Chào mừng các em học sinh đến với Đề số 36 - Đề thi vào lớp 10 môn Toán tại loigiai.com.vn. Đây là một đề thi thử quan trọng giúp các em làm quen với cấu trúc đề thi và rèn luyện kỹ năng giải toán.
Đề thi này được biên soạn dựa trên kiến thức Toán học lớp 9, tập trung vào các chủ đề thường xuất hiện trong kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10. Chúng tôi hy vọng đề thi này sẽ là công cụ hữu ích giúp các em đạt kết quả tốt nhất.
Đề thi vào lớp 10 môn Toán - Đề số 36 có đáp án và lời giải chi tiết
Đề bài
Câu 1 (2 điểm):
a) Tìm \(x\) để biểu thức sau có nghĩa: \(P = \sqrt {5x + 3} + 2018\sqrt[3]{x}.\)
b) Cho hàm số \(y = \dfrac{1}{2}{x^2}.\) Điểm \(D\) có hoành độ \(x = - 2\) thuộc đồ thị hàm số. Tìm tọa độ điểm \(D.\)
c) Tìm giá trị của \(a\) và \(b\) để đường thẳng \(d:\;\;y = ax + b - 1\) đi qua hai điểm \(A\left( {1;\;1} \right)\) và \(B\left( {2;\;3} \right).\)
Câu 2 (2,0 điểm):
Cho biểu thức: \(P = \dfrac{{x\sqrt y + y\sqrt x }}{{\sqrt {xy} }} - \dfrac{{{{\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}^2} - 4\sqrt {xy} }}{{\sqrt x - \sqrt y }} - y\) (với \(x > 0,\;\;y > 0,\;\;x \ne y\)).
a) Rút gọn biểu thức \(P.\)
b) Chứng minh rằng \(P \le 1.\)
Câu 3 (2,0 điểm):
Cho phương trình \({x^2} - 4mx + 4{m^2} - 2 = 0\;\;\;\left( 1 \right)\)
a) Giải phương trình \(\left( 1 \right)\) khi \(m = 1.\)
b) Chứng minh rằng với mọi \(m\) phương trình \(\left( 1 \right)\) luôn có hai nghiệm phân biệt.
Giả sử hai nghiệm là \({x_1},\;{x_2}\) khi đó tìm \(m\) để \(x_1^2 + 4m{x_2} + 4{m^2} - 6 = 0.\)
Câu 4 (3,5 điểm):
Cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp đường tròn tâm O. Tiếp tuyến của đường tròn tâm O tại điểm C cắt các đường thẳng AB và AD theo thứ tự tại M, N. Dựng AH vuông góc với BD tại điểm H, K là giao điểm của hai đường thẳng MN và BD.
a) Chứng minh tứ giác AHCK là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh AD.AN = AB.AM.
c) Gọi E là trung điểm của MN. Chứng minh ba điểm A, H, E thẳng hàng.
d) Cho AB = 6cm, AD = 8cm. Tính độ dài đoạn MN.
Câu 5 (0,5 điểm): Giải phương trình: \(3\sqrt 3 \left( {{x^2} + 4x + 2} \right) - \sqrt {x + 8} = 0.\)
Lời giải chi tiết
Câu 1:
a) Tìm \(x\) để biểu thức sau có nghĩa: \(P = \sqrt {5x + 3} + 2018\sqrt[3]{x}.\)
Biểu thức có nghĩa \( \Leftrightarrow 5x + 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge - \dfrac{3}{5}.\)
Vậy với \(x \ge - \dfrac{3}{5}\) thì biểu thức \(P\) có nghĩa.
b) Cho hàm số \(y = \dfrac{1}{2}{x^2}.\) Điểm \(D\) có hoành độ \(x = - 2\) thuộc đồ thị hàm số. Tìm tọa độ điểm \(D.\)
Điểm \(D\) thuộc đồ thị hàm số \(y = \dfrac{1}{2}{x^2}\) và có hoành độ \(x = - 2 \Rightarrow y = \dfrac{1}{2}.{\left( { - 2} \right)^2} = 2.\)
Vậy \(D\left( { - 2;\;2} \right).\)
c) Tìm giá trị của \(a\) và \(b\) để đường thẳng \(d:\;\;y = ax + b - 1\) đi qua hai điểm \(A\left( {1;\;1} \right)\) và \(B\left( {2;\;3} \right).\)
Đường thẳng \(d\) đi qua hai điểm \(A\left( {1;\;1} \right)\) và \(B\left( {2;\;3} \right)\) nên ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}1 = 1.a + b - 1\\3 = 2.a + b - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = 2\\2a + b = 4\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 0\end{array} \right..\)
Vậy \(a = 2\) và \(b = 0.\)
Câu 2:
Cho biểu thức: \(P = \dfrac{{x\sqrt y + y\sqrt x }}{{\sqrt {xy} }} - \dfrac{{{{\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}^2} - 4\sqrt {xy} }}{{\sqrt x - \sqrt y }} - y\) (với \(x > 0,\;\;y > 0,\;\;x \ne y\)).
a) Rút gọn biểu thức \(P.\)
Điều kiện: \(x > 0,\;\;y > 0,\;\;x \ne y.\)
\(\begin{array}{l}P = \dfrac{{x\sqrt y + y\sqrt x }}{{\sqrt {xy} }} - \dfrac{{{{\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}^2} - 4\sqrt {xy} }}{{\sqrt x - \sqrt y }} - y\\\;\;\; = \dfrac{{\sqrt {xy} \left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}}{{\sqrt {xy} }} - \dfrac{{x + 2\sqrt {xy} + y - 4\sqrt {xy} }}{{\sqrt x - \sqrt y }} - y\\\;\;\; = \sqrt x + \sqrt y - \dfrac{{{{\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)}^2}}}{{\sqrt x - \sqrt y }} - y\\\;\;\; = \sqrt x + \sqrt y - \left( {\sqrt x - \sqrt y } \right) - y\\\;\;\; = \sqrt x + \sqrt y - \sqrt x + \sqrt y - y\\\;\;\; = 2\sqrt y - y.\end{array}\)
b) Chứng minh rằng \(P \le 1.\)
Ta có: \(P \le 1\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2\sqrt y - y \le 1\\ \Leftrightarrow 1 - 2\sqrt y + y \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt y - 1} \right)^2} \ge 0\;\;\forall y > 0.\end{array}\)
Vậy \(P \le 1.\)
Câu 3:
Cho phương trình \({x^2} - 4mx + 4{m^2} - 2 = 0\;\;\;\left( 1 \right)\)
a) Giải phương trình \(\left( 1 \right)\) khi \(m = 1.\)
Với \(m = 1\) ta có phương trình:
\(\begin{array}{l}\left( 1 \right) \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 4 - 2 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 2 = 0\end{array}\)
Có \(\Delta ' = 4 - 2 = 2 > 0\)
\( \Rightarrow \) Phương trình có hai nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = 2 + \sqrt 2 \\{x_2} = 2 - \sqrt 2 \end{array} \right..\)
Vậy với \(m = 1\) thì phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ {2 - \sqrt 2 ;\;\;2 + \sqrt 2 } \right\}.\)
b) Chứng minh rằng với mọi \(m\) phương trình \(\left( 1 \right)\) luôn có hai nghiệm phân biệt.
Giả sử hai nghiệm là \({x_1},\;{x_2}\) khi đó tìm \(m\) để \(x_1^2 + 4m{x_2} + 4{m^2} - 6 = 0.\)
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta ' > 0\)
\( \Leftrightarrow 4{m^2} - 4{m^2} + 2 > 0 \Leftrightarrow 2 > 0\) (luôn đúng với mọi \(m\))
Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\;\;{x_2}\) với mọi \(m.\)
Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 4m\\{x_1}{x_2} = 4{m^2} - 2\end{array} \right..\)
Vì \({x_1}\) là nghiệm của phương trình \(\left( 1 \right)\)
\(\Rightarrow x_1^2 - 4m{x_1} + 4{m^2} - 2 = 0\)
\(\Leftrightarrow x_1^2 = 4m{x_1} - 4{m^2} + 2.\;\)
Theo đề bài ta có: \(x_1^2 + 4m{x_2} + 4{m^2} - 6 = 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4m{x_1} - 4{m^2} + 2 + 4m{x_2} + 4{m^2} - 6 = 0\\ \Leftrightarrow 4m\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 4 = 0\\ \Leftrightarrow m\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 1\\ \Leftrightarrow m.4m = 1\\ \Leftrightarrow {m^2} = \dfrac{1}{4}\\ \Leftrightarrow m = \pm \dfrac{1}{2}.\end{array}\)
Vậy \(m = \pm \dfrac{1}{2}\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 4:
a) Chứng minh tứ giác AHCK là tứ giác nội tiếp.Cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp đường tròn tâm O. Tiếp tuyến của đường tròn tâm O tại điểm C cắt các đường thẳng AB và AD theo thứ tự tại M, N. Dựng AH vuông góc với BD tại điểm H, K là giao điểm của hai đường thẳng MN và BD.
Xét tứ giác \(AHCK\) ta có: \(\widehat {AHK} = \widehat {ACK} = {90^0}\)
Mà hai đỉnh \(H,\;C\) kề nhau cùng nhìn cạnh \(AK\) dưới góc \({90^0}.\)
\( \Rightarrow AHCK\) là tứ giác nội tiếp. (dhnb)
b) Chứng minh AD.AN = AB.AM.
Ta có: \(AM//CD \Rightarrow \widehat {AMN} = \widehat {DCN}\) (hai góc đồng vị)
\(\widehat {DCN}\) là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung \(CD.\)
\(\widehat {ADB}\) là góc nội tiếp chắn cung \(AB.\)
Mà cung \(AB = \) cung \(CD\) do \(ABCD\) là hình chữ nhật.
\( \Rightarrow \widehat {ADB} = \widehat {AMN}\left( { = \widehat {DCN}} \right).\)
Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta ANM\) ta có:
\(\begin{array}{l}\widehat {A\;\;}\;\;chung\\\widehat {ADB} = \widehat {AMN}\;\;\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta ABD \sim \Delta ANM\;\;\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{AN}} = \dfrac{{AD}}{{AM}} \Rightarrow AB.AM = AD.AN\;\;\left( {dpcm} \right).\end{array}\)
c) Gọi E là trung điểm của MN. Chứng minh ba điểm A, H, E thẳng hàng.
Ta có \(E\) là trung điểm của \(MN\;\;\left( {gt} \right) \Rightarrow AE = ME = EN\) (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)
\( \Rightarrow \widehat {EAN} = \widehat {ENA}\)
\(\Rightarrow \widehat {AEM} = \widehat {EAN} + \widehat {ANE} = 2\widehat {ENA}\) (góc ngoài của tam giác).
Vì \(\Delta ABD \sim \Delta ANM\;\left( {cmt} \right) \Rightarrow \widehat {ABD} = \widehat {ANC}\) (hai góc tương ứng).
Vì \(ABCD\) là hình chữ nhật \( \Rightarrow \widehat {ABD} = \widehat {BDC}\) (hai góc so le trong).
\( \Rightarrow \widehat {BDC} = \widehat {ANC}\left( { = \widehat {ABD}} \right) \\\Rightarrow \widehat {HEC} = 2\widehat {ANE} = 2\widehat {BDC} = 2\widehat {ODC}.\;\;\;\left( 1 \right)\)
Xét \(\Delta OCD\) cân tại \(O\) ta có: \(\widehat {DOC} + \widehat {OCD} + \widehat {ODC} = {180^0} \)
\(\Leftrightarrow \widehat {DOC} + 2.\widehat {ODC} = {180^0}.\;\;\;\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \widehat {DOC} + \widehat {HEC} = {180^0}.\)
Xét tứ giác \(OHEC\) ta có: \(\widehat {DOC} + \widehat {HEC} = {180^0}\;\;\left( {cmt} \right)\)
\( \Rightarrow OHEC\) là tứ giác nội tiếp (tổng hai góc đối diện có tổng bằng \({180^0}\)).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \widehat {OHE} + \widehat {OCE} = {180^0} \\\Leftrightarrow \widehat {OHE} = {180^0} - {90^0} = {90^0}\\ \Rightarrow OH \bot HE.\end{array}\)
Mà \(OE \bot AH\;\;\;\left( {gt} \right)\)
\( \Rightarrow A,\;H,\;E\) thẳng hàng.
d) Cho AB = 6cm, AD = 8cm. Tính độ dài đoạn MN.
Áp dụng định lý Pi-ta-go cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) ta có:
\(D{B^2} = A{B^2} + A{D^2} = {6^2} + {8^2} = {10^2} \Rightarrow BD = 10cm.\)
Vì \(\Delta ABD \sim \Delta ANM\;\left( {cmt} \right)\)
\(\Rightarrow \dfrac{{AB}}{{AN}} = \dfrac{{BD}}{{MN}} = \dfrac{{AD}}{{AM}}\)
\( \Leftrightarrow \dfrac{6}{{AN}} = \dfrac{8}{{AM}} = \dfrac{{10}}{{MN}}\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}AM = \dfrac{{8MN}}{{10}} = \dfrac{4}{5}MN\\AN = \dfrac{6}{{10}}MN = \dfrac{3}{5}MN\end{array} \right..\)
Xét tam giác \(\Delta DBC\) và \(\Delta CMB\) ta có:
\(\widehat {DCB} = \widehat {CBM} = {90^0}\)
\(\widehat {BDC} = \widehat {BCM}\) (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung \(BC\))
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta DCB \sim CBM\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \dfrac{{DC}}{{BC}} = \dfrac{{BC}}{{BM}} \Leftrightarrow \dfrac{6}{8} = \dfrac{8}{{BM}}\\ \Leftrightarrow BM = \dfrac{{32}}{3}\;cm.\\ \Rightarrow AM = AB + BM = 6 + \dfrac{{32}}{3} = \dfrac{{50}}{3}\;cm.\\ \Rightarrow MN = \dfrac{5}{4}AM = \dfrac{5}{4}.\dfrac{{50}}{3} = \dfrac{{125}}{6}cm.\end{array}\)
Vậy \(MN = \dfrac{{125}}{6}cm.\)
Đề số 36 là một đề thi thử quan trọng, được thiết kế để đánh giá khả năng nắm vững kiến thức và kỹ năng giải quyết vấn đề của học sinh trước kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10. Đề thi bao gồm nhiều dạng bài tập khác nhau, từ trắc nghiệm đến tự luận, đòi hỏi học sinh phải có sự chuẩn bị kỹ lưỡng và nắm chắc các kiến thức cơ bản.
Đề thi thường bao gồm các phần sau:
Các chủ đề thường xuất hiện trong đề thi bao gồm:
Để giúp các em học sinh giải đề thi một cách hiệu quả, loigiai.com.vn cung cấp hướng dẫn giải chi tiết cho từng bài tập trong đề số 36. Hướng dẫn giải bao gồm:
Bài 1: Giải phương trình 2x + 3 = 7
Giải:
Vậy nghiệm của phương trình là x = 2.
Luyện đề là một bước quan trọng trong quá trình chuẩn bị cho kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10. Việc luyện đề thường xuyên giúp học sinh:
Ngoài đề số 36, loigiai.com.vn còn cung cấp nhiều đề thi thử khác vào lớp 10 môn Toán. Các em học sinh có thể truy cập website để luyện tập và nâng cao kiến thức.
Đề số 36 - Đề thi vào lớp 10 môn Toán là một đề thi thử hữu ích giúp các em học sinh chuẩn bị tốt nhất cho kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10. Chúc các em học sinh đạt kết quả tốt nhất!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Khám phá thế giới phân dạng, từ hình học trừu tượng đến ứng dụng trong nghệ thuật và tự nhiên. Tìm hiểu cách phân dạng tạo ra vẻ đẹp vô hạn!
Bạn đã bao giờ gặp một điều nghe có vẻ vô lý nhưng lại chứa đựng sự thật? Khám phá thế giới Paradox - những mâu thuẫn thú vị giúp bạn nhìn nhận cuộc sống dưới một góc độ mới lạ. Đọc ngay!
Khám phá 'Tên của trò chơi là bắt cóc' - cuốn sách hấp dẫn đưa bạn vào thế giới ngầm đầy rẫy những kẻ ác. Đánh giá chi tiết, phân tích sâu sắc và lý do bạn nên đọc ngay!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán lớp 1 khó nhất! Hướng dẫn phụ huynh cách hỗ trợ con học toán hiệu quả, tạo hứng thú và đạt kết quả tốt nhất. Khám phá các mẹo học tập thông minh!
Review sách 'Dữ liệu tử thần' của Jeffery Deaver. Khám phá cách tội phạm sử dụng thông tin cá nhân và học cách bảo vệ dữ liệu của bạn ngay hôm nay!
