Giải bài 2.27 trang 51 Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức

Giải bài 2.27 trang 51 Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức: Hướng dẫn chi tiết

Bài 2.27 trang 51 Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức yêu cầu học sinh khảo sát hàm số và tìm các điểm cực trị. Để giải bài này, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

1. Xác định tập xác định của hàm số: Tìm khoảng mà hàm số có nghĩa.
2. Tính đạo hàm bậc nhất: Sử dụng các quy tắc đạo hàm để tìm đạo hàm f'(x).
3. Tìm điểm dừng: Giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các điểm mà đạo hàm bằng không.
4. Khảo sát dấu của đạo hàm bậc nhất: Xét dấu của f'(x) trên các khoảng xác định để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
5. Tìm cực trị: Dựa vào dấu của đạo hàm bậc nhất để xác định các điểm cực đại, cực tiểu của hàm số.
6. Tính đạo hàm bậc hai (nếu cần): Để xác định tính lồi, lõm của hàm số và tìm điểm uốn.

Lời giải chi tiết bài 2.27

Để minh họa, giả sử hàm số cần khảo sát là f(x) = x³ - 3x² + 2. Chúng ta sẽ áp dụng các bước trên để giải bài toán:

Bước 1: Tập xác định

Hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2 có tập xác định là D = ℝ (tập hợp tất cả các số thực).

Bước 2: Đạo hàm bậc nhất

f'(x) = 3x² - 6x

Bước 3: Tìm điểm dừng

Giải phương trình f'(x) = 0:

3x² - 6x = 0

3x(x - 2) = 0

Vậy, x = 0 hoặc x = 2 là các điểm dừng.

Bước 4: Khảo sát dấu của đạo hàm bậc nhất

Xét các khoảng:

• x < 0: f'(x) > 0 (hàm số đồng biến)
• 0 < x < 2: f'(x) < 0 (hàm số nghịch biến)
• x > 2: f'(x) > 0 (hàm số đồng biến)

Bước 5: Tìm cực trị

Tại x = 0, f'(x) đổi dấu từ dương sang âm, nên x = 0 là điểm cực đại. Giá trị cực đại là f(0) = 2.

Tại x = 2, f'(x) đổi dấu từ âm sang dương, nên x = 2 là điểm cực tiểu. Giá trị cực tiểu là f(2) = -2.

Bước 6: Đạo hàm bậc hai (tùy chọn)

f''(x) = 6x - 6

Giải phương trình f''(x) = 0:

6x - 6 = 0

x = 1

Tại x = 1, f''(x) đổi dấu, nên x = 1 là điểm uốn.

Kết luận

Hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2 có:

• Điểm cực đại tại (0, 2)
• Điểm cực tiểu tại (2, -2)
• Điểm uốn tại (1, 0)

Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞, 0) và (2, +∞), nghịch biến trên khoảng (0, 2).

Lưu ý khi giải bài tập khảo sát hàm số

• Luôn kiểm tra tập xác định của hàm số trước khi thực hiện các phép toán.
• Sử dụng đúng các quy tắc đạo hàm để tính đạo hàm chính xác.
• Khảo sát dấu của đạo hàm bậc nhất một cách cẩn thận để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến và các điểm cực trị.
• Đạo hàm bậc hai có thể giúp xác định tính lồi, lõm và điểm uốn của hàm số.

Hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, các em học sinh có thể tự tin giải bài 2.27 trang 51 Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức và các bài tập tương tự. Chúc các em học tập tốt!