Loigiai.com.vn xin giới thiệu bộ đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán tỉnh Phú Thọ năm 2021 chính thức, kèm đáp án chi tiết và lời giải bài tập. Đây là tài liệu ôn tập vô cùng quan trọng dành cho các em học sinh đang chuẩn bị cho kỳ thi sắp tới.
Chúng tôi cung cấp đầy đủ các đề thi, giúp các em làm quen với cấu trúc đề thi, dạng bài tập thường gặp và rèn luyện kỹ năng giải đề.
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (2,5 điểm) Câu 1. Điều kiện xác định của biểu thức
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
BẢNG ĐÁP ÁN
1. A | 2. C | 3. D | 4. B | 5. C | 6. D | 7. A | 8. B | 9. C | 10. B |
Câu 1
Phương pháp:
Biểu thức \(\sqrt {f\left( x \right)} \) xác định \( \Leftrightarrow f\left( x \right) \ge 0\)
Cách giải:
Điều kiện xác định của biểu thức \(\sqrt {x - 5} \) là \(x - 5 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 5\)
Chọn A.
Câu 2
Phương pháp:
Tìm điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau
Tọa độ giao điểm thuộc trục tung có dạng \(\left( {0;a} \right)\)
Cách giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng là:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,12x + 5 - m = 3x + m + 3\\ \Leftrightarrow 9x = 2m - 2\\ \Leftrightarrow x = \dfrac{{2m - 2}}{9}\end{array}\)
Để giao điểm của hai đường thẳng trục tung \( \Leftrightarrow \dfrac{{2m - 2}}{9} = 0 \Leftrightarrow m = 1\)
Vậy \(m = 1\) thì hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm trên trục tung
Chọn C.
Câu 3
Phương pháp:
Hàm số \(y = ax + b\) đồng biến trên \(\mathbb{R} \Leftrightarrow a > 0\)
Cách giải:
Hàm số \(y = \left( {m + 2} \right)x + 4\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi \(m + 2 > 0 \Leftrightarrow m > - 2\)
Chọn A.
Câu 4
Phương pháp:
Sử dụng phương pháp cộng đại số, tìm được nghiệm \(y\)
Sử dụng phương pháp thế, tìm được nghiệm \(x\)
Kết luận nghiệm \(\left( {x;y} \right)\) của hệ phương trình.
Cách giải:
\(\left\{ \begin{array}{l}x + 3y = 10\\2x - y = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 6y = 20\\2x - y = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}7y = 21\\2x - y = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3\\2x - 3 = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3\\x = 1\end{array} \right.\)
Vậy nghiệm của hệ là \(\left( {x;y} \right) = \left( {1;3} \right)\)
Chọn B.
Câu 5
Phương pháp:
Đồ thị hàm số \(\left( P \right):y = a{x^2}\left( {a \ne 0} \right)\) đi qua điểm \(A\left( {{x_A};\,\,{y_A}} \right)\) khi \(\left( P \right):{y_A} = a{x_A}^2\left( {a \ne 0} \right)\)
Cách giải:
Đồ thị hàm số \(y = \left( {m - 2} \right){x^2}\) đi qua điểm \(A\left( {1;2} \right)\) khi \(\left( {m - 2} \right){.1^2} = 2 \Leftrightarrow m = 4\)
Chọn C.
Câu 6
Phương pháp:
Phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\) có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta > 0\) (hoặc \(\Delta ' > 0\))
Cách giải:
Ta có: \(\Delta ' = {\left( { - 1} \right)^2} - m = 1 - m\)
Phương trình có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta ' > 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 1 - m > 0\\ \Leftrightarrow m < 1\end{array}\)
Vậy \(m < 1\)
Chọn D.
Câu 7
Phương pháp:
Phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\) vô nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta < 0\) (hoặc \(\Delta ' < 0\))
Cách giải:
Xét phương trình: \({x^2} + x + 1 = 0\)
Ta có: \(\Delta = 1 - 4.1 = - 3 < 0\)
\( \Rightarrow \) Phương trình vô nghiệm.
Chọn A.
Câu 8
Phương pháp:
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông.
Cách giải:
\(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), đường cao \(AH\), áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,A{C^2} = CH.CB\\ \Rightarrow BC = \dfrac{{A{C^2}}}{{CH}} = \dfrac{{{5^2}}}{4} = \dfrac{{25}}{4}\left( {cm} \right)\end{array}\)
Chọn B.
Câu 9
Phương pháp:
Vận dụng kiến thức về đường kính và dây cung
Áp dụng định lý Py – ta – go
Cách giải:
Xét đường tròn \(\left( O \right)\)kẻ \(OM \bot AB\) tại \(M\)
\( \Rightarrow M\) là trung điểm của \(AB\) (quan hệ đường kính và dây cung trong đường tròn)
\( \Rightarrow BM = \dfrac{1}{2}AB = 12\left( {cm} \right)\) \(\Delta OBM\) vuông tại \(M\), áp dụng định lý Py – ta – go, ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\,O{B^2} = O{M^2} + M{B^2}\\ \Leftrightarrow O{M^2} = O{B^2} - M{B^2}\\ \Leftrightarrow O{M^2} = {13^2} - {12^2}\\ \Leftrightarrow O{M^2} = 25\\ \Rightarrow OM = 5\left( {cm} \right)\end{array}\)
Vậy khoảng cách từ \(O\) đến dây \(AB\) là \(5\left( {cm} \right)\)
Chọn C.
Câu 10
Phương pháp:
Sử dụng tính chất góc của tứ giác nội tiếp
Vận dụng định lý tổng ba góc trong một tam giác.
Cách giải:
Tứ giác \(MNPQ\) nội tiếp đường tròn \( \Rightarrow \angle MNP + \angle MQP = {180^0}\) (tính chất của tứ giác nội tiếp)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {60^0} + \angle MQP = {180^0}\\ \Leftrightarrow \angle MQP = {120^0}\end{array}\)
Xét \(\Delta MPQ\) có: \(\angle QMP + \angle MPQ + \angle PQM = {180^0}\) (định lý tổng ba góc trong một tam giác)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {40^0} + \angle MPQ + {120^0} = {180^0}\\ \Leftrightarrow \angle MPQ = {20^0}\end{array}\)
Chọn B.
PHẦN II. TỰ LUẬN
Bài 1
Phương pháp:
a) Kiểm tra \(x = 16\) có TMĐK xác định
Sử dụng hằng đẳng thức: \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,\,khi\,\,A \ge 0\\ - A\,\,\,khi\,\,A < 0\end{array} \right.\)
Thực hiện các phép tính với căn bậc hai.
b) Xác định mẫu thức chung của biểu thức
Quy đồng các phân thức, thực hiện các phép toán từ đó rút gọn được biểu thức.
Cách giải:
a) Thay \(x = 16\)(TMĐK) vào biểu thức ta được
\(\begin{array}{l}A = \dfrac{{ - 7\sqrt {16} + 6}}{{16 - 4}} + \dfrac{{\sqrt {16} }}{{\sqrt {16} - 2}}\\A = \dfrac{{ - 28 + 6}}{{12}} + \dfrac{4}{{4 - 2}}\\A = \dfrac{{ - 11}}{6} + 2\\A = \dfrac{1}{6}\end{array}\)
Vậy với \(x = 16\) thì \(A = \dfrac{1}{6}\)
b) Với \(x \ge 0,\,x \ne 4\) có
\(A = \dfrac{{ - 7\sqrt x + 6}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} + \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}\)
\(A = \dfrac{{ - 7\sqrt x + 6}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} + \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\)
\(A = \dfrac{{ - 7\sqrt x + 6 + x + 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\)
\(A = \dfrac{{x - 5\sqrt x + 6}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\)
\(A = \dfrac{{x - 2\sqrt x - 3\sqrt x + 6}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\)
\(A = \dfrac{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\)
\(A = \dfrac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 2}}\)
Vậy \(A = \dfrac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 2}}\)
Bài 2
Phương pháp:
1) a) Đường thẳng \(\left( d \right):y = ax + b\) đi qua điểm \(A\left( {{x_A};\,\,{y_A}} \right)\) khi \({y_A} = a{x_A} + b\)
b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\) (phương trình \(\left( * \right)\))
Đường thẳng \(\left( d \right)\) tiếp xúc với Parabol \(\left( P \right)\)\( \Leftrightarrow \left( * \right)\) có nghiệm kép \( \Leftrightarrow \Delta = 0\) (hoặc \(\Delta ' = 0\))
2) a) Thay \(m = 2\) vào hệ phương trình
Sử dụng phương pháp cộng đại số, tìm được nghiệm \(x\)
Sử dụng phương pháp thế, tìm được nghiệm \(y\)
Kết luận nghiệm \(\left( {x;y} \right)\) của hệ phương trình.
b) Từ hệ phương trình ban đầu, tìm nghiệm \(x,y\) theo tham số \(m\)
Thay vào phương trình của đề bài, tìm được \(m\).
Cách giải:
1) a) Tìm m để đường thẳng \(\left( d \right):y = 2mx + 2m - 3\) đi qua \(A\left( {1;5} \right).\)
Do (d) đi qua \(A\left( {1;5} \right).\) Thay \(x = 1;\,\,y = 5\)vào phương trình đường thẳng ta được:
\(5 = 2m.1 + 2m - 3 \Leftrightarrow 4m = 8 \Leftrightarrow m = 2\)
Vậy với m = 2 thì đường thẳng \(\left( d \right):y = 2mx + 2m - 3\) đi qua \(A\left( {1;5} \right).\)
b) Tìm m để đường thẳng \(\left( d \right)\) tiếp xúc với Parabol \(\left( P \right)\)
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là
\({x^2} = 2mx + 2m - 3 \Leftrightarrow {x^2} - 2mx - 2m + 3 = 0\left( * \right)\)
\({\Delta ^'} = {\left( { - m} \right)^2} - \left( { - 2m + 3} \right) = {m^2} + 2m - 3\)
Để \(\left( d \right)\) tiếp xúc với Parabol \(\left( P \right)\) thì phương trình (*) có nghiệm kép hay
\(\Delta ' = 0 \Leftrightarrow {m^2} + 2m - 3 = 0 \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\left( {m + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = - 3\end{array} \right.\)
Vậy \(m = 1\) hoặc \(m = - 3\)
2) a) Thay \(m = 2\) vào phương trình ta được \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y = 2 - 1\\3x + y = 4.2 + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - y = 1\\3x + y = 9\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - y = 1\\3x + y = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5x = 10\\2x - y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\2.2 - y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 3\end{array} \right.\)
Vậy với \(m = 2\) hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {2;3} \right)\)
b) Ta thấy \(\dfrac{2}{3} \ne \dfrac{{ - 1}}{1}\) nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất với \(\forall m\)
\(\left\{ \begin{array}{l}2x - y = m - 1\\3x + y = 4m + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5x = 5m\\3x + y = 4m + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = m\\3m + y = 4m + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = m\\y = m + 1\end{array} \right.\)
Thay vào phương trình \(2{x^2} - 3y = 2\) ta được:
\(\begin{array}{l}2{m^2} - 3\left( {m + 1} \right) = 2 \Leftrightarrow 2{m^2} - 3m - 5 = 0 \Leftrightarrow \left( {2m - 5} \right)\left( {m + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 1\\m = \dfrac{5}{2}\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy \(m \in \left\{ { - 1;\,\,\dfrac{5}{2}} \right\}\)
Bài 3
Phương pháp:
a) Vận dụng dấu hiệu nhận biết của tứ giác nội tiếp: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\) là tứ giác nội tiếp.
b) Ta sẽ chứng minh:
+ Tứ giác \(AHKE\) nội tiếp \( \Rightarrow \angle EHK = \angle EAK\)
+ \(\angle EAK = \angle KBA\) (cùng phụ với \(\angle KAB\))
\( \Rightarrow \angle EHK = \angle KBA\)
c) Ta sẽ chứng minh: \(\angle MOE = \angle AEO;\angle AEO = \angle MEO \Rightarrow \)\(\angle MOE = \angle MEO\)\( \Rightarrow \Delta MEO\) cân tại \(M\)\( \Rightarrow ME = MO\)
Áp dụng hệ quả của định lý Ta – lét
Cách giải:
a) Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có:
+ \(EA\) là tiếp tuyến của đường tròn \( \Rightarrow \angle EAB = {90^0}\)
+ \(ED\) là tiếp tuyến của đường tròn \( \Rightarrow \angle ODE = {90^0}\)
Tứ giác \(AODE\) có: \(\angle EAB + \angle ODE = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)
\( \Rightarrow AODE\) là tứ giác nội tiếp đường tròn (dấu hiệu nhận biết)
b) Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có: \(EA,ED\) là hai tiếp tuyến của đường tròn
Mà \(EA \cap ED = \left\{ E \right\}\)
\( \Rightarrow EA = ED\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Lại có: \(OA = OD = R\)
\( \Rightarrow EO\) là đường trung trực của \(AD\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow EO \bot AD\\ \Rightarrow \angle EHA = {90^0}\end{array}\)
Ta có: \(\angle AKB = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow \angle EKA = {90^0}\) (kề bù với \(\angle AKB\))
Xét tứ giác \(AHKE\) có: \(\angle EKA = \angle EHA = {90^0}\)
Mà \(K,H\) là hai đỉnh kề nhau
\( \Rightarrow AHKE\) là tứ giác nội tiếp
\( \Rightarrow \angle EHK = \angle EAK\) (hai góc nội tiếp cùng chắn \(cungEK\))
Mà \(\angle EAK = \angle KBA\) (cùng phụ với \(\angle KAB\))
\( \Rightarrow \angle EHK = \angle KBA\)
c) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}OM \bot AB\left( {gt} \right)\\EA \bot AB\left( {cmt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow OM//EA\) (quan hệ từ vuông góc đến dây cung)
\( \Rightarrow \angle MOE = \angle AEO\) (hai góc so le trong) (1)
Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có: \(EA,ED\) là hai tiếp tuyến của đường tròn
Mà \(EA \cap ED = \left\{ D \right\}\)
\( \Rightarrow \angle AEO = \angle DEO\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
\( \Rightarrow \angle AEO = \angle MEO\) (2)
Từ (1) và (2), suy ra \(\angle MOE = \angle MEO\)\( \Rightarrow \Delta MEO\) cân tại \(M \Rightarrow ME = MO\)
\(\Delta CAE\) có \(OM//EA\left( {cmt} \right)\), áp dụng hệ quả của định lí Ta – lét, ta có:
\(\dfrac{{OM}}{{AE}} = \dfrac{{MC}}{{CE}} \Rightarrow \dfrac{{EA}}{{OM}} = \dfrac{{CE}}{{MC}} \Rightarrow \dfrac{{EA}}{{EM}} = \dfrac{{MC + EM}}{{MC}}\)
\( \Rightarrow \dfrac{{EA}}{{EM}} = 1 + \dfrac{{EM}}{{MC}} \Rightarrow \dfrac{{EA}}{{EM}} - \dfrac{{MO}}{{MC}} = 1\) (vì \(ME = MO\))
Bài 4
Phương pháp:
Xuất phát từ bất đẳng thức: \(2bc \le {b^2} + {c^2}\)
Cách giải:
Ta có: \(2bc \le {b^2} + {c^2}\)
Khi đó, \(A \le \left( {1 + 2a} \right)\left( {1 + {b^2} + {c^2}} \right) = \left( {1 + 2a} \right)\left( {2 - {a^2}} \right)\) (vì \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 1\))
Có \(\left( {1 + 2a} \right)\left( {2 - {a^2}} \right) = \dfrac{1}{{54}}\left( {6 + 12a} \right)\left( {18 - 9{a^2}} \right) \le \dfrac{1}{{54}}\left( {10 + 9{a^2}} \right)\left( {18 - 9{a^2}} \right)\)
\( \le \dfrac{1}{{54}}{\left( {\dfrac{{10 + 9{a^2} + 18 - 9{a^2}}}{2}} \right)^2} = \dfrac{{98}}{{27}}\,\,\,\,\,\left( {do\,9{a^2} + 4 \ge 12a} \right)\)
Do đó \(A \le \dfrac{{98}}{{27}}\)
Dấu “=” xảy ra khi: \(\left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{2}{3}\\b = c\\{a^2} + {b^2} + {c^2} = 1\\10 + 9{a^2} = 18 - 9{a^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{2}{3}\\b = c = \dfrac{{\sqrt {10} }}{6}\end{array} \right.\)
Vậy \(MaxA = \dfrac{{98}}{{27}}\) khi \(a = \dfrac{2}{3};\,\,b = c = \dfrac{{\sqrt {10} }}{6}\)
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (2,5 điểm)
Câu 1. Điều kiện xác định của biểu thức \(\sqrt {x - 5} \) là:
A. \(x \ge 5\)B. \(x \le 5\) C. \(x > 5\) D. \(x < 5\)
Câu 2. Với giá trị nào của \(m\) thì hai đường thẳng \(y = 12x + 5 - m\) và \(y = 3x + m + 3\) cắt nhau tại một điểm trên trục tung?
A. \(5.\)B. \( - 3.\) C. \(1.\) D. \(4.\)
Câu 3. Hàm số \(y = \left( {m + 2} \right)x + 4\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi
A. \(m < - 2\)B. \(m \ge - 2\) C. \(m \ne - 2\) D. \(m > - 2\)
Câu 4. Nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + 3y = 10\\2x - y = - 1\end{array} \right.\) là
A. \(\left( {3;1} \right)\)B. \(\left( {1;3} \right)\) C. \(\left( { - 1; - 3} \right)\) D. \(\left( { - 3; - 1} \right)\)
Câu 5. Với giá trị nào của \(m\) thì đồ thị hàm số \(y = \left( {m - 2} \right){x^2}\) đi qua điểm \(A.(1;2)\)?
A. \(0.\)B. \(2.\) C. \(4.\) D. \( - 2.\)
Câu 6. Phương trình \({x^2} - 2x + m = 0\) có hai nghiệm phân biệt khi
A. \(m > 1\)B. \(m = 1\) C. \(m \ge 1\) D. \(m < 1\)
Câu 7. Phương trình nào sau đây vô nghiệm?
A. \({x^2} + x + 1 = 0\)B. \({x^2} - 4x + 4 = 0\) C. \({x^2} + x - 1 = 0\) D. \({x^2} + 5x + 6 = 0\)
Câu 8. Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), đường cao \(AH\). Biết \(AC = 5cm,\,\,HC = 4cm.\) Khi đó độ dài cạnh \(BC\) là
A. \(9cm.\)B. \(\dfrac{{25}}{4}cm.\) C. \(\dfrac{{25}}{{16}}cm.\) D. \(\dfrac{5}{4}cm.\)
Câu 9. Cho đường tròn tâm \(O\), bán kính \(R = 13(cm)\), dây cung \(AB = 24(cm)\). Khoảng cách từ tâm \(O\) đến dây \(AB\) là
A. \(3\left( {cm} \right).\)B. \(4\left( {cm} \right).\) C. \(5\left( {cm} \right).\) D. \(6\left( {cm} \right).\)
Câu 10. Cho tứ giác \(MNPQ\) nội tiếp một đường tròn. Biết \(\angle MNP = {60^0},\angle PMQ = {40^0}\). Số đo \(\angle MPQ\) bằng: (Tham khảo hình vẽ)
A. \({10^0}\)B. \({20^0}\) C. \({40^0}\) D. \({50^0}\)
PHẦN II. TỰ LUẬN (7,5 điểm):
Bài 1. (1,5 điểm)
Cho biểu thức \(A = \dfrac{{ - 7\sqrt x + 6}}{{x - 4}} + \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}.\left( {x \ge 0,\,x \ne 4} \right)\)
a) Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = 16\)
b) Rút gọn biểu thức \(A\).
Bài 2. (2,0 điểm)
1) (ID: 550946) Cho đường thẳng \(\left( d \right):y = 2mx + 2m - 3\) và Parabol \(\left( P \right):y = {x^2}\)
a) Tìm \(m\) để đường thẳng \(\left( d \right)\) đi qua \(A\left( {1;5} \right).\)
b) Tìm \(m\) để đường thẳng \(\left( d \right)\) tiếp xúc với Parabol \(\left( P \right)\)
2) Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y = m - 1\\3x + y = 4m + 1\end{array} \right.\) (\(m\) là tham số)
a) Giải hệ phương trình với \(m = 2\)
b) Tìm \(m\) để hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn \(2{x^2} - 3y = 2\)
Bài 3. (3,0 điểm)
Cho đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB\). Trên tia đối tia \(BA\) lấy điểm \(C(C\) không trùng với \(B)\). Kẻ tiếp tuyến \(CD\) với đường tròn \(\left( O \right)\) (\(D\) là tiếp điểm), tiếp tuyến tại \(A\) của đường tròn \(\left( O \right)\) cắt đường thẳng \(CD\) tại \(E\).
a) Chứng minh rằng tứ giác \(AODE\) nội tiếp.
b) Gọi \(H\) là giao điểm của \(AD\) và \(OE,K\) là giao điểm của \(BE\) với đường tròn \(\left( O \right)\) (\(K\) không trùng với \(B\)). Chứng minh \(\angle EHK = \angle KBA\)
c) Đường thẳng vuông góc với \(AB\) tại \(O\) cắt \(CE\) tại \(M\). Chứng minh \(\dfrac{{EA}}{{EM}} - \dfrac{{MO}}{{MC}} = 1\)
Bài 4. (1,0 điểm)
Cho \(a,b,c\) là các số dương thỏa mãn \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 1\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(A = \left( {1 + 2a} \right)\left( {1 + 2bc} \right)\).
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (2,5 điểm)
Câu 1. Điều kiện xác định của biểu thức \(\sqrt {x - 5} \) là:
A. \(x \ge 5\)B. \(x \le 5\) C. \(x > 5\) D. \(x < 5\)
Câu 2. Với giá trị nào của \(m\) thì hai đường thẳng \(y = 12x + 5 - m\) và \(y = 3x + m + 3\) cắt nhau tại một điểm trên trục tung?
A. \(5.\)B. \( - 3.\) C. \(1.\) D. \(4.\)
Câu 3. Hàm số \(y = \left( {m + 2} \right)x + 4\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi
A. \(m < - 2\)B. \(m \ge - 2\) C. \(m \ne - 2\) D. \(m > - 2\)
Câu 4. Nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + 3y = 10\\2x - y = - 1\end{array} \right.\) là
A. \(\left( {3;1} \right)\)B. \(\left( {1;3} \right)\) C. \(\left( { - 1; - 3} \right)\) D. \(\left( { - 3; - 1} \right)\)
Câu 5. Với giá trị nào của \(m\) thì đồ thị hàm số \(y = \left( {m - 2} \right){x^2}\) đi qua điểm \(A.(1;2)\)?
A. \(0.\)B. \(2.\) C. \(4.\) D. \( - 2.\)
Câu 6. Phương trình \({x^2} - 2x + m = 0\) có hai nghiệm phân biệt khi
A. \(m > 1\)B. \(m = 1\) C. \(m \ge 1\) D. \(m < 1\)
Câu 7. Phương trình nào sau đây vô nghiệm?
A. \({x^2} + x + 1 = 0\)B. \({x^2} - 4x + 4 = 0\) C. \({x^2} + x - 1 = 0\) D. \({x^2} + 5x + 6 = 0\)
Câu 8. Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), đường cao \(AH\). Biết \(AC = 5cm,\,\,HC = 4cm.\) Khi đó độ dài cạnh \(BC\) là
A. \(9cm.\)B. \(\dfrac{{25}}{4}cm.\) C. \(\dfrac{{25}}{{16}}cm.\) D. \(\dfrac{5}{4}cm.\)
Câu 9. Cho đường tròn tâm \(O\), bán kính \(R = 13(cm)\), dây cung \(AB = 24(cm)\). Khoảng cách từ tâm \(O\) đến dây \(AB\) là
A. \(3\left( {cm} \right).\)B. \(4\left( {cm} \right).\) C. \(5\left( {cm} \right).\) D. \(6\left( {cm} \right).\)
Câu 10. Cho tứ giác \(MNPQ\) nội tiếp một đường tròn. Biết \(\angle MNP = {60^0},\angle PMQ = {40^0}\). Số đo \(\angle MPQ\) bằng: (Tham khảo hình vẽ)
A. \({10^0}\)B. \({20^0}\) C. \({40^0}\) D. \({50^0}\)
PHẦN II. TỰ LUẬN (7,5 điểm):
Bài 1. (1,5 điểm)
Cho biểu thức \(A = \dfrac{{ - 7\sqrt x + 6}}{{x - 4}} + \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}.\left( {x \ge 0,\,x \ne 4} \right)\)
a) Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = 16\)
b) Rút gọn biểu thức \(A\).
Bài 2. (2,0 điểm)
1) (ID: 550946) Cho đường thẳng \(\left( d \right):y = 2mx + 2m - 3\) và Parabol \(\left( P \right):y = {x^2}\)
a) Tìm \(m\) để đường thẳng \(\left( d \right)\) đi qua \(A\left( {1;5} \right).\)
b) Tìm \(m\) để đường thẳng \(\left( d \right)\) tiếp xúc với Parabol \(\left( P \right)\)
2) Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y = m - 1\\3x + y = 4m + 1\end{array} \right.\) (\(m\) là tham số)
a) Giải hệ phương trình với \(m = 2\)
b) Tìm \(m\) để hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn \(2{x^2} - 3y = 2\)
Bài 3. (3,0 điểm)
Cho đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB\). Trên tia đối tia \(BA\) lấy điểm \(C(C\) không trùng với \(B)\). Kẻ tiếp tuyến \(CD\) với đường tròn \(\left( O \right)\) (\(D\) là tiếp điểm), tiếp tuyến tại \(A\) của đường tròn \(\left( O \right)\) cắt đường thẳng \(CD\) tại \(E\).
a) Chứng minh rằng tứ giác \(AODE\) nội tiếp.
b) Gọi \(H\) là giao điểm của \(AD\) và \(OE,K\) là giao điểm của \(BE\) với đường tròn \(\left( O \right)\) (\(K\) không trùng với \(B\)). Chứng minh \(\angle EHK = \angle KBA\)
c) Đường thẳng vuông góc với \(AB\) tại \(O\) cắt \(CE\) tại \(M\). Chứng minh \(\dfrac{{EA}}{{EM}} - \dfrac{{MO}}{{MC}} = 1\)
Bài 4. (1,0 điểm)
Cho \(a,b,c\) là các số dương thỏa mãn \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 1\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(A = \left( {1 + 2a} \right)\left( {1 + 2bc} \right)\).
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
BẢNG ĐÁP ÁN
1. A | 2. C | 3. D | 4. B | 5. C | 6. D | 7. A | 8. B | 9. C | 10. B |
Câu 1
Phương pháp:
Biểu thức \(\sqrt {f\left( x \right)} \) xác định \( \Leftrightarrow f\left( x \right) \ge 0\)
Cách giải:
Điều kiện xác định của biểu thức \(\sqrt {x - 5} \) là \(x - 5 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 5\)
Chọn A.
Câu 2
Phương pháp:
Tìm điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau
Tọa độ giao điểm thuộc trục tung có dạng \(\left( {0;a} \right)\)
Cách giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng là:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,12x + 5 - m = 3x + m + 3\\ \Leftrightarrow 9x = 2m - 2\\ \Leftrightarrow x = \dfrac{{2m - 2}}{9}\end{array}\)
Để giao điểm của hai đường thẳng trục tung \( \Leftrightarrow \dfrac{{2m - 2}}{9} = 0 \Leftrightarrow m = 1\)
Vậy \(m = 1\) thì hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm trên trục tung
Chọn C.
Câu 3
Phương pháp:
Hàm số \(y = ax + b\) đồng biến trên \(\mathbb{R} \Leftrightarrow a > 0\)
Cách giải:
Hàm số \(y = \left( {m + 2} \right)x + 4\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi \(m + 2 > 0 \Leftrightarrow m > - 2\)
Chọn A.
Câu 4
Phương pháp:
Sử dụng phương pháp cộng đại số, tìm được nghiệm \(y\)
Sử dụng phương pháp thế, tìm được nghiệm \(x\)
Kết luận nghiệm \(\left( {x;y} \right)\) của hệ phương trình.
Cách giải:
\(\left\{ \begin{array}{l}x + 3y = 10\\2x - y = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 6y = 20\\2x - y = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}7y = 21\\2x - y = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3\\2x - 3 = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3\\x = 1\end{array} \right.\)
Vậy nghiệm của hệ là \(\left( {x;y} \right) = \left( {1;3} \right)\)
Chọn B.
Câu 5
Phương pháp:
Đồ thị hàm số \(\left( P \right):y = a{x^2}\left( {a \ne 0} \right)\) đi qua điểm \(A\left( {{x_A};\,\,{y_A}} \right)\) khi \(\left( P \right):{y_A} = a{x_A}^2\left( {a \ne 0} \right)\)
Cách giải:
Đồ thị hàm số \(y = \left( {m - 2} \right){x^2}\) đi qua điểm \(A\left( {1;2} \right)\) khi \(\left( {m - 2} \right){.1^2} = 2 \Leftrightarrow m = 4\)
Chọn C.
Câu 6
Phương pháp:
Phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\) có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta > 0\) (hoặc \(\Delta ' > 0\))
Cách giải:
Ta có: \(\Delta ' = {\left( { - 1} \right)^2} - m = 1 - m\)
Phương trình có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta ' > 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 1 - m > 0\\ \Leftrightarrow m < 1\end{array}\)
Vậy \(m < 1\)
Chọn D.
Câu 7
Phương pháp:
Phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\) vô nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta < 0\) (hoặc \(\Delta ' < 0\))
Cách giải:
Xét phương trình: \({x^2} + x + 1 = 0\)
Ta có: \(\Delta = 1 - 4.1 = - 3 < 0\)
\( \Rightarrow \) Phương trình vô nghiệm.
Chọn A.
Câu 8
Phương pháp:
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông.
Cách giải:
\(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), đường cao \(AH\), áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,A{C^2} = CH.CB\\ \Rightarrow BC = \dfrac{{A{C^2}}}{{CH}} = \dfrac{{{5^2}}}{4} = \dfrac{{25}}{4}\left( {cm} \right)\end{array}\)
Chọn B.
Câu 9
Phương pháp:
Vận dụng kiến thức về đường kính và dây cung
Áp dụng định lý Py – ta – go
Cách giải:
Xét đường tròn \(\left( O \right)\)kẻ \(OM \bot AB\) tại \(M\)
\( \Rightarrow M\) là trung điểm của \(AB\) (quan hệ đường kính và dây cung trong đường tròn)
\( \Rightarrow BM = \dfrac{1}{2}AB = 12\left( {cm} \right)\) \(\Delta OBM\) vuông tại \(M\), áp dụng định lý Py – ta – go, ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\,O{B^2} = O{M^2} + M{B^2}\\ \Leftrightarrow O{M^2} = O{B^2} - M{B^2}\\ \Leftrightarrow O{M^2} = {13^2} - {12^2}\\ \Leftrightarrow O{M^2} = 25\\ \Rightarrow OM = 5\left( {cm} \right)\end{array}\)
Vậy khoảng cách từ \(O\) đến dây \(AB\) là \(5\left( {cm} \right)\)
Chọn C.
Câu 10
Phương pháp:
Sử dụng tính chất góc của tứ giác nội tiếp
Vận dụng định lý tổng ba góc trong một tam giác.
Cách giải:
Tứ giác \(MNPQ\) nội tiếp đường tròn \( \Rightarrow \angle MNP + \angle MQP = {180^0}\) (tính chất của tứ giác nội tiếp)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {60^0} + \angle MQP = {180^0}\\ \Leftrightarrow \angle MQP = {120^0}\end{array}\)
Xét \(\Delta MPQ\) có: \(\angle QMP + \angle MPQ + \angle PQM = {180^0}\) (định lý tổng ba góc trong một tam giác)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {40^0} + \angle MPQ + {120^0} = {180^0}\\ \Leftrightarrow \angle MPQ = {20^0}\end{array}\)
Chọn B.
PHẦN II. TỰ LUẬN
Bài 1
Phương pháp:
a) Kiểm tra \(x = 16\) có TMĐK xác định
Sử dụng hằng đẳng thức: \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,\,khi\,\,A \ge 0\\ - A\,\,\,khi\,\,A < 0\end{array} \right.\)
Thực hiện các phép tính với căn bậc hai.
b) Xác định mẫu thức chung của biểu thức
Quy đồng các phân thức, thực hiện các phép toán từ đó rút gọn được biểu thức.
Cách giải:
a) Thay \(x = 16\)(TMĐK) vào biểu thức ta được
\(\begin{array}{l}A = \dfrac{{ - 7\sqrt {16} + 6}}{{16 - 4}} + \dfrac{{\sqrt {16} }}{{\sqrt {16} - 2}}\\A = \dfrac{{ - 28 + 6}}{{12}} + \dfrac{4}{{4 - 2}}\\A = \dfrac{{ - 11}}{6} + 2\\A = \dfrac{1}{6}\end{array}\)
Vậy với \(x = 16\) thì \(A = \dfrac{1}{6}\)
b) Với \(x \ge 0,\,x \ne 4\) có
\(A = \dfrac{{ - 7\sqrt x + 6}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} + \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}\)
\(A = \dfrac{{ - 7\sqrt x + 6}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} + \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\)
\(A = \dfrac{{ - 7\sqrt x + 6 + x + 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\)
\(A = \dfrac{{x - 5\sqrt x + 6}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\)
\(A = \dfrac{{x - 2\sqrt x - 3\sqrt x + 6}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\)
\(A = \dfrac{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\)
\(A = \dfrac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 2}}\)
Vậy \(A = \dfrac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 2}}\)
Bài 2
Phương pháp:
1) a) Đường thẳng \(\left( d \right):y = ax + b\) đi qua điểm \(A\left( {{x_A};\,\,{y_A}} \right)\) khi \({y_A} = a{x_A} + b\)
b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\) (phương trình \(\left( * \right)\))
Đường thẳng \(\left( d \right)\) tiếp xúc với Parabol \(\left( P \right)\)\( \Leftrightarrow \left( * \right)\) có nghiệm kép \( \Leftrightarrow \Delta = 0\) (hoặc \(\Delta ' = 0\))
2) a) Thay \(m = 2\) vào hệ phương trình
Sử dụng phương pháp cộng đại số, tìm được nghiệm \(x\)
Sử dụng phương pháp thế, tìm được nghiệm \(y\)
Kết luận nghiệm \(\left( {x;y} \right)\) của hệ phương trình.
b) Từ hệ phương trình ban đầu, tìm nghiệm \(x,y\) theo tham số \(m\)
Thay vào phương trình của đề bài, tìm được \(m\).
Cách giải:
1) a) Tìm m để đường thẳng \(\left( d \right):y = 2mx + 2m - 3\) đi qua \(A\left( {1;5} \right).\)
Do (d) đi qua \(A\left( {1;5} \right).\) Thay \(x = 1;\,\,y = 5\)vào phương trình đường thẳng ta được:
\(5 = 2m.1 + 2m - 3 \Leftrightarrow 4m = 8 \Leftrightarrow m = 2\)
Vậy với m = 2 thì đường thẳng \(\left( d \right):y = 2mx + 2m - 3\) đi qua \(A\left( {1;5} \right).\)
b) Tìm m để đường thẳng \(\left( d \right)\) tiếp xúc với Parabol \(\left( P \right)\)
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là
\({x^2} = 2mx + 2m - 3 \Leftrightarrow {x^2} - 2mx - 2m + 3 = 0\left( * \right)\)
\({\Delta ^'} = {\left( { - m} \right)^2} - \left( { - 2m + 3} \right) = {m^2} + 2m - 3\)
Để \(\left( d \right)\) tiếp xúc với Parabol \(\left( P \right)\) thì phương trình (*) có nghiệm kép hay
\(\Delta ' = 0 \Leftrightarrow {m^2} + 2m - 3 = 0 \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\left( {m + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = - 3\end{array} \right.\)
Vậy \(m = 1\) hoặc \(m = - 3\)
2) a) Thay \(m = 2\) vào phương trình ta được \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y = 2 - 1\\3x + y = 4.2 + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - y = 1\\3x + y = 9\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - y = 1\\3x + y = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5x = 10\\2x - y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\2.2 - y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 3\end{array} \right.\)
Vậy với \(m = 2\) hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {2;3} \right)\)
b) Ta thấy \(\dfrac{2}{3} \ne \dfrac{{ - 1}}{1}\) nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất với \(\forall m\)
\(\left\{ \begin{array}{l}2x - y = m - 1\\3x + y = 4m + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5x = 5m\\3x + y = 4m + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = m\\3m + y = 4m + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = m\\y = m + 1\end{array} \right.\)
Thay vào phương trình \(2{x^2} - 3y = 2\) ta được:
\(\begin{array}{l}2{m^2} - 3\left( {m + 1} \right) = 2 \Leftrightarrow 2{m^2} - 3m - 5 = 0 \Leftrightarrow \left( {2m - 5} \right)\left( {m + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 1\\m = \dfrac{5}{2}\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy \(m \in \left\{ { - 1;\,\,\dfrac{5}{2}} \right\}\)
Bài 3
Phương pháp:
a) Vận dụng dấu hiệu nhận biết của tứ giác nội tiếp: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\) là tứ giác nội tiếp.
b) Ta sẽ chứng minh:
+ Tứ giác \(AHKE\) nội tiếp \( \Rightarrow \angle EHK = \angle EAK\)
+ \(\angle EAK = \angle KBA\) (cùng phụ với \(\angle KAB\))
\( \Rightarrow \angle EHK = \angle KBA\)
c) Ta sẽ chứng minh: \(\angle MOE = \angle AEO;\angle AEO = \angle MEO \Rightarrow \)\(\angle MOE = \angle MEO\)\( \Rightarrow \Delta MEO\) cân tại \(M\)\( \Rightarrow ME = MO\)
Áp dụng hệ quả của định lý Ta – lét
Cách giải:
a) Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có:
+ \(EA\) là tiếp tuyến của đường tròn \( \Rightarrow \angle EAB = {90^0}\)
+ \(ED\) là tiếp tuyến của đường tròn \( \Rightarrow \angle ODE = {90^0}\)
Tứ giác \(AODE\) có: \(\angle EAB + \angle ODE = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)
\( \Rightarrow AODE\) là tứ giác nội tiếp đường tròn (dấu hiệu nhận biết)
b) Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có: \(EA,ED\) là hai tiếp tuyến của đường tròn
Mà \(EA \cap ED = \left\{ E \right\}\)
\( \Rightarrow EA = ED\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Lại có: \(OA = OD = R\)
\( \Rightarrow EO\) là đường trung trực của \(AD\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow EO \bot AD\\ \Rightarrow \angle EHA = {90^0}\end{array}\)
Ta có: \(\angle AKB = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow \angle EKA = {90^0}\) (kề bù với \(\angle AKB\))
Xét tứ giác \(AHKE\) có: \(\angle EKA = \angle EHA = {90^0}\)
Mà \(K,H\) là hai đỉnh kề nhau
\( \Rightarrow AHKE\) là tứ giác nội tiếp
\( \Rightarrow \angle EHK = \angle EAK\) (hai góc nội tiếp cùng chắn \(cungEK\))
Mà \(\angle EAK = \angle KBA\) (cùng phụ với \(\angle KAB\))
\( \Rightarrow \angle EHK = \angle KBA\)
c) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}OM \bot AB\left( {gt} \right)\\EA \bot AB\left( {cmt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow OM//EA\) (quan hệ từ vuông góc đến dây cung)
\( \Rightarrow \angle MOE = \angle AEO\) (hai góc so le trong) (1)
Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có: \(EA,ED\) là hai tiếp tuyến của đường tròn
Mà \(EA \cap ED = \left\{ D \right\}\)
\( \Rightarrow \angle AEO = \angle DEO\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
\( \Rightarrow \angle AEO = \angle MEO\) (2)
Từ (1) và (2), suy ra \(\angle MOE = \angle MEO\)\( \Rightarrow \Delta MEO\) cân tại \(M \Rightarrow ME = MO\)
\(\Delta CAE\) có \(OM//EA\left( {cmt} \right)\), áp dụng hệ quả của định lí Ta – lét, ta có:
\(\dfrac{{OM}}{{AE}} = \dfrac{{MC}}{{CE}} \Rightarrow \dfrac{{EA}}{{OM}} = \dfrac{{CE}}{{MC}} \Rightarrow \dfrac{{EA}}{{EM}} = \dfrac{{MC + EM}}{{MC}}\)
\( \Rightarrow \dfrac{{EA}}{{EM}} = 1 + \dfrac{{EM}}{{MC}} \Rightarrow \dfrac{{EA}}{{EM}} - \dfrac{{MO}}{{MC}} = 1\) (vì \(ME = MO\))
Bài 4
Phương pháp:
Xuất phát từ bất đẳng thức: \(2bc \le {b^2} + {c^2}\)
Cách giải:
Ta có: \(2bc \le {b^2} + {c^2}\)
Khi đó, \(A \le \left( {1 + 2a} \right)\left( {1 + {b^2} + {c^2}} \right) = \left( {1 + 2a} \right)\left( {2 - {a^2}} \right)\) (vì \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 1\))
Có \(\left( {1 + 2a} \right)\left( {2 - {a^2}} \right) = \dfrac{1}{{54}}\left( {6 + 12a} \right)\left( {18 - 9{a^2}} \right) \le \dfrac{1}{{54}}\left( {10 + 9{a^2}} \right)\left( {18 - 9{a^2}} \right)\)
\( \le \dfrac{1}{{54}}{\left( {\dfrac{{10 + 9{a^2} + 18 - 9{a^2}}}{2}} \right)^2} = \dfrac{{98}}{{27}}\,\,\,\,\,\left( {do\,9{a^2} + 4 \ge 12a} \right)\)
Do đó \(A \le \dfrac{{98}}{{27}}\)
Dấu “=” xảy ra khi: \(\left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{2}{3}\\b = c\\{a^2} + {b^2} + {c^2} = 1\\10 + 9{a^2} = 18 - 9{a^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{2}{3}\\b = c = \dfrac{{\sqrt {10} }}{6}\end{array} \right.\)
Vậy \(MaxA = \dfrac{{98}}{{27}}\) khi \(a = \dfrac{2}{3};\,\,b = c = \dfrac{{\sqrt {10} }}{6}\)
Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán tỉnh Phú Thọ năm 2021 là một bước ngoặt quan trọng trong quá trình học tập của các em học sinh. Đề thi thường bao gồm các kiến thức trọng tâm của chương trình Toán lớp 9, được phân bố theo các chủ đề chính như Đại số, Hình học và số học. Việc nắm vững kiến thức nền tảng và luyện tập thường xuyên là chìa khóa để đạt kết quả tốt trong kỳ thi này.
Đề thi thường có cấu trúc gồm hai phần chính:
Để đạt kết quả tốt nhất trong kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán tỉnh Phú Thọ năm 2021, các em học sinh cần có một kế hoạch ôn tập khoa học và hợp lý. Dưới đây là một số gợi ý:
Loigiai.com.vn tự hào là một trong những website hàng đầu về học toán online tại Việt Nam. Chúng tôi cung cấp đầy đủ các tài liệu ôn tập, đề thi thử và lời giải chi tiết cho kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán tỉnh Phú Thọ năm 2021. Hãy truy cập loigiai.com.vn ngay hôm nay để bắt đầu hành trình chinh phục kỳ thi của bạn!
Bài toán: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 6cm, AC = 8cm. Tính độ dài đường cao AH.
Lời giải:
Chúc các em học sinh ôn tập tốt và đạt kết quả cao trong kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán tỉnh Phú Thọ năm 2021!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Khám phá thế giới phân dạng, từ hình học trừu tượng đến ứng dụng trong nghệ thuật và tự nhiên. Tìm hiểu cách phân dạng tạo ra vẻ đẹp vô hạn!
Bạn đã bao giờ gặp một điều nghe có vẻ vô lý nhưng lại chứa đựng sự thật? Khám phá thế giới Paradox - những mâu thuẫn thú vị giúp bạn nhìn nhận cuộc sống dưới một góc độ mới lạ. Đọc ngay!
Khám phá 'Tên của trò chơi là bắt cóc' - cuốn sách hấp dẫn đưa bạn vào thế giới ngầm đầy rẫy những kẻ ác. Đánh giá chi tiết, phân tích sâu sắc và lý do bạn nên đọc ngay!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán lớp 1 khó nhất! Hướng dẫn phụ huynh cách hỗ trợ con học toán hiệu quả, tạo hứng thú và đạt kết quả tốt nhất. Khám phá các mẹo học tập thông minh!
Review sách 'Dữ liệu tử thần' của Jeffery Deaver. Khám phá cách tội phạm sử dụng thông tin cá nhân và học cách bảo vệ dữ liệu của bạn ngay hôm nay!
