Loigiai.com.vn xin giới thiệu bộ đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán tỉnh Quảng Ninh năm 2020 chính thức, kèm đáp án chi tiết. Đây là tài liệu vô cùng quan trọng giúp các em học sinh làm quen với cấu trúc đề thi, rèn luyện kỹ năng giải toán và tự tin hơn trong kỳ thi sắp tới.
Chúng tôi cung cấp đầy đủ các đề thi, đáp án và lời giải chi tiết, giúp các em hiểu rõ từng bước giải và áp dụng vào các bài toán tương tự.
Câu 1: 1. Thực hiện phép tính
Câu 1:
1. Thực hiện phép tính \(2 + \sqrt 9 .\)
2. Rút gọn biểu thức \(B = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt x + 2}} - \dfrac{1}{{\sqrt x + 7}}} \right):\dfrac{5}{{\sqrt x + 7}}\) với \(x \ge 0.\)
3. Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 4\\x - 2y = 0\end{array} \right..\)
Câu 2:
Cho phương trình \({x^2} + 4x + 3m - 2 = 0\), với \(m\) là tham số.
1. Giải phương trình với \(m = - 1\).
2. Tìm giá trị của \(m\) để phương trình đã cho có một nghiệm \(x = 2\).
3. Tìm giá trị của \(m\) để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) sao cho \({x_1} + 2{x_2} = 1\).
Câu 3:
Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 32 km. Một canô xuôi dòng từ bến A đến bến B rồi lập tức quay về bến A. Kể từ lúc khởi hành đến lúc về tới bến A hết tất cả 6 giờ. Tính vận tốc của canô khi nước yên lặng biết vận tốc của dòng nước là 4 km/h.
Câu 4:
Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và \(A\) là một điểm nằm bên ngoài đường tròn. Từ điểm A kẻ hai tiếp tuyến \(AB\) và \(AC\) với đường tròn \(\left( O \right)\) ( B và C là hai tiếp điểm). Gọi \(H\) là giao điểm của \(AO\) và \(BC\). Kẻ đường kính \(BD\) của đường tròn \(\left( O \right)\), \(AD\) cắt đường tròn tại điểm thứ hai là \(E\).
a. Chứng minh \(ABOC\) là tứ giác nội tiếp
b. Tính độ dài \(AH\) biết \(R = 3cm,AB = 4cm.\)
c. Chứng minh \(AE.AD = AH.AO\)
d. Tia \(CE\) cắt \(AH\) tại \(F\). Chứng tỏ \(F\) là trung điểm của \(AH.\)
Câu 5:
Cho \(x,\,\,y\) là các số thực dương thỏa mãn \(x + y \le 3\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\(Q = {x^2} + {y^2} - 9x - 12y + \dfrac{{16}}{{2x + y}} + 25\)
Câu 1:
1. Thực hiện phép tính \(2 + \sqrt 9 .\)
2. Rút gọn biểu thức \(B = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt x + 2}} - \dfrac{1}{{\sqrt x + 7}}} \right):\dfrac{5}{{\sqrt x + 7}}\) với \(x \ge 0.\)
3. Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 4\\x - 2y = 0\end{array} \right..\)
Câu 2:
Cho phương trình \({x^2} + 4x + 3m - 2 = 0\), với \(m\) là tham số.
1. Giải phương trình với \(m = - 1\).
2. Tìm giá trị của \(m\) để phương trình đã cho có một nghiệm \(x = 2\).
3. Tìm giá trị của \(m\) để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) sao cho \({x_1} + 2{x_2} = 1\).
Câu 3:
Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 32 km. Một canô xuôi dòng từ bến A đến bến B rồi lập tức quay về bến A. Kể từ lúc khởi hành đến lúc về tới bến A hết tất cả 6 giờ. Tính vận tốc của canô khi nước yên lặng biết vận tốc của dòng nước là 4 km/h.
Câu 4:
Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và \(A\) là một điểm nằm bên ngoài đường tròn. Từ điểm A kẻ hai tiếp tuyến \(AB\) và \(AC\) với đường tròn \(\left( O \right)\) ( B và C là hai tiếp điểm). Gọi \(H\) là giao điểm của \(AO\) và \(BC\). Kẻ đường kính \(BD\) của đường tròn \(\left( O \right)\), \(AD\) cắt đường tròn tại điểm thứ hai là \(E\).
a. Chứng minh \(ABOC\) là tứ giác nội tiếp
b. Tính độ dài \(AH\) biết \(R = 3cm,AB = 4cm.\)
c. Chứng minh \(AE.AD = AH.AO\)
d. Tia \(CE\) cắt \(AH\) tại \(F\). Chứng tỏ \(F\) là trung điểm của \(AH.\)
Câu 5:
Cho \(x,\,\,y\) là các số thực dương thỏa mãn \(x + y \le 3\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\(Q = {x^2} + {y^2} - 9x - 12y + \dfrac{{16}}{{2x + y}} + 25\)
Câu 1 (2 điểm)
Cách giải:
1. Thực hiện phép tính \(2 + \sqrt 9 .\)
Ta có: \(2 + \sqrt 9 = 2 + 3 = 5.\)
2. Rút gọn biểu thức \(B = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt x + 2}} - \dfrac{1}{{\sqrt x + 7}}} \right):\dfrac{5}{{\sqrt x + 7}}\) với \(x \ge 0.\)
Điều kiện: \(x \ge 0\)
\(\begin{array}{l}B = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt x + 2}} - \dfrac{1}{{\sqrt x + 7}}} \right):\dfrac{5}{{\sqrt x + 7}}\\\,\,\,\, = \dfrac{{\sqrt x + 7 - \sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x + 7} \right)}}.\dfrac{{\sqrt x + 7}}{5}\\\,\,\,\, = \dfrac{5}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x + 7} \right)}}.\dfrac{{\sqrt x + 7}}{5}\\\,\,\, = \dfrac{1}{{\sqrt x + 2}}.\end{array}\)
Vậy \(B = \dfrac{1}{{\sqrt x + 2}}\) với \(x \ge 2.\)
3. Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 4\\x - 2y = 0\end{array} \right..\)
\(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 4\\x - 2y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x = 4\\x = 2y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} \right..\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {2;\,\,1} \right).\)
Câu 2 (2,0 điểm)
Cách giải:
Cho phương trình \({x^2} + 4x + 3m - 2 = 0\), với \(m\) là tham số.
1. Giải phương trình với \(m = - 1\).
Thay \(m = - 1\) vào phương trình đã cho ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{x^2} + 4x - 5 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - x + 5x - 5 = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right) + 5\left( {x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x + 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\x + 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 5\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy khi \(m = - 1\) thì tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {1; - 5} \right\}\).
2. Tìm giá trị của \(m\) để phương trình đã cho có một nghiệm \(x = 2\).
Vì \(x = 2\) là một nghiệm của phương trình nên thay \(x = 2\) vào phương trình ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{2^2} + 4.2 + 3m - 2 = 0\\ \Leftrightarrow 3m + 10 = 0\\ \Leftrightarrow m = - \dfrac{{10}}{3}\end{array}\)
Vậy khi \(m = - \dfrac{{10}}{3}\) thì phương trình đã cho có một nghiệm \(x = 2\).
3. Tìm giá trị của \(m\) để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) sao cho \({x_1} + 2{x_2} = 1\).
Ta có: \(\Delta ' = {\left( { - 2} \right)^2} - \left( {3m - 2} \right) = 4 - 3m + 2 = 6 - 3m\).
Để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) thì \(\Delta ' > 0 \Leftrightarrow 6 - 3m > 0 \Leftrightarrow m < 2\).
Khi đó áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 4\\{x_1}{x_2} = 3m - 2\end{array} \right.\,\,\left( * \right)\).
Theo bài ra ta có: \({x_1} + 2{x_2} = 1 \Leftrightarrow {x_1} = 1 - 2{x_2}\).
Thế vào hệ (*) ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}1 - 2{x_2} + {x_2} = - 4\\\left( {1 - 2{x_2}} \right).{x_2} = 3m - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} = 5\\\left( {1 - 2.5} \right).5 = 3m - 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} = 5\\3m - 2 = - 45\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} = 5\\m = - \dfrac{{43}}{3}\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy \(m = - \dfrac{{43}}{3}\).
Câu 3 (2 điểm)
Cách giải:
Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 32 km. Một canô xuôi dòng từ bến A đến bến B rồi lập tức quay về bến A. Kể từ lúc khởi hành đến lúc về tới bến A hết tất cả 6 giờ. Tính vận tốc của canô khi nước yên lặng biết vận tốc của dòng nước là 4 km/h.
Gọi vận tốc của canô khi nước yên lặng là \(x\) (km/h) \(\left( {x > 4} \right)\)
Vận tốc canô khi xuôi dòng là \(x + 4\) (km/h)
Vận tốc canô khi ngược dòng là \(x - 4\) (km/h)
Thời gian canô xuôi dòng từ bến A đến bến B là \(\dfrac{{32}}{{x + 4}}\) giờ
Thời gian canô ngược dòng từ bến B về bến A là \(\dfrac{{32}}{{x - 4}}\) giờ
Vì từ lúc khởi hành đến lúc về tới bến A hết tất cả 6 giờ nên ta có phương trình:
\(\begin{array}{l}\dfrac{{32}}{{x + 4}} + \dfrac{{32}}{{x - 4}} = 6\\ \Leftrightarrow \dfrac{{32\left( {x - 4} \right) + 32\left( {x + 4} \right)}}{{\left( {x - 4} \right)\left( {x + 4} \right)}} = 6\\ \Leftrightarrow \dfrac{{32x - 128 + 32x + 128}}{{\left( {x - 4} \right)\left( {x + 4} \right)}} = 6\\ \Leftrightarrow \dfrac{{64x}}{{{x^2} - 16}} = 6\\ \Rightarrow 6{x^2} - 96 = 64x\\ \Leftrightarrow 6{x^2} - 64x - 96 = 0\\ \Leftrightarrow 3{x^2} - 32x - 48 = 0\\ \Leftrightarrow 3{x^2} - 36x + 4x - 48 = 0\\ \Leftrightarrow 3x\left( {x - 12} \right) + 4\left( {x - 12} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {3x + 4} \right)\left( {x - 12} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x + 4 = 0\\x - 12 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \dfrac{4}{3}\,\,\left( {ktm} \right)\\x = 12\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy vận tốc của canô khi nước yên lặng là 12 km/h.
Câu 4 (3,5 điểm)
Cách giải:
Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và \(A\) là một điểm nằm bên ngoài đường tròn. Từ điểm A kẻ hai tiếp tuyến \(AB\) và \(AC\) với đường tròn \(\left( O \right)\) ( B và C là hai tiếp điểm). Gọi \(H\) là giao điểm của \(AO\) và \(BC\). Kẻ đường kính \(BD\) của đường tròn \(\left( O \right)\), \(AD\) cắt đường tròn tại điểm thứ hai là \(E\).
a. Chứng minh \(ABOC\) là tứ giác nội tiếp
Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có \(AB\) và \(AC\) là các tiếp tuyến, \(B,C\) là các tiếp điểm tương ứng nên \(\angle ABO = {90^0};\angle ACO = {90^0}\)
Xét tứ giác \(ABOC\) có \(\angle ABO + \angle ACO = {90^0} + {90^0} = {180^0}\) mà hai góc \(\angle ABO;\angle ACO\) đối nhau nên tứ giác \(ABOC\) là tứ giác nội tiếp (dhnb)
b. Tính độ dài \(AH\) biết \(R = 3cm,AB = 4cm.\)
Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có \(AB\) và \(AC\) là hai tiếp tuyến cắt nhau tại \(A.\)
Suy ra \(AB = AC\) (tính chất), mà \(OB = OC = R\) nên \(AO\) là đường trung trực của đoạn \(BC\)
Do đó \(OA \bot BC\) tại \(H.\)
Xét tam giác \(ABO\) vuông tại \(B\), theo định lý Pytago ta có: \(A{O^2} = A{B^2} + O{B^2} = {4^2} + {3^2} = 25\) \( \Rightarrow OA = 5cm\)
Xét tam giác \(ABO\) vuông tại \(B\) có \(BH\) là đường cao, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: \(A{B^2} = AH.AO\)\( \Leftrightarrow AH = \dfrac{{A{B^2}}}{{AO}} = \dfrac{{{4^2}}}{5} = 3,2cm\)
Vậy \(AH = 3,2cm\).
c. Chứng minh \(AE.AD = AH.AO\)
Xét tam giác \(ABO\) vuông tại \(B\) có \(BH\) là đường cao, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: \(A{B^2} = AH.AO\) (1)
Xét tam giác \(AEB\) và tam giác \(ABD\) có:
\(\angle BAE\) chung
\(\angle ABE = \angle BDE\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung \(BE\) trong đường tròn \(\left( O \right)\))
Suy ra \(\Delta AEB \sim \Delta ABD\left( {g - g} \right)\)
\( \Rightarrow \dfrac{{AE}}{{AB}} = \dfrac{{AB}}{{AD}} \Rightarrow AE.AD = A{B^2}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(AE.AD = AH.AO\).
d. Tia \(CE\) cắt \(AH\) tại \(F\). Chứng tỏ \(F\) là trung điểm của \(AH.\)
Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có \(\angle BCD = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), suy ra \(BC \bot CD\)
Lại có \(AO \bot BC\) nên \(CD//AO\)
Suy ra \(\angle ADC = \angle OAD\) (so le trong)
Xét \(\left( O \right)\) có \(\angle ACE = \angle EDC\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung \(EC\))
Suy ra \(\angle ACE = \angle FAE\) \(\left( { = \angle CDE} \right)\)
Xét \(\Delta AFE\) và \(\Delta CFA\) có:
\(\angle AFE\) chung
\(\angle ACE = \angle FAE\) (cmt)
Suy ra \(\Delta AFE \sim \Delta CFA\left( {g - g} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{AF}}{{CF}} = \dfrac{{FE}}{{FA}}\\ \Rightarrow F{A^2} = FC.FE\left( * \right)\end{array}\)
Theo câu b ta có \(AE.AD = AH.AO\)\( \Rightarrow \dfrac{{AE}}{{AH}} = \dfrac{{AO}}{{AD}}\)
Suy ra \(\Delta AEH \sim \Delta AOD\left( {c - g - c} \right)\) \( \Rightarrow \angle AHE = \angle ADO\)
Suy ra tứ giác \(EHOD\) là tứ giác nội tiếp (góc ngoài tại 1 đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối với đỉnh đó)
Suy ra \(\angle HED = \angle BOA\) (cùng phụ với \(\angle AOD\))
Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có \(\angle CED = \angle CBD\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(CD\))
Lại có \(\angle BOH + \angle HBO = {90^0}\) (do \(\Delta BHO\) vuông tại \(H\))
Nên \(\angle EHD + \angle CED = {90^0} \Rightarrow \angle HEC = {90^0}\) hay \(EH \bot FC\)
Xét tam giác \(HFC\) vuông tại H có \(HE\) là đường cao, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
\(F{H^2} = FE.FC\) (**)
Từ (*) và (**) suy ra \(F{A^2} = F{H^2}\) \( \Leftrightarrow FA = FH \Rightarrow F\) là trung điểm \(AH\).
Câu 5 (0,5 điểm)
Cách giải:
Cho \(x,y\) là các số thực dương thỏa mãn \(x + y \le 3\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\(Q = {x^2} + {y^2} - 9x - 12y + \dfrac{{16}}{{2x + y}} + 25\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}Q = {x^2} + {y^2} - 9x - 12y + \dfrac{{16}}{{2x + y}} + 25\\ = \left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + \left( {{y^2} - 4y + 4} \right) + \left( {2x + y} \right) + \dfrac{{16}}{{2x + y}} - 9\left( {x + y} \right) + 20\\ = {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + \left( {2x + y} \right) + \dfrac{{16}}{{2x + y}} - 9\left( {x + y} \right) + 20\end{array}\)
\(\begin{array}{l}{\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0\\{\left( {y - 2} \right)^2} \ge 0\\2x + y + \dfrac{{16}}{{2x + y}} \ge 2\sqrt {\left( {2x + y} \right).\dfrac{{16}}{{2x + y}}} = 8\\ - 9\left( {x + y} \right) \ge - 9.3 = - 27\\ \Rightarrow Q \ge 0 + 0 + 8 - 27 + 20 = 1\\ \Rightarrow Q \ge 1\end{array}\)
Dấu “=” xảy ra khi \(x = 1,y = 2\).
Vậy \({Q_{\min }} = 1\) khi \(x = 1,y = 2\).
Câu 1 (2 điểm)
Cách giải:
1. Thực hiện phép tính \(2 + \sqrt 9 .\)
Ta có: \(2 + \sqrt 9 = 2 + 3 = 5.\)
2. Rút gọn biểu thức \(B = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt x + 2}} - \dfrac{1}{{\sqrt x + 7}}} \right):\dfrac{5}{{\sqrt x + 7}}\) với \(x \ge 0.\)
Điều kiện: \(x \ge 0\)
\(\begin{array}{l}B = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt x + 2}} - \dfrac{1}{{\sqrt x + 7}}} \right):\dfrac{5}{{\sqrt x + 7}}\\\,\,\,\, = \dfrac{{\sqrt x + 7 - \sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x + 7} \right)}}.\dfrac{{\sqrt x + 7}}{5}\\\,\,\,\, = \dfrac{5}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x + 7} \right)}}.\dfrac{{\sqrt x + 7}}{5}\\\,\,\, = \dfrac{1}{{\sqrt x + 2}}.\end{array}\)
Vậy \(B = \dfrac{1}{{\sqrt x + 2}}\) với \(x \ge 2.\)
3. Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 4\\x - 2y = 0\end{array} \right..\)
\(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 4\\x - 2y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x = 4\\x = 2y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} \right..\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {2;\,\,1} \right).\)
Câu 2 (2,0 điểm)
Cách giải:
Cho phương trình \({x^2} + 4x + 3m - 2 = 0\), với \(m\) là tham số.
1. Giải phương trình với \(m = - 1\).
Thay \(m = - 1\) vào phương trình đã cho ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{x^2} + 4x - 5 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - x + 5x - 5 = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right) + 5\left( {x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x + 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\x + 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 5\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy khi \(m = - 1\) thì tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {1; - 5} \right\}\).
2. Tìm giá trị của \(m\) để phương trình đã cho có một nghiệm \(x = 2\).
Vì \(x = 2\) là một nghiệm của phương trình nên thay \(x = 2\) vào phương trình ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{2^2} + 4.2 + 3m - 2 = 0\\ \Leftrightarrow 3m + 10 = 0\\ \Leftrightarrow m = - \dfrac{{10}}{3}\end{array}\)
Vậy khi \(m = - \dfrac{{10}}{3}\) thì phương trình đã cho có một nghiệm \(x = 2\).
3. Tìm giá trị của \(m\) để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) sao cho \({x_1} + 2{x_2} = 1\).
Ta có: \(\Delta ' = {\left( { - 2} \right)^2} - \left( {3m - 2} \right) = 4 - 3m + 2 = 6 - 3m\).
Để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) thì \(\Delta ' > 0 \Leftrightarrow 6 - 3m > 0 \Leftrightarrow m < 2\).
Khi đó áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 4\\{x_1}{x_2} = 3m - 2\end{array} \right.\,\,\left( * \right)\).
Theo bài ra ta có: \({x_1} + 2{x_2} = 1 \Leftrightarrow {x_1} = 1 - 2{x_2}\).
Thế vào hệ (*) ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}1 - 2{x_2} + {x_2} = - 4\\\left( {1 - 2{x_2}} \right).{x_2} = 3m - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} = 5\\\left( {1 - 2.5} \right).5 = 3m - 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} = 5\\3m - 2 = - 45\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} = 5\\m = - \dfrac{{43}}{3}\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy \(m = - \dfrac{{43}}{3}\).
Câu 3 (2 điểm)
Cách giải:
Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 32 km. Một canô xuôi dòng từ bến A đến bến B rồi lập tức quay về bến A. Kể từ lúc khởi hành đến lúc về tới bến A hết tất cả 6 giờ. Tính vận tốc của canô khi nước yên lặng biết vận tốc của dòng nước là 4 km/h.
Gọi vận tốc của canô khi nước yên lặng là \(x\) (km/h) \(\left( {x > 4} \right)\)
Vận tốc canô khi xuôi dòng là \(x + 4\) (km/h)
Vận tốc canô khi ngược dòng là \(x - 4\) (km/h)
Thời gian canô xuôi dòng từ bến A đến bến B là \(\dfrac{{32}}{{x + 4}}\) giờ
Thời gian canô ngược dòng từ bến B về bến A là \(\dfrac{{32}}{{x - 4}}\) giờ
Vì từ lúc khởi hành đến lúc về tới bến A hết tất cả 6 giờ nên ta có phương trình:
\(\begin{array}{l}\dfrac{{32}}{{x + 4}} + \dfrac{{32}}{{x - 4}} = 6\\ \Leftrightarrow \dfrac{{32\left( {x - 4} \right) + 32\left( {x + 4} \right)}}{{\left( {x - 4} \right)\left( {x + 4} \right)}} = 6\\ \Leftrightarrow \dfrac{{32x - 128 + 32x + 128}}{{\left( {x - 4} \right)\left( {x + 4} \right)}} = 6\\ \Leftrightarrow \dfrac{{64x}}{{{x^2} - 16}} = 6\\ \Rightarrow 6{x^2} - 96 = 64x\\ \Leftrightarrow 6{x^2} - 64x - 96 = 0\\ \Leftrightarrow 3{x^2} - 32x - 48 = 0\\ \Leftrightarrow 3{x^2} - 36x + 4x - 48 = 0\\ \Leftrightarrow 3x\left( {x - 12} \right) + 4\left( {x - 12} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {3x + 4} \right)\left( {x - 12} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x + 4 = 0\\x - 12 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \dfrac{4}{3}\,\,\left( {ktm} \right)\\x = 12\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy vận tốc của canô khi nước yên lặng là 12 km/h.
Câu 4 (3,5 điểm)
Cách giải:
Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và \(A\) là một điểm nằm bên ngoài đường tròn. Từ điểm A kẻ hai tiếp tuyến \(AB\) và \(AC\) với đường tròn \(\left( O \right)\) ( B và C là hai tiếp điểm). Gọi \(H\) là giao điểm của \(AO\) và \(BC\). Kẻ đường kính \(BD\) của đường tròn \(\left( O \right)\), \(AD\) cắt đường tròn tại điểm thứ hai là \(E\).
a. Chứng minh \(ABOC\) là tứ giác nội tiếp
Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có \(AB\) và \(AC\) là các tiếp tuyến, \(B,C\) là các tiếp điểm tương ứng nên \(\angle ABO = {90^0};\angle ACO = {90^0}\)
Xét tứ giác \(ABOC\) có \(\angle ABO + \angle ACO = {90^0} + {90^0} = {180^0}\) mà hai góc \(\angle ABO;\angle ACO\) đối nhau nên tứ giác \(ABOC\) là tứ giác nội tiếp (dhnb)
b. Tính độ dài \(AH\) biết \(R = 3cm,AB = 4cm.\)
Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có \(AB\) và \(AC\) là hai tiếp tuyến cắt nhau tại \(A.\)
Suy ra \(AB = AC\) (tính chất), mà \(OB = OC = R\) nên \(AO\) là đường trung trực của đoạn \(BC\)
Do đó \(OA \bot BC\) tại \(H.\)
Xét tam giác \(ABO\) vuông tại \(B\), theo định lý Pytago ta có: \(A{O^2} = A{B^2} + O{B^2} = {4^2} + {3^2} = 25\) \( \Rightarrow OA = 5cm\)
Xét tam giác \(ABO\) vuông tại \(B\) có \(BH\) là đường cao, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: \(A{B^2} = AH.AO\)\( \Leftrightarrow AH = \dfrac{{A{B^2}}}{{AO}} = \dfrac{{{4^2}}}{5} = 3,2cm\)
Vậy \(AH = 3,2cm\).
c. Chứng minh \(AE.AD = AH.AO\)
Xét tam giác \(ABO\) vuông tại \(B\) có \(BH\) là đường cao, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: \(A{B^2} = AH.AO\) (1)
Xét tam giác \(AEB\) và tam giác \(ABD\) có:
\(\angle BAE\) chung
\(\angle ABE = \angle BDE\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung \(BE\) trong đường tròn \(\left( O \right)\))
Suy ra \(\Delta AEB \sim \Delta ABD\left( {g - g} \right)\)
\( \Rightarrow \dfrac{{AE}}{{AB}} = \dfrac{{AB}}{{AD}} \Rightarrow AE.AD = A{B^2}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(AE.AD = AH.AO\).
d. Tia \(CE\) cắt \(AH\) tại \(F\). Chứng tỏ \(F\) là trung điểm của \(AH.\)
Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có \(\angle BCD = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), suy ra \(BC \bot CD\)
Lại có \(AO \bot BC\) nên \(CD//AO\)
Suy ra \(\angle ADC = \angle OAD\) (so le trong)
Xét \(\left( O \right)\) có \(\angle ACE = \angle EDC\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung \(EC\))
Suy ra \(\angle ACE = \angle FAE\) \(\left( { = \angle CDE} \right)\)
Xét \(\Delta AFE\) và \(\Delta CFA\) có:
\(\angle AFE\) chung
\(\angle ACE = \angle FAE\) (cmt)
Suy ra \(\Delta AFE \sim \Delta CFA\left( {g - g} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{AF}}{{CF}} = \dfrac{{FE}}{{FA}}\\ \Rightarrow F{A^2} = FC.FE\left( * \right)\end{array}\)
Theo câu b ta có \(AE.AD = AH.AO\)\( \Rightarrow \dfrac{{AE}}{{AH}} = \dfrac{{AO}}{{AD}}\)
Suy ra \(\Delta AEH \sim \Delta AOD\left( {c - g - c} \right)\) \( \Rightarrow \angle AHE = \angle ADO\)
Suy ra tứ giác \(EHOD\) là tứ giác nội tiếp (góc ngoài tại 1 đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối với đỉnh đó)
Suy ra \(\angle HED = \angle BOA\) (cùng phụ với \(\angle AOD\))
Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có \(\angle CED = \angle CBD\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(CD\))
Lại có \(\angle BOH + \angle HBO = {90^0}\) (do \(\Delta BHO\) vuông tại \(H\))
Nên \(\angle EHD + \angle CED = {90^0} \Rightarrow \angle HEC = {90^0}\) hay \(EH \bot FC\)
Xét tam giác \(HFC\) vuông tại H có \(HE\) là đường cao, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
\(F{H^2} = FE.FC\) (**)
Từ (*) và (**) suy ra \(F{A^2} = F{H^2}\) \( \Leftrightarrow FA = FH \Rightarrow F\) là trung điểm \(AH\).
Câu 5 (0,5 điểm)
Cách giải:
Cho \(x,y\) là các số thực dương thỏa mãn \(x + y \le 3\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\(Q = {x^2} + {y^2} - 9x - 12y + \dfrac{{16}}{{2x + y}} + 25\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}Q = {x^2} + {y^2} - 9x - 12y + \dfrac{{16}}{{2x + y}} + 25\\ = \left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + \left( {{y^2} - 4y + 4} \right) + \left( {2x + y} \right) + \dfrac{{16}}{{2x + y}} - 9\left( {x + y} \right) + 20\\ = {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + \left( {2x + y} \right) + \dfrac{{16}}{{2x + y}} - 9\left( {x + y} \right) + 20\end{array}\)
\(\begin{array}{l}{\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0\\{\left( {y - 2} \right)^2} \ge 0\\2x + y + \dfrac{{16}}{{2x + y}} \ge 2\sqrt {\left( {2x + y} \right).\dfrac{{16}}{{2x + y}}} = 8\\ - 9\left( {x + y} \right) \ge - 9.3 = - 27\\ \Rightarrow Q \ge 0 + 0 + 8 - 27 + 20 = 1\\ \Rightarrow Q \ge 1\end{array}\)
Dấu “=” xảy ra khi \(x = 1,y = 2\).
Vậy \({Q_{\min }} = 1\) khi \(x = 1,y = 2\).
Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 là một bước ngoặt quan trọng trong quá trình học tập của mỗi học sinh. Để đạt kết quả tốt nhất, việc chuẩn bị kỹ lưỡng là vô cùng cần thiết. Đề thi vào 10 môn Toán Quảng Ninh năm 2020 là một nguồn tài liệu quý giá để các em học sinh ôn tập và làm quen với dạng đề thi thực tế.
Đề thi vào 10 môn Toán Quảng Ninh năm 2020 thường bao gồm các dạng bài tập sau:
Đề thi số 1 tập trung vào các kiến thức về đại số, đặc biệt là các bài toán về phương trình bậc hai và hệ phương trình. Để giải tốt các bài toán này, các em cần nắm vững các công thức và phương pháp giải phương trình, hệ phương trình. Ngoài ra, các em cũng cần rèn luyện kỹ năng biến đổi đại số và kiểm tra lại kết quả.
Đề thi số 2 tập trung vào các kiến thức về hình học, đặc biệt là các bài toán về tam giác và đường tròn. Để giải tốt các bài toán này, các em cần nắm vững các định lý và tính chất của tam giác và đường tròn. Ngoài ra, các em cũng cần rèn luyện kỹ năng vẽ hình và sử dụng các công cụ hình học.
Để giải tốt đề thi vào 10 môn Toán Quảng Ninh năm 2020, các em cần:
Ngoài việc giải các đề thi vào 10 môn Toán Quảng Ninh năm 2020, các em cũng nên:
Ngoài bộ đề thi vào 10 môn Toán Quảng Ninh năm 2020, các em có thể tham khảo thêm các tài liệu sau:
Chúc các em học sinh ôn thi tốt và đạt kết quả cao trong kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Khám phá thế giới phân dạng, từ hình học trừu tượng đến ứng dụng trong nghệ thuật và tự nhiên. Tìm hiểu cách phân dạng tạo ra vẻ đẹp vô hạn!
Bạn đã bao giờ gặp một điều nghe có vẻ vô lý nhưng lại chứa đựng sự thật? Khám phá thế giới Paradox - những mâu thuẫn thú vị giúp bạn nhìn nhận cuộc sống dưới một góc độ mới lạ. Đọc ngay!
Khám phá 'Tên của trò chơi là bắt cóc' - cuốn sách hấp dẫn đưa bạn vào thế giới ngầm đầy rẫy những kẻ ác. Đánh giá chi tiết, phân tích sâu sắc và lý do bạn nên đọc ngay!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán lớp 1 khó nhất! Hướng dẫn phụ huynh cách hỗ trợ con học toán hiệu quả, tạo hứng thú và đạt kết quả tốt nhất. Khám phá các mẹo học tập thông minh!
Review sách 'Dữ liệu tử thần' của Jeffery Deaver. Khám phá cách tội phạm sử dụng thông tin cá nhân và học cách bảo vệ dữ liệu của bạn ngay hôm nay!
