Chào mừng các em học sinh đến với Đề số 3 - Đề thi vào lớp 10 môn Toán tại website loigiai.com.vn. Đây là một trong những đề thi thử quan trọng giúp các em làm quen với cấu trúc đề thi và rèn luyện kỹ năng giải toán.
Đề thi này được biên soạn bởi đội ngũ giáo viên giàu kinh nghiệm, bám sát chương trình học và có độ khó phù hợp với trình độ của học sinh.
Đề thi vào lớp 10 môn Toán - Đề số 3 có đáp án và lời giải chi tiết
Đề bài
Câu 1. (2,0 điểm)
1. Tính giá trị của các biểu thức
\(M = \sqrt {36} + \sqrt {25} \)
\(N = \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}^2}} - \sqrt 5 \)
2. Cho biểu thức \(P = 1 + \dfrac{{x - \sqrt x }}{{\sqrt x - 1}},\) với \(x \ge 0\) và \(x \ne 1\)
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm giá trị của x, biết P > 3
Câu 2. (2 điểm)
1) Cho parabol \(\left( P \right):\;y = {x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):\;y = - x + 2.\)
a) Vẽ \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\) trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy.
b) Tìm tọa độ giao điểm của parabol \(\left( P \right)\) và đường thẳng \(\left( d \right)\) bằng phép tính.
2) Không sử dụng máy tính, giải hệ phương trình sau: \(\left\{ \begin{array}{l}3x + y = 5\\2x - y = 10\end{array} \right..\)
Câu 3. (2,5 điểm)
1) Cho phương trình \({x^2} - 2mx + 2m - 1 = 0\) (m là tham số) (1)
a) Giải phương trình (1) với \(m = 2.\)
b) Tìm \(m\) để phương trình (1) có hai nghiệm \({x_1},\;{x_2}\) sao cho: \(\left( {x_1^2 - 2m{x_1} + 3} \right)\left( {x_2^2 - 2m{x_2} - 2} \right) = 50.\)
2) Quãng đường AB dài 50 km. Hai xe máy khởi hành cùng một lúc từ A đến B. Vận tốc xe thứ nhất lớn hơn vận tốc xe thứ hai 10 km/h, nên xe thứ nhất đến B trước xe thứ hai 15 phút. Tính vận tốc của mỗi xe.
Câu 4. (1,0 điểm):
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH \(\left( {H \in BC} \right)\) . Biết AC = 8cm và BC = 10 cm. Tính độ dài AB, BH, CH và AH.
Câu 5. (2,5 điểm)
Cho đường tròn tâm (O), từ điểm M ở bên ngoài đường tròn (O) kẻ các tiếp tuyến MA, MB (A, B là các tiếp điểm), kẻ cát tuyến MCD không đi qua tâm O (C nằm giữa M và D; O và B nằm về hai phía so với cát tuyến MCD).
a) Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp.
b) Chứng minh \(M{B^2} = MC.MD\)
c) Gọi H là giao điểm của AB và OM. Chứng minh AB là phân giác của \(\widehat {CHD}\).
Lời giải chi tiết
Câu 1.
1. Tính giá trị của các biểu thức
\(M = \sqrt {36} + \sqrt {25} \)
\(N = \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}^2}} - \sqrt 5 \)
Ta có:
\(M = \sqrt {36} + \sqrt {25} \)
\(\;\;\;\;\;= \sqrt {{6^2}} + \sqrt {{5^2}} = 6 + 5 = 11\)
\(N = \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}^2}} - \sqrt 5 \)
\(\;\;\;\;\;= \left| {\sqrt 5 - 1} \right| - \sqrt 5\)
\(\;\;\;\;\; = \sqrt 5 - 1 - \sqrt 5 \)
\(\;\;\;\;\;= - 1\,\,\left( {Do\,\sqrt 5 - 1 > 0\,\,} \right)\)
2. Cho biểu thức \(P = 1 + \dfrac{{x - \sqrt x }}{{\sqrt x - 1}},\) với \(x \ge 0\) và \(x \ne 1\)
a) Rút gọn biểu thức P
Với \(x \ge 0\) và \(x \ne 1\) ta có:
\(\begin{array}{l}P = 1 + \dfrac{{x - \sqrt x }}{{\sqrt x - 1}}\\\,\,\,\,\, = 1 + \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\sqrt x - 1}}\\\,\,\,\,\, = 1 + \sqrt x \end{array}\)
b) Tìm giá trị của x, biết P > 3
\(P > 3 \Leftrightarrow 1 + \sqrt x > 3 \Leftrightarrow \sqrt x > 2 \Leftrightarrow x > 4\)
Kết hợp với điều kiện: \(x \ge 0\) và \(x \ne 1\) ta được \(x > 4\)
Vậy với \(x > 4\) thì \(P > 3\)
Câu 2:
1) Cho parabol \(\left( P \right):\;\;y = {x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):\;\;y = - x + 2.\)
a) Vẽ \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\) trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy.
+) Vẽ đồ thị hàm số: \(\left( d \right):\;\;y = - x + 2.\)
\(x\) | \(0\) | \(2\) |
\(y = - x + 2\) | \(2\) | \(0\) |
+) Vẽ đồ thị hàm số: \(\left( P \right):\;\;y = {x^2}.\)
\(x\) | \( - 2\) | \( - 1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
\(y = {x^2}\) | \(4\) | \(1\) | \(0\) | \(1\) | \(4\) |
Đồ thị hàm số:
b) Tìm tọa độ giao điểm của parabol \(\left( P \right)\) và đường thẳng \(\left( d \right)\) bằng phép tính.
Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm.
Ta có phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:
\(\begin{array}{l}\;\;\; - x + 2 = {x^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} + x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + 2x - x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x + 2} \right) - \left( {x + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 2 = 0\\x - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2 \Rightarrow y = 4\\x = 1 \Rightarrow y = 1\end{array} \right..\end{array}\)
Vậy hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm phân biệt \(A\left( { - 2;\;4} \right)\) và \(B\left( {1;\;1} \right).\)
2) Không sử dụng máy tính, giải hệ phương trình sau: \(\left\{ \begin{array}{l}3x + y = 5\\2x - y = 10\end{array} \right..\)
\(\left\{ \begin{array}{l}3x + y = 5\\2x - y = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2x - 10\\5x = 15\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 2.3 - 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = - 4\end{array} \right..\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất: \(\left( {x;\;y} \right) = \left( {3; - 4} \right).\)
Câu 3:
1) Cho phương trình \({x^2} - 2mx + 2m - 1 = 0\) (m là tham số) (1)
a) Giải phương trình (1) với \(m = 2.\)
Thay \(m = 2\) vào phương trình \(\left( 1 \right)\) ta được:
\(\begin{array}{l}\left( 1 \right) \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 3 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - 3x - x + 3 = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x - 3} \right) - \left( {x - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\x - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 3\end{array} \right..\end{array}\)
Vậy với \(m = 2\) thì phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ {1;\;3} \right\}.\)
b) Tìm \(m\) để phương trình (1) có hai nghiệm \({x_1},\;{x_2}\) sao cho: \(\left( {x_1^2 - 2m{x_1} + 3} \right)\left( {x_2^2 - 2m{x_2} - 2} \right) = 50.\)
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta ' > 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 1 > 0\\ \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} > 0\\ \Leftrightarrow m - 1 \ne 0\\ \Leftrightarrow m \ne 1.\end{array}\)
Với \(m \ne 1\) thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\;\;{x_2}.\)
Khi đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x_1^2 - 2m{x_1} + 2m - 1 = 0\\x_1^2 - 2m{x_1} + 2m - 1 = 0\end{array} \right..\)
Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}{x_2} = 2m - 1\end{array} \right..\)
Theo đề bài ta có: \(\left( {x_1^2 - 2m{x_1} + 3} \right)\left( {x_2^2 - 2m{x_2} - 2} \right) = 50\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {x_1^2 - 2m{x_1} + 2m - 1 - 2m + 4} \right)\left( {x_2^2 - 2m{x_2} + 2m - 1 - 2m - 1} \right) = 50\\ \Leftrightarrow \left( {4 - 2m} \right)\left( { - 2m - 1} \right) = 50\\ \Leftrightarrow \left( {2m - 4} \right)\left( {2m + 1} \right) = 50\\ \Leftrightarrow \left( {m - 2} \right)\left( {2m + 1} \right) = 25\\ \Leftrightarrow 2{m^2} + m - 4m - 2 = 25\\ \Leftrightarrow 2{m^2} - 3m - 27 = 0\\ \Leftrightarrow 2{m^2} - 9m + 6m - 27 = 0\\ \Leftrightarrow m\left( {2m - 9} \right) + 3\left( {2m - 9} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {2m - 9} \right)\left( {m + 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2m - 9 = 0\\m + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \dfrac{9}{2}\;\;\left( {tm} \right)\\m = - 3\;\;\left( {tm} \right)\end{array} \right..\end{array}\)
Vậy \(m = \dfrac{9}{2}\) và \(m = - 3\) thỏa mãn điều kiện bài toán.
2) Quãng đường AB dài 50 km. Hai xe máy khởi hành cùng một lúc từ A đến B. Vận tốc xe thứ nhất lớn hơn vận tốc xe thứ hai 10 km/h, nên xe thứ nhất đến B trước xe thứ hai 15 phút. Tính vận tốc của mỗi xe.
Gọi vận tốc của xe thứ nhất là \(x\;\left( {km/h} \right)\;\;\left( {x > 10} \right).\)
\( \Rightarrow \) Vận tốc của xe thứ hai là: \(x - 10\;\;\left( {km/h} \right).\)
Thời gian xe thứ nhất đi từ A đến B là \(\dfrac{{50}}{x}\,\,\left( h \right)\) ;
Thời gian xe thứ hai đi từ A đến B là: \(\dfrac{{50}}{{x - 10}}\;\;\left( h \right).\)
Vì xe thứ nhất đến B trước xe thứ hai 15 phút = \(\dfrac{1}{4}h\) nên ta có phương trình: \(\dfrac{{50}}{{x - 10}} - \dfrac{{50}}{x} = \dfrac{1}{4}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4.50.x - 4.50\left( {x - 10} \right) = x\left( {x - 10} \right)\\ \Leftrightarrow 200x - 200x + 2000 = {x^2} - 10x\\ \Leftrightarrow {x^2} - 10x - 2000 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - 50x + 40x - 2000 = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x - 50} \right) + 40\left( {x - 50} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 50} \right)\left( {x + 40} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 50 = 0\\x + 40 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 50\;\;\left( {tm} \right)\\x = - 40\;\;\left( {ktm} \right)\end{array} \right..\end{array}\)
Vậy vận tốc của xe thứ nhất là \(50\;km/h\) và vận tốc xe thứ hai là \(50 - 10 = 40\;km/h.\)
Câu 4.
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH \(\left( {H \in BC} \right)\) . Biết AC = 8cm và BC = 10 cm. Tính độ dài AB, BH, CH và AH.
+) Tính AB
Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông ABC vuông tại A ta có: \(\begin{array}{l}A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\\ \Rightarrow A{B^2} = B{C^2} - A{C^2} = {10^2} - {8^2} = 36\\ \Rightarrow AB = 6\left( {cm} \right)\end{array}\)
+) Tính BH
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC có: \(A{B^2} = BH.BC\)
\(\Rightarrow BH = \dfrac{{A{B^2}}}{{BC}} = \dfrac{{{6^2}}}{{10}} = 3,6\left( {cm} \right)\)
+) Tính CH
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC có: \(A{C^2} = CH.BC \)
\(\Rightarrow CH = \dfrac{{A{C^2}}}{{BC}} = \dfrac{{{8^2}}}{{10}} = 6,4\left( {cm} \right)\)
+) Tính AH
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC ta có: \(A{H^2} = BH.CH = 3,6.6,4 = 23,04\) \( \Rightarrow AH = 4,8\left( {cm} \right)\)
Câu 5.
a) Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp.
Ta có \(\widehat {OAM} = \widehat {OBM} = {90^0}\) (Do MA, MB là tiếp tuyến của đường tròn (O))
Xét tứ giác OAMB có: \(\widehat {OAM} + \widehat {OBM} = {90^0} + {90^0} = {180^0} \Rightarrow \) Tứ giác OAMB là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800).
b) Chứng minh \(M{B^2} = MC.MD\)
Xét tam giác MBC và tam giác MDB có:
\(\widehat {BMD}\) chung;
\(\widehat {MBC} = \widehat {MDB}\) (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung BC)
\( \Rightarrow \Delta MBC \sim \Delta MDB\,\,\left( {g.g} \right) \)
\(\Rightarrow \dfrac{{MB}}{{MD}} = \dfrac{{MC}}{{MB}}\)
\(\Rightarrow M{B^2} = MC.MD\)
c) Gọi H là giao điểm của AB và OM. Chứng minh AB là phân giác của \(\widehat {CHD}\).
Ta có \(MA = MB\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) \( \Rightarrow M\) thuộc trung trực của AB;
\(OA = OB\,\,\left( { = R} \right) \Rightarrow O\) thuộc trung trực của AB;
\( \Rightarrow OM\)là trung trực của AB \( \Rightarrow OM \bot AB\)
Xét tam giác vuông OMB có \(M{B^2} = MH.MO\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông).
Mà \(M{B^2} = MC.MD\,\,\left( {cmt} \right) \)
\(\Rightarrow MH.MO = MC.MD\)
\(\Rightarrow \dfrac{{MC}}{{MO}} = \dfrac{{MH}}{{MD}}\)
Xét tam giác MCH và MOD có :
\(\widehat {OMD}\) chung ;
\(\dfrac{{MC}}{{MO}} = \dfrac{{MH}}{{MD}}\,\,\,\left( {cmt} \right)\); \(\Delta MCH \sim \Delta MOD\,\,\left( {c.g.c} \right) \)
\(\Rightarrow \widehat {MHC} = \widehat {MDO}\)
(hai góc tương ứng) (1).
Mà \(\widehat {MHC} + \widehat {OHC} = {180^0}\) \( \Rightarrow \widehat {MDO} + \widehat {OHC} = {180^0} \Rightarrow \) Tứ giác OHCD là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800).
\( \Rightarrow \widehat {OHD} = \widehat {OCD}\) (2) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung OD).
Mà \(\widehat {OCD} = \widehat {ODC} = \widehat {MDO}\) (3) (tam giác OCD cân tại O);
Từ (1), (2) và (3) \( \Rightarrow \widehat {MHC} = \widehat {OHD}\).
\( \Rightarrow {90^0} - \widehat {MHC} = {90^0} - \widehat {OHD} \) \(\Rightarrow \widehat {CHB} = \widehat {BHD}\).
Vậy HB là tia phân giác của góc CHD hay AB là tia phân giác của góc CHD.
Đề thi vào lớp 10 môn Toán đóng vai trò quan trọng trong việc xét tuyển vào các trường THPT chuyên và các trường có yêu cầu cao về môn Toán. Việc luyện tập với các đề thi thử, đặc biệt là các đề thi có cấu trúc tương tự như đề thi chính thức, là một phương pháp ôn tập hiệu quả.
Đề thi vào lớp 10 môn Toán thường bao gồm các dạng bài tập sau:
Đề số 3 bao gồm các câu hỏi trắc nghiệm và tự luận, tập trung vào các kiến thức trọng tâm của chương trình Toán lớp 9. Đề thi có độ khó vừa phải, phù hợp với đa số học sinh. Dưới đây là phân tích chi tiết một số câu hỏi trong đề:
Phương trình bậc hai là một trong những kiến thức cơ bản và quan trọng trong chương trình Đại số lớp 9. Để giải phương trình bậc hai, học sinh cần nắm vững các công thức nghiệm và các phương pháp giải khác nhau.
Tam giác đồng dạng là một khái niệm quan trọng trong chương trình Hình học lớp 9. Để chứng minh hai tam giác đồng dạng, học sinh cần nắm vững các trường hợp đồng dạng và các định lý liên quan.
Diện tích hình tròn là một công thức cơ bản trong chương trình Hình học lớp 9. Để tính diện tích hình tròn, học sinh cần nắm vững công thức và các đơn vị đo diện tích.
loigiai.com.vn cung cấp hướng dẫn giải chi tiết cho từng câu hỏi trong Đề số 3. Các hướng dẫn giải này được trình bày một cách rõ ràng, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán.
Ngoài Đề số 3, loigiai.com.vn còn cung cấp nhiều đề thi thử khác vào lớp 10 môn Toán. Học sinh nên luyện tập với nhiều đề thi khác nhau để làm quen với các dạng bài tập và rèn luyện kỹ năng giải toán.
Để ôn thi Toán lớp 9 hiệu quả, học sinh có thể tham khảo các tài liệu sau:
Đề số 3 - Đề thi vào lớp 10 môn Toán là một tài liệu ôn tập hữu ích cho học sinh. Việc luyện tập với đề thi này và các đề thi khác sẽ giúp học sinh tự tin hơn khi bước vào kỳ thi tuyển sinh lớp 10.
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Khám phá thế giới phân dạng, từ hình học trừu tượng đến ứng dụng trong nghệ thuật và tự nhiên. Tìm hiểu cách phân dạng tạo ra vẻ đẹp vô hạn!
Bạn đã bao giờ gặp một điều nghe có vẻ vô lý nhưng lại chứa đựng sự thật? Khám phá thế giới Paradox - những mâu thuẫn thú vị giúp bạn nhìn nhận cuộc sống dưới một góc độ mới lạ. Đọc ngay!
Khám phá 'Tên của trò chơi là bắt cóc' - cuốn sách hấp dẫn đưa bạn vào thế giới ngầm đầy rẫy những kẻ ác. Đánh giá chi tiết, phân tích sâu sắc và lý do bạn nên đọc ngay!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán lớp 1 khó nhất! Hướng dẫn phụ huynh cách hỗ trợ con học toán hiệu quả, tạo hứng thú và đạt kết quả tốt nhất. Khám phá các mẹo học tập thông minh!
Review sách 'Dữ liệu tử thần' của Jeffery Deaver. Khám phá cách tội phạm sử dụng thông tin cá nhân và học cách bảo vệ dữ liệu của bạn ngay hôm nay!
