CHƯƠNG II: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ SONG SONG

CHƯƠNG II: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ SONG SONG - SGK Toán 11 Nâng cao

I. ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

Trong không gian, đường thẳng được xác định bởi một điểm và một vectơ chỉ phương. Vectơ chỉ phương của đường thẳng là vectơ cùng phương với đường thẳng đó. Để xác định một đường thẳng, ta cần:

• Một điểm thuộc đường thẳng.
• Một vectơ chỉ phương của đường thẳng.

Phương trình tham số của đường thẳng:

{ x = x0 + at

{ y = y0 + bt

{ z = z0 + ct

Trong đó (x0, y0, z0) là tọa độ của một điểm thuộc đường thẳng, (a, b, c) là tọa độ của một vectơ chỉ phương.

II. MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN

Mặt phẳng trong không gian được xác định bởi một điểm và một vectơ pháp tuyến. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là vectơ vuông góc với mọi vectơ nằm trong mặt phẳng.

Để xác định một mặt phẳng, ta cần:

• Một điểm thuộc mặt phẳng.
• Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.

Phương trình tổng quát của mặt phẳng:

Ax + By + Cz + D = 0

Trong đó (A, B, C) là tọa độ của một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng, D là một hằng số.

III. QUAN HỆ SONG SONG

1. Hai đường thẳng song song:

Hai đường thẳng được gọi là song song nếu chúng không có điểm chung và các vectơ chỉ phương của chúng cùng phương.

2. Đường thẳng song song với mặt phẳng:

Đường thẳng được gọi là song song với mặt phẳng nếu nó không có điểm chung với mặt phẳng và vectơ chỉ phương của đường thẳng vuông góc với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.

3. Hai mặt phẳng song song:

Hai mặt phẳng được gọi là song song nếu chúng không có điểm chung và các vectơ pháp tuyến của chúng cùng phương.

IV. BÀI TẬP VÍ DỤ

Bài 1: Cho đường thẳng d: { x = 1 + t

{ y = 2 - t

{ z = 3 + 2t

và mặt phẳng (P): 2x - y + z - 5 = 0. Chứng minh rằng đường thẳng d song song với mặt phẳng (P).

Giải:

Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là (1, -1, 2). Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là (2, -1, 1).

Ta có tích vô hướng của hai vectơ này là: (1, -1, 2) . (2, -1, 1) = 1*2 + (-1)*(-1) + 2*1 = 2 + 1 + 2 = 5 ≠ 0. Do đó, đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng (P).

Tuy nhiên, để kiểm tra tính song song, ta cần tìm một điểm thuộc đường thẳng d và kiểm tra xem điểm đó có thuộc mặt phẳng (P) hay không. Chọn t = 0, ta được điểm A(1, 2, 3). Thay tọa độ điểm A vào phương trình mặt phẳng (P), ta có: 2*1 - 2 + 3 - 5 = -2 ≠ 0. Do đó, điểm A không thuộc mặt phẳng (P).

Vậy, đường thẳng d song song với mặt phẳng (P).

V. KẾT LUẬN

Chương II cung cấp những kiến thức cơ bản và quan trọng về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, đặc biệt là các mối quan hệ song song. Việc nắm vững các khái niệm và công thức trong chương này là nền tảng để giải quyết các bài toán Hình học không gian phức tạp hơn.