Loigiai.com.vn xin giới thiệu bộ đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán tỉnh Cà Mau năm 2021 chính thức, kèm đáp án chi tiết và lời giải bài tập. Đây là tài liệu ôn tập vô cùng quan trọng dành cho các em học sinh đang chuẩn bị cho kỳ thi sắp tới.
Chúng tôi luôn cập nhật nhanh chóng và chính xác các đề thi mới nhất, giúp các em có thể làm quen với cấu trúc đề thi và rèn luyện kỹ năng giải toán hiệu quả.
Câu 1. (1,0 điểm) a) Tính giá trị biểu thức:
Câu 1. (1,0 điểm)
a) Tính giá trị biểu thức: \(A = \sqrt {{{\left( {\sqrt 7 - 3} \right)}^2}} - \sqrt {16 + 6\sqrt 7 } \)
b) Rút gọn biểu thức \(B = \dfrac{{x\, + \,\sqrt x }}{{1 - x}} + \dfrac{{{{\left( {\sqrt x - 2} \right)}^2} - \,\sqrt x - x}}{{1 - \sqrt x }}\) (Với \(x \ge 0,x \ne 1\))
Câu 2. (1,0 điểm)
a) Giải phương trình: \(x - \sqrt {2x + 3} = 0\)
b) Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{x}{a} - y = \dfrac{2}{b}\\x - \dfrac{y}{b} = - \dfrac{1}{a}\end{array} \right.\). Tìm \(a\) và \(b\) biết hệ phương trình đã cho có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {3;2} \right).\)
Câu 3. (1,5 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc \(Oxy\), cho parabol \(\left( P \right):y = {x^2}\)
a) Vẽ \(\left( P \right).\)
b) Tìm \(m\) đề đường thẳng \(\left( d \right):\)\(y = \left( {m - 1} \right)x + m + 4\)cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía của trục tung.
Câu 4. (1,5 điểm)
Theo các chuyên gia về sức khỏe, người trưởng thành cần đi bộ từ 5000 bước mỗi ngày sẽ rất tốt cho sức khỏe.
Để rèn luyện sức khỏe, anh Sơn và chị Hà đề ra mục tiêu mỗi ngày một người phải đi bộ ít nhất 6000 bước. Hai người cùng đi bộ ở công viên và thấy rằng, nếu cùng đi trong 2 phút thì anh Sơn bước nhiều hơn chị Hà 20 bước. Hai người cùng giữ nguyên tốc độ như vậy nhưng chị Hà đi trong 5 phút thì lại nhiều hơn anh Sơn đi trong 3 phút là 160 bước. Hỏi mỗi ngày anh Sơn và chị Hà cùng đi bộ trong 1 giờ thì họ đã đạt được số bươc tối thiểu mà mục tiêu đề ra chưa? (Giả sử tốc độ đi bộ hằng ngày của hai người không đổi).
Câu 5. (1,5 điểm)
Cho phương trình: \({x^2} + (2m - 1)x + {m^2} - 4m + 7 = 0.\) (\(m\)là tham số)
a) Tìm \(m\) để phương trình đã cho có nghiệm.
b) Tìm \(m\) để phương trình đã cho có hai nghiệm âm phân biệt.
Câu 6. (3,5 điểm)
Cho tam giác nhọn \(ABC\) \(\left( {AB < AC} \right)\)nội tiếp đường tròn tâm \(O.\) Hai tiếp tuyến tại \(B\)và \(C\) của đường tròn \((O)\) cắt nhau tại \(M\), tia \(AM\) cắt đường tròn \((O)\) tại điểm \(D.\)
a) Chứng minh rằng tứ giác \(OBMC\) nội tiếp được đường tròn.
b) Chứng minh \(M{B^2} = MD.MA\)
c) Gọi \(E\) là trung điểm của đoạn thẳng\(AD;\) tia \(CE\)cắt đường tròn \((O)\)tại điểm \(F.\) Chứng minh rằng: \(BF//AM.\)
Câu 1 (TH)
Phương pháp:
a) Sử dụng hằng đẳng thức: \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,\,khi\,\,A \ge 0\\ - A\,\,\,khi\,\,A < 0\end{array} \right.\)
Thực hiện các phép tính với căn bậc hai.
b) Vận dụng hằng đẳng thức \(a - b = \left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)\) xác định mẫu thức chung của biểu thức
Quy đồng các phân thức, thực hiện các phép toán từ đó rút gọn được biểu thức.
Cách giải:
a) Tính giá trị biểu thức: \(A = \sqrt {{{\left( {\sqrt 7 - 3} \right)}^2}} - \sqrt {16 + 6\sqrt 7 } \)
\(A = \sqrt {{{\left( {\sqrt 7 - 3} \right)}^2}} - \sqrt {16 + 6\sqrt 7 } \)
\(\begin{array}{l}\,\,\,\, = \left| {\sqrt 7 - 3} \right| - \sqrt {{3^2} + 2.3\sqrt 7 + {{\left( {\sqrt 7 } \right)}^2}} \\\,\,\,\, = 3 - \sqrt 7 - \sqrt {{{\left( {3 + \sqrt 7 } \right)}^2}} \,\\\,\,\,\, = 3 - \sqrt 7 - 3 - \sqrt 7 \\\,\,\,\, = - 2\sqrt 7 \end{array}\)
Vậy \(A = - 2\sqrt 7 .\)
b) Rút gọn biểu thức \(B = \dfrac{{x\, + \,\sqrt x }}{{1 - x}} + \dfrac{{{{\left( {\sqrt x - 2} \right)}^2} - \,\sqrt x - x}}{{1 - \sqrt x }}\) (Với \(x \ge 0,x \ne 1\))
\(B = \dfrac{{x\, + \,\sqrt x }}{{1 - x}} + \dfrac{{{{\left( {\sqrt x - 2} \right)}^2} - \,\sqrt x - x}}{{1 - \sqrt x }}\)(ĐKXĐ: \(x \ge 0,x \ne 1\))
\(\begin{array}{l} = \dfrac{{\sqrt x \,\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {1 - \sqrt x } \right)\left( {1 + \sqrt x } \right)}} + \dfrac{{x - 4\sqrt x + 4 - \,\sqrt x - x}}{{1 - \sqrt x }}\\ = \dfrac{{\sqrt x }}{{1 - \sqrt x }} + \dfrac{{ - 5\sqrt x + 4}}{{1 - \sqrt x }}\\ = \dfrac{{ - 4\sqrt x + 4}}{{1 - \sqrt x }} = \dfrac{{4\left( {1 - \sqrt x } \right)}}{{1 - \sqrt x }}\\ = 4\end{array}\)
Vậy \(B = 4.\)
Câu 2 (TH)
Phương pháp:
a) Giải phương trình: \(\sqrt {f\left( x \right)} = g\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}g\left( x \right) \ge 0\,\,\left( {f\left( x \right) \ge 0} \right)\\f\left( x \right) = {g^2}\left( x \right)\end{array} \right.\)
b) Thay nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {3;2} \right)\) vào hệ phương trình
Đặt \(u = \dfrac{1}{a};v = \dfrac{1}{b}\), sử dụng phương pháp cộng đại số, phương pháp thế từ đó tìm được \(u,v\), suy ra \(a,b\)
Cách giải:
a) Giải phương trình: \(x - \sqrt {2x + 3} = 0\)
ĐKXĐ: \(x \ge - \dfrac{3}{2}\)
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,x - \sqrt {2x + 3} = 0\\ \Leftrightarrow x = \sqrt {2x + 3} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^2} = 2x + 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^2} - 2x - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\\left( {x - 3} \right)\left( {x + 1} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\\left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = - 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 3\,(tm)\end{array}\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \{ 3\} \).
b) Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{x}{a} - y = \dfrac{2}{b}\\x - \dfrac{y}{b} = - \dfrac{1}{a}\end{array} \right.\). Tìm \(a\) và \(b\) biết hệ phương trình đã cho có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {3;2} \right).\)
Điều kiện: \(a \ne 0;b \ne 0\)
Hệ phương trình đã cho có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {3;2} \right)\)nên ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{3}{a} - 2 = \dfrac{2}{b}\\3 - \dfrac{2}{b} = - \dfrac{1}{a}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{3}{a} - \dfrac{2}{b} = 2\\\dfrac{1}{a} - \dfrac{2}{b} = - 3\end{array} \right.\)
Đặt \(u = \dfrac{1}{a};v = \dfrac{1}{b}\). Hệ phương trình trở thành:
\(\left\{ \begin{array}{l}3u - 2v = 2\\u - 2v = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2u = 5\\u - 2v = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = \dfrac{5}{2}\\v = \dfrac{{u + 3}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = \dfrac{5}{2}\\v = \dfrac{{11}}{4}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{a} = \dfrac{5}{2}\\\dfrac{1}{b} = \dfrac{{11}}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{2}{5}\,(tm)\\b = \dfrac{4}{{11}}\,(tm)\end{array} \right.\)
Vậy \(a = \dfrac{2}{5};b = \dfrac{4}{{11}}.\)
Câu 3 (VD)
Phương pháp:
a) Vẽ đồ thị của hàm số \(y = a{x^2}\left( {a \ne 0} \right)\)
+ Nhận xét về hệ số \(a\) và sự biến thiên của hàm số
+ Lập bảng giá trị tương ứng của \(x\) và \(y\)
+ Xác định được các điểm mà đồ thị đi qua, vẽ đồ thị.
b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) \(\left( * \right)\)
Đường thẳng \(\left( d \right)\)cắt đồ thị hàm số \(\left( P \right)\)tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía của trục tung
\( \Leftrightarrow \,(*)\)có hại nghiệm trái dấu \( \Leftrightarrow ac < 0\)
Cách giải:
a) Vẽ \(\left( P \right).\)
Ta có bảng giá trị:
\(x\) | \( - 2\) | \( - 1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
\(y = {x^2}\) | \(4\) | \(1\) | \(0\) | \(1\) | \(4\) |
Vậy đồ thị hàm số \(\left( P \right):y = {x^2}\) là đường cong đi qua các điểm \(\left( { - 2;4} \right),\left( { - 1;1} \right),\left( {0;0} \right),\left( {1;1} \right)\)và \(\left( {2;4} \right).\)
b) Tìm m đề đường thẳng \(\left( d \right):\)\(y = \left( {m - 1} \right)x + m + 4\)cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía của trục tung.
Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số \(\left( d \right):\)\(y = \left( {m - 1} \right)x + m + 4\)và \(\left( P \right):y = {x^2}\), có:
\(\left( {m - 1} \right)x + m + 4 = {x^2} \Leftrightarrow {x^2} - \left( {m - 1} \right)x - m - 4 = 0\,\,(*)\)
Đường thẳng \(\left( d \right)\)cắt đồ thị hàm số \(\left( P \right)\)tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía của trục tung
\( \Leftrightarrow \,(*)\)có hại nghiệm trái dấu \( \Leftrightarrow 1.( - m - 4) < 0\,\, \Leftrightarrow - m - 4 < 0 \Leftrightarrow m > - 4\)
Vậy \(m > - 4\)thỏa mãn điều kiện bài toán.
Câu 4 (VD)
Phương pháp:
Gọi số bước anh Sơn đi bộ trong 1 phút là \(x\) (bước) \((x \in \mathbb{N}*)\)
Số bước chị Hà đi trong 1 phút là \(y\) (bước)
Lập hệ phương trình tìm \(x,y\)
Cách giải:
Theo các chuyên gia về sức khỏe, người trưởng thành cần đi bộ từ 5000 bước mỗi ngày sẽ rất tốt cho sức khỏe.
Để rèn luyện sức khỏe, anh Sơn và chị Hà đề ra mục tiêu mỗi ngày một người phải đi bộ ít nhất 6000 bước. Hai người cùng đi bộ ở công viên và thấy rằng, nếu cùng đi trong 2 phút thì anh Sơn bước nhiều hơn chị Hà 20 bước. Hai người cùng giữ nguyên tốc độ như vậy nhưng chị Hà đi trong 5 phút thì lại nhiều hơn anh Sơn đi trong 3 phút là 160 bước. Hỏi mỗi ngày anh Sơn và chị Hà cùng đi bộ trong 1 giờ thì họ đã đạt được số bươc tối thiểu mà mục tiêu đề ra chưa? (Giả sử tốc độ đi bộ hằng ngày của hai người không đổi).
Gọi số bước anh Sơn đi bộ trong 1 phút là \(x\) (bước) \((x \in \mathbb{N}*)\)
Số bước chị Hà đi trong 1 phút là \(y\) (bước)
Vì nếu cùng đi trong 2 phút thì anh Sơn bước nhiều hơn chị Hà 20 bước nên ta có phương trình:
\(2x - 2y = 20 \Leftrightarrow x - y = 10\,\,(1)\)
Vì chị Hà đi trong 5 phút thì lại nhiều hơn anh Sơn đi trong 3 phút là 160 bước nên ta có phương trình:
\(5y - 3x = 160\,\,(2)\)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}x - y = 10\\5y - 3x = 160\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - y = 10\\ - 3x + 5y = 160\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x - 3y = 30\\ - 3x + 5y = 160\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y + 10\\2y = 190\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y + 10\\y = 95\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 105\\y = 95\end{array} \right.(tm)\)
Vậy mỗi ngày số bước anh Sơn đi bộ trong 1 giờ là: \(105.60 = 6300\)(bước)
Và mỗi ngày số bước chị Hà đi bộ trong 1 giờ là: \(95.60 = 5700\)(bước)
Câu 5 (VD)
Phương pháp:
a) Phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\) có nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta \ge 0\) (hoặc \(\Delta ' \ge 0\))
b) Phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\) có hai nghiệm âm phân biệt \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\\dfrac{{ - b}}{a} < 0\\\dfrac{c}{a} > 0\end{array} \right.\)
Cách giải:
a) Tìm \(m\) để phương trình đã cho có nghiệm.
Xét phương trình \({x^2} + (2m - 1)x + {m^2} - 4m + 7 = 0\)
Phương trình đã cho có nghiệm
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \Delta \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left( {2m - 1} \right)^2} - 4({m^2} - 4m + 7) \ge 0\\ \Leftrightarrow 4{m^2} - 4m + 1 - 4{m^2} + 16m - 28 \ge 0\\ \Leftrightarrow 12m \ge 27\\ \Leftrightarrow m \ge \dfrac{9}{4}\end{array}\)
Vậy với \(m \ge \dfrac{9}{4}\)thì phương trình đã cho có nghiệm.
b) Tìm \(m\) để phương trình đã cho có hai nghiệm âm phân biệt.
Phương trình đã cho có hai nghiệm âm phân biệt \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\\dfrac{{ - b}}{a} < 0\\\dfrac{c}{a} > 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > \dfrac{9}{4}\\ - (2m - 1) < 0\\{m^2} - 4m + 7 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > \dfrac{9}{4}\\2m - 1 > 0\\({m^2} - 4m + 4) + 3 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > \dfrac{9}{4}\\m < \dfrac{1}{2}\\{(m - 2)^2} + 3 > 0\forall m\end{array} \right. \Leftrightarrow m > \dfrac{9}{4}\)
Vậy \(m > \dfrac{9}{4}\)thỏa mãn đề bài.
Câu 6 (VD)
Phương pháp:
a) Vận dụng dấu hiệu nhận biết: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\) là tứ giác nội tiếp
b) Ta sẽ chứng minh: \(\Delta MBD = \Delta MAB\left( {g.g} \right) \Rightarrow M{B^2} = MD.MA\)
b) Ta sẽ chứng minh: \(\angle MEC = \angle BFC\)mà hai góc này ở vị trí đồng vị \( \Rightarrow BF//AM\)(đpcm)
Cách giải:
a) Chứng minh rằng tứ giác \(OBMC\) nội tiếp được đường tròn.
Xét \((O)\)có: \(MB,MC\)là các tiếp tuyến của đường tròn \((O)\)nên: \(\angle MBO = {90^0};\angle MCO = {90^0}\)
Xét tứ giác \(OBMC\) có: \(\angle MBO + \angle MCO = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)
Mà hai góc \(\angle MBO,\angle MCO\) ở vị trí đối nhau
\( \Rightarrow OBMC\)là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính \(OM\)(đpcm).
b) Chứng minh \(M{B^2} = MD.MA\)
Xét \(\left( O \right)\) có: \(\angle BAM = \angle DBM\) (gọi tiếp, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn \(cungBD\))
Xét \(\Delta MBD\) và \(\Delta MAB\) có:
\(\left. \begin{array}{l}\angle AMB\,\,\,chung\\\angle BAM = \angle DBM\,\left( {cmt} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta MBD = \Delta MAB\left( {g.g} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{MB}}{{MA}} = \dfrac{{MD}}{{MB}}\\ \Rightarrow M{B^2} = MD.MA\,\,(dpcm)\end{array}\)
c) Gọi \(E\) là trung điểm của đoạn thẳng\(AD;\) tia \(CE\)cắt đường tròn \((O)\)tại điểm \(F.\)Chứng minh rằng: \(BF//AM.\)
Xét \(\left( O \right)\) có: \(E\)là trung điểm của \(AD\)nên \(OE \bot AD\) (quan hệ đường kính và dây cung trong đường tròn)
\( \Rightarrow \angle OEM = {90^0}\)
Xét tức giác \(OEMC\) có: \(\angle OEM + \angle OCM = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)
Mà hai góc \(\angle OEM,\angle OCM\) ở vị trí đối nhau
\( \Rightarrow \)Tứ giác \(OEMC\)nội tiếp (dhnb)
\( \Rightarrow \angle CEM = \angle COM\)(cùng chắn \(cungMC\))
Mà \(\angle BOM = \angle COM = \dfrac{1}{2}cungBC\)(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Và \(\angle BFC = \dfrac{1}{2}cungBC\)(tính chất góc nối tiếp)
\( \Rightarrow \angle MEC = \angle BFC\)mà hai góc này ở vị trí đồng vị
\( \Rightarrow BF//AM\)(đpcm)
Câu 1. (1,0 điểm)
a) Tính giá trị biểu thức: \(A = \sqrt {{{\left( {\sqrt 7 - 3} \right)}^2}} - \sqrt {16 + 6\sqrt 7 } \)
b) Rút gọn biểu thức \(B = \dfrac{{x\, + \,\sqrt x }}{{1 - x}} + \dfrac{{{{\left( {\sqrt x - 2} \right)}^2} - \,\sqrt x - x}}{{1 - \sqrt x }}\) (Với \(x \ge 0,x \ne 1\))
Câu 2. (1,0 điểm)
a) Giải phương trình: \(x - \sqrt {2x + 3} = 0\)
b) Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{x}{a} - y = \dfrac{2}{b}\\x - \dfrac{y}{b} = - \dfrac{1}{a}\end{array} \right.\). Tìm \(a\) và \(b\) biết hệ phương trình đã cho có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {3;2} \right).\)
Câu 3. (1,5 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc \(Oxy\), cho parabol \(\left( P \right):y = {x^2}\)
a) Vẽ \(\left( P \right).\)
b) Tìm \(m\) đề đường thẳng \(\left( d \right):\)\(y = \left( {m - 1} \right)x + m + 4\)cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía của trục tung.
Câu 4. (1,5 điểm)
Theo các chuyên gia về sức khỏe, người trưởng thành cần đi bộ từ 5000 bước mỗi ngày sẽ rất tốt cho sức khỏe.
Để rèn luyện sức khỏe, anh Sơn và chị Hà đề ra mục tiêu mỗi ngày một người phải đi bộ ít nhất 6000 bước. Hai người cùng đi bộ ở công viên và thấy rằng, nếu cùng đi trong 2 phút thì anh Sơn bước nhiều hơn chị Hà 20 bước. Hai người cùng giữ nguyên tốc độ như vậy nhưng chị Hà đi trong 5 phút thì lại nhiều hơn anh Sơn đi trong 3 phút là 160 bước. Hỏi mỗi ngày anh Sơn và chị Hà cùng đi bộ trong 1 giờ thì họ đã đạt được số bươc tối thiểu mà mục tiêu đề ra chưa? (Giả sử tốc độ đi bộ hằng ngày của hai người không đổi).
Câu 5. (1,5 điểm)
Cho phương trình: \({x^2} + (2m - 1)x + {m^2} - 4m + 7 = 0.\) (\(m\)là tham số)
a) Tìm \(m\) để phương trình đã cho có nghiệm.
b) Tìm \(m\) để phương trình đã cho có hai nghiệm âm phân biệt.
Câu 6. (3,5 điểm)
Cho tam giác nhọn \(ABC\) \(\left( {AB < AC} \right)\)nội tiếp đường tròn tâm \(O.\) Hai tiếp tuyến tại \(B\)và \(C\) của đường tròn \((O)\) cắt nhau tại \(M\), tia \(AM\) cắt đường tròn \((O)\) tại điểm \(D.\)
a) Chứng minh rằng tứ giác \(OBMC\) nội tiếp được đường tròn.
b) Chứng minh \(M{B^2} = MD.MA\)
c) Gọi \(E\) là trung điểm của đoạn thẳng\(AD;\) tia \(CE\)cắt đường tròn \((O)\)tại điểm \(F.\) Chứng minh rằng: \(BF//AM.\)
Câu 1 (TH)
Phương pháp:
a) Sử dụng hằng đẳng thức: \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,\,khi\,\,A \ge 0\\ - A\,\,\,khi\,\,A < 0\end{array} \right.\)
Thực hiện các phép tính với căn bậc hai.
b) Vận dụng hằng đẳng thức \(a - b = \left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)\) xác định mẫu thức chung của biểu thức
Quy đồng các phân thức, thực hiện các phép toán từ đó rút gọn được biểu thức.
Cách giải:
a) Tính giá trị biểu thức: \(A = \sqrt {{{\left( {\sqrt 7 - 3} \right)}^2}} - \sqrt {16 + 6\sqrt 7 } \)
\(A = \sqrt {{{\left( {\sqrt 7 - 3} \right)}^2}} - \sqrt {16 + 6\sqrt 7 } \)
\(\begin{array}{l}\,\,\,\, = \left| {\sqrt 7 - 3} \right| - \sqrt {{3^2} + 2.3\sqrt 7 + {{\left( {\sqrt 7 } \right)}^2}} \\\,\,\,\, = 3 - \sqrt 7 - \sqrt {{{\left( {3 + \sqrt 7 } \right)}^2}} \,\\\,\,\,\, = 3 - \sqrt 7 - 3 - \sqrt 7 \\\,\,\,\, = - 2\sqrt 7 \end{array}\)
Vậy \(A = - 2\sqrt 7 .\)
b) Rút gọn biểu thức \(B = \dfrac{{x\, + \,\sqrt x }}{{1 - x}} + \dfrac{{{{\left( {\sqrt x - 2} \right)}^2} - \,\sqrt x - x}}{{1 - \sqrt x }}\) (Với \(x \ge 0,x \ne 1\))
\(B = \dfrac{{x\, + \,\sqrt x }}{{1 - x}} + \dfrac{{{{\left( {\sqrt x - 2} \right)}^2} - \,\sqrt x - x}}{{1 - \sqrt x }}\)(ĐKXĐ: \(x \ge 0,x \ne 1\))
\(\begin{array}{l} = \dfrac{{\sqrt x \,\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {1 - \sqrt x } \right)\left( {1 + \sqrt x } \right)}} + \dfrac{{x - 4\sqrt x + 4 - \,\sqrt x - x}}{{1 - \sqrt x }}\\ = \dfrac{{\sqrt x }}{{1 - \sqrt x }} + \dfrac{{ - 5\sqrt x + 4}}{{1 - \sqrt x }}\\ = \dfrac{{ - 4\sqrt x + 4}}{{1 - \sqrt x }} = \dfrac{{4\left( {1 - \sqrt x } \right)}}{{1 - \sqrt x }}\\ = 4\end{array}\)
Vậy \(B = 4.\)
Câu 2 (TH)
Phương pháp:
a) Giải phương trình: \(\sqrt {f\left( x \right)} = g\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}g\left( x \right) \ge 0\,\,\left( {f\left( x \right) \ge 0} \right)\\f\left( x \right) = {g^2}\left( x \right)\end{array} \right.\)
b) Thay nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {3;2} \right)\) vào hệ phương trình
Đặt \(u = \dfrac{1}{a};v = \dfrac{1}{b}\), sử dụng phương pháp cộng đại số, phương pháp thế từ đó tìm được \(u,v\), suy ra \(a,b\)
Cách giải:
a) Giải phương trình: \(x - \sqrt {2x + 3} = 0\)
ĐKXĐ: \(x \ge - \dfrac{3}{2}\)
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,x - \sqrt {2x + 3} = 0\\ \Leftrightarrow x = \sqrt {2x + 3} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^2} = 2x + 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^2} - 2x - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\\left( {x - 3} \right)\left( {x + 1} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\\left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = - 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 3\,(tm)\end{array}\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \{ 3\} \).
b) Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{x}{a} - y = \dfrac{2}{b}\\x - \dfrac{y}{b} = - \dfrac{1}{a}\end{array} \right.\). Tìm \(a\) và \(b\) biết hệ phương trình đã cho có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {3;2} \right).\)
Điều kiện: \(a \ne 0;b \ne 0\)
Hệ phương trình đã cho có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {3;2} \right)\)nên ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{3}{a} - 2 = \dfrac{2}{b}\\3 - \dfrac{2}{b} = - \dfrac{1}{a}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{3}{a} - \dfrac{2}{b} = 2\\\dfrac{1}{a} - \dfrac{2}{b} = - 3\end{array} \right.\)
Đặt \(u = \dfrac{1}{a};v = \dfrac{1}{b}\). Hệ phương trình trở thành:
\(\left\{ \begin{array}{l}3u - 2v = 2\\u - 2v = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2u = 5\\u - 2v = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = \dfrac{5}{2}\\v = \dfrac{{u + 3}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = \dfrac{5}{2}\\v = \dfrac{{11}}{4}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{a} = \dfrac{5}{2}\\\dfrac{1}{b} = \dfrac{{11}}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{2}{5}\,(tm)\\b = \dfrac{4}{{11}}\,(tm)\end{array} \right.\)
Vậy \(a = \dfrac{2}{5};b = \dfrac{4}{{11}}.\)
Câu 3 (VD)
Phương pháp:
a) Vẽ đồ thị của hàm số \(y = a{x^2}\left( {a \ne 0} \right)\)
+ Nhận xét về hệ số \(a\) và sự biến thiên của hàm số
+ Lập bảng giá trị tương ứng của \(x\) và \(y\)
+ Xác định được các điểm mà đồ thị đi qua, vẽ đồ thị.
b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) \(\left( * \right)\)
Đường thẳng \(\left( d \right)\)cắt đồ thị hàm số \(\left( P \right)\)tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía của trục tung
\( \Leftrightarrow \,(*)\)có hại nghiệm trái dấu \( \Leftrightarrow ac < 0\)
Cách giải:
a) Vẽ \(\left( P \right).\)
Ta có bảng giá trị:
\(x\) | \( - 2\) | \( - 1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
\(y = {x^2}\) | \(4\) | \(1\) | \(0\) | \(1\) | \(4\) |
Vậy đồ thị hàm số \(\left( P \right):y = {x^2}\) là đường cong đi qua các điểm \(\left( { - 2;4} \right),\left( { - 1;1} \right),\left( {0;0} \right),\left( {1;1} \right)\)và \(\left( {2;4} \right).\)
b) Tìm m đề đường thẳng \(\left( d \right):\)\(y = \left( {m - 1} \right)x + m + 4\)cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía của trục tung.
Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số \(\left( d \right):\)\(y = \left( {m - 1} \right)x + m + 4\)và \(\left( P \right):y = {x^2}\), có:
\(\left( {m - 1} \right)x + m + 4 = {x^2} \Leftrightarrow {x^2} - \left( {m - 1} \right)x - m - 4 = 0\,\,(*)\)
Đường thẳng \(\left( d \right)\)cắt đồ thị hàm số \(\left( P \right)\)tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía của trục tung
\( \Leftrightarrow \,(*)\)có hại nghiệm trái dấu \( \Leftrightarrow 1.( - m - 4) < 0\,\, \Leftrightarrow - m - 4 < 0 \Leftrightarrow m > - 4\)
Vậy \(m > - 4\)thỏa mãn điều kiện bài toán.
Câu 4 (VD)
Phương pháp:
Gọi số bước anh Sơn đi bộ trong 1 phút là \(x\) (bước) \((x \in \mathbb{N}*)\)
Số bước chị Hà đi trong 1 phút là \(y\) (bước)
Lập hệ phương trình tìm \(x,y\)
Cách giải:
Theo các chuyên gia về sức khỏe, người trưởng thành cần đi bộ từ 5000 bước mỗi ngày sẽ rất tốt cho sức khỏe.
Để rèn luyện sức khỏe, anh Sơn và chị Hà đề ra mục tiêu mỗi ngày một người phải đi bộ ít nhất 6000 bước. Hai người cùng đi bộ ở công viên và thấy rằng, nếu cùng đi trong 2 phút thì anh Sơn bước nhiều hơn chị Hà 20 bước. Hai người cùng giữ nguyên tốc độ như vậy nhưng chị Hà đi trong 5 phút thì lại nhiều hơn anh Sơn đi trong 3 phút là 160 bước. Hỏi mỗi ngày anh Sơn và chị Hà cùng đi bộ trong 1 giờ thì họ đã đạt được số bươc tối thiểu mà mục tiêu đề ra chưa? (Giả sử tốc độ đi bộ hằng ngày của hai người không đổi).
Gọi số bước anh Sơn đi bộ trong 1 phút là \(x\) (bước) \((x \in \mathbb{N}*)\)
Số bước chị Hà đi trong 1 phút là \(y\) (bước)
Vì nếu cùng đi trong 2 phút thì anh Sơn bước nhiều hơn chị Hà 20 bước nên ta có phương trình:
\(2x - 2y = 20 \Leftrightarrow x - y = 10\,\,(1)\)
Vì chị Hà đi trong 5 phút thì lại nhiều hơn anh Sơn đi trong 3 phút là 160 bước nên ta có phương trình:
\(5y - 3x = 160\,\,(2)\)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}x - y = 10\\5y - 3x = 160\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - y = 10\\ - 3x + 5y = 160\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x - 3y = 30\\ - 3x + 5y = 160\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y + 10\\2y = 190\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y + 10\\y = 95\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 105\\y = 95\end{array} \right.(tm)\)
Vậy mỗi ngày số bước anh Sơn đi bộ trong 1 giờ là: \(105.60 = 6300\)(bước)
Và mỗi ngày số bước chị Hà đi bộ trong 1 giờ là: \(95.60 = 5700\)(bước)
Câu 5 (VD)
Phương pháp:
a) Phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\) có nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta \ge 0\) (hoặc \(\Delta ' \ge 0\))
b) Phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\) có hai nghiệm âm phân biệt \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\\dfrac{{ - b}}{a} < 0\\\dfrac{c}{a} > 0\end{array} \right.\)
Cách giải:
a) Tìm \(m\) để phương trình đã cho có nghiệm.
Xét phương trình \({x^2} + (2m - 1)x + {m^2} - 4m + 7 = 0\)
Phương trình đã cho có nghiệm
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \Delta \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left( {2m - 1} \right)^2} - 4({m^2} - 4m + 7) \ge 0\\ \Leftrightarrow 4{m^2} - 4m + 1 - 4{m^2} + 16m - 28 \ge 0\\ \Leftrightarrow 12m \ge 27\\ \Leftrightarrow m \ge \dfrac{9}{4}\end{array}\)
Vậy với \(m \ge \dfrac{9}{4}\)thì phương trình đã cho có nghiệm.
b) Tìm \(m\) để phương trình đã cho có hai nghiệm âm phân biệt.
Phương trình đã cho có hai nghiệm âm phân biệt \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\\dfrac{{ - b}}{a} < 0\\\dfrac{c}{a} > 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > \dfrac{9}{4}\\ - (2m - 1) < 0\\{m^2} - 4m + 7 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > \dfrac{9}{4}\\2m - 1 > 0\\({m^2} - 4m + 4) + 3 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > \dfrac{9}{4}\\m < \dfrac{1}{2}\\{(m - 2)^2} + 3 > 0\forall m\end{array} \right. \Leftrightarrow m > \dfrac{9}{4}\)
Vậy \(m > \dfrac{9}{4}\)thỏa mãn đề bài.
Câu 6 (VD)
Phương pháp:
a) Vận dụng dấu hiệu nhận biết: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\) là tứ giác nội tiếp
b) Ta sẽ chứng minh: \(\Delta MBD = \Delta MAB\left( {g.g} \right) \Rightarrow M{B^2} = MD.MA\)
b) Ta sẽ chứng minh: \(\angle MEC = \angle BFC\)mà hai góc này ở vị trí đồng vị \( \Rightarrow BF//AM\)(đpcm)
Cách giải:
a) Chứng minh rằng tứ giác \(OBMC\) nội tiếp được đường tròn.
Xét \((O)\)có: \(MB,MC\)là các tiếp tuyến của đường tròn \((O)\)nên: \(\angle MBO = {90^0};\angle MCO = {90^0}\)
Xét tứ giác \(OBMC\) có: \(\angle MBO + \angle MCO = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)
Mà hai góc \(\angle MBO,\angle MCO\) ở vị trí đối nhau
\( \Rightarrow OBMC\)là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính \(OM\)(đpcm).
b) Chứng minh \(M{B^2} = MD.MA\)
Xét \(\left( O \right)\) có: \(\angle BAM = \angle DBM\) (gọi tiếp, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn \(cungBD\))
Xét \(\Delta MBD\) và \(\Delta MAB\) có:
\(\left. \begin{array}{l}\angle AMB\,\,\,chung\\\angle BAM = \angle DBM\,\left( {cmt} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta MBD = \Delta MAB\left( {g.g} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{MB}}{{MA}} = \dfrac{{MD}}{{MB}}\\ \Rightarrow M{B^2} = MD.MA\,\,(dpcm)\end{array}\)
c) Gọi \(E\) là trung điểm của đoạn thẳng\(AD;\) tia \(CE\)cắt đường tròn \((O)\)tại điểm \(F.\)Chứng minh rằng: \(BF//AM.\)
Xét \(\left( O \right)\) có: \(E\)là trung điểm của \(AD\)nên \(OE \bot AD\) (quan hệ đường kính và dây cung trong đường tròn)
\( \Rightarrow \angle OEM = {90^0}\)
Xét tức giác \(OEMC\) có: \(\angle OEM + \angle OCM = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)
Mà hai góc \(\angle OEM,\angle OCM\) ở vị trí đối nhau
\( \Rightarrow \)Tứ giác \(OEMC\)nội tiếp (dhnb)
\( \Rightarrow \angle CEM = \angle COM\)(cùng chắn \(cungMC\))
Mà \(\angle BOM = \angle COM = \dfrac{1}{2}cungBC\)(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Và \(\angle BFC = \dfrac{1}{2}cungBC\)(tính chất góc nối tiếp)
\( \Rightarrow \angle MEC = \angle BFC\)mà hai góc này ở vị trí đồng vị
\( \Rightarrow BF//AM\)(đpcm)
Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán Cà Mau năm 2021 là một bước ngoặt quan trọng trong quá trình học tập của các em học sinh. Đề thi thường bao gồm các dạng bài tập thuộc chương trình Toán lớp 9, tập trung vào các chủ đề chính như Đại số, Hình học và số học. Việc nắm vững kiến thức cơ bản và luyện tập thường xuyên là chìa khóa để đạt kết quả tốt trong kỳ thi này.
Đề thi thường được chia thành các phần sau:
Để chuẩn bị tốt nhất cho kỳ thi, các em học sinh nên:
Loigiai.com.vn cung cấp đáp án và lời giải chi tiết cho tất cả các đề thi vào 10 môn Toán Cà Mau năm 2021. Các em học sinh có thể tham khảo để hiểu rõ hơn về cách giải bài và tự kiểm tra kiến thức của mình.
Ngoài đề thi vào 10 môn Toán Cà Mau năm 2021, loigiai.com.vn còn cung cấp nhiều tài liệu ôn thi Toán vào 10 khác như:
Trước khi bước vào phòng thi, hãy:
Chúc các em học sinh ôn thi tốt và đạt kết quả cao trong kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán Cà Mau năm 2021! Loigiai.com.vn luôn đồng hành cùng các em trên con đường học tập.
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Khám phá thế giới phân dạng, từ hình học trừu tượng đến ứng dụng trong nghệ thuật và tự nhiên. Tìm hiểu cách phân dạng tạo ra vẻ đẹp vô hạn!
Bạn đã bao giờ gặp một điều nghe có vẻ vô lý nhưng lại chứa đựng sự thật? Khám phá thế giới Paradox - những mâu thuẫn thú vị giúp bạn nhìn nhận cuộc sống dưới một góc độ mới lạ. Đọc ngay!
Khám phá 'Tên của trò chơi là bắt cóc' - cuốn sách hấp dẫn đưa bạn vào thế giới ngầm đầy rẫy những kẻ ác. Đánh giá chi tiết, phân tích sâu sắc và lý do bạn nên đọc ngay!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán lớp 1 khó nhất! Hướng dẫn phụ huynh cách hỗ trợ con học toán hiệu quả, tạo hứng thú và đạt kết quả tốt nhất. Khám phá các mẹo học tập thông minh!
Review sách 'Dữ liệu tử thần' của Jeffery Deaver. Khám phá cách tội phạm sử dụng thông tin cá nhân và học cách bảo vệ dữ liệu của bạn ngay hôm nay!
