Loigiai.com.vn - Giải Câu 4 Trang 78 Sgk Hình Học 11 Nâng Cao Chi Tiết

Câu 4 trang 78 SGK Hình học 11 Nâng cao

Câu 4 trang 78 SGK Hình học 11 Nâng cao là một bài toán quan trọng trong chương trình Hình học 11 Nâng cao.

Bài toán này thường yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ, các phép toán vectơ, và các tính chất hình học để giải quyết.

Loigiai.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán.

Cho hai hình bình hành ABCD VÀ ABEF nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Lấy các điểm M, N lần lượt thuộc các đường chéo AC, BF sao cho MC = 2AM, NF = 2BN. Qua M, N, kẻ các đường thẳng song song với AB cắt các cạnh AD, AF lần lượt tại M1, N1. Chứng minh rằng:

Đề bài

a. MN // DE

b. M₁N₁ // mp(DEF)

c. mp(MNN₁M₁) // mp(DEF)

Lời giải chi tiết

Câu 4 trang 78 SGK Hình học 11 Nâng cao 1

a. Gọi O là tâm hình bình hành ABCD, ta có AO là trung tuyến và \({{AM} \over {AO}} = {{2AM} \over {AC}} = {2 \over 3}\)

⇒ M là trọng tâm của tam giác ABD , tương tự N là trọng tâm tam giác ABE

Gọi I là trung điểm của AB thì M, N lần lượt trên DI và EI

Trong tam giác IDE ta có: \({{IM} \over {ID}} = {{IN} \over {IE}} = {1 \over 3}\) nên MN // DE và \(MN = {1 \over 3}DE\)

b. Trong ∆FAB: NN₁ // AB ⇒ \({{A{N_1}} \over {AF}} = {{BN} \over {BF}} = {1 \over 3}\)

Trong ∆DAC: MM₁ // CD ⇒ \({{A{M_1}} \over {AD}} = {{AM} \over {AC}} = {1 \over 3}\)

Do đó \({{A{N_1}} \over {AF}} = {{A{M_1}} \over {AD}}\) nên M₁N₁ // DF

Mà DF ⊂ (DEF) suy ra M₁N₁ // mp(DEF)

c. Ta có : M₁N₁ // DF , NN₁ // EF

mà M₁N₁ và NN₁ cắt nhau và nằm trong mp(MNN₁M₁), còn DF và EF cắt nhau và nằm trong mp(DEF)

Vậy mp(MNN₁M₁) // mp(DEF)

Chinh Phục Toán 11: Mở Rộng Cánh Cửa Đại Học Ngay Hôm Nay! Bạn muốn chinh phục Toán 11 và mở rộng cánh cửa vào đại học? Khám phá ngay Câu 4 trang 78 SGK Hình học 11 Nâng cao – hành trang không thể thiếu trong chuyên mục toán 11 trên nền tảng soạn toán của chúng tôi! Bộ toán thpt bài tập này được biên soạn chuyên sâu, bám sát chặt chẽ chương trình Toán lớp 11 và định hướng các kỳ thi quan trọng. Chúng tôi cam kết tối ưu hóa toàn diện quá trình ôn luyện, giúp học sinh không chỉ làm chủ kiến thức phức tạp mà còn rèn luyện tư duy giải quyết vấn đề. Với phương pháp tiếp cận trực quan, logic và hiệu quả học tập vượt trội, bạn sẽ hoàn toàn sẵn sàng cho các kỳ thi và chương trình đại học!

Lời giải chi tiết Câu 4 trang 78 SGK Hình học 11 Nâng cao

Câu 4 trang 78 SGK Hình học 11 Nâng cao thường liên quan đến việc chứng minh đẳng thức vectơ, xác định vị trí tương đối của các điểm, hoặc tính độ dài đoạn thẳng, góc giữa hai vectơ. Để giải quyết bài toán này, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản sau:

Định nghĩa vectơ: Vectơ là một đoạn thẳng có hướng.
Các phép toán vectơ: Phép cộng, phép trừ, phép nhân với một số thực.
Tính chất của các phép toán vectơ: Tính giao hoán, tính kết hợp, tính chất phân phối.
Các biểu thức vectơ: Biểu diễn một vectơ qua các vectơ khác.
Ứng dụng của vectơ trong hình học: Chứng minh các tính chất hình học, giải các bài toán về vị trí tương đối của các điểm.

Phân tích bài toán và tìm hướng giải quyết

Trước khi bắt tay vào giải bài toán, học sinh cần đọc kỹ đề bài, xác định rõ yêu cầu của bài toán, và phân tích các dữ kiện đã cho. Sau đó, học sinh cần tìm ra hướng giải quyết phù hợp, ví dụ như sử dụng các định lý, tính chất hình học, hoặc các phép toán vectơ đã học.

Lời giải cụ thể

(Giả sử đề bài Câu 4 trang 78 SGK Hình học 11 Nâng cao là: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: AM và BD cắt nhau tại một điểm I, và I chia đoạn BD theo tỉ số 2:1.)

Lời giải:

Chọn hệ tọa độ: Chọn điểm A làm gốc tọa độ, AB làm trục Ox, AD làm trục Oy.
Tìm tọa độ các điểm:
- A(0; 0)
- B(a; 0)
- D(0; b)
- C(a; b)
- M((a+a)/2; (0+b)/2) = (a; b/2)
Tìm phương trình đường thẳng AM:
Đường thẳng AM đi qua hai điểm A(0; 0) và M(a; b/2). Phương trình đường thẳng AM là: y = (b/2a)x
Tìm phương trình đường thẳng BD:
Đường thẳng BD đi qua hai điểm B(a; 0) và D(0; b). Phương trình đường thẳng BD là: x/a + y/b = 1, hay bx + ay = ab
Tìm tọa độ giao điểm I của AM và BD:
Giải hệ phương trình:
y = (b/2a)x
bx + ay = ab
Thay y = (b/2a)x vào phương trình bx + ay = ab, ta được: bx + a(b/2a)x = ab => bx + (b/2)x = ab => (3b/2)x = ab => x = (2/3)a
y = (b/2a)(2/3)a = b/3
Vậy tọa độ giao điểm I là ((2/3)a; b/3)
Chứng minh I chia BD theo tỉ số 2:1:
Ta có: BI = √(((2/3)a - a)^2 + (b/3 - 0)^2) = √((-a/3)^2 + (b/3)^2) = √(a^2/9 + b^2/9) = (1/3)√(a^2 + b^2)
ID = √(((2/3)a - 0)^2 + (b/3 - b)^2) = √((2a/3)^2 + (-2b/3)^2) = √(4a^2/9 + 4b^2/9) = (2/3)√(a^2 + b^2)
=> BI/ID = (1/3)√(a^2 + b^2) / (2/3)√(a^2 + b^2) = 1/2
=> ID/BI = 2/1
Vậy I chia đoạn BD theo tỉ số 2:1.

Lưu ý khi giải bài toán vectơ

Sử dụng đúng các quy tắc và tính chất của vectơ.
Vẽ hình minh họa để dễ dàng hình dung bài toán.
Kiểm tra lại kết quả sau khi giải xong.

Bài tập tương tự

Để củng cố kiến thức về vectơ và ứng dụng trong hình học, học sinh có thể làm thêm các bài tập tương tự trong SGK và sách bài tập Hình học 11 Nâng cao.

Kết luận

Câu 4 trang 78 SGK Hình học 11 Nâng cao là một bài toán điển hình về ứng dụng của vectơ trong hình học. Việc nắm vững kiến thức cơ bản và kỹ năng giải toán sẽ giúp học sinh giải quyết bài toán này một cách dễ dàng và hiệu quả.