loigiai.com.vn xin giới thiệu Đề số 26 - Đề thi vào lớp 10 môn Toán, một đề thi thử quan trọng giúp học sinh làm quen với cấu trúc và độ khó của kỳ thi tuyển sinh lớp 10. Đề thi này được biên soạn bởi đội ngũ giáo viên giàu kinh nghiệm, đảm bảo tính chính xác và phù hợp với chương trình học.
Chúng tôi cung cấp đầy đủ đề thi và đáp án chi tiết, giúp học sinh tự đánh giá năng lực và tìm ra những điểm cần cải thiện.
Đề thi vào lớp 10 môn Toán - Đề số 26 có đáp án và lời giải chi tiết
Đề bài
Câu 1. (1,5 điểm)
1) Tìm \(x\) , biết \(2\sqrt x = 3.\)
2) Giải phương trình: \(43{x^2} - 2018x + 1975 = 0.\)
3) Cho hàm số \(y = \left( {a + 1} \right){x^2}.\) Tìm a để hàm số nghịch biến khi \(x < 0\) và đồng biến khi \(x > 0.\)
Câu 2. (2,0 điểm) Cho phương trình: \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} + 2 = 0\,\,\left( 1 \right),\) m là tham số
1) Tìm m để \(x = 2\) là nghiệm của phương trình (1).
2) Xác định m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn điều kiện: \(x_1^2 + x_2^2 = 10\)
Câu 3. (1,5 điểm):
1) Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho các đường thẳng có phương trình: \(\left( {{d_1}} \right):\;\;y = x + 2,\;\;\left( {{d_2}} \right):\;\;y = - 2\) và \(\;\left( {{d_3}} \right):\;\;y = \left( {k + 1} \right)x + k.\) Tìm \(k\) để các đường thẳng trên đồng quy.
2) Rút gọn và tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:\(A = \left( {\dfrac{1}{{1 - \sqrt x }} + \dfrac{{x + 2}}{{x\sqrt x - 1}} + \dfrac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}}} \right):\dfrac{{\sqrt x - 1}}{3}\) (với \(x \ge 0,x \ne 1\)).
Câu 4. (3 điểm):
Cho tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn và \(\widehat {A\;} = {45^0}.\) Gọi \(D,\;E\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(B,\;C\) lên \(AC,\;AB;\;H\) là giao điểm của \(BD\) và \(CE.\)
1) Chứng minh tứ giác \(BEDC\) nội tiếp.
2) Chứng minh \(DE.AB = BC.AD\) và tính tỉ số \(\dfrac{{ED}}{{BC}}.\)
3) Chứng minh \(HE + HD = BE + CD.\)
4) Gọi \(I\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC.\) Chứng minh \(AI \bot DE.\)
Câu 5. (1 điểm):
Cho \(n\) là số tự nhiên khác \(0.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của:
\(Q = \sqrt {1 + \dfrac{1}{{{1^2}}} + \dfrac{1}{{{2^2}}}} + \sqrt {1 + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{3^2}}}} \)\(\,+ \sqrt {1 + \dfrac{1}{{{3^2}}} + \dfrac{1}{{{4^2}}}} + .....\)\(\, + \sqrt {1 + \dfrac{1}{{{n^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}} + \dfrac{{101}}{{n + 1}}.\)
Lời giải chi tiết
Câu 1.
1) Tìm \(x\) , biết \(2\sqrt x = 3.\)
Điều kiện: \(x \ge 0\)
\(2\sqrt x = 3 \Leftrightarrow \sqrt x = \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow x = \dfrac{9}{4}\left( {tm} \right)\)
Vậy \(x = \dfrac{9}{4}\) .
2) Giải phương trình: \(43{x^2} - 2018x + 1975 = 0.\)
Ta có: \(a + b + c = 43 - 2018 + 1975 = 0\) . Nên phương trình luôn có 1 nghiệm là\(x = 1\) và nghiệm còn lại là \(x = \dfrac{c}{a} = \dfrac{{1975}}{{43}}\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(S = \left\{ {1;\dfrac{{1975}}{{43}}} \right\}\)
3) Cho hàm số \(y = \left( {a + 1} \right){x^2}.\) Tìm a để hàm số nghịch biến khi \(x < 0\) và đồng biến khi \(x > 0.\)
+) Hàm số nghịch biến khi \(x < 0\) là: \(a + 1 > 0 \Leftrightarrow a > - 1\)
+) Hàm số đồng biến khi \(x > 0.\) là: \(a + 1 > 0 \Leftrightarrow a > - 1\)
Vậy với \(a > - 1\) thì hàm số nghịch biến khi \(x < 0\) và đồng biến khi \(x > 0.\)
Câu 2.
\({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} + 2 = 0\,\,\left( 1 \right),\)
1) Tìm m để \(x = 2\) là nghiệm của phương trình (1).
Thay \(x = 2\) vào phương trình (1) ta có: \({2^2} - 2\left( {m + 1} \right).2 + {m^2} + 2 = 0\,\, \)
\(\Leftrightarrow {m^2} - 4m + 2 = 0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2 - \sqrt 2 \\m = 2 + \sqrt 2 \end{array} \right.\)
Vậy với \(x = 2\) thì \(m \in \left\{ {2 - \sqrt 2 ;2 + \sqrt 2 } \right\}\)
2) Xác định m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn điều kiện: \(x_1^2 + x_2^2 = 10\)
Phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) khi và chỉ khi: \(\Delta ' > 0 \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} - {m^2} - 2 > 0\)
\(\Leftrightarrow {m^2} + 2m + 1 - {m^2} - 2 > 0\)
\(\Leftrightarrow m > \dfrac{1}{2}\)
Theo hệ thức Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m + 1} \right)\\{x_1}{x_2} = {m^2} + 2\end{array} \right.\)
Theo đề bài ta có:
\(\begin{array}{l}\;\;\;\;x_1^2 + x_2^2 = 10 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 10\\ \Leftrightarrow 4{\left( {m + 1} \right)^2} - 2\left( {{m^2} + 2} \right) = 10\\ \Leftrightarrow 2\left( {{m^2} + 2m + 1} \right) - {m^2} - 2 = 5\\ \Leftrightarrow 2{m^2} + 4m + 2 - {m^2} - 2 - 5 = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + 4m - 5 = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + 5m - m - 5 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\left( {m + 5} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\left( {tm} \right)\\m = - 5\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy m = 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 3:
1) Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho các đường thẳng có phương trình: \(\left( {{d_1}} \right):\;\;y = x + 2,\;\;\left( {{d_2}} \right):\;\;y = - 2\) và \(\;\left( {{d_3}} \right):\;\;y = \left( {k + 1} \right)x + k.\) Tìm \(k\) để các đường thẳng trên đồng quy.
Tọa độ giao điểm của đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) là nghiệm của hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}y = x + 2\\y = - 2\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 4\\y = - 2\end{array} \right. \Rightarrow A\left( { - 4;\; - 2} \right).\)
\( \Rightarrow \) Ba đường thẳng đã cho đồng quy khi đường thẳng \({d_3}\) phải đi qua điểm \(A\left( { - 4; - 2} \right) \Rightarrow - 2 = \left( {k + 1} \right)\left( { - 4} \right) + k\)
\( \Leftrightarrow - 2 = - 4k - 4 + k \)
\(\Leftrightarrow 3k = - 2 \Leftrightarrow k = - \dfrac{2}{3}.\)
Vậy \(k = - \dfrac{2}{3}.\)
2) Rút gọn và tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:\(A = \left( {\dfrac{1}{{1 - \sqrt x }} + \dfrac{{x + 2}}{{x\sqrt x - 1}} + \dfrac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}}} \right):\dfrac{{\sqrt x - 1}}{3}\) (với \(x \ge 0,\;\;x \ne 1\)).
\(\begin{array}{l}A = \left( {\dfrac{1}{{1 - \sqrt x }} + \dfrac{{x + 2}}{{x\sqrt x - 1}} + \dfrac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}}} \right):\dfrac{{\sqrt x - 1}}{3}\\\;\;\; = \left( {\dfrac{{ - 1}}{{\sqrt x - 1}} + \dfrac{{x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}} + \dfrac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}}} \right).\dfrac{3}{{\sqrt x - 1}}\\\;\;\; = \dfrac{{ - \left( {x + \sqrt x + 1} \right) + x + 2 + \sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}.\dfrac{3}{{\sqrt x - 1}}\\\;\;\; = \dfrac{{ - x - \sqrt x - 1 + x + 2 + x - \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}.\dfrac{3}{{\sqrt x - 1}}\\\;\; = \dfrac{{x - 2\sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}.\dfrac{3}{{\sqrt x - 1}}\\\;\; = \dfrac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}.\dfrac{3}{{\sqrt x - 1}} \\\;\;= \dfrac{3}{{x + \sqrt x + 1}}.\end{array}\)
Ta có: \(A = \dfrac{3}{{x + \sqrt x + 1}}\)
Ta có: \(x \ge 0,x \ne 1 \Rightarrow \sqrt x \ge 0 \)
\(\Rightarrow x + \sqrt x + 1 \ge 1 \)
\(\Rightarrow \dfrac{3}{{x + \sqrt x + 1}} \le 3\)
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A là 3. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: \(x = 0\)
Câu 4:
Cho tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn và \(\widehat {A\;} = {45^0}.\) Gọi \(D,\;E\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(B,\;C\) lên \(AC,\;AB;\;H\) là giao điểm của \(BD\) và \(CE.\)
1) Chứng minh tứ giác \(BEDC\) nội tiếp.
Xét tứ giác \(BEDC\) ta có: \(\widehat {BDC} = \widehat {BEC} = {90^0}\left( {gt} \right)\)
Mà hai đỉnh kề nhau D và E cùng nhìn cạnh \(BC\) dưới hai góc bằng nhau.
\( \Rightarrow BEDC\) là tứ giác nội tiếp. (dấu hiện nhận biết tứ giác nội tiếp).
2) Chứng minh \(DE.AB = BC.AD\) và tính tỉ số \(\dfrac{{ED}}{{BC}}.\)
Vì \(BEDC\) là tứ giác nội tiếp (cmt) \( \Rightarrow \widehat {ADE} = \widehat {ABC}\) (góc trong tại một đỉnh bằng góc ngoài tại đỉnh đối diện).
Xét \(\Delta ADE\) và \(\Delta ABC\) ta có:
\(\begin{array}{l}\widehat {A\;}\;\;chung\\\widehat {ABC} = \widehat {ADE}\;\;\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta ADE \sim \Delta ABC\;\;\left( {g - g} \right).\\ \Rightarrow \dfrac{{AD}}{{AB}} = \dfrac{{ED}}{{BC}} \\\Rightarrow AD.BC = AB.DE\;\;\left( {dpcm} \right).\end{array}\)
Xét \(\Delta ADB\) vuông tại \(D\) có \(\widehat {BAD} = {45^0} \Rightarrow \Delta ADB\) vuông cân tại \(D \Rightarrow AD = BD \)
\(\Rightarrow AB = AD\sqrt 2 .\)
\( \Rightarrow \dfrac{{AD}}{{AB}} = \dfrac{{ED}}{{BC}} = \dfrac{{AD}}{{AD\sqrt 2 }} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}.\)
Vậy \(\dfrac{{ED}}{{BC}} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}.\)
3) Chứng minh \(HE + HD = BE + CD.\)
Ta có \(\Delta ADB\) vuông cân tại \(D \Rightarrow \widehat {ABD} = \widehat {BAD} = {45^0}.\)
\( \Rightarrow \Delta BEH\) vuông cân tại \(E\;\;\left( {do\;\;\widehat {BEH} = {{90}^0},\;\;\widehat {EBH} = {{45}^0}} \right) \)
\(\Rightarrow EH = BE\) (tính chất tam giác cân).
\(\Delta AEC\) vuông cân tại \(E\;\;\left( {do\;\;\widehat {EAC} = {{45}^0}} \right)\)
\(\Rightarrow \widehat {ACD} = {45^0}.\)
\( \Rightarrow \Delta HDC\) vuông cân tại \(H\;\left( {do\;\;\widehat {HDC} = {{90}^0},\;\;\widehat {DCH} = {{45}^0}} \right)\)
\(\Rightarrow HD = DC.\) (tính chất tam giác cân).
\( \Rightarrow BE + CD = HE + HD\;\;\left( {dpcm} \right).\)
4) Gọi \(I\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC.\) Chứng minh \(AI \bot DE.\)
Kéo dài \(AI\) cắt đường tròn tại điểm thứ hai là \(F.\)
Giả sử \(AI \cap DE = \left\{ K \right\}.\)
Khi đó ta có: \(\widehat {ACF}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \( \Rightarrow \widehat {ACF} = {90^0}.\)
Ta có: \(\widehat {ABD} = \widehat {AFC}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AC\))
Mà \(\widehat {ABC} = \widehat {ADE}\;\;\left( {cmt} \right)\)
\(\Rightarrow \widehat {ADE} = \widehat {AFC}\;\;\left( { = \widehat {ADE}} \right).\)
Xét tứ giác \(DKFC\) ta có: \(\widehat {ADK} = \widehat {KFC}\;\;\left( {cmt} \right).\)
\( \Rightarrow DKFC\) là tứ giác nội tiếp (góc trong tại một đỉnh bằng góc ngoài tại đỉnh đối diện).
\( \Rightarrow \widehat {DCF} + \widehat {DKF} = {180^0}\)
\(\Leftrightarrow \widehat {DKF} = {180^0} - \widehat {DCF} = {90^0}\) (tổng hai góc đối diện trong tứ giác nội tiếp)
Hay \(AI \bot DE\;\;\left( {dpcm} \right).\)
Đề số 26 - Đề thi vào lớp 10 môn Toán là một bài kiểm tra quan trọng, đánh giá khả năng nắm vững kiến thức và kỹ năng giải quyết vấn đề của học sinh. Đề thi thường bao gồm các dạng bài tập khác nhau, từ trắc nghiệm đến tự luận, đòi hỏi học sinh phải có sự chuẩn bị kỹ lưỡng.
Đề thi thường được chia thành các phần chính sau:
Trong đề thi vào lớp 10 môn Toán, học sinh thường gặp các dạng bài tập sau:
Để giúp học sinh hiểu rõ hơn về đề thi, chúng ta sẽ cùng nhau giải một số bài tập tiêu biểu trong Đề số 26 - Đề thi vào lớp 10 môn Toán.
Lời giải:
2x + 3 = 7
2x = 7 - 3
2x = 4
x = 2
Lời giải:
Diện tích tam giác ABC là: S = (1/2) * AB * AC = (1/2) * 3 * 4 = 6 cm2
Để đạt kết quả tốt nhất trong kỳ thi vào lớp 10 môn Toán, học sinh cần:
Học sinh có thể tham khảo các tài liệu sau để chuẩn bị cho kỳ thi vào lớp 10 môn Toán:
loigiai.com.vn hy vọng rằng với những thông tin và hướng dẫn trên, học sinh sẽ tự tin hơn khi đối mặt với Đề số 26 - Đề thi vào lớp 10 môn Toán và đạt được kết quả tốt nhất.
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Khám phá thế giới phân dạng, từ hình học trừu tượng đến ứng dụng trong nghệ thuật và tự nhiên. Tìm hiểu cách phân dạng tạo ra vẻ đẹp vô hạn!
Bạn đã bao giờ gặp một điều nghe có vẻ vô lý nhưng lại chứa đựng sự thật? Khám phá thế giới Paradox - những mâu thuẫn thú vị giúp bạn nhìn nhận cuộc sống dưới một góc độ mới lạ. Đọc ngay!
Khám phá 'Tên của trò chơi là bắt cóc' - cuốn sách hấp dẫn đưa bạn vào thế giới ngầm đầy rẫy những kẻ ác. Đánh giá chi tiết, phân tích sâu sắc và lý do bạn nên đọc ngay!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán lớp 1 khó nhất! Hướng dẫn phụ huynh cách hỗ trợ con học toán hiệu quả, tạo hứng thú và đạt kết quả tốt nhất. Khám phá các mẹo học tập thông minh!
Review sách 'Dữ liệu tử thần' của Jeffery Deaver. Khám phá cách tội phạm sử dụng thông tin cá nhân và học cách bảo vệ dữ liệu của bạn ngay hôm nay!
