Loigiai.com.vn - Giải Câu 8 Trang 78 Sgk Hình Học 11 Nâng Cao Chi Tiết

Câu 8 trang 78 SGK Hình học 11 Nâng cao

Giải Câu 8 trang 78 SGK Hình học 11 Nâng cao

Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết Câu 8 trang 78 SGK Hình học 11 Nâng cao trên website loigiai.com.vn. Bài tập này thuộc chương trình Hình học 11 Nâng cao, tập trung vào kiến thức về vectơ và ứng dụng trong hình học.

Chúng tôi sẽ cung cấp phương pháp giải bài tập một cách rõ ràng, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.

Cho hai tia Ax và By nằm trên hai đường thẳng chéo nhau. Một điểm M chạy trên Ax và một điểm N chạy trên By sao cho AM = kBN (k > 0 cho trước)

LG a

Chứng minh rằng MN song song với một mặt phẳng cố định

Giải chi tiết:

Câu 8 trang 78 SGK Hình học 11 Nâng cao 1

Dựng tia Bz song song và cùng hướng với tia Ax. Trên các tia Ax, By và Bz lần lượt lấy các điểm cố định M₀, N₀ và M’₀ sao cho \({{A{M_0}} \over {B{N_0}}} = k\) và \(BM{'_0} = A{M_0}\)

Khi đó ta có : \({M_0}M{'_0}//AB\) và \({{BM{'_0}} \over {BN_0}} = k\,\,\left( 1 \right)\)

Lấy điểm M’ thuộc tia Bz sao cho BM’ = AM.

Từ (1) và (2) ta có : MM’ // M₀M’₀ (3)

Và \({{BM'} \over {BN}} = {{B{M'_0}} \over {B{N_0}}}\,\,\left( 4 \right)\)

Từ (4) suy ra NM’ // N₀M’₀ (5)

Từ (3) và (5) suy ra mp(MNM’) // mp(M₀N₀M’₀).

Vậy MN luôn song song với mặt phẳng cố định (M₀N₀M’₀)

LG b

Tìm tập hợp các điểm I thuộc đoạn MN sao cho IM = kIN

Giải chi tiết:

Câu 8 trang 78 SGK Hình học 11 Nâng cao 1

Thuận. Gọi O là một điểm thuộc đoạn thẳng AB sao cho OA : OB = k. Từ O ta vẽ hai tia Ox’ và Oy’ sao cho Ox’ // Ax, Oy’ // By. Xét phép chiếu song song theo phương AB lên mp(Ox’, Oy’). Gọi M’, N’ lần lượt là hình chiếu của M và N theo phép chiếu này. Khi đó, giao điểm của MN và M’N’ chính là điểm I vì rõ ràng ta có :

\({{IM} \over {IN}} = {{M'M} \over {N'N}} = {{OA} \over {OB}} = k\)

Trong tam giác M’ON’, ta có : \({{IM'} \over {IN'}} = k,{{OM'} \over {ON'}} = {{AM} \over {BN}} = k\)

Vậy \({{IM'} \over {IN'}} = {{OM'} \over {ON'}} = k.\) Từ đó suy ra I phải nằm trên tia phân giác Ot của góc x’Oy’.

Đảo. Giả sử I là một điểm bất kì thuộc tia phân giác Ot của góc x’Oy’.

Gọi M’, N’ là những điểm lần lượt thuộc tia Ox’, tia Oy’ sao cho M’, I, N’ thẳng hàng và \({{IM'} \over {IN'}} = k\) (có thể tìm M’, N’ bằng cách dùng phép vị tự tâm I tỉ số -k trên mp(Ox’y’)). Gọi M, N lần lượt là những điểm thuộc các tia Ax, By sao cho AM = OM’, BN = ON’. Dễ thấy I, M, N thẳng hàng và IM : IN = k

Kết luận : Tập hợp các điểm I thỏa mãn điều kiện bài toán là tia phân giác Ot của góc x’Oy’.

Chinh Phục Toán 11: Mở Rộng Cánh Cửa Đại Học Ngay Hôm Nay! Bạn muốn chinh phục Toán 11 và mở rộng cánh cửa vào đại học? Khám phá ngay Câu 8 trang 78 SGK Hình học 11 Nâng cao – hành trang không thể thiếu trong chuyên mục Sách giáo khoa Toán 11 trên nền tảng toán học của chúng tôi! Bộ toán trung học phổ thông bài tập này được biên soạn chuyên sâu, bám sát chặt chẽ chương trình Toán lớp 11 và định hướng các kỳ thi quan trọng. Chúng tôi cam kết tối ưu hóa toàn diện quá trình ôn luyện, giúp học sinh không chỉ làm chủ kiến thức phức tạp mà còn rèn luyện tư duy giải quyết vấn đề. Với phương pháp tiếp cận trực quan, logic và hiệu quả học tập vượt trội, bạn sẽ hoàn toàn sẵn sàng cho các kỳ thi và chương trình đại học!

Câu 8 trang 78 SGK Hình học 11 Nâng cao: Phân tích và Giải chi tiết

Câu 8 trang 78 SGK Hình học 11 Nâng cao yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ để chứng minh một đẳng thức vectơ liên quan đến trung điểm của các cạnh trong một hình bình hành. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các khái niệm cơ bản về vectơ, bao gồm:

Vectơ: Định nghĩa, các phép toán trên vectơ (cộng, trừ, nhân với một số thực).
Trung điểm của đoạn thẳng: Cách xác định trung điểm của một đoạn thẳng bằng vectơ.
Hình bình hành: Các tính chất của hình bình hành liên quan đến vectơ.

Lời giải chi tiết

Đề bài: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Chứng minh rằng: AM = NC.

Lời giải:

Phân tích bài toán: Để chứng minh AM = NC, ta cần chứng minh hai vectơ này bằng nhau. Điều này có nghĩa là chúng có cùng độ dài và cùng hướng.
Sử dụng tính chất trung điểm: Vì M là trung điểm của AB, ta có AM = 1/2 AB. Tương tự, vì N là trung điểm của CD, ta có NC = 1/2 CD.
Sử dụng tính chất hình bình hành: Trong hình bình hành ABCD, ta có AB = DC (các cạnh đối song song và bằng nhau).
Kết luận: Từ các kết quả trên, ta có AM = 1/2 AB = 1/2 DC = NC. Vậy AM = NC (đpcm).

Mở rộng và Bài tập tương tự

Bài toán này là một ví dụ điển hình về việc ứng dụng kiến thức về vectơ để chứng minh các tính chất hình học. Để hiểu sâu hơn về chủ đề này, các em có thể thử giải các bài tập tương tự, ví dụ:

Chứng minh rằng AN = CM.
Chứng minh rằng MN song song với AD và BC.

Lưu ý khi giải bài tập về vectơ

Khi giải các bài tập về vectơ, các em cần chú ý:

Vẽ hình chính xác để hình dung rõ bài toán.
Sử dụng các tính chất của vectơ một cách linh hoạt.
Kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính chính xác.

Ứng dụng của vectơ trong hình học

Vectơ là một công cụ mạnh mẽ trong hình học, được sử dụng để:

Biểu diễn các đại lượng hình học (điểm, đường thẳng, đoạn thẳng).
Chứng minh các tính chất hình học.
Giải các bài toán về hình học tọa độ.

Tổng kết

Hy vọng lời giải chi tiết Câu 8 trang 78 SGK Hình học 11 Nâng cao trên loigiai.com.vn sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về kiến thức vectơ và ứng dụng trong hình học. Chúc các em học tập tốt!

Khái niệm	Giải thích
Vectơ	Một đoạn thẳng có hướng.
Trung điểm	Điểm chia đoạn thẳng thành hai phần bằng nhau.
Hình bình hành	Tứ giác có hai cặp cạnh đối song song.
Bảng tóm tắt các khái niệm quan trọng.