Loigiai.com.vn cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho mục 1 trang 25, 26, 27 của Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo. Chúng tôi giúp học sinh hiểu rõ các khái niệm, phương pháp giải bài tập và rèn luyện kỹ năng giải quyết vấn đề.
Với đội ngũ giáo viên giàu kinh nghiệm, loigiai.com.vn cam kết mang đến cho bạn những giải pháp học tập hiệu quả nhất.
Tìm phép biến hình biến \(\Delta \)BAC thành \(\Delta \)BA’C’ (Hình 1).
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tọa độ của các điểm là ảnh của điểm \(M\left( {\sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right)\) lần lượt qua các phép quay \({Q_{\left( {O,{\rm{ }}45^\circ } \right)}},{\rm{ }}{Q_{\left( {O,{\rm{ }}90^\circ } \right)}},{\rm{ }}{Q_{\left( {O,{\rm{ }}180^\circ } \right)}},{\rm{ }}{Q_{\left( {O,{\rm{ }}360^\circ } \right)}}.\)
Phương pháp giải:
Phép quay tâm O, góc quay :
Khi đó, \(\left\{ \begin{array}{l}x' = x\cos \alpha - y\sin \alpha \\y' = x\sin \alpha + y\cos \alpha \end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết:
Ta có \(\overrightarrow {OM} = \left( {\sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right)\). Suy ra OM = 2.
Vẽ đường tròn (C) tâm O bán kính OM.
⦁ Ảnh của điểm \(M\left( {\sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right)\) qua phép quay \({Q_{\left( {O,{\rm{ }}45^\circ } \right)}}\)
Ta có \({Q_{\left( {O,{\rm{ }}45^\circ } \right)}}\) biến điểm M khác O thành điểm M1 sao cho \(O{M_1}\; = {\rm{ }}OM{\rm{ }} = {\rm{ }}2\)và \((OM,{\rm{ }}O{M_1}){\rm{ }} = {\rm{ }}45^\circ \) nên \(\widehat {MO{M_1}} = 45^\circ \)
Kẻ \(MH \bot Ox\) tại H.
Tam giác OMH vuông tại H: \(\cos \widehat {MOH} = \frac{{OH}}{{OM}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
Suy ra \(\widehat {MOH} = 45^\circ \)
Ta có \(\widehat {HO{M_1}} = \widehat {HOM} + \widehat {MO{M_1}} = 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ \)
Suy ra \({M_1}\; \in {\rm{ }}Oy\) nên \({x_{{M_1}}} = 0\)
Mà \(O{M_1}\; = {\rm{ }}2\) (chứng minh trên) nên tọa độ \({M_1}\left( {0;{\rm{ }}2} \right).\)
⦁ Ảnh của điểm \(M\left( {\sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right)\) qua phép quay \({Q_{\left( {O,{\rm{ }}90^\circ } \right)}}\)
Ta có \({Q_{\left( {O,{\rm{ }}90^\circ } \right)}}\) biến điểm M khác O thành điểm M2 sao cho \(O{M_2}\; = {\rm{ }}OM{\rm{ }} = {\rm{ }}2\)và \((OM,{\rm{ }}O{M_2}){\rm{ }} = {\rm{ }}90^\circ \) nên \(\widehat {MO{M_2}} = 90^\circ \).
Suy ra tam giác \(MO{M_2}\) vuông cân tại O.
Ta có \(\widehat {{M_1}O{M_2}} = \widehat {MO{M_2}} - \widehat {MO{M_1}} = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ \)
Suy ra \(\widehat {MO{M_1}} = \widehat {{M_1}O{M_2}} = 45^\circ \)
Khi đó tam giác MOM2 có OM1 là đường phân giác.
Vì vậy OM1 cũng là đường trung trực của tam giác MOM2 hay Oy là đường trung trực của tam giác MOM2.
Suy ra M2 là ảnh của điểm M qua phép đối xứng trục Oy.
Do đó hai điểm \(M\left( {\sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right)\) và M2 có cùng tung độ và có hoành độ đối nhau.
Vậy tọa độ \({M_2}\left( { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right)\)
⦁ Ảnh của điểm \(M\left( {\sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right)\) qua phép quay \({Q_{(O,{\rm{ }}180^\circ )}}\)
Ta có \({Q_{(O,{\rm{ }}180^\circ )}}\) biến điểm M khác O thành điểm M3 sao cho \(O{M_3}\; = {\rm{ }}OM{\rm{ }} = {\rm{ }}2\)và \((OM,{\rm{ }}O{M_3}){\rm{ }} = {\rm{ }}180^\circ \) nên \(\widehat {MO{M_3}} = 180^\circ \)
Suy ra O là trung điểm của MM3.
Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}{x_O} = \frac{{{x_M} + {x_{{M_3}}}}}{2}\\{y_O} = \frac{{{y_M} + {y_{{M_3}}}}}{2}\end{array} \right.\)
Vì vậy \(\left\{ \begin{array}{l}{x_{{M_3}}} = 2{x_O} - {x_M} = 2.0 - \sqrt 2 = - \sqrt 2 \\{y_{{M_3}}} = 2{y_O} - {y_M} = 2.0 - \sqrt 2 = - \sqrt 2 \end{array} \right.\)
Vậy tọa độ \({M_3}\left( { - \sqrt 2 ; - \sqrt 2 } \right)\)
⦁ Ảnh của điểm \(M\left( {\sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right)\) qua phép quay \({Q_{(O,{\rm{ }}360^\circ )}}\)
Ta có \({Q_{(O,{\rm{ }}360^\circ )}}\) biến điểm M khác O thành điểm M4 sao cho \(O{M_4}\; = {\rm{ }}OM{\rm{ }} = {\rm{ }}2\)và \((OM,{\rm{ }}O{M_4}){\rm{ }} = {\rm{ }}360^\circ \) nên \(\widehat {MO{M_4}} = 360^\circ \)
Tức là, \({M_4}\; \equiv M.\)
Vậy tọa độ \({M_4}\left( {\sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right)\).
Một con tàu đang di chuyển theo hướng bắc. Người lái tàu phải thực hiện phép quay nào trên bánh lái để con tàu:
a) rẽ sang hướng tây?
b) rẽ sang hướng đông?
Phương pháp giải:
Quan sát hình 5 và dựa vào đề bài để tìm góc quay φ
Lời giải chi tiết:
a) Để con tàu rẽ sang hướng tây, người lái tàu phải thực hiện phép quay với tâm là tâm của bánh lái và góc quay φ = 90°.
b) Để con tàu rẽ sang hướng đông, người lái tàu phải thực hiện phép quay với tâm là tâm của bánh lái và góc quay φ = –90°.
a) Tìm phép biến hình biến \(\Delta \)BAC thành \(\Delta \)BA’C’ (Hình 1).
b) Trong mặt phẳng, cho điểm O cố định (Hình 2).
Gọi f là quy tắc ứng với mỗi điểm M trùng O cho ta điểm O và ứng với điểm M khác O cho ta một điểm M’ xác định như sau:
– Dùng compa vẽ đường tròn (C) tâm O bán kính OM.
– Trên (C) chọn điểm M’ sao cho góc lượng giác (OM, OM’) bằng 60°.
Quy tắc f có phải là một phép biến hình không?
Hãy vẽ điểm M’ theo quy tắc trên nếu thay góc 60° bởi góc –30°.
Phương pháp giải:
Phép biến hình f trong mặt phẳng là một quy tắc cho tương ứng với mỗi điểm M với duy nhất một điểm M’. Điểm M’ được gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình f, kí hiệu \(M' = f(M)\).
Lời giải chi tiết:
a) Để tìm phép biến hình biến ∆BAC thành ∆BA’C’, ta tìm phép biến hình biến điểm B thành chính nó, biến điểm A thành điểm A’, biến điểm C thành điểm C’.
Với \(\;A\left( {-7;{\rm{ }}4} \right),{\rm{ }}B\left( {-2;{\rm{ }}3} \right),{\rm{ }}C\left( {-5;{\rm{ }}0} \right),{\rm{ }}A'\left( {-3;{\rm{ }}-2} \right),{\rm{ }}C'\left( {1;{\rm{ }}0} \right),\) ta có:
\(\overrightarrow {BA} = \left( { - 5;1} \right),\overrightarrow {BA'} = \left( { - 1; - 5} \right),\overrightarrow {AA'} = \left( {4; - 6} \right)\)
Suy ra \(BA = BA' = \sqrt {26} ;\,AA' = 2\sqrt {13} \)
Khi đó \(\cos \widehat {ABA'} = \frac{{B{A^2} + BA{'^2} - AA{'^2}}}{{2.BA.BA'}} = \frac{{26 + 26 - {{\left( {2\sqrt {13} } \right)}^2}}}{{2.\sqrt {26} .\sqrt {26} }} = 0\)
Vì vậy \(\left( {BA,BA'} \right) = \widehat {ABA'} = 90^\circ \)
Suy ra phép biến hình biến đoạn thẳng BA thành đoạn thẳng BA’ là phép biến hình biến điểm B thành điểm B, biến điểm A thành điểm A’ sao cho BA’ = BA và góc lượng giác \(\left( {BA,{\rm{ }}BA'} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}90^\circ {\rm{ }}\left( 1 \right)\)
Thực hiện tương tự, ta được \(BC = BC' = 3\sqrt 2 ;\,\left( {BC,B{C'}} \right) = 90^\circ \)
Suy ra phép biến hình biến đoạn thẳng BC thành đoạn thẳng BC’ là phép biến hình biến điểm B thành điểm B, biến điểm C thành điểm C’ sao cho BC’ = BC và góc lượng giác \(\left( {BC,{\rm{ }}BC'} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}90^\circ {\rm{ }}\left( 2 \right)\)
Từ (1), (2), ta thu được phép biến hình biến ∆BAC thành ∆BA’C’ là phép biến hình biến điểm B thành chính nó, biến điểm A thành điểm A’ sao cho và góc lượng giác \(\left( {BA,{\rm{ }}BA'} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}90^\circ \) và biến điểm C thành điểm C’ sao cho \(BC'{\rm{ }} = {\rm{ }}BC\) và góc lượng giác \(\left( {BC,{\rm{ }}BC'} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}90^\circ .\)
b) Đặt \({\rm{ }}f\left( M \right){\rm{ }} = {\rm{ }}M'.\) Trong đó, M’ là điểm nằm trên (C) sao cho góc lượng giác \(\left( {OM,{\rm{ }}OM'} \right)\) bằng 60°.
Ta thấy f là một quy tắc sao cho ứng với mỗi điểm M đều xác định duy nhất một điểm M’.
Vậy f là một phép biến hình.
Cách vẽ điểm M’ theo quy tắc trên với góc lượng giác (OM, OM’) bằng –30°:
– Dùng compa vẽ đường tròn (C) tâm O bán kính OM.
– Trên (C) chọn điểm M’ sao cho góc lượng giác (OM, OM’) bằng –30°.
Ta có hình vẽ sau:
a) Tìm phép biến hình biến \(\Delta \)BAC thành \(\Delta \)BA’C’ (Hình 1).
b) Trong mặt phẳng, cho điểm O cố định (Hình 2).
Gọi f là quy tắc ứng với mỗi điểm M trùng O cho ta điểm O và ứng với điểm M khác O cho ta một điểm M’ xác định như sau:
– Dùng compa vẽ đường tròn (C) tâm O bán kính OM.
– Trên (C) chọn điểm M’ sao cho góc lượng giác (OM, OM’) bằng 60°.
Quy tắc f có phải là một phép biến hình không?
Hãy vẽ điểm M’ theo quy tắc trên nếu thay góc 60° bởi góc –30°.
Phương pháp giải:
Phép biến hình f trong mặt phẳng là một quy tắc cho tương ứng với mỗi điểm M với duy nhất một điểm M’. Điểm M’ được gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình f, kí hiệu \(M' = f(M)\).
Lời giải chi tiết:
a) Để tìm phép biến hình biến ∆BAC thành ∆BA’C’, ta tìm phép biến hình biến điểm B thành chính nó, biến điểm A thành điểm A’, biến điểm C thành điểm C’.
Với \(\;A\left( {-7;{\rm{ }}4} \right),{\rm{ }}B\left( {-2;{\rm{ }}3} \right),{\rm{ }}C\left( {-5;{\rm{ }}0} \right),{\rm{ }}A'\left( {-3;{\rm{ }}-2} \right),{\rm{ }}C'\left( {1;{\rm{ }}0} \right),\) ta có:
\(\overrightarrow {BA} = \left( { - 5;1} \right),\overrightarrow {BA'} = \left( { - 1; - 5} \right),\overrightarrow {AA'} = \left( {4; - 6} \right)\)
Suy ra \(BA = BA' = \sqrt {26} ;\,AA' = 2\sqrt {13} \)
Khi đó \(\cos \widehat {ABA'} = \frac{{B{A^2} + BA{'^2} - AA{'^2}}}{{2.BA.BA'}} = \frac{{26 + 26 - {{\left( {2\sqrt {13} } \right)}^2}}}{{2.\sqrt {26} .\sqrt {26} }} = 0\)
Vì vậy \(\left( {BA,BA'} \right) = \widehat {ABA'} = 90^\circ \)
Suy ra phép biến hình biến đoạn thẳng BA thành đoạn thẳng BA’ là phép biến hình biến điểm B thành điểm B, biến điểm A thành điểm A’ sao cho BA’ = BA và góc lượng giác \(\left( {BA,{\rm{ }}BA'} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}90^\circ {\rm{ }}\left( 1 \right)\)
Thực hiện tương tự, ta được \(BC = BC' = 3\sqrt 2 ;\,\left( {BC,B{C'}} \right) = 90^\circ \)
Suy ra phép biến hình biến đoạn thẳng BC thành đoạn thẳng BC’ là phép biến hình biến điểm B thành điểm B, biến điểm C thành điểm C’ sao cho BC’ = BC và góc lượng giác \(\left( {BC,{\rm{ }}BC'} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}90^\circ {\rm{ }}\left( 2 \right)\)
Từ (1), (2), ta thu được phép biến hình biến ∆BAC thành ∆BA’C’ là phép biến hình biến điểm B thành chính nó, biến điểm A thành điểm A’ sao cho và góc lượng giác \(\left( {BA,{\rm{ }}BA'} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}90^\circ \) và biến điểm C thành điểm C’ sao cho \(BC'{\rm{ }} = {\rm{ }}BC\) và góc lượng giác \(\left( {BC,{\rm{ }}BC'} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}90^\circ .\)
b) Đặt \({\rm{ }}f\left( M \right){\rm{ }} = {\rm{ }}M'.\) Trong đó, M’ là điểm nằm trên (C) sao cho góc lượng giác \(\left( {OM,{\rm{ }}OM'} \right)\) bằng 60°.
Ta thấy f là một quy tắc sao cho ứng với mỗi điểm M đều xác định duy nhất một điểm M’.
Vậy f là một phép biến hình.
Cách vẽ điểm M’ theo quy tắc trên với góc lượng giác (OM, OM’) bằng –30°:
– Dùng compa vẽ đường tròn (C) tâm O bán kính OM.
– Trên (C) chọn điểm M’ sao cho góc lượng giác (OM, OM’) bằng –30°.
Ta có hình vẽ sau:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tọa độ của các điểm là ảnh của điểm \(M\left( {\sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right)\) lần lượt qua các phép quay \({Q_{\left( {O,{\rm{ }}45^\circ } \right)}},{\rm{ }}{Q_{\left( {O,{\rm{ }}90^\circ } \right)}},{\rm{ }}{Q_{\left( {O,{\rm{ }}180^\circ } \right)}},{\rm{ }}{Q_{\left( {O,{\rm{ }}360^\circ } \right)}}.\)
Phương pháp giải:
Phép quay tâm O, góc quay :
Khi đó, \(\left\{ \begin{array}{l}x' = x\cos \alpha - y\sin \alpha \\y' = x\sin \alpha + y\cos \alpha \end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết:
Ta có \(\overrightarrow {OM} = \left( {\sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right)\). Suy ra OM = 2.
Vẽ đường tròn (C) tâm O bán kính OM.
⦁ Ảnh của điểm \(M\left( {\sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right)\) qua phép quay \({Q_{\left( {O,{\rm{ }}45^\circ } \right)}}\)
Ta có \({Q_{\left( {O,{\rm{ }}45^\circ } \right)}}\) biến điểm M khác O thành điểm M1 sao cho \(O{M_1}\; = {\rm{ }}OM{\rm{ }} = {\rm{ }}2\)và \((OM,{\rm{ }}O{M_1}){\rm{ }} = {\rm{ }}45^\circ \) nên \(\widehat {MO{M_1}} = 45^\circ \)
Kẻ \(MH \bot Ox\) tại H.
Tam giác OMH vuông tại H: \(\cos \widehat {MOH} = \frac{{OH}}{{OM}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
Suy ra \(\widehat {MOH} = 45^\circ \)
Ta có \(\widehat {HO{M_1}} = \widehat {HOM} + \widehat {MO{M_1}} = 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ \)
Suy ra \({M_1}\; \in {\rm{ }}Oy\) nên \({x_{{M_1}}} = 0\)
Mà \(O{M_1}\; = {\rm{ }}2\) (chứng minh trên) nên tọa độ \({M_1}\left( {0;{\rm{ }}2} \right).\)
⦁ Ảnh của điểm \(M\left( {\sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right)\) qua phép quay \({Q_{\left( {O,{\rm{ }}90^\circ } \right)}}\)
Ta có \({Q_{\left( {O,{\rm{ }}90^\circ } \right)}}\) biến điểm M khác O thành điểm M2 sao cho \(O{M_2}\; = {\rm{ }}OM{\rm{ }} = {\rm{ }}2\)và \((OM,{\rm{ }}O{M_2}){\rm{ }} = {\rm{ }}90^\circ \) nên \(\widehat {MO{M_2}} = 90^\circ \).
Suy ra tam giác \(MO{M_2}\) vuông cân tại O.
Ta có \(\widehat {{M_1}O{M_2}} = \widehat {MO{M_2}} - \widehat {MO{M_1}} = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ \)
Suy ra \(\widehat {MO{M_1}} = \widehat {{M_1}O{M_2}} = 45^\circ \)
Khi đó tam giác MOM2 có OM1 là đường phân giác.
Vì vậy OM1 cũng là đường trung trực của tam giác MOM2 hay Oy là đường trung trực của tam giác MOM2.
Suy ra M2 là ảnh của điểm M qua phép đối xứng trục Oy.
Do đó hai điểm \(M\left( {\sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right)\) và M2 có cùng tung độ và có hoành độ đối nhau.
Vậy tọa độ \({M_2}\left( { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right)\)
⦁ Ảnh của điểm \(M\left( {\sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right)\) qua phép quay \({Q_{(O,{\rm{ }}180^\circ )}}\)
Ta có \({Q_{(O,{\rm{ }}180^\circ )}}\) biến điểm M khác O thành điểm M3 sao cho \(O{M_3}\; = {\rm{ }}OM{\rm{ }} = {\rm{ }}2\)và \((OM,{\rm{ }}O{M_3}){\rm{ }} = {\rm{ }}180^\circ \) nên \(\widehat {MO{M_3}} = 180^\circ \)
Suy ra O là trung điểm của MM3.
Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}{x_O} = \frac{{{x_M} + {x_{{M_3}}}}}{2}\\{y_O} = \frac{{{y_M} + {y_{{M_3}}}}}{2}\end{array} \right.\)
Vì vậy \(\left\{ \begin{array}{l}{x_{{M_3}}} = 2{x_O} - {x_M} = 2.0 - \sqrt 2 = - \sqrt 2 \\{y_{{M_3}}} = 2{y_O} - {y_M} = 2.0 - \sqrt 2 = - \sqrt 2 \end{array} \right.\)
Vậy tọa độ \({M_3}\left( { - \sqrt 2 ; - \sqrt 2 } \right)\)
⦁ Ảnh của điểm \(M\left( {\sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right)\) qua phép quay \({Q_{(O,{\rm{ }}360^\circ )}}\)
Ta có \({Q_{(O,{\rm{ }}360^\circ )}}\) biến điểm M khác O thành điểm M4 sao cho \(O{M_4}\; = {\rm{ }}OM{\rm{ }} = {\rm{ }}2\)và \((OM,{\rm{ }}O{M_4}){\rm{ }} = {\rm{ }}360^\circ \) nên \(\widehat {MO{M_4}} = 360^\circ \)
Tức là, \({M_4}\; \equiv M.\)
Vậy tọa độ \({M_4}\left( {\sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right)\).
Một con tàu đang di chuyển theo hướng bắc. Người lái tàu phải thực hiện phép quay nào trên bánh lái để con tàu:
a) rẽ sang hướng tây?
b) rẽ sang hướng đông?
Phương pháp giải:
Quan sát hình 5 và dựa vào đề bài để tìm góc quay φ
Lời giải chi tiết:
a) Để con tàu rẽ sang hướng tây, người lái tàu phải thực hiện phép quay với tâm là tâm của bánh lái và góc quay φ = 90°.
b) Để con tàu rẽ sang hướng đông, người lái tàu phải thực hiện phép quay với tâm là tâm của bánh lái và góc quay φ = –90°.
Mục 1 của Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo thường tập trung vào một chủ đề cụ thể, đòi hỏi học sinh nắm vững lý thuyết và áp dụng linh hoạt vào giải bài tập. Việc hiểu rõ bản chất của vấn đề là yếu tố then chốt để đạt kết quả tốt.
Mục 1 thường bao gồm các nội dung sau:
Để giải tốt các bài tập trong Mục 1, học sinh cần:
(Nội dung bài tập 1 và lời giải chi tiết)
Ví dụ: Bài tập yêu cầu tính giới hạn của một hàm số. Để giải bài tập này, học sinh cần áp dụng các quy tắc tính giới hạn và biến đổi biểu thức để đưa về dạng quen thuộc.
(Nội dung bài tập 2 và lời giải chi tiết)
Ví dụ: Bài tập yêu cầu tìm đạo hàm của một hàm số. Học sinh cần sử dụng các quy tắc tính đạo hàm và kết hợp với các kiến thức về hàm số để tìm ra đạo hàm đúng.
(Nội dung bài tập 3 và lời giải chi tiết)
Ví dụ: Bài tập yêu cầu giải phương trình lượng giác. Học sinh cần sử dụng các công thức lượng giác và biến đổi phương trình về dạng đơn giản để tìm ra nghiệm.
Để học tập hiệu quả và giải bài tập tốt, học sinh cần:
Việc giải mục 1 trang 25, 26, 27 Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo đòi hỏi sự kiên trì, nỗ lực và phương pháp học tập đúng đắn. Hy vọng với những hướng dẫn và lời giải chi tiết trên, loigiai.com.vn đã giúp bạn tự tin hơn trong quá trình học tập và giải toán.
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Khám phá thế giới phân dạng, từ hình học trừu tượng đến ứng dụng trong nghệ thuật và tự nhiên. Tìm hiểu cách phân dạng tạo ra vẻ đẹp vô hạn!
Bạn đã bao giờ gặp một điều nghe có vẻ vô lý nhưng lại chứa đựng sự thật? Khám phá thế giới Paradox - những mâu thuẫn thú vị giúp bạn nhìn nhận cuộc sống dưới một góc độ mới lạ. Đọc ngay!
Khám phá 'Tên của trò chơi là bắt cóc' - cuốn sách hấp dẫn đưa bạn vào thế giới ngầm đầy rẫy những kẻ ác. Đánh giá chi tiết, phân tích sâu sắc và lý do bạn nên đọc ngay!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán lớp 1 khó nhất! Hướng dẫn phụ huynh cách hỗ trợ con học toán hiệu quả, tạo hứng thú và đạt kết quả tốt nhất. Khám phá các mẹo học tập thông minh!
Review sách 'Dữ liệu tử thần' của Jeffery Deaver. Khám phá cách tội phạm sử dụng thông tin cá nhân và học cách bảo vệ dữ liệu của bạn ngay hôm nay!
