (được tô màu) trên Hình 1. Với giá trị \(F\) cho trước, xét đường thẳng \(d:x + 2y - F = 0\) hay \(y = - \frac{x}{2} + \frac{F}{2}\).
Trả lời các câu hỏi sau để giải bài toán trên.
a) Với giá trị nào của \(F\) thì đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(O\), điểm \(B\)?
b) Khi giá trị của \(F\) tăng (hoặc giảm) thì tung độ giao điểm của \(d\) với trục \(Oy\) thay đổi như thế nào? Khi đó, phương của đường thẳng \(d\) có thay đổi không?
c) Với điều kiện nào của \(F\) thì đường thẳng \(d\) và miền nghiệm \({\Omega }\) có điểm chung?
d) Từ đó, chỉ ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F = x + 2y\) trên miền nghiệm \({\Omega }\). Biểu thức \(F\) đạt được các giá trị đó tại điểm nào?
Phương pháp giải:
‒ Đường thẳng \(d:ax + by + c = 0\) đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) khi \(a{x_0} + b{y_0} + c = 0\).
‒ Tìm tung độ giao điểm của \(d\) với trục \(Oy\) và nhận xét tính tăng giảm khi giá trị của \(F\) tăng (hoặc giảm).
‒ Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F = x + 2y\) trên miền nghiệm \({\Omega }\) đạt được tại các đỉnh của tứ giác.
Lời giải chi tiết:
a) Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(O\left( {0;0} \right)\) khi \(0 + 2.0 - F = 0\) hay \(F = 0\).
Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(B\left( {2;3} \right)\) khi \(2 + 2.3 - F = 0\) hay \(F = 8\).
b) Tung độ giao điểm của \(d\) với trục \(Oy\): \(y = - \frac{0}{2} + \frac{F}{2} = \frac{F}{2}\)
Do đó, khi giá trị của F tăng (hoặc giảm) thì tung độ giao điểm của \(d\) với trục \(Oy\) tăng (hoặc giảm) theo.
Đường thẳng \(d\) luôn có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1;2} \right)\) nên phương của đường thẳng \(d\) không thay đổi.
c) Với điều kiện \(0 \le F \le 8\) thì đường thẳng \(d\) và miền nghiệm \({\Omega }\) có điểm chung.
d) Ta có: \(O\left( {0;0} \right),A\left( {0;2} \right),B\left( {2;3} \right),C\left( {5;0} \right)\).
Giá trị của biểu thức \(F\) tại các đỉnh của \({\Omega }\):
\(F\left( {0;0} \right) = 0,F\left( {0;2} \right) = 4,F\left( {2;3} \right) = 8,F\left( {5;0} \right) = 5\)
Do đó \(\mathop {\max }\limits_{\Omega } F = 8\) tại điểm \(B\left( {2;3} \right)\) và \(\mathop {\min }\limits_{\Omega } F = 0\) tại điểm \(O\left( {0;0} \right)\).
Trả lời câu hỏi Thực hành 1 trang 10 Chuyên đề học tập Toán 12 Chân trời sáng tạo
Giải bài toán quy hoạch tuyến tính:
\(F = 4x + 3y \to \max ,\min \)
với ràng buộc
\(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y - 8 \le 0\\2x - y - 6 \le 0\\x \ge 0\\y \ge 1\end{array} \right.\)
Phương pháp giải:
Bước 1: Biểu diễn tập phương án của bài toán trên mặt phẳng toạ độ \(Oxy\).
Bước 2: Tính giá trị của biểu thức \(F\) tại các đỉnh của \({\Omega }\).
Trong trường hợp tập phương án là miền đa giác thì giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) trong các giá trị này là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của \(F\) trên \({\Omega }\).
Trong trường hợp tập phương án không là miền đa giác nằm trong góc phần tư thứ nhất và các hệ số \(a\) và \(b\) không âm thì giá trị nhỏ nhất trong các giá trị này là giá trị nhỏ nhất của \(F\) trên \({\Omega }\).
Lời giải chi tiết:
Tập phương án \({\Omega }\) là miền tứ giác \(ABCD\).
Toạ độ \(A\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 8\\x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 4\end{array} \right.\). Vậy \(A\left( {0;4} \right)\)
Toạ độ \(B\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 8\\2{\rm{x}} - y = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 2\end{array} \right.\). Vậy \(B\left( {4;2} \right)\)
Toạ độ \(C\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}y = 1\\2{\rm{x}} - y = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3,5\\y = 1\end{array} \right.\). Vậy \(C\left( {3,5;1} \right)\)
Toạ độ \(D\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 1\end{array} \right.\). Vậy \(D\left( {0;1} \right)\)
Giá trị của biểu thức \(F\) tại các đỉnh của \({\Omega }\):
\(F\left( {0;4} \right) = 12;F\left( {4;2} \right) = 22;F\left( {3,5;1} \right) = 17;F\left( {0;1} \right) = 3\)
Do đó: \(\mathop {\max }\limits_{\Omega } F = F\left( {4;2} \right) = 22;\mathop {\min }\limits_{\Omega } F = F\left( {0;1} \right) = 3\).
Trả lời câu hỏi Thực hành 2 trang 10 Chuyên đề học tập Toán 12 Chân trời sáng tạo
Giải bài toán quy hoạch tuyến tính:
\(F = 25x + 10y \to \min \)
với ràng buộc
\(\left\{ \begin{array}{l}2{\rm{x}} - 3y \le 6\\x + y \ge 4\\x \ge 2\end{array} \right.\)
Phương pháp giải:
Bước 1: Biểu diễn tập phương án của bài toán trên mặt phẳng toạ độ \(Oxy\).
Bước 2: Tính giá trị của biểu thức \(F\) tại các đỉnh của \({\Omega }\).
Trong trường hợp tập phương án là miền đa giác thì giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) trong các giá trị này là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của \(F\) trên \({\Omega }\).
Trong trường hợp tập phương án không là miền đa giác nằm trong góc phần tư thứ nhất và các hệ số \(a\) và \(b\) không âm thì giá trị nhỏ nhất trong các giá trị này là giá trị nhỏ nhất của \(F\) trên \({\Omega }\).
Lời giải chi tiết:
Viết lại ràng buộc của bài toán thành
\(\left\{ \begin{array}{l}2{\rm{x}} - 3y - 6 \le 0\\x + y - 4 \ge 0\\x \ge 2\end{array} \right.\)
Tập phương án \({\Omega }\) của bài toán là miền không gạch (không là miền đa giác).
Toạ độ \(A\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\x + y = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 2\end{array} \right.\). Vậy \(A\left( {2;2} \right)\).
Toạ độ \(B\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y = 6\\x + y = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{18}}{5}\\y = \frac{2}{5}\end{array} \right.\). Vậy \(B\left( {\frac{{18}}{5};\frac{2}{5}} \right)\).
Do \({\Omega }\) nằm trong góc phần tư thứ nhất và các hệ số của biểu thức \(F = 25x + 10y\) đều dương nên \(F\) đạt giá trị nhỏ nhất tại một đỉnh của \({\Omega }\).
Ta có \(F\left( {2;2} \right) = 25\,.\,2 + 10\,.\,2 = 70;F\left( {\frac{{18}}{5};\frac{2}{5}} \right) = 25 \cdot \frac{{18}}{5} + 10 \cdot \frac{2}{5} = 94\).
Do đó \(F\) đạt giá trị nhỏ nhất tại đỉnh \(A\left( {2;2} \right)\) và \(\mathop {\min }\limits_{\Omega } F = F\left( {2;2} \right) = 70\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 6 Chuyên đề học tập Toán 12 Chân trời sáng tạo
Xét bài toán: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F = x + 2y\) với \(\left( {x;y} \right)\) là nghiệm của hệ bất phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + 4 \ge 0\\x + y - 5 \le 0\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.\) (I)
Miền nghiệm \({\Omega }\) của hệ (I) là miền tứ giác \(OABC\) (được tô màu) trên Hình 1. Với giá trị \(F\) cho trước, xét đường thẳng \(d:x + 2y - F = 0\) hay \(y = - \frac{x}{2} + \frac{F}{2}\).
Trả lời các câu hỏi sau để giải bài toán trên.
a) Với giá trị nào của \(F\) thì đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(O\), điểm \(B\)?
b) Khi giá trị của \(F\) tăng (hoặc giảm) thì tung độ giao điểm của \(d\) với trục \(Oy\) thay đổi như thế nào? Khi đó, phương của đường thẳng \(d\) có thay đổi không?
c) Với điều kiện nào của \(F\) thì đường thẳng \(d\) và miền nghiệm \({\Omega }\) có điểm chung?
d) Từ đó, chỉ ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F = x + 2y\) trên miền nghiệm \({\Omega }\). Biểu thức \(F\) đạt được các giá trị đó tại điểm nào?
Phương pháp giải:
‒ Đường thẳng \(d:ax + by + c = 0\) đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) khi \(a{x_0} + b{y_0} + c = 0\).
‒ Tìm tung độ giao điểm của \(d\) với trục \(Oy\) và nhận xét tính tăng giảm khi giá trị của \(F\) tăng (hoặc giảm).
‒ Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F = x + 2y\) trên miền nghiệm \({\Omega }\) đạt được tại các đỉnh của tứ giác.
Lời giải chi tiết:
a) Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(O\left( {0;0} \right)\) khi \(0 + 2.0 - F = 0\) hay \(F = 0\).
Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(B\left( {2;3} \right)\) khi \(2 + 2.3 - F = 0\) hay \(F = 8\).
b) Tung độ giao điểm của \(d\) với trục \(Oy\): \(y = - \frac{0}{2} + \frac{F}{2} = \frac{F}{2}\)
Do đó, khi giá trị của F tăng (hoặc giảm) thì tung độ giao điểm của \(d\) với trục \(Oy\) tăng (hoặc giảm) theo.
Đường thẳng \(d\) luôn có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1;2} \right)\) nên phương của đường thẳng \(d\) không thay đổi.
c) Với điều kiện \(0 \le F \le 8\) thì đường thẳng \(d\) và miền nghiệm \({\Omega }\) có điểm chung.
d) Ta có: \(O\left( {0;0} \right),A\left( {0;2} \right),B\left( {2;3} \right),C\left( {5;0} \right)\).
Giá trị của biểu thức \(F\) tại các đỉnh của \({\Omega }\):
\(F\left( {0;0} \right) = 0,F\left( {0;2} \right) = 4,F\left( {2;3} \right) = 8,F\left( {5;0} \right) = 5\)
Do đó \(\mathop {\max }\limits_{\Omega } F = 8\) tại điểm \(B\left( {2;3} \right)\) và \(\mathop {\min }\limits_{\Omega } F = 0\) tại điểm \(O\left( {0;0} \right)\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 8 Chuyên đề học tập Toán 12 Chân trời sáng tạo
Xét bài toán quy hoạch tuyến tính:
\(F = 2x + y \to \max ,\min \)
với ràng buộc
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y - 4 \ge 0\\3x - y \ge 0\\x \ge 0\\y \ge 1\end{array} \right.\) (II)
Tập phương án \({\Omega }\) của bài toán là phần được tô màu trên Hình 3. Hai điểm \(A\left( {1;3} \right)\) và \(B\left( {3;1} \right)\) gọi là các đỉnh của \({\Omega }\).
Với giá trị \(F\) cho trước, xét đường thẳng \(d:2x + y = F\) hay \(d:y = - 2x + F\).
Trả lời các câu hỏi sau để giải bài toán trên.
a) Tìm giá trị của \(F\) để đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A\left( {1;3} \right)\). Gọi giá trị tìm được là \({F_A}\).
b) Khi giá trị của \(F\) tăng (hoặc giảm) thì tung độ giao điểm của \(d\) với trục \(Oy\) thay đổi như thế nào? Khi đó, phương của đường thẳng \(d\) có thay đổi không?
c) Nếu \(F < {F_A}\) thì \(d\) và \({\Omega }\) có điểm chung không? Từ đó, chỉ ra giá trị nhỏ nhất của hàm mục tiêu \(F = 2x + y\) trên \({\Omega }\).
d) Với giá trị nào của \(F\) thì \(d\) và \({\Omega }\) có điểm chung? Hàm mục tiêu \(F = 2x + y\) giá trị lớn nhất trên \({\Omega }\) hay không?
Phương pháp giải:
‒ Đường thẳng \(d:ax + by + c = 0\) đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) khi \(a{x_0} + b{y_0} + c = 0\).
‒ Tìm tung độ giao điểm của \(d\) với trục \(Oy\) và nhận xét tính tăng giảm khi giá trị của \(F\) tăng (hoặc giảm).
Lời giải chi tiết:
a) Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A\left( {1;3} \right)\) khi \(2.1 + 3 = F\) hay \(F = 5\).
Vậy \({F_A} = 5\).
b) Tung độ giao điểm của \(d\) với trục \(Oy\): \(y = - 2.0 + F = F\)
Do đó, khi giá trị của F tăng (hoặc giảm) thì tung độ giao điểm của \(d\) với trục \(Oy\) tăng (hoặc giảm) theo.
Đường thẳng \(d\) luôn có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {2;1} \right)\) nên phương của đường thẳng \(d\) không thay đổi.
c) Nếu \(F < {F_A}\) thì \(d\) và \({\Omega }\) không có điểm chung; Suy ra \(\mathop {\min }\limits_{\Omega }\) F = 5\).
d) \(d\) và \({\Omega }\) có điểm chung khi \(F \ge {F_A} = 5\).
Do đó hàm mục tiêu \(F = 2x + y\) không đạt giá trị lớn nhất trên \({\Omega }\).
Trả lời câu hỏi Thực hành 1 trang 10 Chuyên đề học tập Toán 12 Chân trời sáng tạo
Giải bài toán quy hoạch tuyến tính:
\(F = 4x + 3y \to \max ,\min \)
với ràng buộc
\(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y - 8 \le 0\\2x - y - 6 \le 0\\x \ge 0\\y \ge 1\end{array} \right.\)
Phương pháp giải:
Bước 1: Biểu diễn tập phương án của bài toán trên mặt phẳng toạ độ \(Oxy\).
Bước 2: Tính giá trị của biểu thức \(F\) tại các đỉnh của \({\Omega }\).
Trong trường hợp tập phương án là miền đa giác thì giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) trong các giá trị này là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của \(F\) trên \({\Omega }\).
Trong trường hợp tập phương án không là miền đa giác nằm trong góc phần tư thứ nhất và các hệ số \(a\) và \(b\) không âm thì giá trị nhỏ nhất trong các giá trị này là giá trị nhỏ nhất của \(F\) trên \({\Omega }\).
Lời giải chi tiết:
Tập phương án \({\Omega }\) là miền tứ giác \(ABCD\).
Toạ độ \(A\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 8\\x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 4\end{array} \right.\). Vậy \(A\left( {0;4} \right)\)
Toạ độ \(B\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 8\\2{\rm{x}} - y = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 2\end{array} \right.\). Vậy \(B\left( {4;2} \right)\)
Toạ độ \(C\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}y = 1\\2{\rm{x}} - y = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3,5\\y = 1\end{array} \right.\). Vậy \(C\left( {3,5;1} \right)\)
Toạ độ \(D\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 1\end{array} \right.\). Vậy \(D\left( {0;1} \right)\)
Giá trị của biểu thức \(F\) tại các đỉnh của \({\Omega }\):
\(F\left( {0;4} \right) = 12;F\left( {4;2} \right) = 22;F\left( {3,5;1} \right) = 17;F\left( {0;1} \right) = 3\)
Do đó: \(\mathop {\max }\limits_{\Omega } F = F\left( {4;2} \right) = 22;\mathop {\min }\limits_{\Omega } F = F\left( {0;1} \right) = 3\).
Trả lời câu hỏi Thực hành 2 trang 10 Chuyên đề học tập Toán 12 Chân trời sáng tạo
Giải bài toán quy hoạch tuyến tính:
\(F = 25x + 10y \to \min \)
với ràng buộc
\(\left\{ \begin{array}{l}2{\rm{x}} - 3y \le 6\\x + y \ge 4\\x \ge 2\end{array} \right.\)
Phương pháp giải:
Bước 1: Biểu diễn tập phương án của bài toán trên mặt phẳng toạ độ \(Oxy\).
Bước 2: Tính giá trị của biểu thức \(F\) tại các đỉnh của \({\Omega }\).
Trong trường hợp tập phương án là miền đa giác thì giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) trong các giá trị này là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của \(F\) trên \({\Omega }\).
Trong trường hợp tập phương án không là miền đa giác nằm trong góc phần tư thứ nhất và các hệ số \(a\) và \(b\) không âm thì giá trị nhỏ nhất trong các giá trị này là giá trị nhỏ nhất của \(F\) trên \({\Omega }\).
Lời giải chi tiết:
Viết lại ràng buộc của bài toán thành
\(\left\{ \begin{array}{l}2{\rm{x}} - 3y - 6 \le 0\\x + y - 4 \ge 0\\x \ge 2\end{array} \right.\)
Tập phương án \({\Omega }\) của bài toán là miền không gạch (không là miền đa giác).
Toạ độ \(A\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\x + y = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 2\end{array} \right.\). Vậy \(A\left( {2;2} \right)\).
Toạ độ \(B\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y = 6\\x + y = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{18}}{5}\\y = \frac{2}{5}\end{array} \right.\). Vậy \(B\left( {\frac{{18}}{5};\frac{2}{5}} \right)\).
Do \({\Omega }\) nằm trong góc phần tư thứ nhất và các hệ số của biểu thức \(F = 25x + 10y\) đều dương nên \(F\) đạt giá trị nhỏ nhất tại một đỉnh của \({\Omega }\).
Ta có \(F\left( {2;2} \right) = 25\,.\,2 + 10\,.\,2 = 70;F\left( {\frac{{18}}{5};\frac{2}{5}} \right) = 25 \cdot \frac{{18}}{5} + 10 \cdot \frac{2}{5} = 94\).
Do đó \(F\) đạt giá trị nhỏ nhất tại đỉnh \(A\left( {2;2} \right)\) và \(\mathop {\min }\limits_{\Omega } F = F\left( {2;2} \right) = 70\).
Trả lời câu hỏi Vận dụng trang 10 Chuyên đề học tập Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho bài toán quy hoạch tuyến tính
\(F = 3x + 3y \to \max ,\min \)
có tập phương án \({\Omega }\) là miền tứ giác \(ABCD\) (được tô màu như Hình 5) với các đỉnh là \(A\left( {0;5} \right),\)\(B\left( {4;1} \right),C\left( {2;1} \right)\) và \(D\left( {0;2} \right)\).
a) Giải bài toán quy hoạch tuyến tính đã cho.
b) Hàm mục tiêu \(F\) đạt giá trị lớn nhất trên \({\Omega }\) tại bao nhiêu điểm? Giải thích.
Phương pháp giải:
Bước 1: Biểu diễn tập phương án của bài toán trên mặt phẳng toạ độ \(Oxy\).
Bước 2: Tính giá trị của biểu thức \(F\) tại các đỉnh của \({\Omega }\).
Trong trường hợp tập phương án là miền đa giác thì giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) trong các giá trị này là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của \(F\) trên \({\Omega }\).
Trong trường hợp tập phương án không là miền đa giác nằm trong góc phần tư thứ nhất và các hệ số \(a\) và \(b\) không âm thì giá trị nhỏ nhất trong các giá trị này là giá trị nhỏ nhất của \(F\) trên \({\Omega }\).
Lời giải chi tiết:
a) Giá trị của biểu thức \(F\) tại các đỉnh của \({\Omega }\):
\(F\left( {0;5} \right) = 3.0 + 3\,.5 = 15;F\left( {4;1} \right) = 3\,.4 + 3\,.1 = 15;F\left( {2;1} \right) = 3.2 + 3\,.1 = 9;F\left( {0;2} \right) = 3\,.0 + 3\,.2 = 6\)
Do đó: \(\mathop {\max }\limits_{\Omega } F = F\left( {0;5} \right) = F\left( {4;1} \right) = 15;\mathop {\min }\limits_{\Omega } F = F\left( {0;2} \right) = 6\).
b) Tại mọi điểm \(\left( {x;y} \right)\) trên cạnh \(AB\) của miền \({\Omega }\), ta luôn có \(x + y - 5 = 0\) hay \(x + y = 5\).
Do đó \(F = 3x + 3y = 3\left( {x + y} \right) = 3.5 = 15\).
Vậy hàm mục tiêu \(F\) đạt giá trị lớn nhất trên \({\Omega }\) tại mọi điểm thuộc ạnh \(AB\) của miền \({\Omega }\).
Mục 1 của Chuyên đề học tập Toán 12 - Chân trời sáng tạo thường tập trung vào một chủ đề quan trọng trong chương trình. Việc nắm vững kiến thức và kỹ năng trong mục này là nền tảng để giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong các chương tiếp theo. Loigiai.com.vn sẽ cung cấp lời giải chi tiết cho từng bài tập, giúp học sinh hiểu rõ phương pháp và cách tiếp cận vấn đề.
Ở trang 6, các bài tập thường liên quan đến việc ôn tập kiến thức cơ bản và áp dụng vào các bài toán đơn giản. Lời giải sẽ đi kèm với các bước giải thích chi tiết, giúp học sinh hiểu rõ logic và cách giải quyết bài toán. Ví dụ, bài tập 1 có thể yêu cầu học sinh tính đạo hàm của một hàm số, và lời giải sẽ trình bày các bước tính đạo hàm một cách rõ ràng.
Trang 7 thường chứa các bài tập có độ khó tăng dần, đòi hỏi học sinh phải vận dụng kiến thức đã học và tư duy logic để giải quyết. Lời giải sẽ cung cấp các gợi ý và hướng dẫn chi tiết, giúp học sinh tự tìm ra lời giải đúng. Ví dụ, bài tập 4 có thể yêu cầu học sinh tìm cực trị của một hàm số, và lời giải sẽ hướng dẫn học sinh cách tìm đạo hàm bậc nhất, giải phương trình đạo hàm bằng không và xét dấu đạo hàm để xác định cực trị.
Các bài tập trên trang 8 thường liên quan đến việc ứng dụng kiến thức vào các bài toán thực tế. Lời giải sẽ giúp học sinh hiểu rõ cách áp dụng kiến thức vào thực tế và giải quyết các vấn đề cụ thể. Ví dụ, bài tập 7 có thể yêu cầu học sinh giải một bài toán tối ưu hóa, và lời giải sẽ trình bày các bước giải bài toán tối ưu hóa một cách rõ ràng.
Trang 9 thường chứa các bài tập tổng hợp, đòi hỏi học sinh phải vận dụng kiến thức từ nhiều chủ đề khác nhau để giải quyết. Lời giải sẽ cung cấp các gợi ý và hướng dẫn chi tiết, giúp học sinh tự tìm ra lời giải đúng. Ví dụ, bài tập 10 có thể yêu cầu học sinh giải một bài toán tích phân, và lời giải sẽ hướng dẫn học sinh cách tính tích phân một cách chính xác.
Các bài tập trên trang 10 thường là các bài tập nâng cao, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức vững chắc và khả năng tư duy sáng tạo. Lời giải sẽ cung cấp các phương pháp giải quyết bài toán một cách hiệu quả và chính xác. Ví dụ, bài tập 13 có thể yêu cầu học sinh chứng minh một bất đẳng thức, và lời giải sẽ trình bày các bước chứng minh bất đẳng thức một cách logic và chặt chẽ.
Toán học là một môn học đòi hỏi sự kiên trì và luyện tập thường xuyên. Hãy dành thời gian để học tập và giải bài tập một cách nghiêm túc, và bạn sẽ đạt được kết quả tốt.
| Trang | Chủ đề chính |
|---|---|
| 6 | Ôn tập kiến thức cơ bản |
| 7 | Tìm cực trị của hàm số |
| 8 | Ứng dụng kiến thức vào bài toán thực tế |
| 9 | Giải bài toán tích phân |
| 10 | Chứng minh bất đẳng thức |
Loigiai.com.vn hy vọng rằng những lời giải chi tiết và phương pháp học tập hiệu quả này sẽ giúp các em học sinh học tập tốt môn Toán 12 - Chân trời sáng tạo.
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Khám phá thế giới phân dạng, từ hình học trừu tượng đến ứng dụng trong nghệ thuật và tự nhiên. Tìm hiểu cách phân dạng tạo ra vẻ đẹp vô hạn!
Bạn đã bao giờ gặp một điều nghe có vẻ vô lý nhưng lại chứa đựng sự thật? Khám phá thế giới Paradox - những mâu thuẫn thú vị giúp bạn nhìn nhận cuộc sống dưới một góc độ mới lạ. Đọc ngay!
Khám phá 'Tên của trò chơi là bắt cóc' - cuốn sách hấp dẫn đưa bạn vào thế giới ngầm đầy rẫy những kẻ ác. Đánh giá chi tiết, phân tích sâu sắc và lý do bạn nên đọc ngay!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán lớp 1 khó nhất! Hướng dẫn phụ huynh cách hỗ trợ con học toán hiệu quả, tạo hứng thú và đạt kết quả tốt nhất. Khám phá các mẹo học tập thông minh!
Review sách 'Dữ liệu tử thần' của Jeffery Deaver. Khám phá cách tội phạm sử dụng thông tin cá nhân và học cách bảo vệ dữ liệu của bạn ngay hôm nay!
