Giải bài 5 trang 10 Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét phép biến hình h biến mỗi điểm M(x; y) thành điểm M’(x; y), trong đó

\(\left\{ \begin{array}{l}x' = \frac{{\sqrt 2 }}{2}x - \frac{{\sqrt 2 }}{2}y\\y' = \frac{{\sqrt 2 }}{2}x + \frac{{\sqrt 2 }}{2}y\end{array} \right.\)

Hãy chứng minh h là một phép dời hình.

Lời giải chi tiết

Lấy hai điểm bất kì \(M({x_1};{y_1})\), \(N({x_2};{y_2})\).

Suy ra \(MN = \sqrt {{{\left( {{{\rm{x}}_2} - {{\rm{x}}_1}} \right)}^2} + {{\left( {{{\rm{y}}_2} - {{\rm{y}}_1}} \right)}^2}} \).

Ta có ảnh của M, N qua phép biến hình h là \({\rm{M'}}\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}{{\rm{x}}_1} - \frac{{\sqrt 2 }}{2}{{\rm{y}}_1};\frac{{\sqrt 2 }}{2}{{\rm{x}}_1} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}{{\rm{y}}_1}} \right)\), \({\rm{N'}}\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}{{\rm{x}}_2} - \frac{{\sqrt 2 }}{2}{{\rm{y}}_2};\frac{{\sqrt 2 }}{2}{{\rm{x}}_2} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}{{\rm{y}}_2}} \right)\).

Khi đó

\({\rm{M'N'}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}{{\rm{x}}_2} - \frac{{\sqrt 2 }}{2}{{\rm{y}}_2} - \frac{{\sqrt 2 }}{2}{{\rm{x}}_1} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}{{\rm{y}}_1}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}{{\rm{x}}_2} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}{{\rm{y}}_2} - \frac{{\sqrt 2 }}{2}{{\rm{x}}_1} - \frac{{\sqrt 2 }}{2}{{\rm{y}}_1}} \right)}^2}} \)

\( = \sqrt {\frac{1}{2}{{\left( {{{\rm{x}}_2} - {{\rm{y}}_2} - {{\rm{x}}_1} + {{\rm{y}}_1}} \right)}^2} + \frac{1}{2}{{\left( {{{\rm{x}}_2} + {{\rm{y}}_2} - {{\rm{x}}_1} - {{\rm{y}}_1}} \right)}^2}} \)

\( = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\sqrt {{{\left( {{{\rm{x}}_2} - {{\rm{x}}_1} - {{\rm{y}}_2} + {{\rm{y}}_1}} \right)}^2} + {{\left( {{{\rm{x}}_2} - {{\rm{x}}_1} + {{\rm{y}}_2} - {{\rm{y}}_1}} \right)}^2}} \)

\( = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\sqrt {{{\left[ {\left( {{{\rm{x}}_2} - {{\rm{x}}_1}} \right) - \left( {{{\rm{y}}_2} - {{\rm{y}}_1}} \right)} \right]}^2} + {{\left[ {\left( {{{\rm{x}}_2} - {{\rm{x}}_1}} \right) + \left( {{{\rm{y}}_2} - {{\rm{y}}_1}} \right)} \right]}^2}} \)

\( = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\sqrt {{{\left( {{{\rm{x}}_2} - {{\rm{x}}_1}} \right)}^2} - 2\left( {{{\rm{x}}_2} - {{\rm{x}}_1}} \right)\left( {{{\rm{y}}_2} - {{\rm{y}}_1}} \right) + {{\left( {{{\rm{y}}_2} - {{\rm{y}}_1}} \right)}^2} + {{\left( {{{\rm{x}}_2} - {{\rm{x}}_1}} \right)}^2} + 2\left( {{{\rm{x}}_2} - {{\rm{x}}_1}} \right)\left( {{{\rm{y}}_2} - {{\rm{y}}_1}} \right) + {{\left( {{{\rm{y}}_2} - {{\rm{y}}_1}} \right)}^2}} \)

\( = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\sqrt {2{{\left( {{{\rm{x}}_2} - {{\rm{x}}_1}} \right)}^2} + 2{{\left( {{{\rm{y}}_2} - {{\rm{y}}_1}} \right)}^2}} \)

\( = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\sqrt {2\left[ {{{\left( {{{\rm{x}}_2} - {{\rm{x}}_1}} \right)}^2} + {{\left( {{{\rm{y}}_2} - {{\rm{y}}_1}} \right)}^2}} \right]} \)

\( = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\sqrt 2 \sqrt {{{\left( {{{\rm{x}}_2} - {{\rm{x}}_1}} \right)}^2} + {{\left( {{{\rm{y}}_2} - {{\rm{y}}_1}} \right)}^2}} \)

\( = \sqrt {{{\left( {{{\rm{x}}_2} - {{\rm{x}}_1}} \right)}^2} + {{\left( {{{\rm{y}}_2} - {{\rm{y}}_1}} \right)}^2}} \)

\( = MN\).

Vậy h là một phép dời hình.