Đề số 17 - Đề thi vào lớp 10 môn Toán

Đề bài

Câu I (2 điểm):

1) a) Rút gọn: \(A = \sqrt {12} + \sqrt 3 .\)

b) Tìm \(x\) biết \(4x - 6 = 0.\)

2) a) Rút gọn biểu thức: \(B = {\left( {x + 2} \right)^2} - {x^2}.\)

b) Vẽ đồ thị hàm số \(y = 2x - 3\) trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy.\)

Câu II (2,0 điểm):

1) Giải phương trình: \({x^4} - 8{x^2} - 9 = 0.\)

2) Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{{y + 1}} = 4\\\dfrac{2}{x} - \dfrac{1}{{y + 1}} = 3\end{array} \right..\)

Câu III (2,0 điểm)

1) Do cải tiến kỹ thuật nên tổng sản lượng thu hoạch cam nhà bác Minh năm 2017 đạt 180 tấn, tăng 20% so với năm 2016. Hỏi năm 2016 nhà bác Minh thu hoạch được bao nhiêu tấn cam?

2) Cho hình chữ nhật ABCD, kẻ AH vuông góc với BD tại H, đường thẳng AH cắt DC tại E, biết AH = 4cm, HE = 2cm. Tính diện tích hình chữ nhật ABCD.

Câu IV (2 điểm):

Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) đường kính AB, một dây CD cắt đoạn thẳng AB tại E, tiếp tuyến của (O) tại B cắt các tia AC, AD lần lượt tại M, N.

1) Chứng minh rằng \(\angle ACD = \angle ANM\)

2) Chứng minh rằng \(AC + AD + AM + AN > 8R\)

Câu V.

1) Giải phương trình: \({x^2} + 2 = 2\sqrt {{x^3} + 1} .\)

2) Cho x, y là các số không âm thỏa mãn \(x + y = 4\). Chứng minh \({x^2}{y^2}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \le 128\)

Lời giải chi tiết

Câu I:

1) a) Rút gọn: \(A = \sqrt {12} + \sqrt 3 .\)

\(A = \sqrt {12} + \sqrt 3 = \sqrt {{2^2}.3} + \sqrt 3 \)\(\,= 2\sqrt 3 + \sqrt 3 = 3\sqrt 3 .\)

Vậy \(A = 3\sqrt 3 .\)

b) Tìm \(x\) biết \(4x - 6 = 0.\)

\(4x - 6 = 0 \Leftrightarrow 4x = 6 \Leftrightarrow x = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2}.\)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x = \dfrac{3}{2}.\)

2) a) Rút gọn biểu thức: \(B = {\left( {x + 2} \right)^2} - {x^2}.\)

\(B = {\left( {x + 2} \right)^2} - {x^2} \)

\(\;\;\;= {x^2} + 4x + 4 - {x^2} = 4x + 4.\)

Vậy \(B = 4x + 4.\)

b) Vẽ đồ thị hàm số \(y = 2x - 3\) trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy.\)

Ta có bảng giá trị:

Vậy đồ thị hàm số \(y = 2x - 3\) là đường thẳng đi qua các điểm \(\left( {0; - 3} \right),\;\;\left( {2;\;1} \right).\)

Câu II:

1) Giải phương trình: \({x^4} - 8{x^2} - 9 = 0.\)

Đặt \({x^2} = t\;\;\left( {t \ge 0} \right).\)

Khi đó ta có phương trình \( \Leftrightarrow {t^2} - 8t - 9 = 0.\)

Có: \(a = 1,\;\;b = - 8,\;\;c = - 9 \) \(\Rightarrow a - b + c = 1 + 8 - 9 = 0.\)

\( \Rightarrow \) phương trình có hai nghiệm \(t = - 1\;\;\left( {ktm} \right)\) và \(t = - \dfrac{c}{a} = 9\;\;\left( {tm} \right).\)

Với \(t = 9 \Rightarrow {x^2} = 9 \Leftrightarrow x = \pm 3.\)

Vậy phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ { - 3;\;3} \right\}.\)

2) Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{{y + 1}} = 4\\\dfrac{2}{x} - \dfrac{1}{{y + 1}} = 3\end{array} \right..\)

Điều kiện: \(x \ne 0,\;\;y \ne - 1.\)

Đặt \(u = \dfrac{1}{x}\;\;\left( {u \ne 0} \right),\;\;v = \dfrac{1}{{y + 1}}\;\;\left( {v \ne 0} \right).\)

Khi đó ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}u + 2v = 4\\2u - v = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u + 2v = 4\\4u - 2v = 6\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5u = 10\\v = 2u - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = 2\;\;\left( {tm} \right)\\v = 1\;\;\;\left( {tm} \right)\end{array} \right..\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{x} = 2\\\dfrac{1}{{y + 1}} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x = 1\\y + 1 = 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{2}\;\;\;\left( {tm} \right)\\y = 0\;\;\;\left( {tm} \right)\end{array} \right..\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;\;y} \right) = \left( {\dfrac{1}{2};\;0} \right).\)

Câu III.

1) Do cải tiến kỹ thuật nên tổng sản lượng thu hoạch cam nhà bác Minh năm 2017 đạt 180 tấn, tăng 20% so với năm 2016. Hỏi năm 2016 nhà bác Minh thu hoạch được bao nhiêu tấn cam?

Gọi số cam nhà bác Minh thu hoạch được năm 2016 là: x (tấn) \(\left( {0 < x < 180} \right)\)

Số tấn cam nhà bác Minh thu hoạch được năm 2017 tăng 20% so với năm 2016 nên ta có: \(120\% .x = 1,2x\) (tấn)

Theo đầu bài ta có số tấn cam nhà bác Minh thu hoạch được năm 2017 là 180 tấn nên:

\(1,2x = 180 \Leftrightarrow x = 150\left( {tm} \right)\)

Vậy năm 2016 nhà bác Minh thu hoạch được 150 tấn cam.

2) Cho hình chữ nhật ABCD, kẻ AH vuông góc với BD tại H, đường thẳng AH cắt DC tại E, biết AH = 4cm, HE = 2cm. Tính diện tích hình chữ nhật ABCD.

Xét tam giác ADE vuông tại D và có đường cao DH (do \(AH \bot DB \Rightarrow AE \bot DH\) ) ta có:

\(A{D^2} = AH.AE = 4.\left( {4 + 2} \right) = 24\)

\(\Rightarrow AD = 2\sqrt 6 \left( {cm} \right)\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ADB vuông tại A với AH là đường cao ta có:

\(\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{D^2}}} + \dfrac{1}{{A{B^2}}}\)

\(\Rightarrow \dfrac{1}{{A{B^2}}} = \dfrac{1}{{A{H^2}}} - \dfrac{1}{{A{D^2}}} = \dfrac{1}{{{4^2}}} - \dfrac{1}{{24}} = \dfrac{1}{{48}}\)

\(\Rightarrow AB = 4\sqrt 3 \;\;cm.\)

Diện tích hình chữ nhật ABCD là: \({S_{ABCD}} = AB.AD = 4\sqrt 3 .2\sqrt 6 = 24\sqrt 2 \left( {c{m^2}} \right)\)

Câu IV.

Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) đường kính AB, một dây CD cắt đoạn thẳng AB tại E, tiếp tuyến của (O) tại B cắt các tia AC, AD lần lượt tại M, N.

1) Chứng minh rằng \(\angle ACD = \angle ANM\)

Ta có \(\angle ACB = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow BC \bot AC \Rightarrow BC \bot AM\).

\( \Rightarrow \angle CMN + \angle MBC = {90^0}\) (tam giác BCM vuông tại C)

Mà \(\angle ABC + \angle MBC = \angle ABM = {90^0}\,\,\left( {gt} \right)\)

\( \Rightarrow \angle ABC = \angle CMN\). (cùng phụ với \(\angle CBM\))

Mà \(\angle ADC = \angle ABC\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC).

\( \Rightarrow \angle ADC = \angle CMN\).

Lại có \(\angle ADC + \angle CDN = {180^0}\) (kề bù) \( \Rightarrow \angle CMN + \angle CDN = {180^0}\).

\( \Rightarrow \) Tứ giác CDNM là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰).

\( \Rightarrow \angle ACD = \angle ANM\) (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp).

2) Chứng minh rằng \(AC + AD + AM + AN > 8R\)

Ta có \(\angle ACB = \angle ADB = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABM ta có: \(A{B^2} = AC.AM\)

\(\Rightarrow AM = \dfrac{{A{B^2}}}{{AC}} = \dfrac{{4{R^2}}}{{AC}}\)

 Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABN ta có: \(A{B^2} = AD.AN \)

\(\Rightarrow AN = \dfrac{{A{B^2}}}{{AD}} = \dfrac{{4{R^2}}}{{AD}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow AC + AD + AM + AN = AC + AD + \dfrac{{4{R^2}}}{{AC}} + \dfrac{{4{R^2}}}{{AD}}\\ = \left( {AC + \dfrac{{4{R^2}}}{{AC}}} \right) + \left( {AD + \dfrac{{4{R^2}}}{{AD}}} \right)\mathop \ge \limits^{Cauchy} 2\sqrt {AC.\dfrac{{4{R^2}}}{{AC}}} + 2\sqrt {AD.\dfrac{{4{R^2}}}{{AD}}} = 2.2R + 2.2R = 8R\end{array}\)

Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}AC = \dfrac{{4{R^2}}}{{AC}}\\AD = \dfrac{{4{R^2}}}{{AD}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}AC = 2R\\AD = 2R\end{array} \right.\) , khi đó \(C \equiv D \equiv M \equiv N \equiv B\)

Câu V:

1) Giải phương trình: \({x^2} + 2 = 2\sqrt {{x^3} + 1} .\)

Điều kiện: \({x^3} + 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge - 1.\)

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;{x^2} + 2 = 2\sqrt {{x^3} + 1} \\ \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + 2} \right)^2} = 4\left( {{x^3} + 1} \right)\;\;\;\forall x \ge - 1\\ \Leftrightarrow {x^4} + 4{x^2} + 4 = 4{x^3} + 4\\ \Leftrightarrow {x^4} - 4{x^3} + 4{x^2} = 0\\ \Leftrightarrow {x^2}\left( {{x^2} - 4x + 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {x^2}{\left( {x - 2} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = 0\\{\left( {x - 2} \right)^2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\;\;\;\left( {tm} \right)\\x = 2\;\;\;\left( {tm} \right)\end{array} \right..\end{array}\)

Vậy phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ {0;\;2} \right\}.\)

2) Cho x, y là các số không âm thỏa mãn \(x + y = 4\). Chứng minh \({x^2}{y^2}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \le 128\)

Theo bài ra ta có :

\({\left( {x + y} \right)^2} = {4^2} = 16\)

\(\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 2xy = 16\)

\(\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 16 - 2xy\)

Từ đó suy ra

\({x^2}{y^2}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \le 128\)

\(\Leftrightarrow {x^2}{y^2}\left( {16 - 2xy} \right) \le 128\)

Đặt \(t = xy\) ta có \(0 \le xy \le \dfrac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4} = \dfrac{{16}}{4} = 4 \) \(\Rightarrow 0 \le t \le 4\).

\( \Rightarrow {t^2}\left( {16 - 2t} \right) \le 128\) với \(t \le 4\) \( \Leftrightarrow 8{t^2} - {t^3} - 64 \le 0\) với \(0 \le t \le 4\)

Ta cần chứng minh \(8{t^2} - {t^3} - 64 \le 0\) với \(0 \le t \le 4\)

Ta có

\(\begin{array}{l}\,\,\,8{t^2} - {t^3} - 64\\ = \left( {t - 4} \right)\left( { - {t^2} + 4t + 16} \right)\\ = \left( {t - 4} \right)\left[ { - t\left( {t - 4} \right) + 16} \right]\end{array}\)

Với \(0 \le t \le 4 \Rightarrow t - 4 \le 0\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow t\left( {t - 4} \right) \le 0 \\\Leftrightarrow - t\left( {t - 4} \right) \ge 0 \Leftrightarrow - t\left( {t - 4} \right) + 16 \ge 16 > 0\\ \Rightarrow \left( {t - 4} \right)\left[ { - t\left( {t - 4} \right) + 16} \right] \le 0\end{array}\)

Do đó bất đẳng thức được chứng minh.

Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow t = 4 \Leftrightarrow x = y = 2\).