Loigiai.com.vn xin giới thiệu bộ đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán tỉnh Lào Cai năm 2021 chính thức, được cập nhật nhanh chóng và đầy đủ. Đây là tài liệu ôn tập vô cùng quan trọng dành cho các em học sinh đang chuẩn bị cho kỳ thi sắp tới.
Chúng tôi cung cấp không chỉ đề thi mà còn cả đáp án chi tiết, giúp các em tự đánh giá năng lực và tìm ra những điểm cần cải thiện.
Câu 1 (1,0 điểm): Tính giá trị các biểu thức sau:
Câu 1 (1,0 điểm): Tính giá trị các biểu thức sau:
a) \(A = \sqrt {49} - 3\)
b) \(B = \sqrt {{{\left( {10 - \sqrt 5 } \right)}^2}} + \sqrt 5 \)
Câu 2 (1,5 điểm): Cho biểu thức \(P = \left( {\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} + \dfrac{2}{{\sqrt x - 2}}} \right):\dfrac{{x + 4}}{{\sqrt x + 2}}\) (Với \(x \ge 0,\,x \ne 4\)).
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tính giá trị của \(x\) để \(P = \dfrac{1}{6}\).
Câu 3 (1,0 điểm):
a) Cho hàm số \(y = 2x + b\). Tìm \(b\) biết rằng đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3.
b) Cho parabol \(\left( P \right):\,\,y = {x^2}\) và đường thẳng \(d:\,\,y = \left( {m - 1} \right)x + m + 4\) (\(m\) là tham số). Tìm điều kiện của tham số \(m\) để \(d\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung.
Câu 4 (1,5 điểm):
a) Giải hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x - y = 1}\\{x + y = 2}\end{array}} \right.\)
b) Hai bạn An và Bình cùng may khẩu trang để ủng hộ địa phương đang có dịch bệnh Covid-19, thì mất hai ngày mới hoàn thành công việc. Nếu chỉ có một mình bạn An làm việc trong 4 ngày rồi nghỉ và bạn Bình làm tiếp trong 1 ngày nữa thì hoàn thành công việc. Hỏi mỗi người làm riêng một mình thì sau bao lâu sẽ hoàn thành công việc ?
Câu 5 (2,0 điểm):
a) Giải phương trình: \({x^2} + 5x - 6 = 0\)
b) Tìm các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \({x^2} - mx + m - 2 = 0\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn: \({x_1} - {x_2} = 2\sqrt 5 \).
Câu 6 (1,0 điểm): Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), có độ dài các cạnh của tam giác thỏa mãn hệ thức \(B{C^2} = \left( {\sqrt 3 + 1} \right)A{C^2} + \left( {\sqrt 3 - 1} \right)AB.AC\), hãy tính số đo góc \(\angle ABC\).
Câu 7 (2,0 điểm):Cho đường tròn \(\left( O \right)\), từ điểm \(A\) nằm ngoài đường tròn kẻ đường thẳng \(AO\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(B,C\) \(\left( {AB < AC} \right)\). Qua \(A\) kẻ đường thẳng không đi qua tâm \(O\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(D,E\) \(\left( {AD < AE} \right)\). Đường thẳng vuông góc với \(AB\) tại \(A\) cắt đường thẳng \(CE\) tại \(F\).
a) Chứng minh tứ giác \(ABEF\) nội tiếp.
b) Gọi \(M\) là giao điểm thứ hai của \(FB\) với đường tròn \(\left( O \right)\). Chứng minh: \(DM\) vuông góc với \(AC\).
c) Chứng minh \(CE.CF + AD.AE = A{C^2}\)
Câu 1 (VD):
Phương pháp:
Vận dụng quy tắc khai phương một số, sau đó rút gọn biểu thức
Cách giải:
a) Ta có: \(A = \sqrt {49} - 3 = 7 - 3 = 4\).
b) Ta có: \(B = \sqrt {{{\left( {10 - \sqrt 5 } \right)}^2}} + \sqrt 5 = \left| {10 - \sqrt 5 } \right| + \sqrt 5 = 10 - \sqrt 5 + \sqrt 5 = 10\)
Câu 2 (VD):
Phương pháp:
a) Xác định điều kiện của biểu thức, áp dung quy tắc cộng, nhân chia các phân thức đại số để rút gọn biểu thức
b) Áp dụng quy tắc hai phân thức bằng nhau, tìm giá trị của \(x\), đối chiếu điều kiện và kết luận nghiệm của phương trình
Cách giải:
a) Với \(x \ge 0,\,x \ne 4\) ta có:
\(\begin{array}{l}P = \left( {\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} + \dfrac{2}{{\sqrt x - 2}}} \right):\dfrac{{x + 4}}{{\sqrt x + 2}}\\P = \left( {\dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} + \dfrac{{2\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}} \right):\dfrac{{x + 4}}{{\sqrt x + 2}}\\P = \dfrac{{x - 2\sqrt x + 2\sqrt x + 4}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}.\dfrac{{\sqrt x + 2}}{{x + 4}}\\P = \dfrac{{x + 4}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}.\dfrac{{\sqrt x + 2}}{{x + 4}}\\P = \dfrac{1}{{\sqrt x - 2}}\end{array}\)
Vậy với \(x \ge 0,\,x \ne 4\) thì \(P = \dfrac{1}{{\sqrt x - 2}}\).
b) Ta có: \(P = \dfrac{1}{6} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{\sqrt x - 2}} = \dfrac{1}{6} \Leftrightarrow \sqrt x - 2 = 6 \Leftrightarrow \sqrt x = 8 \Leftrightarrow x = 64\,\,\left( {tm\,\,DKXD} \right)\).
Vậy với \(x = 64\) thì \(P = \dfrac{1}{6}\).
Câu 3 (VD):
Phương pháp:
a) Xác định tọa độ giao điểm của đồ thị và trục hoành tại điểm có hoàng độ là 3 là điểm: \(\left( {3;0} \right)\), sau đó thay vào hàm số để tìm giá tị của b.
b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của Parabol (P) và đường thẳng \(d\) , sau đó biện luận: \(\left( P \right)\) cắt \(d\) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu, sử dụng hệ thức Vi – ét để tìm giá trị m.
Cách giải:
a) Vì đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3 nên đồ thị hàm số đi qua điểm \(\left( {3;0} \right)\).
Thay \(x = 3,y = 0\) vào hàm số ta được: \(2.3 + b = 0 \Leftrightarrow b = - 6\).
Vậy \(b = - 6\).
b) Hoành độ giao điểm của Parabol (P) và đường thẳng \(d\) là nghiệm của phương trình;
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{x^2} = \left( {m - 1} \right)x + m + 4\\ \Leftrightarrow {x^2} - \left( {m - 1} \right)x - m - 4 = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)
\(\left( P \right)\) cắt \(d\) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu.
\( \Leftrightarrow ac < 0 \Leftrightarrow - m - 4 < 0 \Leftrightarrow m > - 4\).
Vậy \(m > - 4\) thì \(\left( P \right)\) cắt \(d\) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung.
Câu 4 (VD):
Phương pháp:
a) Sử dụng phương pháp cộng đại số
b) Vận dụng cách giải bài toán bằng cách lâp hệ phương trình: Gọi thời gian hoàn thành công việc một mình của An và Bình lần lượt là \(x,\,\,y\) (ngày; \(x,\,y > 0\)), sau đó xác định hai phương trình để tìm được \(x,\,\,y\), chú ý đối chiếu điều kiện.
Cách giải:
a) Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x - y = 1}\\{x + y = 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x = 3}\\{y = 2 - x}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2 - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{y = 1}\end{array}} \right.\).
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {1;\,\,1} \right)\).
b) Gọi thời gian hoàn thành công việc một mình của An và Bình lần lượt là \(x,\,\,y\) (ngày; \(x,\,y > 0\)).
Một ngày An hoàn thành được: \(\dfrac{1}{x}\) (công việc)
Một ngày Bình hoàn thành được: \(\dfrac{1}{y}\) (công việc)
Do hai bạn cùng là thì sau hai ngày xong công việc nên một ngày hai bạn hoành thành được: \(\dfrac{1}{2}\) (công việc)
Ta có phương trình: \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{2}\) (1)
Bạn An làm 4 ngày được \(\dfrac{4}{x}\) (công việc)
Vì một mình bạn An làm việc trong 4 ngày rồi nghỉ và bạn Bình làm tiếp trong 1 ngày nữa thì hoàn thành công việc nên ta có phương trình: \(\dfrac{4}{x} + \dfrac{1}{y} = 1\) (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{2}}\\{\dfrac{4}{x} + \dfrac{1}{y} = 1}\end{array}} \right.\)
Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{1}{x} = a}\\{\dfrac{1}{y} = b}\end{array}} \right.\) thì hệ phương trình trở thành: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a + b = \dfrac{1}{2}}\\{4a + b = 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3a = \dfrac{1}{2}\\b = \dfrac{1}{2} - a\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{1}{6}\\b = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{6}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \dfrac{1}{6}}\\{b = \dfrac{1}{3}}\end{array}} \right.\)
Thay vào cách đặt ta được \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{6}}\\{\dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{3}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 6\,\,\,\,\left( {tm} \right)}\\{y = 3\,\,\,\,\left( {tm} \right)}\end{array}} \right.\).
Vậy An làm một mình sau 6 ngày xong công việc, Bình làm một mình sau 3 ngày xong công việc.
Câu 5 (VD)
Phương pháp:
a) + Cách 1: Phân tích đa thức thành nhân tử, đưa phương trình về dạng phương trình tích: \(A\left( x \right).B\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A\left( x \right) = 0\\B\left( x \right) = 0\end{array} \right.\)
+ Cách 2: Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai môt ẩn.
b) Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt, biến đổi biểu thức cần tính để xuất hiện \({x_1} + {x_2},{x_1}{x_2}\) sau đó vận dụng Hệ thức Vi – ét để tìm giá trị của \(m\).
Chú ý: \({\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2}\)
Cách giải:
a) Cách 1:
\({x^2} + 5x - 6 = 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} - x + 6x - 6 = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right) + 6\left( {x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x + 6} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 6\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ { - 6;1} \right\}\).
Cách 2:
Ta có \(\Delta = {5^2} - 4.1.\left( { - 6} \right) = 49 > 0\) nên phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = \dfrac{{ - 5 + \sqrt {49} }}{2} = 1\\{x_2} = \dfrac{{ - 5 - \sqrt {49} }}{2} = - 6\end{array} \right.\).
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ { - 6;1} \right\}\).
b) Phương trình \({x^2} - mx + m - 2 = 0\) có 2 nghiệm khi và chỉ khi \(\Delta > 0\).
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( { - m} \right)^2} - 4\left( {m - 2} \right) > 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - 4m + 8 > 0\end{array}\)
\( \Leftrightarrow {\left( {m - 2} \right)^2} + 4 > 0\) (luôn đúng).
Do đó phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\).
Theo hệ thức Vi –ét ta có:\(\left\{ \begin{array}{l}{x_2} + {x_2} = m\\{x_1}.{x_2} = m - 2\end{array} \right.\).
Theo bài ra ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{x_1} - {x_2} = 2\sqrt 5 \\ \Rightarrow {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = 20\\ \Leftrightarrow x_1^2 + x_2^2 - 2{x_2}{x_2} = 20\\ \Leftrightarrow \left( {x_1^2 + x_2^2 + 2{x_1}{x_2}} \right) - 4{x_1}{x_2} = 20\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 20\\ \Leftrightarrow {m^2} - 4\left( {m - 2} \right) = 20\\ \Leftrightarrow {m^2} - 4m - 12 = 0\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)
Ta có \({\Delta _m}' = {2^2} - 1.\left( { - 12} \right) = 16 > 0\) nên phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}{m_1} = \dfrac{{2 + \sqrt {16} }}{1} = 6\\{m_2} = \dfrac{{2 - \sqrt {16} }}{1} = - 2\end{array} \right.\).
Vậy \(m = 6\) hoặc \(m = - 2\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 6 (VD)
Phương pháp:
Áp dụng định lý Py – ta – go để tìm độ dài các cạnh, vận dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để xác định \(\cot \angle ABC\).
Cách giải:
Áp dụng định lí Pytago ta có:
\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow A{B^2} + A{C^2} = \left( {\sqrt 3 + 1} \right)A{C^2} + \left( {\sqrt 3 - 1} \right)AB.AC\\ \Leftrightarrow A{B^2} = \sqrt 3 A{C^2} + \left( {\sqrt 3 - 1} \right)AB.AC\\ \Leftrightarrow A{B^2} - \left( {\sqrt 3 - 1} \right)AB.AC - \sqrt 3 A{C^2} = 0\\ \Leftrightarrow A{B^2} + AB.AC - \sqrt 3 AB.AC - \sqrt 3 A{C^2} = 0\\ \Leftrightarrow AB\left( {AB + AC} \right) - \sqrt 3 AC\left( {AB + AC} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {AB + AC} \right)\left( {AB - \sqrt 3 AC} \right) = 0\\ \Leftrightarrow AB = \sqrt 3 AC\,\,\left( {do\,\,AB + AC > 0} \right)\\ \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{AC}} = \sqrt 3 \\ \Rightarrow \cot \angle ABC = \sqrt 3 \\ \Rightarrow \angle ABC = {30^0}\end{array}\)
Vậy \(\angle ABC = {30^0}\).
Câu 7 (VDC).
Phương pháp:
a) Vận dụng dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp: tứ giác có tổng hai góc đối ngau bằng \({180^0}\) là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh \(MD//AF\) và kết hợp với \(AF \bot AC\,\,\left( {gt} \right)\), suy ra \(MD \bot AC\)
c) Chứng minh \(\Delta BEC\, \sim \Delta FAC\,\,\,\left( {g.g} \right)\), \(\Delta ABD \sim \Delta AEC\,\,\left( {g.g} \right)\) suy ra các hệ thức về tỉ lệ các cạnh, cộng vế với vế biến đổi để ra đẳng thức cần chứng minh
Cách giải:
a) Ta có \(BC\) là đường kính của \(\left( O \right)\) nên \(\angle BEC = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
\( \Rightarrow \angle BEF = 180^\circ - \angle BEC = 90^\circ \) (hai góc kề bù)
Mà \(AB \bot AF \Rightarrow \angle BAF = 90^\circ \)
Xét tứ giác \(ABEF\) ta có: \(\angle BEF + \angle BAF = {90^0} + {90^0} = {180^0}\).
Vậy tứ giác \(ABEF\) nội tiếp (dhnb).
b) Ta có \(\angle BED = \angle BMD = \dfrac{1}{2}sdcBD\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(BD\)).
Mà \(\angle BED = \angle BEA = \angle BFA\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(B\) của tứ giác nội tiếp \(ABEF\)).
\( \Rightarrow \angle BMD = \angle BFA\). Mà 2 góc này ở vị trí hai góc so le trong nên suy ra \(MD//AF\) (dhnb).
Mà \(AF \bot AC\,\,\left( {gt} \right)\).
Vậy \(MD \bot AC\) (đpcm).
c) Xét \(\Delta BEC\) và \(\Delta FAC\) có:
\(\angle BEC = \angle FAC = {90^0}\);
\(\angle ACF\) chung
\( \Rightarrow \)\(\Delta BEC\, \sim \Delta FAC\,\,\,\left( {g.g} \right)\)
\( \Rightarrow \dfrac{{CE}}{{AC}} = \dfrac{{BC}}{{CF}} \Rightarrow CE.CF = AC.BC\) (1)
Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta AEC\) có:
\(\angle EAC\) chung;
\(\angle ADB = \angle ACE\) (Góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp \(BDEC\)).
\( \Rightarrow \Delta ABD \sim \Delta AEC\,\,\left( {g.g} \right)\)
\( \Rightarrow \dfrac{{AD}}{{AC}} = \dfrac{{AB}}{{AE}} \Rightarrow AD.AE = AB.AC\) (2)
Cộng vế theo vế của (1) với (2) ta được:
\(CE.CF + AD.AE = AC.BC + AC.AB = AC.\left( {BC + AB} \right) = A{C^2}\).
Vậy \(CE.CF + AD.AE = A{C^2}\) (đpcm).
Câu 1 (1,0 điểm): Tính giá trị các biểu thức sau:
a) \(A = \sqrt {49} - 3\)
b) \(B = \sqrt {{{\left( {10 - \sqrt 5 } \right)}^2}} + \sqrt 5 \)
Câu 2 (1,5 điểm): Cho biểu thức \(P = \left( {\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} + \dfrac{2}{{\sqrt x - 2}}} \right):\dfrac{{x + 4}}{{\sqrt x + 2}}\) (Với \(x \ge 0,\,x \ne 4\)).
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tính giá trị của \(x\) để \(P = \dfrac{1}{6}\).
Câu 3 (1,0 điểm):
a) Cho hàm số \(y = 2x + b\). Tìm \(b\) biết rằng đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3.
b) Cho parabol \(\left( P \right):\,\,y = {x^2}\) và đường thẳng \(d:\,\,y = \left( {m - 1} \right)x + m + 4\) (\(m\) là tham số). Tìm điều kiện của tham số \(m\) để \(d\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung.
Câu 4 (1,5 điểm):
a) Giải hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x - y = 1}\\{x + y = 2}\end{array}} \right.\)
b) Hai bạn An và Bình cùng may khẩu trang để ủng hộ địa phương đang có dịch bệnh Covid-19, thì mất hai ngày mới hoàn thành công việc. Nếu chỉ có một mình bạn An làm việc trong 4 ngày rồi nghỉ và bạn Bình làm tiếp trong 1 ngày nữa thì hoàn thành công việc. Hỏi mỗi người làm riêng một mình thì sau bao lâu sẽ hoàn thành công việc ?
Câu 5 (2,0 điểm):
a) Giải phương trình: \({x^2} + 5x - 6 = 0\)
b) Tìm các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \({x^2} - mx + m - 2 = 0\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn: \({x_1} - {x_2} = 2\sqrt 5 \).
Câu 6 (1,0 điểm): Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), có độ dài các cạnh của tam giác thỏa mãn hệ thức \(B{C^2} = \left( {\sqrt 3 + 1} \right)A{C^2} + \left( {\sqrt 3 - 1} \right)AB.AC\), hãy tính số đo góc \(\angle ABC\).
Câu 7 (2,0 điểm):Cho đường tròn \(\left( O \right)\), từ điểm \(A\) nằm ngoài đường tròn kẻ đường thẳng \(AO\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(B,C\) \(\left( {AB < AC} \right)\). Qua \(A\) kẻ đường thẳng không đi qua tâm \(O\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(D,E\) \(\left( {AD < AE} \right)\). Đường thẳng vuông góc với \(AB\) tại \(A\) cắt đường thẳng \(CE\) tại \(F\).
a) Chứng minh tứ giác \(ABEF\) nội tiếp.
b) Gọi \(M\) là giao điểm thứ hai của \(FB\) với đường tròn \(\left( O \right)\). Chứng minh: \(DM\) vuông góc với \(AC\).
c) Chứng minh \(CE.CF + AD.AE = A{C^2}\)
Câu 1 (VD):
Phương pháp:
Vận dụng quy tắc khai phương một số, sau đó rút gọn biểu thức
Cách giải:
a) Ta có: \(A = \sqrt {49} - 3 = 7 - 3 = 4\).
b) Ta có: \(B = \sqrt {{{\left( {10 - \sqrt 5 } \right)}^2}} + \sqrt 5 = \left| {10 - \sqrt 5 } \right| + \sqrt 5 = 10 - \sqrt 5 + \sqrt 5 = 10\)
Câu 2 (VD):
Phương pháp:
a) Xác định điều kiện của biểu thức, áp dung quy tắc cộng, nhân chia các phân thức đại số để rút gọn biểu thức
b) Áp dụng quy tắc hai phân thức bằng nhau, tìm giá trị của \(x\), đối chiếu điều kiện và kết luận nghiệm của phương trình
Cách giải:
a) Với \(x \ge 0,\,x \ne 4\) ta có:
\(\begin{array}{l}P = \left( {\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} + \dfrac{2}{{\sqrt x - 2}}} \right):\dfrac{{x + 4}}{{\sqrt x + 2}}\\P = \left( {\dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} + \dfrac{{2\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}} \right):\dfrac{{x + 4}}{{\sqrt x + 2}}\\P = \dfrac{{x - 2\sqrt x + 2\sqrt x + 4}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}.\dfrac{{\sqrt x + 2}}{{x + 4}}\\P = \dfrac{{x + 4}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}.\dfrac{{\sqrt x + 2}}{{x + 4}}\\P = \dfrac{1}{{\sqrt x - 2}}\end{array}\)
Vậy với \(x \ge 0,\,x \ne 4\) thì \(P = \dfrac{1}{{\sqrt x - 2}}\).
b) Ta có: \(P = \dfrac{1}{6} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{\sqrt x - 2}} = \dfrac{1}{6} \Leftrightarrow \sqrt x - 2 = 6 \Leftrightarrow \sqrt x = 8 \Leftrightarrow x = 64\,\,\left( {tm\,\,DKXD} \right)\).
Vậy với \(x = 64\) thì \(P = \dfrac{1}{6}\).
Câu 3 (VD):
Phương pháp:
a) Xác định tọa độ giao điểm của đồ thị và trục hoành tại điểm có hoàng độ là 3 là điểm: \(\left( {3;0} \right)\), sau đó thay vào hàm số để tìm giá tị của b.
b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của Parabol (P) và đường thẳng \(d\) , sau đó biện luận: \(\left( P \right)\) cắt \(d\) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu, sử dụng hệ thức Vi – ét để tìm giá trị m.
Cách giải:
a) Vì đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3 nên đồ thị hàm số đi qua điểm \(\left( {3;0} \right)\).
Thay \(x = 3,y = 0\) vào hàm số ta được: \(2.3 + b = 0 \Leftrightarrow b = - 6\).
Vậy \(b = - 6\).
b) Hoành độ giao điểm của Parabol (P) và đường thẳng \(d\) là nghiệm của phương trình;
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{x^2} = \left( {m - 1} \right)x + m + 4\\ \Leftrightarrow {x^2} - \left( {m - 1} \right)x - m - 4 = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)
\(\left( P \right)\) cắt \(d\) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu.
\( \Leftrightarrow ac < 0 \Leftrightarrow - m - 4 < 0 \Leftrightarrow m > - 4\).
Vậy \(m > - 4\) thì \(\left( P \right)\) cắt \(d\) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung.
Câu 4 (VD):
Phương pháp:
a) Sử dụng phương pháp cộng đại số
b) Vận dụng cách giải bài toán bằng cách lâp hệ phương trình: Gọi thời gian hoàn thành công việc một mình của An và Bình lần lượt là \(x,\,\,y\) (ngày; \(x,\,y > 0\)), sau đó xác định hai phương trình để tìm được \(x,\,\,y\), chú ý đối chiếu điều kiện.
Cách giải:
a) Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x - y = 1}\\{x + y = 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x = 3}\\{y = 2 - x}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2 - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{y = 1}\end{array}} \right.\).
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {1;\,\,1} \right)\).
b) Gọi thời gian hoàn thành công việc một mình của An và Bình lần lượt là \(x,\,\,y\) (ngày; \(x,\,y > 0\)).
Một ngày An hoàn thành được: \(\dfrac{1}{x}\) (công việc)
Một ngày Bình hoàn thành được: \(\dfrac{1}{y}\) (công việc)
Do hai bạn cùng là thì sau hai ngày xong công việc nên một ngày hai bạn hoành thành được: \(\dfrac{1}{2}\) (công việc)
Ta có phương trình: \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{2}\) (1)
Bạn An làm 4 ngày được \(\dfrac{4}{x}\) (công việc)
Vì một mình bạn An làm việc trong 4 ngày rồi nghỉ và bạn Bình làm tiếp trong 1 ngày nữa thì hoàn thành công việc nên ta có phương trình: \(\dfrac{4}{x} + \dfrac{1}{y} = 1\) (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{2}}\\{\dfrac{4}{x} + \dfrac{1}{y} = 1}\end{array}} \right.\)
Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{1}{x} = a}\\{\dfrac{1}{y} = b}\end{array}} \right.\) thì hệ phương trình trở thành: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a + b = \dfrac{1}{2}}\\{4a + b = 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3a = \dfrac{1}{2}\\b = \dfrac{1}{2} - a\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{1}{6}\\b = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{6}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \dfrac{1}{6}}\\{b = \dfrac{1}{3}}\end{array}} \right.\)
Thay vào cách đặt ta được \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{6}}\\{\dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{3}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 6\,\,\,\,\left( {tm} \right)}\\{y = 3\,\,\,\,\left( {tm} \right)}\end{array}} \right.\).
Vậy An làm một mình sau 6 ngày xong công việc, Bình làm một mình sau 3 ngày xong công việc.
Câu 5 (VD)
Phương pháp:
a) + Cách 1: Phân tích đa thức thành nhân tử, đưa phương trình về dạng phương trình tích: \(A\left( x \right).B\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A\left( x \right) = 0\\B\left( x \right) = 0\end{array} \right.\)
+ Cách 2: Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai môt ẩn.
b) Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt, biến đổi biểu thức cần tính để xuất hiện \({x_1} + {x_2},{x_1}{x_2}\) sau đó vận dụng Hệ thức Vi – ét để tìm giá trị của \(m\).
Chú ý: \({\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2}\)
Cách giải:
a) Cách 1:
\({x^2} + 5x - 6 = 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} - x + 6x - 6 = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right) + 6\left( {x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x + 6} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 6\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ { - 6;1} \right\}\).
Cách 2:
Ta có \(\Delta = {5^2} - 4.1.\left( { - 6} \right) = 49 > 0\) nên phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = \dfrac{{ - 5 + \sqrt {49} }}{2} = 1\\{x_2} = \dfrac{{ - 5 - \sqrt {49} }}{2} = - 6\end{array} \right.\).
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ { - 6;1} \right\}\).
b) Phương trình \({x^2} - mx + m - 2 = 0\) có 2 nghiệm khi và chỉ khi \(\Delta > 0\).
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( { - m} \right)^2} - 4\left( {m - 2} \right) > 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - 4m + 8 > 0\end{array}\)
\( \Leftrightarrow {\left( {m - 2} \right)^2} + 4 > 0\) (luôn đúng).
Do đó phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\).
Theo hệ thức Vi –ét ta có:\(\left\{ \begin{array}{l}{x_2} + {x_2} = m\\{x_1}.{x_2} = m - 2\end{array} \right.\).
Theo bài ra ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{x_1} - {x_2} = 2\sqrt 5 \\ \Rightarrow {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = 20\\ \Leftrightarrow x_1^2 + x_2^2 - 2{x_2}{x_2} = 20\\ \Leftrightarrow \left( {x_1^2 + x_2^2 + 2{x_1}{x_2}} \right) - 4{x_1}{x_2} = 20\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 20\\ \Leftrightarrow {m^2} - 4\left( {m - 2} \right) = 20\\ \Leftrightarrow {m^2} - 4m - 12 = 0\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)
Ta có \({\Delta _m}' = {2^2} - 1.\left( { - 12} \right) = 16 > 0\) nên phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}{m_1} = \dfrac{{2 + \sqrt {16} }}{1} = 6\\{m_2} = \dfrac{{2 - \sqrt {16} }}{1} = - 2\end{array} \right.\).
Vậy \(m = 6\) hoặc \(m = - 2\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 6 (VD)
Phương pháp:
Áp dụng định lý Py – ta – go để tìm độ dài các cạnh, vận dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để xác định \(\cot \angle ABC\).
Cách giải:
Áp dụng định lí Pytago ta có:
\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow A{B^2} + A{C^2} = \left( {\sqrt 3 + 1} \right)A{C^2} + \left( {\sqrt 3 - 1} \right)AB.AC\\ \Leftrightarrow A{B^2} = \sqrt 3 A{C^2} + \left( {\sqrt 3 - 1} \right)AB.AC\\ \Leftrightarrow A{B^2} - \left( {\sqrt 3 - 1} \right)AB.AC - \sqrt 3 A{C^2} = 0\\ \Leftrightarrow A{B^2} + AB.AC - \sqrt 3 AB.AC - \sqrt 3 A{C^2} = 0\\ \Leftrightarrow AB\left( {AB + AC} \right) - \sqrt 3 AC\left( {AB + AC} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {AB + AC} \right)\left( {AB - \sqrt 3 AC} \right) = 0\\ \Leftrightarrow AB = \sqrt 3 AC\,\,\left( {do\,\,AB + AC > 0} \right)\\ \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{AC}} = \sqrt 3 \\ \Rightarrow \cot \angle ABC = \sqrt 3 \\ \Rightarrow \angle ABC = {30^0}\end{array}\)
Vậy \(\angle ABC = {30^0}\).
Câu 7 (VDC).
Phương pháp:
a) Vận dụng dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp: tứ giác có tổng hai góc đối ngau bằng \({180^0}\) là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh \(MD//AF\) và kết hợp với \(AF \bot AC\,\,\left( {gt} \right)\), suy ra \(MD \bot AC\)
c) Chứng minh \(\Delta BEC\, \sim \Delta FAC\,\,\,\left( {g.g} \right)\), \(\Delta ABD \sim \Delta AEC\,\,\left( {g.g} \right)\) suy ra các hệ thức về tỉ lệ các cạnh, cộng vế với vế biến đổi để ra đẳng thức cần chứng minh
Cách giải:
a) Ta có \(BC\) là đường kính của \(\left( O \right)\) nên \(\angle BEC = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
\( \Rightarrow \angle BEF = 180^\circ - \angle BEC = 90^\circ \) (hai góc kề bù)
Mà \(AB \bot AF \Rightarrow \angle BAF = 90^\circ \)
Xét tứ giác \(ABEF\) ta có: \(\angle BEF + \angle BAF = {90^0} + {90^0} = {180^0}\).
Vậy tứ giác \(ABEF\) nội tiếp (dhnb).
b) Ta có \(\angle BED = \angle BMD = \dfrac{1}{2}sdcBD\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(BD\)).
Mà \(\angle BED = \angle BEA = \angle BFA\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(B\) của tứ giác nội tiếp \(ABEF\)).
\( \Rightarrow \angle BMD = \angle BFA\). Mà 2 góc này ở vị trí hai góc so le trong nên suy ra \(MD//AF\) (dhnb).
Mà \(AF \bot AC\,\,\left( {gt} \right)\).
Vậy \(MD \bot AC\) (đpcm).
c) Xét \(\Delta BEC\) và \(\Delta FAC\) có:
\(\angle BEC = \angle FAC = {90^0}\);
\(\angle ACF\) chung
\( \Rightarrow \)\(\Delta BEC\, \sim \Delta FAC\,\,\,\left( {g.g} \right)\)
\( \Rightarrow \dfrac{{CE}}{{AC}} = \dfrac{{BC}}{{CF}} \Rightarrow CE.CF = AC.BC\) (1)
Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta AEC\) có:
\(\angle EAC\) chung;
\(\angle ADB = \angle ACE\) (Góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp \(BDEC\)).
\( \Rightarrow \Delta ABD \sim \Delta AEC\,\,\left( {g.g} \right)\)
\( \Rightarrow \dfrac{{AD}}{{AC}} = \dfrac{{AB}}{{AE}} \Rightarrow AD.AE = AB.AC\) (2)
Cộng vế theo vế của (1) với (2) ta được:
\(CE.CF + AD.AE = AC.BC + AC.AB = AC.\left( {BC + AB} \right) = A{C^2}\).
Vậy \(CE.CF + AD.AE = A{C^2}\) (đpcm).
Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán tại Lào Cai năm 2021 là một bước ngoặt quan trọng trong quá trình học tập của các em học sinh. Để giúp các em tự tin đối mặt với kỳ thi này, loigiai.com.vn xin giới thiệu bộ đề thi chính thức cùng với phân tích chi tiết và hướng dẫn giải.
Đề thi vào 10 môn Toán Lào Cai năm 2021 thường bao gồm các dạng bài tập sau:
Để đạt kết quả tốt trong kỳ thi vào 10 môn Toán Lào Cai năm 2021, các em cần nắm vững kiến thức cơ bản, rèn luyện kỹ năng giải bài tập, và làm quen với các dạng bài tập thường gặp. Dưới đây là một số gợi ý giải pháp:
Dưới đây là một số đề thi tham khảo và đáp án để các em luyện tập:
| Đề thi | Đáp án |
|---|---|
| Đề thi số 1 | Đáp án đề 1 |
| Đề thi số 2 | Đáp án đề 2 |
| Đề thi số 3 | Đáp án đề 3 |
Để đạt kết quả tốt nhất trong kỳ thi vào 10 môn Toán Lào Cai năm 2021, các em cần:
Loigiai.com.vn là một trang web học toán online uy tín, cung cấp đầy đủ các tài liệu ôn tập, đề thi tham khảo, và hướng dẫn giải chi tiết. Chúng tôi hy vọng sẽ là người bạn đồng hành đáng tin cậy của các em trên con đường chinh phục kiến thức và đạt được thành công trong kỳ thi vào 10 môn Toán Lào Cai năm 2021.
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Khám phá thế giới phân dạng, từ hình học trừu tượng đến ứng dụng trong nghệ thuật và tự nhiên. Tìm hiểu cách phân dạng tạo ra vẻ đẹp vô hạn!
Bạn đã bao giờ gặp một điều nghe có vẻ vô lý nhưng lại chứa đựng sự thật? Khám phá thế giới Paradox - những mâu thuẫn thú vị giúp bạn nhìn nhận cuộc sống dưới một góc độ mới lạ. Đọc ngay!
Khám phá 'Tên của trò chơi là bắt cóc' - cuốn sách hấp dẫn đưa bạn vào thế giới ngầm đầy rẫy những kẻ ác. Đánh giá chi tiết, phân tích sâu sắc và lý do bạn nên đọc ngay!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán lớp 1 khó nhất! Hướng dẫn phụ huynh cách hỗ trợ con học toán hiệu quả, tạo hứng thú và đạt kết quả tốt nhất. Khám phá các mẹo học tập thông minh!
Review sách 'Dữ liệu tử thần' của Jeffery Deaver. Khám phá cách tội phạm sử dụng thông tin cá nhân và học cách bảo vệ dữ liệu của bạn ngay hôm nay!
