Loigiai.com.vn xin giới thiệu bộ đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán tỉnh Bình Phước năm 2022. Đây là tài liệu vô cùng quan trọng giúp các em học sinh làm quen với cấu trúc đề thi, rèn luyện kỹ năng giải toán và tự tin hơn trong kỳ thi sắp tới.
Chúng tôi cung cấp đầy đủ các đề thi chính thức, đáp án chi tiết và phương pháp giải bài tập hiệu quả.
Câu 1 (2,0 điểm): 1. Tính giá trị các biểu thức:
Câu 1 (2,0 điểm):
1. Tính giá trị các biểu thức:
\(A = \sqrt {64} + \sqrt {16} \) \(B = \sqrt {{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}^2}} - \sqrt 3 \)
2. Cho biểu thức \(P = \dfrac{{x - 2\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} - 2\) với \(x \ge 0,\,\,x \ne 4\)
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tính giá trị của biểu thức \(P\) tại \(x = 49\).
Câu 2 (2,0 điểm):
1. Cho parabol \(\left( P \right):\,\,y = {x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):\,\,y = x + 2\)
a) Vẽ parabol (P) và đường thẳng (d) trên cùng hệ trục tọa độ Oxy.
b) Tìm tọa độ giao điểm của parabol (P) và đường thẳng (d) bằng phép tính
2. Không sử dụng máy tính, giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}3x + y = 9\\4x - y = 5\end{array} \right.\)
Câu 3 (2,5 điểm):
1. Cho phương trình \({x^2} + 2x + m - 5 = 0\) (1) (m là tham số)
a) Giải phương trình (1) khi m = 2.
b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn điều kiện \(x_2^2 - 2{x_1} + {m^2} - 11m + 26 = 0\)
2. Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài lớn hơn chiều rộng là 6m. Tính chiều rộng và chiều dài khu vườn, biết diện tích khu vườn là 280m2.
Câu 4 (1,0 điểm):
Cho tam giác ABC vuông tại A có \(AC = 12cm,\,\,\angle B = {60^0}\). Hãy tính \(\angle C,\,\,AB,\,\,BC\) và diện tích tam giác ABC.
Câu 5 (2,5 điểm):
Từ điểm S nằm ngoài đường tròn (O) kẻ tiếp tuyến SA, SB (A, B là các tiếp điểm). Kẻ đường kính AC của đường tròn (O), đường thẳng SC cắt đường tròn (O) tại điểm D (D khác C).
a) Chứng minh tứ giác SAOB nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh: \(S{A^2} = SC.SD\).
c) Kẻ BH vuông góc với AC tại điểm H. Chứng minh đường thẳng SC đi qua trung điểm của đoạn thẳng BH.
Câu 1 (2,0 điểm):
1. Tính giá trị các biểu thức:
\(A = \sqrt {64} + \sqrt {16} \) \(B = \sqrt {{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}^2}} - \sqrt 3 \)
2. Cho biểu thức \(P = \dfrac{{x - 2\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} - 2\) với \(x \ge 0,\,\,x \ne 4\)
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tính giá trị của biểu thức \(P\) tại \(x = 49\).
Câu 2 (2,0 điểm):
1. Cho parabol \(\left( P \right):\,\,y = {x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):\,\,y = x + 2\)
a) Vẽ parabol (P) và đường thẳng (d) trên cùng hệ trục tọa độ Oxy.
b) Tìm tọa độ giao điểm của parabol (P) và đường thẳng (d) bằng phép tính
2. Không sử dụng máy tính, giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}3x + y = 9\\4x - y = 5\end{array} \right.\)
Câu 3 (2,5 điểm):
1. Cho phương trình \({x^2} + 2x + m - 5 = 0\) (1) (m là tham số)
a) Giải phương trình (1) khi m = 2.
b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn điều kiện \(x_2^2 - 2{x_1} + {m^2} - 11m + 26 = 0\)
2. Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài lớn hơn chiều rộng là 6m. Tính chiều rộng và chiều dài khu vườn, biết diện tích khu vườn là 280m2.
Câu 4 (1,0 điểm):
Cho tam giác ABC vuông tại A có \(AC = 12cm,\,\,\angle B = {60^0}\). Hãy tính \(\angle C,\,\,AB,\,\,BC\) và diện tích tam giác ABC.
Câu 5 (2,5 điểm):
Từ điểm S nằm ngoài đường tròn (O) kẻ tiếp tuyến SA, SB (A, B là các tiếp điểm). Kẻ đường kính AC của đường tròn (O), đường thẳng SC cắt đường tròn (O) tại điểm D (D khác C).
a) Chứng minh tứ giác SAOB nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh: \(S{A^2} = SC.SD\).
c) Kẻ BH vuông góc với AC tại điểm H. Chứng minh đường thẳng SC đi qua trung điểm của đoạn thẳng BH.
Câu 1:
Phương pháp:
1) Sử dụng hằng đẳng thức: \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,\,khi\,\,A \ge 0\\ - A\,\,\,khi\,\,A < 0\end{array} \right.\)
Thực hiện các phép tính với căn bậc hai.
2) a) Quy đồng các phân thức, thực hiện các phép toán từ đó rút gọn được biểu thức.
b) Kiểm tra giá trị của \(x\) có thỏa mãn điều kiện sau đó thay vào biểu thức và tính.
Cách giải:
1. Tính giá trị các biểu thức:
\(\begin{array}{l}A = \sqrt {64} + \sqrt {16} \\A = \sqrt {{8^2}} + \sqrt {{4^2}} \\A = 8 + 4\\A = 12\end{array}\)
\(\begin{array}{l}B = \sqrt {{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}^2}} - \sqrt 3 \\B = \left| {2 + \sqrt 3 } \right| - \sqrt 3 \\B = 2 + \sqrt 3 - \sqrt 3 \,\,\left( {do\,2 + \sqrt 3 > 0} \right)\\B = 2\end{array}\)
2. Cho biểu thức \(P = \dfrac{{x - 2\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} - 2\) với \(x \ge 0,\,\,x \ne 4\)
a) Rút gọn biểu thức P.
Với \(x \ge 0,\,\,x \ne 4\) ta có:
\(\begin{array}{l}P = \dfrac{{x - 2\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} - 2\\P = \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\sqrt x - 2}} - 2\\P = \sqrt x - 2\end{array}\)
Vậy với \(x \ge 0,\,\,x \ne 4\) thì \(P = \sqrt x - 2\).
b) Tính giá trị của biểu thức \(P\) tại \(x = 49\).
Thay \(x = 49\) (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức P sau rút gọn ta có: \(P = \sqrt {49} - 2 = 7 - 2 = 5\).
Vậy với \(x = 49\) thì \(P = 5\).
Câu 2
Phương pháp:
1) a) Vẽ đồ thị của hàm số \(y = a{x^2}\left( {a \ne 0} \right)\)
+ Nhận xét về hệ số \(a\) và sự biến thiên của hàm số
+ Lập bảng giá trị tương ứng của \(x\) và \(y\)
+ Xác định được các điểm mà đồ thị đi qua, vẽ đồ thị.
b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d)
Vận dụng hệ quả của định lí Vi – ét: Nếu phương trình bậc hai một ẩn có a – b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x = - 1;x = \dfrac{{ - c}}{a}\)
2) Sử dụng phương pháp cộng đại số, tìm được nghiệm \(x\)
Sử dụng phương pháp thế, tìm được nghiệm \(y\)
Kết luận nghiệm \(\left( {x;y} \right)\) của hệ phương trình.
Cách giải:
1. Cho parabol \(\left( P \right):\,\,y = {x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):\,\,y = x + 2\)
a) Vẽ parabol (P) và đường thẳng (d) trên cùng hệ trục tọa độ Oxy.
Xét parabol \(\left( P \right):\,\,y = {x^2}\)
Hệ số \(a = 1 > 0\) nên hàm số đồng biến khi \(x > 0\), nghịch biến khi \(x < 0\) và có bề lõm hướng lên trên.
Bảng giá trị:
\(x\) | \( - 2\) | \( - 1\) | 0 | 1 | 2 |
\(y = {x^2}\) | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 |
\( \Rightarrow \) Parabol (P) là đường cong đi qua các điểm \(\left( { - 2;4} \right),\,\,\left( { - 1;1} \right),\,\,\left( {0;0} \right),\,\,\left( {1;1} \right),\,\,\left( {2;4} \right)\).
Xét đường thẳng \(\left( d \right):\,\,y = x + 2\)
Bảng giá trị:
\(x\) | 0 | \( - 2\) |
\(y = x + 2\) | 2 | 0 |
\( \Rightarrow \) Đường thẳng \(\left( d \right)\) đi qua hai điểm \(\left( {0;2} \right),\,\,\left( { - 2;0} \right)\).
Vẽ đường thẳng (d) và parabol (P) trên cùng hệ trục tọa độ Oxy:
b) Tìm tọa độ giao điểm của parabol (P) và đường thẳng (d) bằng phép tính
Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phương trình:
\({x^2} = x + 2 \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0\)
Ta có: \(a - b + c = 1 - \left( { - 1} \right) + \left( { - 2} \right) = 0\) nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = - \dfrac{{ - 2}}{1} = 2\end{array} \right.\)
Với \(x = - 1 \Rightarrow y = {1^2} = 1 \Rightarrow A\left( { - 1;1} \right)\)
Với \(x = 2 \Rightarrow y = {2^2} = 4 \Rightarrow B\left( {2;4} \right)\)
Vậy giao điểm của (P) và (d) là A(-1;1) và B(2;4).
2. Không sử dụng máy tính, giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}3x + y = 9\\4x - y = 5\end{array} \right.\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}3x + y = 9\\4x - y = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}7x = 14\\y = 4x - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 4.2 - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 3\end{array} \right.\)
Vậy nghiệm của hệ phương trình là \(\left( {x;y} \right) = \left( {2;3} \right)\).
Câu 3
Phương pháp:
1) a) Vận dụng hệ quả của định lí Vi – ét: Nếu phương trình bậc hai một ẩn có a + b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = 1;{x_2} = \dfrac{c}{a}\).
b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2} \Leftrightarrow \Delta ' > 0\)
Theo hệ thức Vi – ét, tính \({x_1}{x_2};{x_1} + {x_2}\)
\({x_2}\) là nghiệm của phương trình (1) suy ra \(x_2^2\)
Thay \({x_1}{x_2};{x_1} + {x_2}\) và \(x_2^2\) vào \(x_2^2 - 2{x_1} + {m^2} - 11m + 26 = 0\), biến đổi và tìm m.
2) Gọi chiều rộng của khu vườn là: \(x\) (m) (điều kiện: \(x > 0\)) suy ra chiều dài của khu vườn
Tính diện tích của khu vườn theo \(x\)
Diện diện khu vườn bằng \(280{m^2}\), từ đó lập phương trình, giải phương trình và tìm x.
Cách giải:
1. Cho phương trình \({x^2} + 2x + m - 5 = 0\) (1) (m là tham số)
a) Giải phương trình (1) khi m = 2.
Với m = 2, thay vào phương trình (1), ta được:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,{x^2} + 2x + 2 - 5 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 3 = 0\end{array}\)
Ta có: \(a + b + c = 1 + 2 + \left( { - 3} \right) = 0\)
\( \Rightarrow \) Phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = 1;{x_2} = - 3\)
Vậy với m = 2, phương trình có tập nghiệm là \(S = \left\{ { - 3;1} \right\}\)
b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn điều kiện \(x_2^2 - 2{x_1} + {m^2} - 11m + 26 = 0\)
Ta có: \(\Delta ' = {1^2} - \left( {m - 5} \right) = - m + 6\)
Phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2} \Leftrightarrow \Delta ' > 0 \Leftrightarrow - m + 6 > 0 \Leftrightarrow m < 6\)
Theo hệ thức Vi – ét, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 2\\{x_1}{x_2} = m - 5\end{array} \right.\)
Vì \({x_2}\) là nghiệm của phương trình (1) nên ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,x_2^2 + 2{x_2} + m - 5 = 0\\ \Leftrightarrow x_2^2 = - 2{x_2} - m + 5\end{array}\)
Theo đề bài:
\(x_2^2 - 2{x_1} + {m^2} - 11m + 26 = 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow - 2{x_2} - m + 5 - 2{x_1} + {m^2} - 11m + 26 = 0\\ \Leftrightarrow - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {m^2} - 12m + 31 = 0\\ \Leftrightarrow - 2.\left( { - 2} \right) + {m^2} - 12m + 31 = 0\end{array}\)
\( \Leftrightarrow {m^2} - 12m + 35 = 0\,\,\,\,\,\left( * \right)\)
Ta có: \(\Delta ' = {\left( { - 6} \right)^2} - 35 = 1 > 0,\sqrt {\Delta '} = 1\)
\( \Rightarrow \) Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}m = 6 - 1 = 5\left( {tm} \right)\\m = 6 + 1 = 7\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)
Vậy \(m = 5\)
2. Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài lớn hơn chiều rộng là 6m. Tính chiều rộng và chiều dài khu vườn, biết diện tích khu vườn là 280m2.
Gọi chiều rộng của khu vườn là: \(x\) (m) (điều kiện: \(x > 0\))
Vì chiều dài hơn chiều rộng là 6m nên chiều dài của khu vườn là \(x + 6\) (m)
Khi đó, diện tích của khu vườn là \(x\left( {x + 6} \right)\,\,\,\left( {{m^2}} \right)\)
Mà diện tích khu vườn là \(280{m^2}\) nên ta có phương trình:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,x\left( {x + 6} \right) = 280\\ \Leftrightarrow {x^2} + 6x - 280 = 0\end{array}\)
Ta có: \(\Delta ' = {3^2} - \left( { - 280} \right) = 289 > 0,\sqrt {\Delta '} = 17\)
\( \Rightarrow \) Phương trình có hai nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}x = - 3 + 17 = 14\left( {tm} \right)\\x = - 3 - 17 = - 20\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)
Vậy chiều rộng của khu vườn là \(14m\), chiều dài của khu vườn là \(20m\).
Câu 4
Phương pháp:
Vận dụng định lí tổng ba góc trong một tam giác suy ra góc C.
Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông, tính AB và BC
Cách giải:
Cho tam giác ABC vuông tại A có \(AC = 12cm,\,\,\angle B = {60^0}\). Hãy tính \(\angle C,\,\,AB,\,\,BC\) và diện tích tam giác ABC.
Vì tam giác ABC vuông tại A nên \(\angle B + \angle C = {90^0}\) \( \Rightarrow \angle C = {90^0} - \angle B = {90^0} - {60^0} = {30^0}\)
Ta có: \(AB = AC.\cot {60^0} = 12.\dfrac{{\sqrt 3 }}{3} = 4\sqrt 3 \approx 6,9\,\,\left( {cm} \right)\)
\(\sin {60^0} = \dfrac{{AC}}{{BC}} \Rightarrow BC = \dfrac{{AC}}{{\sin {{60}^0}}} = \dfrac{{12}}{{\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}}} = 8\sqrt 3 \approx 13,9\,\,\left( {cm} \right)\)
Diện tích tam giác ABC là: \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.AC = \dfrac{1}{2}.4\sqrt 3 .12 = 24\sqrt 3 \approx 41,6\,\,\left( {c{m^2}} \right)\).
Câu 5
Phương pháp:
a) Vận dụng dấu hiệu nhận biết của tứ giác nội tiếp: Tứ giác có tổng hai góc đối nhau bằng 180 độ là tứ giác nội tiếp.
b) \(\Delta SAD \sim \Delta SCA\left( {g.g} \right)\)\( \Rightarrow S{A^2} = SC.SD\)
c) \(\dfrac{{IH}}{{IC}} = \dfrac{{SA}}{{SC}} = \dfrac{{SB}}{{SC}}\); \(\Delta IBC \sim \Delta BDC\left( {g.g} \right)\)\( \Rightarrow \dfrac{{IB}}{{IC}} = \dfrac{{BD}}{{BC}}\); \(\Delta SBD \sim \Delta SCB\left( {g.g} \right)\)\( \Rightarrow \dfrac{{BD}}{{BC}} = \dfrac{{SB}}{{SC}}\,\,\)
\( \Rightarrow IH = IB\) mà \(I\) thuộc \(BH\)\( \Rightarrow I\) là trung điểm của BH
Lại có: \(I\) cũng thuộc \(SC\)
Vậy SC đi qua trung điểm của BH.
Cách giải:
Từ điểm S nằm ngoài đường tròn (O) kẻ tiếp tuyến SA, SB (A, B là các tiếp điểm). Kẻ đường kính AC của đường tròn (O), đường thẳng SC cắt đường tròn (O) tại điểm D (D khác C).
a) Chứng minh tứ giác SAOB nội tiếp đường tròn.
+ SA là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A \( \Rightarrow \angle SAO = {90^0}\)
+ SB là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B \( \Rightarrow \angle SBO = {90^0}\)
Tứ giác SAOB có: \(\angle SAO + \angle SBO = {90^0} + {90^0} = {180^0}\) mà hai góc này đối nhau
\( \Rightarrow \) SAOB là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh: \(S{A^2} = SC.SD\).
Xét (O) có: \(\angle ACD = \angle SAD\)(góc nội tiếp; góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AD)
\( \Rightarrow \angle ACS = \angle SAD\)
Xét \(\Delta SAD\) và \(\Delta SCA\) có:
\(\left. \begin{array}{l}\angle ASC\,\,\,chung\\\angle ACS = \angle SAD\left( {cmt} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta SAD \sim \Delta SCA\left( {g.g} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{SA}}{{SC}} = \dfrac{{SD}}{{SA}}\\ \Rightarrow S{A^2} = SC.SD\end{array}\)
c) Kẻ BH vuông góc với AC tại điểm H. Chứng minh đường thẳng SC đi qua trung điểm của đoạn thẳng BH.
SA, SB là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên SA = SC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Gọi I là giao điểm của SC và BH
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BH \bot AC\\SA \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow BH//AC \Rightarrow \dfrac{{IH}}{{SA}} = \dfrac{{CI}}{{CS}}\)(Theo định lý Ta – lét)
\( \Rightarrow \dfrac{{IH}}{{IC}} = \dfrac{{SA}}{{SC}} = \dfrac{{SB}}{{SC}}\) (1)
Ta có: \(\angle HBC = \angle BAC\) (cùng phụ với góc \(\angle ACB\))
\(\angle BAC = \angle BDC\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung BC)
\( \Rightarrow \angle HBC = \angle BDC\)
\( \Rightarrow \angle IBC = \angle BDC\)
Xét \(\Delta IBC\) và \(\Delta BDC\) có:
\(\left. \begin{array}{l}\angle BCD\,\,\,chung\\\angle IBC = \angle BDC\left( {cmt} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta IBC \sim \Delta BDC\left( {g.g} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{IB}}{{BD}} = \dfrac{{IC}}{{BC}}\\ \Rightarrow \dfrac{{IB}}{{IC}} = \dfrac{{BD}}{{BC}}\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)
Xét (O) có: \(\angle SBD = \angle SCB\) (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung; góc nội tiếp cùng chắn cung BD)
Xét \(\Delta SBD\) và \(\Delta SCB\) có:
\(\left. \begin{array}{l}\angle BSC\,\,\,chung\\\angle SBD = \angle SCB\left( {cmt} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta SBD \sim \Delta SCB\left( {g.g} \right)\)
\( \Rightarrow \dfrac{{BD}}{{BC}} = \dfrac{{SB}}{{SC}}\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\)
Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\dfrac{{IH}}{{IC}} = \dfrac{{IB}}{{IC}} = \dfrac{{SB}}{{SC}}\)
\( \Rightarrow IH = IB\) mà \(I\) thuộc \(BH\)\( \Rightarrow I\) là trung điểm của BH
Lại có: \(I\) cũng thuộc \(SC\)
Vậy SC đi qua trung điểm của BH.
Câu 1:
Phương pháp:
1) Sử dụng hằng đẳng thức: \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,\,khi\,\,A \ge 0\\ - A\,\,\,khi\,\,A < 0\end{array} \right.\)
Thực hiện các phép tính với căn bậc hai.
2) a) Quy đồng các phân thức, thực hiện các phép toán từ đó rút gọn được biểu thức.
b) Kiểm tra giá trị của \(x\) có thỏa mãn điều kiện sau đó thay vào biểu thức và tính.
Cách giải:
1. Tính giá trị các biểu thức:
\(\begin{array}{l}A = \sqrt {64} + \sqrt {16} \\A = \sqrt {{8^2}} + \sqrt {{4^2}} \\A = 8 + 4\\A = 12\end{array}\)
\(\begin{array}{l}B = \sqrt {{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}^2}} - \sqrt 3 \\B = \left| {2 + \sqrt 3 } \right| - \sqrt 3 \\B = 2 + \sqrt 3 - \sqrt 3 \,\,\left( {do\,2 + \sqrt 3 > 0} \right)\\B = 2\end{array}\)
2. Cho biểu thức \(P = \dfrac{{x - 2\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} - 2\) với \(x \ge 0,\,\,x \ne 4\)
a) Rút gọn biểu thức P.
Với \(x \ge 0,\,\,x \ne 4\) ta có:
\(\begin{array}{l}P = \dfrac{{x - 2\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} - 2\\P = \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\sqrt x - 2}} - 2\\P = \sqrt x - 2\end{array}\)
Vậy với \(x \ge 0,\,\,x \ne 4\) thì \(P = \sqrt x - 2\).
b) Tính giá trị của biểu thức \(P\) tại \(x = 49\).
Thay \(x = 49\) (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức P sau rút gọn ta có: \(P = \sqrt {49} - 2 = 7 - 2 = 5\).
Vậy với \(x = 49\) thì \(P = 5\).
Câu 2
Phương pháp:
1) a) Vẽ đồ thị của hàm số \(y = a{x^2}\left( {a \ne 0} \right)\)
+ Nhận xét về hệ số \(a\) và sự biến thiên của hàm số
+ Lập bảng giá trị tương ứng của \(x\) và \(y\)
+ Xác định được các điểm mà đồ thị đi qua, vẽ đồ thị.
b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d)
Vận dụng hệ quả của định lí Vi – ét: Nếu phương trình bậc hai một ẩn có a – b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x = - 1;x = \dfrac{{ - c}}{a}\)
2) Sử dụng phương pháp cộng đại số, tìm được nghiệm \(x\)
Sử dụng phương pháp thế, tìm được nghiệm \(y\)
Kết luận nghiệm \(\left( {x;y} \right)\) của hệ phương trình.
Cách giải:
1. Cho parabol \(\left( P \right):\,\,y = {x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):\,\,y = x + 2\)
a) Vẽ parabol (P) và đường thẳng (d) trên cùng hệ trục tọa độ Oxy.
Xét parabol \(\left( P \right):\,\,y = {x^2}\)
Hệ số \(a = 1 > 0\) nên hàm số đồng biến khi \(x > 0\), nghịch biến khi \(x < 0\) và có bề lõm hướng lên trên.
Bảng giá trị:
\(x\) | \( - 2\) | \( - 1\) | 0 | 1 | 2 |
\(y = {x^2}\) | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 |
\( \Rightarrow \) Parabol (P) là đường cong đi qua các điểm \(\left( { - 2;4} \right),\,\,\left( { - 1;1} \right),\,\,\left( {0;0} \right),\,\,\left( {1;1} \right),\,\,\left( {2;4} \right)\).
Xét đường thẳng \(\left( d \right):\,\,y = x + 2\)
Bảng giá trị:
\(x\) | 0 | \( - 2\) |
\(y = x + 2\) | 2 | 0 |
\( \Rightarrow \) Đường thẳng \(\left( d \right)\) đi qua hai điểm \(\left( {0;2} \right),\,\,\left( { - 2;0} \right)\).
Vẽ đường thẳng (d) và parabol (P) trên cùng hệ trục tọa độ Oxy:
b) Tìm tọa độ giao điểm của parabol (P) và đường thẳng (d) bằng phép tính
Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phương trình:
\({x^2} = x + 2 \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0\)
Ta có: \(a - b + c = 1 - \left( { - 1} \right) + \left( { - 2} \right) = 0\) nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = - \dfrac{{ - 2}}{1} = 2\end{array} \right.\)
Với \(x = - 1 \Rightarrow y = {1^2} = 1 \Rightarrow A\left( { - 1;1} \right)\)
Với \(x = 2 \Rightarrow y = {2^2} = 4 \Rightarrow B\left( {2;4} \right)\)
Vậy giao điểm của (P) và (d) là A(-1;1) và B(2;4).
2. Không sử dụng máy tính, giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}3x + y = 9\\4x - y = 5\end{array} \right.\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}3x + y = 9\\4x - y = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}7x = 14\\y = 4x - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 4.2 - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 3\end{array} \right.\)
Vậy nghiệm của hệ phương trình là \(\left( {x;y} \right) = \left( {2;3} \right)\).
Câu 3
Phương pháp:
1) a) Vận dụng hệ quả của định lí Vi – ét: Nếu phương trình bậc hai một ẩn có a + b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = 1;{x_2} = \dfrac{c}{a}\).
b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2} \Leftrightarrow \Delta ' > 0\)
Theo hệ thức Vi – ét, tính \({x_1}{x_2};{x_1} + {x_2}\)
\({x_2}\) là nghiệm của phương trình (1) suy ra \(x_2^2\)
Thay \({x_1}{x_2};{x_1} + {x_2}\) và \(x_2^2\) vào \(x_2^2 - 2{x_1} + {m^2} - 11m + 26 = 0\), biến đổi và tìm m.
2) Gọi chiều rộng của khu vườn là: \(x\) (m) (điều kiện: \(x > 0\)) suy ra chiều dài của khu vườn
Tính diện tích của khu vườn theo \(x\)
Diện diện khu vườn bằng \(280{m^2}\), từ đó lập phương trình, giải phương trình và tìm x.
Cách giải:
1. Cho phương trình \({x^2} + 2x + m - 5 = 0\) (1) (m là tham số)
a) Giải phương trình (1) khi m = 2.
Với m = 2, thay vào phương trình (1), ta được:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,{x^2} + 2x + 2 - 5 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 3 = 0\end{array}\)
Ta có: \(a + b + c = 1 + 2 + \left( { - 3} \right) = 0\)
\( \Rightarrow \) Phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = 1;{x_2} = - 3\)
Vậy với m = 2, phương trình có tập nghiệm là \(S = \left\{ { - 3;1} \right\}\)
b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn điều kiện \(x_2^2 - 2{x_1} + {m^2} - 11m + 26 = 0\)
Ta có: \(\Delta ' = {1^2} - \left( {m - 5} \right) = - m + 6\)
Phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2} \Leftrightarrow \Delta ' > 0 \Leftrightarrow - m + 6 > 0 \Leftrightarrow m < 6\)
Theo hệ thức Vi – ét, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 2\\{x_1}{x_2} = m - 5\end{array} \right.\)
Vì \({x_2}\) là nghiệm của phương trình (1) nên ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,x_2^2 + 2{x_2} + m - 5 = 0\\ \Leftrightarrow x_2^2 = - 2{x_2} - m + 5\end{array}\)
Theo đề bài:
\(x_2^2 - 2{x_1} + {m^2} - 11m + 26 = 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow - 2{x_2} - m + 5 - 2{x_1} + {m^2} - 11m + 26 = 0\\ \Leftrightarrow - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {m^2} - 12m + 31 = 0\\ \Leftrightarrow - 2.\left( { - 2} \right) + {m^2} - 12m + 31 = 0\end{array}\)
\( \Leftrightarrow {m^2} - 12m + 35 = 0\,\,\,\,\,\left( * \right)\)
Ta có: \(\Delta ' = {\left( { - 6} \right)^2} - 35 = 1 > 0,\sqrt {\Delta '} = 1\)
\( \Rightarrow \) Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}m = 6 - 1 = 5\left( {tm} \right)\\m = 6 + 1 = 7\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)
Vậy \(m = 5\)
2. Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài lớn hơn chiều rộng là 6m. Tính chiều rộng và chiều dài khu vườn, biết diện tích khu vườn là 280m2.
Gọi chiều rộng của khu vườn là: \(x\) (m) (điều kiện: \(x > 0\))
Vì chiều dài hơn chiều rộng là 6m nên chiều dài của khu vườn là \(x + 6\) (m)
Khi đó, diện tích của khu vườn là \(x\left( {x + 6} \right)\,\,\,\left( {{m^2}} \right)\)
Mà diện tích khu vườn là \(280{m^2}\) nên ta có phương trình:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,x\left( {x + 6} \right) = 280\\ \Leftrightarrow {x^2} + 6x - 280 = 0\end{array}\)
Ta có: \(\Delta ' = {3^2} - \left( { - 280} \right) = 289 > 0,\sqrt {\Delta '} = 17\)
\( \Rightarrow \) Phương trình có hai nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}x = - 3 + 17 = 14\left( {tm} \right)\\x = - 3 - 17 = - 20\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)
Vậy chiều rộng của khu vườn là \(14m\), chiều dài của khu vườn là \(20m\).
Câu 4
Phương pháp:
Vận dụng định lí tổng ba góc trong một tam giác suy ra góc C.
Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông, tính AB và BC
Cách giải:
Cho tam giác ABC vuông tại A có \(AC = 12cm,\,\,\angle B = {60^0}\). Hãy tính \(\angle C,\,\,AB,\,\,BC\) và diện tích tam giác ABC.
Vì tam giác ABC vuông tại A nên \(\angle B + \angle C = {90^0}\) \( \Rightarrow \angle C = {90^0} - \angle B = {90^0} - {60^0} = {30^0}\)
Ta có: \(AB = AC.\cot {60^0} = 12.\dfrac{{\sqrt 3 }}{3} = 4\sqrt 3 \approx 6,9\,\,\left( {cm} \right)\)
\(\sin {60^0} = \dfrac{{AC}}{{BC}} \Rightarrow BC = \dfrac{{AC}}{{\sin {{60}^0}}} = \dfrac{{12}}{{\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}}} = 8\sqrt 3 \approx 13,9\,\,\left( {cm} \right)\)
Diện tích tam giác ABC là: \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.AC = \dfrac{1}{2}.4\sqrt 3 .12 = 24\sqrt 3 \approx 41,6\,\,\left( {c{m^2}} \right)\).
Câu 5
Phương pháp:
a) Vận dụng dấu hiệu nhận biết của tứ giác nội tiếp: Tứ giác có tổng hai góc đối nhau bằng 180 độ là tứ giác nội tiếp.
b) \(\Delta SAD \sim \Delta SCA\left( {g.g} \right)\)\( \Rightarrow S{A^2} = SC.SD\)
c) \(\dfrac{{IH}}{{IC}} = \dfrac{{SA}}{{SC}} = \dfrac{{SB}}{{SC}}\); \(\Delta IBC \sim \Delta BDC\left( {g.g} \right)\)\( \Rightarrow \dfrac{{IB}}{{IC}} = \dfrac{{BD}}{{BC}}\); \(\Delta SBD \sim \Delta SCB\left( {g.g} \right)\)\( \Rightarrow \dfrac{{BD}}{{BC}} = \dfrac{{SB}}{{SC}}\,\,\)
\( \Rightarrow IH = IB\) mà \(I\) thuộc \(BH\)\( \Rightarrow I\) là trung điểm của BH
Lại có: \(I\) cũng thuộc \(SC\)
Vậy SC đi qua trung điểm của BH.
Cách giải:
Từ điểm S nằm ngoài đường tròn (O) kẻ tiếp tuyến SA, SB (A, B là các tiếp điểm). Kẻ đường kính AC của đường tròn (O), đường thẳng SC cắt đường tròn (O) tại điểm D (D khác C).
a) Chứng minh tứ giác SAOB nội tiếp đường tròn.
+ SA là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A \( \Rightarrow \angle SAO = {90^0}\)
+ SB là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B \( \Rightarrow \angle SBO = {90^0}\)
Tứ giác SAOB có: \(\angle SAO + \angle SBO = {90^0} + {90^0} = {180^0}\) mà hai góc này đối nhau
\( \Rightarrow \) SAOB là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh: \(S{A^2} = SC.SD\).
Xét (O) có: \(\angle ACD = \angle SAD\)(góc nội tiếp; góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AD)
\( \Rightarrow \angle ACS = \angle SAD\)
Xét \(\Delta SAD\) và \(\Delta SCA\) có:
\(\left. \begin{array}{l}\angle ASC\,\,\,chung\\\angle ACS = \angle SAD\left( {cmt} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta SAD \sim \Delta SCA\left( {g.g} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{SA}}{{SC}} = \dfrac{{SD}}{{SA}}\\ \Rightarrow S{A^2} = SC.SD\end{array}\)
c) Kẻ BH vuông góc với AC tại điểm H. Chứng minh đường thẳng SC đi qua trung điểm của đoạn thẳng BH.
SA, SB là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên SA = SC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Gọi I là giao điểm của SC và BH
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BH \bot AC\\SA \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow BH//AC \Rightarrow \dfrac{{IH}}{{SA}} = \dfrac{{CI}}{{CS}}\)(Theo định lý Ta – lét)
\( \Rightarrow \dfrac{{IH}}{{IC}} = \dfrac{{SA}}{{SC}} = \dfrac{{SB}}{{SC}}\) (1)
Ta có: \(\angle HBC = \angle BAC\) (cùng phụ với góc \(\angle ACB\))
\(\angle BAC = \angle BDC\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung BC)
\( \Rightarrow \angle HBC = \angle BDC\)
\( \Rightarrow \angle IBC = \angle BDC\)
Xét \(\Delta IBC\) và \(\Delta BDC\) có:
\(\left. \begin{array}{l}\angle BCD\,\,\,chung\\\angle IBC = \angle BDC\left( {cmt} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta IBC \sim \Delta BDC\left( {g.g} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{IB}}{{BD}} = \dfrac{{IC}}{{BC}}\\ \Rightarrow \dfrac{{IB}}{{IC}} = \dfrac{{BD}}{{BC}}\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)
Xét (O) có: \(\angle SBD = \angle SCB\) (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung; góc nội tiếp cùng chắn cung BD)
Xét \(\Delta SBD\) và \(\Delta SCB\) có:
\(\left. \begin{array}{l}\angle BSC\,\,\,chung\\\angle SBD = \angle SCB\left( {cmt} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta SBD \sim \Delta SCB\left( {g.g} \right)\)
\( \Rightarrow \dfrac{{BD}}{{BC}} = \dfrac{{SB}}{{SC}}\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\)
Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\dfrac{{IH}}{{IC}} = \dfrac{{IB}}{{IC}} = \dfrac{{SB}}{{SC}}\)
\( \Rightarrow IH = IB\) mà \(I\) thuộc \(BH\)\( \Rightarrow I\) là trung điểm của BH
Lại có: \(I\) cũng thuộc \(SC\)
Vậy SC đi qua trung điểm của BH.
Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán Bình Phước năm 2022 là một bước ngoặt quan trọng trong quá trình học tập của các em học sinh. Đề thi thường bao gồm các dạng bài tập thuộc chương trình Toán lớp 9, tập trung vào các chủ đề chính như Đại số, Hình học và một số bài toán thực tế ứng dụng. Việc nắm vững kiến thức cơ bản và luyện tập thường xuyên là chìa khóa để đạt kết quả tốt trong kỳ thi này.
Dựa trên các đề thi chính thức của những năm trước, cấu trúc đề thi vào 10 môn Toán Bình Phước thường bao gồm:
Để chuẩn bị tốt nhất cho kỳ thi, các em học sinh cần tập trung ôn tập các chủ đề Toán sau:
Loigiai.com.vn cung cấp đầy đủ các đề thi vào 10 môn Toán Bình Phước năm 2022, kèm theo đáp án chi tiết và lời giải bài tập. Các em học sinh có thể tải đề thi về để luyện tập tại nhà hoặc làm trực tiếp trên website của chúng tôi.
Để giải đề thi Toán hiệu quả, các em học sinh cần:
Ngoài các đề thi, Loigiai.com.vn còn cung cấp các tài liệu hỗ trợ ôn thi Toán vào 10 như:
Trước kỳ thi, các em học sinh nên:
Đề thi vào 10 môn Toán Bình Phước năm 2022 là một kỳ thi quan trọng, đòi hỏi sự chuẩn bị kỹ lưỡng. Hy vọng với những thông tin và tài liệu mà Loigiai.com.vn cung cấp, các em học sinh sẽ tự tin và đạt kết quả tốt nhất trong kỳ thi sắp tới.
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Khám phá thế giới phân dạng, từ hình học trừu tượng đến ứng dụng trong nghệ thuật và tự nhiên. Tìm hiểu cách phân dạng tạo ra vẻ đẹp vô hạn!
Bạn đã bao giờ gặp một điều nghe có vẻ vô lý nhưng lại chứa đựng sự thật? Khám phá thế giới Paradox - những mâu thuẫn thú vị giúp bạn nhìn nhận cuộc sống dưới một góc độ mới lạ. Đọc ngay!
Khám phá 'Tên của trò chơi là bắt cóc' - cuốn sách hấp dẫn đưa bạn vào thế giới ngầm đầy rẫy những kẻ ác. Đánh giá chi tiết, phân tích sâu sắc và lý do bạn nên đọc ngay!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán lớp 1 khó nhất! Hướng dẫn phụ huynh cách hỗ trợ con học toán hiệu quả, tạo hứng thú và đạt kết quả tốt nhất. Khám phá các mẹo học tập thông minh!
Review sách 'Dữ liệu tử thần' của Jeffery Deaver. Khám phá cách tội phạm sử dụng thông tin cá nhân và học cách bảo vệ dữ liệu của bạn ngay hôm nay!
