Loigiai.com.vn xin giới thiệu bộ đề thi vào 10 môn Toán tỉnh Sơn La năm 2020 chính thức, kèm đáp án chi tiết. Đây là tài liệu vô cùng quan trọng giúp các em học sinh làm quen với cấu trúc đề thi, rèn luyện kỹ năng giải toán và tự tin hơn trong kỳ thi sắp tới.
Chúng tôi cung cấp đầy đủ các dạng bài tập thường gặp, từ đại số đến hình học, giúp các em nắm vững kiến thức và áp dụng vào thực tế.
Câu 1: Cho biểu thức:
Câu 1:
Cho biểu thức: \(A = \dfrac{x}{{x - 4}} + \dfrac{1}{{\sqrt x + 2}} - \dfrac{1}{{\sqrt x - 2}}\)
a) Tìm điều kiện để biểu thức \(A\) xác định.
b) Rút gọn biểu thức \(A.\)
Câu 2:
Trên cùng hệ trục tọa độ vẽ hai đồ thị hàm số \(y = x + 2\) và \(y = {x^2}\). Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị đó.
Câu 3:
Giải các phương trình sau:
a) \(\dfrac{x}{2} + 2020 = x + \dfrac{{2035}}{2}\) b) \({x^2} - 2\sqrt 2 x - 6 = 0\) c) \({x^2} + \dfrac{{9{x^2}}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} = 7\,\,\)
Câu 4:
Cho phương trình \({x^2} + 2\left( {m - 3} \right)x + m - 1 = 0\) với \(m\) là tham số. Tìm \(m\) để phương trình có đúng hai nghiệm dương.
Câu 5:
Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích \(480{m^2}\). Nếu tăng chiều dài lên 8m và giảm chiều rộng đi 2m thì diện tích không đổi. Hãy tính chu vi của mảnh vườn đó.
Câu 6:
Từ một điểm \(A\) bên ngoài đường tròn tâm \(O\) vẽ các tiếp tuyến \(AB,\,\,AC\) (\(B\) và \(C\) là các tiếp điểm). Gọi \(H\) là giao điểm của \(OA\) và \(BC\).
a) Chứng minh tứ giác \(ABOC\) nội tiếp được đường tròn.
b) Tính diện tích tam giác \(ABC\) trong trường hợp bán kính đường tròn \(\left( O \right)\) bằng \(R\) và \(AO = 3R\).
c) Dây cung \(EF\) thay đổi nhưng luôn đi qua \(H\). Chứng minh \(AO\) là tia phân giác góc \(\angle EAF\).
Câu 1 (1,5 điểm)
Cách giải:
Cho biểu thức: \(A = \dfrac{x}{{x - 4}} + \dfrac{1}{{\sqrt x + 2}} - \dfrac{1}{{\sqrt x - 2}}\)
a) Tìm điều kiện để biểu thức \(A\) xác định.
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x - 4 \ne 0\\\sqrt x - 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 4\\\sqrt x \ne 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 4\end{array} \right..\)
Vậy biểu thức \(A\) xác định khi \(x \ge 0,\,\,x \ne 4.\)
b) Rút gọn biểu thức \(A.\)
Điều kiện:\(x \ge 0,\,\,x \ne 4.\)
\(\begin{array}{l}A = \dfrac{x}{{x - 4}} + \dfrac{1}{{\sqrt x + 2}} - \dfrac{1}{{\sqrt x - 2}}\\\,\,\,\, = \dfrac{x}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} + \dfrac{1}{{\sqrt x + 2}} - \dfrac{1}{{\sqrt x - 2}}\\\,\,\, = \dfrac{{x + \sqrt x - 2 - \sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\\\,\,\, = \dfrac{{x - 4}}{{x - 4}} = 1.\end{array}\)
Vậy \(A = 1\) khi \(x \ge 0,\,\,x \ne 4.\)
Câu 2 (1,0 điểm)
Cách giải:
Trên cùng hệ trục tọa độ vẽ hai đồ thị hàm số \(y = x + 2\) và \(y = {x^2}\). Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị đó.
+ Vẽ đồ thị hàm số.
Vẽ đường thẳng \(y = x + 2\).
Ta có bảng giá trị sau:
\(x\) | \(0\) | \( - 2\) |
\(y\) | \(2\) | \(0\) |
\( \Rightarrow \) Đường thẳng \(y = x + 2\) là đường thẳng đi qua các điểm \(\left( {0;2} \right);\,\,\left( { - 2;0} \right)\).
Vẽ parabol \(y = {x^2}\).
Ta có bảng giá trị sau:
\(x\) | \( - 2\) | \( - 1\) | 0 | 1 | 2 |
\(y\) | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 |
\( \Rightarrow \) Parabol \(y = {x^2}\) là đường cong đi qua các điểm \(\left( { - 2;4} \right)\), \(\left( { - 1;1} \right)\), \(\left( {0;0} \right)\), \(\left( {1;1} \right)\), \(\left( {2;4} \right)\) và nhận trục \(Oy\) là trục đối xứng.
Vẽ đồ thị hàm số:
Cách 1:
Dựa vào đồ thị ta thấy hai đồ thị hàm số \(y = x + 2\) và \(y = {x^2}\) cắt nhau tại hai điểm \(\left( { - 1;1} \right)\) và \(\left( {2;4} \right)\).
Cách 2:
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,x + 2 = {x^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + x - 2x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x + 1} \right) - 2\left( {x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 0\\x - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 2\end{array} \right.\end{array}\)
Với \(x = - 1 \Rightarrow y = {\left( { - 1} \right)^2} = 1 \Rightarrow A\left( { - 1;1} \right)\).
Với \(x = 2 \Rightarrow y = {2^2} = 4 \Rightarrow B\left( {2;4} \right)\).
Vậy hai đồ thị hàm số \(y = x + 2\) và \(y = {x^2}\) cắt nhau tại 2 điểm có tọa độ là \(A\left( { - 1;1} \right)\) và \(B\left( {2;4} \right)\).
Câu 3 (2,0 điểm)
Cách giải:
Giải các phương trình sau:
a) \(\dfrac{x}{2} + 2020 = x + \dfrac{{2035}}{2}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow x - \dfrac{x}{2} = 2020 - \dfrac{{2035}}{2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{x}{2} = \dfrac{{2005}}{2}\\ \Leftrightarrow x = 2005.\end{array}\)
Vậy phương trình có nghiệm \(x = 2005.\)
b) \({x^2} - 2\sqrt 2 x - 6 = 0\)
Ta có: \(\Delta ' = 2 + 6 = 8 > 0\)
\( \Rightarrow \) Phương trình có hai nghiệm phân biệt: \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = \sqrt 2 + \sqrt 8 = \sqrt 2 + 2\sqrt 2 = 3\sqrt 2 \\{x_2} = \sqrt 2 - \sqrt 8 = \sqrt 2 - 2\sqrt 2 = - \sqrt 2 \end{array} \right..\)
Vậy phương trình có tập nghiệm: \(S = \left\{ { - \sqrt 2 ;\,\,3\sqrt 2 } \right\}.\)
c) \({x^2} + \dfrac{{9{x^2}}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} = 7\,\,\,\left( * \right)\)
Điều kiện: \(x + 3 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 3.\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow {x^2} - 2.\dfrac{{3{x^2}}}{{x + 3}} + \dfrac{{9{x^2}}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} + \dfrac{{6{x^2}}}{{x + 3}} = 7\\ \Leftrightarrow {\left( {x - \dfrac{{3x}}{{x + 3}}} \right)^2} + \dfrac{{6{x^2}}}{{x + 3}} - 7 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{{{x^2} + 3x - 3x}}{{x + 3}}} \right)^2} + \dfrac{{6{x^2}}}{{x + 3}} - 7 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 3}}} \right)^2} + \dfrac{{6{x^2}}}{{x + 3}} - 7 = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)
Đặt \(\dfrac{{{x^2}}}{{x + 3}} = t\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow {t^2} + 6t - 7 = 0\\ \Leftrightarrow {t^2} + 7t - t - 7 = 0\\ \Leftrightarrow t\left( {t + 7} \right) - \left( {t + 7} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {t + 7} \right)\left( {t - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t + 7 = 0\\t - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 7\\t = 1\end{array} \right.\end{array}\)
+) Với \(t = - 7\) ta có: \(\dfrac{{{x^2}}}{{x + 3}} = - 7\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} = - 7x - 21\\ \Leftrightarrow {x^2} + 7x + 21 = 0\end{array}\)
Có \(\Delta = {7^2} - 4.21 = - 35 < 0\)
\( \Rightarrow \) Phương trình vô nghiệm.
+) Với \(t = 1\) ta có:\(\dfrac{{{x^2}}}{{x + 3}} = 1\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} = x + 3\\ \Leftrightarrow {x^2} - x - 3 = 0\end{array}\)
Có \(\Delta = 1 + 4.3 = 13 > 0\)
\( \Rightarrow \) Phương trình có hai nghiệm phân biệt: \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = \dfrac{{1 - \sqrt {13} }}{2}\,\,\left( {tm} \right)\\{x_2} = \dfrac{{1 + \sqrt {13} }}{2}\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right..\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là:\(S = \left\{ {\dfrac{{1 - \sqrt {13} }}{2};\,\,\,\dfrac{{1 + \sqrt {13} }}{2}} \right\}.\)
Câu 4 (1,0 điểm)
Cách giải:
Cho phương trình \({x^2} + 2\left( {m - 3} \right)x + m - 1 = 0\) với \(m\) là tham số. Tìm \(m\) để phương trình có đúng hai nghiệm dương.
Để phương trình \({x^2} + 2\left( {m - 3} \right)x + m - 1 = 0\)có hai nghiệm dương thì:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' \ge 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - 3} \right)^2} - \left( {m - 1} \right) \ge 0\\ - 2\left( {m - 3} \right) > 0\\m - 1 > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 6m + 9 - m + 1 \ge 0\\m - 3 < 0\\m > 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 7m + 10 \ge 0\\m < 3\\m > 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 7m + 10 \ge 0\,\,\,\left( 1 \right)\\1 < m < 3\end{array} \right.\,\,\left( * \right)\end{array}\)
Xét bất phương trình \({m^2} - 7m + 10 \ge 0\,\,\left( 1 \right)\) ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,{m^2} - 7m + 10 \ge 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - 2m - 5m + 10 \ge 0\\ \Leftrightarrow m\left( {m - 2} \right) - 5\left( {m - 2} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow \left( {m - 2} \right)\left( {m - 5} \right) \ge 0\end{array}\)
TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}m - 2 \ge 0\\m - 5 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge 2\\m \ge 5\end{array} \right. \Leftrightarrow m \ge 5\).
TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}m - 2 \le 0\\m - 5 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 2\\m \le 5\end{array} \right. \Leftrightarrow m \le 2\).
Do đó \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \ge 5\\m \le 2\end{array} \right.\).
Khi đó hệ (*) trở thành: \(\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m \ge 5\\m \le 2\end{array} \right.\\1 < m < 3\end{array} \right. \Rightarrow 1 < m \le 2\).
Vậy \(1 < m \le 2\).
Câu 5 (1,0 điểm)
Cách giải:
Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích \(480{m^2}\). Nếu tăng chiều dài lên 8m và giảm chiều rộng đi 2m thì diện tích không đổi. Hãy tính chu vi của mảnh vườn đó.
Gọi chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn lần lượt là \(x,\,\,y\) (mét) (ĐK: \(x > y > 2\)).
Vì diện tích mảnh vườn là \(480{m^2}\) nên ta có phương trình \(xy = 480\,\,\left( 1 \right)\).
Nếu tăng chiều dài lên 8m thì chiều dài mới là \(x + 8\,\,\left( m \right)\).
giảm chiều rộng đi 2m thì chiều chiều rộng mới là \(y - 2\,\,\left( m \right)\).
Khi đó diện tích mảnh vườn không thy đổi nên ta có phương trình
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\left( {x + 8} \right)\left( {y - 2} \right) = 480\\ \Leftrightarrow xy - 2x + 8y - 16 = 480\\ \Leftrightarrow 480 - 2x + 8y - 16 = 480\\ \Leftrightarrow 2x - 8y = - 16\\ \Leftrightarrow x - 4y = - 8\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}xy = 480\\x - 4y = - 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy = 480\\x = 4y - 8\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {4y - 8} \right).y = 480\\x = 4y - 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{y^2} - 8y - 480 = 0\\x = 4y - 8\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y^2} - 2y - 120 = 0\,\,\left( * \right)\\x = 4y - 8\end{array} \right.\)
Xét phương trình (*) ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{y^2} - 2y - 120 = 0\\ \Leftrightarrow {y^2} - 12y + 10y - 120 = 0\\ \Leftrightarrow y\left( {y - 12} \right) + 10\left( {y - 12} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {y - 12} \right)\left( {y + 10} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y - 12 = 0\\y + 10 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 12\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\y = - 10\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Với \(y = 12\) \( \Rightarrow x = 4.12 - 8 = 40\).
Vậy chu vi của mảnh vườn đó là \(C = 2\left( {x + y} \right) = 2\left( {40 + 12} \right) = 104\,\,\left( m \right)\).
Câu 6 (1,0 điểm)
Cách giải:
Từ một điểm \(A\) bên ngoài đường tròn tâm \(O\) vẽ các tiếp tuyến \(AB,\,\,AC\) (\(B\) và \(C\) là các tiếp điểm). Gọi \(H\) là giao điểm của \(OA\) và \(BC\).
a) Chứng minh tứ giác \(ABOC\) nội tiếp được đường tròn.
Ta có: \(AB,\,\,AC\) là các tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB \bot OB\\AC \bot OC\end{array} \right. \Rightarrow \angle ABO = \angle ACO = {90^0}\)
Xét tứ giác \(ABOC\) ta có:
\(\angle ABO + \angle ACO = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)
Mà hai góc này là hai góc đối diện
\( \Rightarrow \angle ABOC\) là tứ giác nội tiếp (dhnb). (đpcm)
b) Tính diện tích tam giác \(ABC\) trong trường hợp bán kính đường tròn \(\left( O \right)\) bằng \(R\) và \(AO = 3R\).
Ta có:\(OB = OC = R\)
\( \Rightarrow O\) thuộc đường trung trực của \(BC.\)
\(AB = AC\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
\( \Rightarrow A\) thuộc đường trung trực của \(BC.\)
\( \Rightarrow AO\) là đường trung trực của \(BC\)
\( \Rightarrow AO \bot BC = \left\{ H \right\}\)
\( \Rightarrow H\) là trung điểm của \(BC\) (mối liên hệ giữa đường kính và dây cung).
Áp dụng định lý Pitago cho \(\Delta ABO\) vuông tại \(B\) ta có:
\(AB = \sqrt {A{O^2} - O{B^2}} = \sqrt {9{R^2} - {R^2}} = 2\sqrt 2 R.\)
Áp dụng hệ thức lượng cho \(\Delta ABO\) vuông tại \(B\) có đường cao \(BH\) ta có:
\(\begin{array}{l}BH = \dfrac{{OB.AB}}{{AO}} = \dfrac{{2\sqrt 2 R.R}}{{3R}} = \dfrac{{2\sqrt 2 R}}{3}.\\AH = \dfrac{{A{B^2}}}{{AO}} = \dfrac{{8{R^2}}}{{3R}} = \dfrac{{8R}}{3}\\ \Rightarrow BC = 2BH = \dfrac{{4\sqrt 2 }}{3}R.\\ \Rightarrow {S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AH.BC = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{8R}}{3}.\dfrac{{4\sqrt 2 R}}{3} = \dfrac{{16\sqrt 2 {R^2}}}{9}\,\,\,\,\left( {dvdt} \right).\end{array}\)
Vậy khi \(OA = 3R\) thì \({S_{ABC}} = \dfrac{{16\sqrt 2 {R^2}}}{9}.\)
Câu 1:
Cho biểu thức: \(A = \dfrac{x}{{x - 4}} + \dfrac{1}{{\sqrt x + 2}} - \dfrac{1}{{\sqrt x - 2}}\)
a) Tìm điều kiện để biểu thức \(A\) xác định.
b) Rút gọn biểu thức \(A.\)
Câu 2:
Trên cùng hệ trục tọa độ vẽ hai đồ thị hàm số \(y = x + 2\) và \(y = {x^2}\). Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị đó.
Câu 3:
Giải các phương trình sau:
a) \(\dfrac{x}{2} + 2020 = x + \dfrac{{2035}}{2}\) b) \({x^2} - 2\sqrt 2 x - 6 = 0\) c) \({x^2} + \dfrac{{9{x^2}}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} = 7\,\,\)
Câu 4:
Cho phương trình \({x^2} + 2\left( {m - 3} \right)x + m - 1 = 0\) với \(m\) là tham số. Tìm \(m\) để phương trình có đúng hai nghiệm dương.
Câu 5:
Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích \(480{m^2}\). Nếu tăng chiều dài lên 8m và giảm chiều rộng đi 2m thì diện tích không đổi. Hãy tính chu vi của mảnh vườn đó.
Câu 6:
Từ một điểm \(A\) bên ngoài đường tròn tâm \(O\) vẽ các tiếp tuyến \(AB,\,\,AC\) (\(B\) và \(C\) là các tiếp điểm). Gọi \(H\) là giao điểm của \(OA\) và \(BC\).
a) Chứng minh tứ giác \(ABOC\) nội tiếp được đường tròn.
b) Tính diện tích tam giác \(ABC\) trong trường hợp bán kính đường tròn \(\left( O \right)\) bằng \(R\) và \(AO = 3R\).
c) Dây cung \(EF\) thay đổi nhưng luôn đi qua \(H\). Chứng minh \(AO\) là tia phân giác góc \(\angle EAF\).
Câu 1 (1,5 điểm)
Cách giải:
Cho biểu thức: \(A = \dfrac{x}{{x - 4}} + \dfrac{1}{{\sqrt x + 2}} - \dfrac{1}{{\sqrt x - 2}}\)
a) Tìm điều kiện để biểu thức \(A\) xác định.
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x - 4 \ne 0\\\sqrt x - 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 4\\\sqrt x \ne 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 4\end{array} \right..\)
Vậy biểu thức \(A\) xác định khi \(x \ge 0,\,\,x \ne 4.\)
b) Rút gọn biểu thức \(A.\)
Điều kiện:\(x \ge 0,\,\,x \ne 4.\)
\(\begin{array}{l}A = \dfrac{x}{{x - 4}} + \dfrac{1}{{\sqrt x + 2}} - \dfrac{1}{{\sqrt x - 2}}\\\,\,\,\, = \dfrac{x}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} + \dfrac{1}{{\sqrt x + 2}} - \dfrac{1}{{\sqrt x - 2}}\\\,\,\, = \dfrac{{x + \sqrt x - 2 - \sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\\\,\,\, = \dfrac{{x - 4}}{{x - 4}} = 1.\end{array}\)
Vậy \(A = 1\) khi \(x \ge 0,\,\,x \ne 4.\)
Câu 2 (1,0 điểm)
Cách giải:
Trên cùng hệ trục tọa độ vẽ hai đồ thị hàm số \(y = x + 2\) và \(y = {x^2}\). Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị đó.
+ Vẽ đồ thị hàm số.
Vẽ đường thẳng \(y = x + 2\).
Ta có bảng giá trị sau:
\(x\) | \(0\) | \( - 2\) |
\(y\) | \(2\) | \(0\) |
\( \Rightarrow \) Đường thẳng \(y = x + 2\) là đường thẳng đi qua các điểm \(\left( {0;2} \right);\,\,\left( { - 2;0} \right)\).
Vẽ parabol \(y = {x^2}\).
Ta có bảng giá trị sau:
\(x\) | \( - 2\) | \( - 1\) | 0 | 1 | 2 |
\(y\) | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 |
\( \Rightarrow \) Parabol \(y = {x^2}\) là đường cong đi qua các điểm \(\left( { - 2;4} \right)\), \(\left( { - 1;1} \right)\), \(\left( {0;0} \right)\), \(\left( {1;1} \right)\), \(\left( {2;4} \right)\) và nhận trục \(Oy\) là trục đối xứng.
Vẽ đồ thị hàm số:
Cách 1:
Dựa vào đồ thị ta thấy hai đồ thị hàm số \(y = x + 2\) và \(y = {x^2}\) cắt nhau tại hai điểm \(\left( { - 1;1} \right)\) và \(\left( {2;4} \right)\).
Cách 2:
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,x + 2 = {x^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + x - 2x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x + 1} \right) - 2\left( {x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 0\\x - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 2\end{array} \right.\end{array}\)
Với \(x = - 1 \Rightarrow y = {\left( { - 1} \right)^2} = 1 \Rightarrow A\left( { - 1;1} \right)\).
Với \(x = 2 \Rightarrow y = {2^2} = 4 \Rightarrow B\left( {2;4} \right)\).
Vậy hai đồ thị hàm số \(y = x + 2\) và \(y = {x^2}\) cắt nhau tại 2 điểm có tọa độ là \(A\left( { - 1;1} \right)\) và \(B\left( {2;4} \right)\).
Câu 3 (2,0 điểm)
Cách giải:
Giải các phương trình sau:
a) \(\dfrac{x}{2} + 2020 = x + \dfrac{{2035}}{2}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow x - \dfrac{x}{2} = 2020 - \dfrac{{2035}}{2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{x}{2} = \dfrac{{2005}}{2}\\ \Leftrightarrow x = 2005.\end{array}\)
Vậy phương trình có nghiệm \(x = 2005.\)
b) \({x^2} - 2\sqrt 2 x - 6 = 0\)
Ta có: \(\Delta ' = 2 + 6 = 8 > 0\)
\( \Rightarrow \) Phương trình có hai nghiệm phân biệt: \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = \sqrt 2 + \sqrt 8 = \sqrt 2 + 2\sqrt 2 = 3\sqrt 2 \\{x_2} = \sqrt 2 - \sqrt 8 = \sqrt 2 - 2\sqrt 2 = - \sqrt 2 \end{array} \right..\)
Vậy phương trình có tập nghiệm: \(S = \left\{ { - \sqrt 2 ;\,\,3\sqrt 2 } \right\}.\)
c) \({x^2} + \dfrac{{9{x^2}}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} = 7\,\,\,\left( * \right)\)
Điều kiện: \(x + 3 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 3.\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow {x^2} - 2.\dfrac{{3{x^2}}}{{x + 3}} + \dfrac{{9{x^2}}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} + \dfrac{{6{x^2}}}{{x + 3}} = 7\\ \Leftrightarrow {\left( {x - \dfrac{{3x}}{{x + 3}}} \right)^2} + \dfrac{{6{x^2}}}{{x + 3}} - 7 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{{{x^2} + 3x - 3x}}{{x + 3}}} \right)^2} + \dfrac{{6{x^2}}}{{x + 3}} - 7 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 3}}} \right)^2} + \dfrac{{6{x^2}}}{{x + 3}} - 7 = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)
Đặt \(\dfrac{{{x^2}}}{{x + 3}} = t\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow {t^2} + 6t - 7 = 0\\ \Leftrightarrow {t^2} + 7t - t - 7 = 0\\ \Leftrightarrow t\left( {t + 7} \right) - \left( {t + 7} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {t + 7} \right)\left( {t - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t + 7 = 0\\t - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 7\\t = 1\end{array} \right.\end{array}\)
+) Với \(t = - 7\) ta có: \(\dfrac{{{x^2}}}{{x + 3}} = - 7\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} = - 7x - 21\\ \Leftrightarrow {x^2} + 7x + 21 = 0\end{array}\)
Có \(\Delta = {7^2} - 4.21 = - 35 < 0\)
\( \Rightarrow \) Phương trình vô nghiệm.
+) Với \(t = 1\) ta có:\(\dfrac{{{x^2}}}{{x + 3}} = 1\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} = x + 3\\ \Leftrightarrow {x^2} - x - 3 = 0\end{array}\)
Có \(\Delta = 1 + 4.3 = 13 > 0\)
\( \Rightarrow \) Phương trình có hai nghiệm phân biệt: \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = \dfrac{{1 - \sqrt {13} }}{2}\,\,\left( {tm} \right)\\{x_2} = \dfrac{{1 + \sqrt {13} }}{2}\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right..\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là:\(S = \left\{ {\dfrac{{1 - \sqrt {13} }}{2};\,\,\,\dfrac{{1 + \sqrt {13} }}{2}} \right\}.\)
Câu 4 (1,0 điểm)
Cách giải:
Cho phương trình \({x^2} + 2\left( {m - 3} \right)x + m - 1 = 0\) với \(m\) là tham số. Tìm \(m\) để phương trình có đúng hai nghiệm dương.
Để phương trình \({x^2} + 2\left( {m - 3} \right)x + m - 1 = 0\)có hai nghiệm dương thì:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' \ge 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - 3} \right)^2} - \left( {m - 1} \right) \ge 0\\ - 2\left( {m - 3} \right) > 0\\m - 1 > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 6m + 9 - m + 1 \ge 0\\m - 3 < 0\\m > 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 7m + 10 \ge 0\\m < 3\\m > 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 7m + 10 \ge 0\,\,\,\left( 1 \right)\\1 < m < 3\end{array} \right.\,\,\left( * \right)\end{array}\)
Xét bất phương trình \({m^2} - 7m + 10 \ge 0\,\,\left( 1 \right)\) ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,{m^2} - 7m + 10 \ge 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - 2m - 5m + 10 \ge 0\\ \Leftrightarrow m\left( {m - 2} \right) - 5\left( {m - 2} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow \left( {m - 2} \right)\left( {m - 5} \right) \ge 0\end{array}\)
TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}m - 2 \ge 0\\m - 5 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge 2\\m \ge 5\end{array} \right. \Leftrightarrow m \ge 5\).
TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}m - 2 \le 0\\m - 5 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 2\\m \le 5\end{array} \right. \Leftrightarrow m \le 2\).
Do đó \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \ge 5\\m \le 2\end{array} \right.\).
Khi đó hệ (*) trở thành: \(\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m \ge 5\\m \le 2\end{array} \right.\\1 < m < 3\end{array} \right. \Rightarrow 1 < m \le 2\).
Vậy \(1 < m \le 2\).
Câu 5 (1,0 điểm)
Cách giải:
Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích \(480{m^2}\). Nếu tăng chiều dài lên 8m và giảm chiều rộng đi 2m thì diện tích không đổi. Hãy tính chu vi của mảnh vườn đó.
Gọi chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn lần lượt là \(x,\,\,y\) (mét) (ĐK: \(x > y > 2\)).
Vì diện tích mảnh vườn là \(480{m^2}\) nên ta có phương trình \(xy = 480\,\,\left( 1 \right)\).
Nếu tăng chiều dài lên 8m thì chiều dài mới là \(x + 8\,\,\left( m \right)\).
giảm chiều rộng đi 2m thì chiều chiều rộng mới là \(y - 2\,\,\left( m \right)\).
Khi đó diện tích mảnh vườn không thy đổi nên ta có phương trình
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\left( {x + 8} \right)\left( {y - 2} \right) = 480\\ \Leftrightarrow xy - 2x + 8y - 16 = 480\\ \Leftrightarrow 480 - 2x + 8y - 16 = 480\\ \Leftrightarrow 2x - 8y = - 16\\ \Leftrightarrow x - 4y = - 8\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}xy = 480\\x - 4y = - 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy = 480\\x = 4y - 8\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {4y - 8} \right).y = 480\\x = 4y - 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{y^2} - 8y - 480 = 0\\x = 4y - 8\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y^2} - 2y - 120 = 0\,\,\left( * \right)\\x = 4y - 8\end{array} \right.\)
Xét phương trình (*) ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{y^2} - 2y - 120 = 0\\ \Leftrightarrow {y^2} - 12y + 10y - 120 = 0\\ \Leftrightarrow y\left( {y - 12} \right) + 10\left( {y - 12} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {y - 12} \right)\left( {y + 10} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y - 12 = 0\\y + 10 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 12\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\y = - 10\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Với \(y = 12\) \( \Rightarrow x = 4.12 - 8 = 40\).
Vậy chu vi của mảnh vườn đó là \(C = 2\left( {x + y} \right) = 2\left( {40 + 12} \right) = 104\,\,\left( m \right)\).
Câu 6 (1,0 điểm)
Cách giải:
Từ một điểm \(A\) bên ngoài đường tròn tâm \(O\) vẽ các tiếp tuyến \(AB,\,\,AC\) (\(B\) và \(C\) là các tiếp điểm). Gọi \(H\) là giao điểm của \(OA\) và \(BC\).
a) Chứng minh tứ giác \(ABOC\) nội tiếp được đường tròn.
Ta có: \(AB,\,\,AC\) là các tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB \bot OB\\AC \bot OC\end{array} \right. \Rightarrow \angle ABO = \angle ACO = {90^0}\)
Xét tứ giác \(ABOC\) ta có:
\(\angle ABO + \angle ACO = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)
Mà hai góc này là hai góc đối diện
\( \Rightarrow \angle ABOC\) là tứ giác nội tiếp (dhnb). (đpcm)
b) Tính diện tích tam giác \(ABC\) trong trường hợp bán kính đường tròn \(\left( O \right)\) bằng \(R\) và \(AO = 3R\).
Ta có:\(OB = OC = R\)
\( \Rightarrow O\) thuộc đường trung trực của \(BC.\)
\(AB = AC\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
\( \Rightarrow A\) thuộc đường trung trực của \(BC.\)
\( \Rightarrow AO\) là đường trung trực của \(BC\)
\( \Rightarrow AO \bot BC = \left\{ H \right\}\)
\( \Rightarrow H\) là trung điểm của \(BC\) (mối liên hệ giữa đường kính và dây cung).
Áp dụng định lý Pitago cho \(\Delta ABO\) vuông tại \(B\) ta có:
\(AB = \sqrt {A{O^2} - O{B^2}} = \sqrt {9{R^2} - {R^2}} = 2\sqrt 2 R.\)
Áp dụng hệ thức lượng cho \(\Delta ABO\) vuông tại \(B\) có đường cao \(BH\) ta có:
\(\begin{array}{l}BH = \dfrac{{OB.AB}}{{AO}} = \dfrac{{2\sqrt 2 R.R}}{{3R}} = \dfrac{{2\sqrt 2 R}}{3}.\\AH = \dfrac{{A{B^2}}}{{AO}} = \dfrac{{8{R^2}}}{{3R}} = \dfrac{{8R}}{3}\\ \Rightarrow BC = 2BH = \dfrac{{4\sqrt 2 }}{3}R.\\ \Rightarrow {S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AH.BC = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{8R}}{3}.\dfrac{{4\sqrt 2 R}}{3} = \dfrac{{16\sqrt 2 {R^2}}}{9}\,\,\,\,\left( {dvdt} \right).\end{array}\)
Vậy khi \(OA = 3R\) thì \({S_{ABC}} = \dfrac{{16\sqrt 2 {R^2}}}{9}.\)
Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 là một bước ngoặt quan trọng trong quá trình học tập của mỗi học sinh. Để chuẩn bị tốt nhất cho kỳ thi này, việc luyện tập với các đề thi thử và đề thi chính thức các năm trước là vô cùng cần thiết. Bài viết này sẽ cung cấp phân tích chi tiết về Đề thi vào 10 môn Toán Sơn La năm 2020, cùng với hướng dẫn giải các bài tập khó, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán.
Đề thi vào 10 môn Toán Sơn La năm 2020 có cấu trúc tương tự như các năm trước, bao gồm các dạng bài tập thuộc các chủ đề chính sau:
Độ khó của đề thi được đánh giá là ở mức trung bình, có một số câu hỏi đòi hỏi học sinh phải vận dụng kiến thức và kỹ năng một cách linh hoạt. Thời gian làm bài là 120 phút.
Chúng ta sẽ cùng phân tích chi tiết một số câu hỏi tiêu biểu trong đề thi vào 10 môn Toán Sơn La năm 2020:
Đây là một bài toán về giải phương trình bậc hai. Để giải bài toán này, học sinh cần nắm vững các công thức nghiệm của phương trình bậc hai và các kỹ năng biến đổi phương trình.
Đây là một bài toán về chứng minh các tính chất hình học. Để giải bài toán này, học sinh cần nắm vững các định lý, tính chất hình học và các kỹ năng vẽ hình, lập luận logic.
Đây là một bài toán về tính diện tích hình học. Để giải bài toán này, học sinh cần nắm vững các công thức tính diện tích các hình cơ bản và các kỹ năng áp dụng công thức.
Để đạt kết quả tốt nhất trong kỳ thi vào 10 môn Toán, các em học sinh cần lưu ý những kinh nghiệm sau:
Loigiai.com.vn cung cấp đầy đủ các tài liệu ôn thi Toán vào 10, bao gồm:
Hãy truy cập loigiai.com.vn ngay hôm nay để bắt đầu hành trình chinh phục kỳ thi vào 10 môn Toán!
| Dạng bài tập | Ví dụ | Mức độ khó |
|---|---|---|
| Giải phương trình bậc hai | x2 - 5x + 6 = 0 | Trung bình |
| Chứng minh tính chất hình học | Chứng minh hai tam giác đồng dạng | Khó |
| Tính diện tích hình tròn | Tính diện tích hình tròn có bán kính 5cm | Dễ |
Chúc các em học sinh ôn thi tốt và đạt kết quả cao trong kỳ thi vào 10 môn Toán!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Khám phá thế giới phân dạng, từ hình học trừu tượng đến ứng dụng trong nghệ thuật và tự nhiên. Tìm hiểu cách phân dạng tạo ra vẻ đẹp vô hạn!
Bạn đã bao giờ gặp một điều nghe có vẻ vô lý nhưng lại chứa đựng sự thật? Khám phá thế giới Paradox - những mâu thuẫn thú vị giúp bạn nhìn nhận cuộc sống dưới một góc độ mới lạ. Đọc ngay!
Khám phá 'Tên của trò chơi là bắt cóc' - cuốn sách hấp dẫn đưa bạn vào thế giới ngầm đầy rẫy những kẻ ác. Đánh giá chi tiết, phân tích sâu sắc và lý do bạn nên đọc ngay!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán lớp 1 khó nhất! Hướng dẫn phụ huynh cách hỗ trợ con học toán hiệu quả, tạo hứng thú và đạt kết quả tốt nhất. Khám phá các mẹo học tập thông minh!
Review sách 'Dữ liệu tử thần' của Jeffery Deaver. Khám phá cách tội phạm sử dụng thông tin cá nhân và học cách bảo vệ dữ liệu của bạn ngay hôm nay!
