Giải mục 1 trang 59, 60, 61 Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo

• Khám phá 1
• Thực hành 1

Để biểu diễn các con đường nối các giao lộ cùng với độ dài của chúng như sơ đồ ở Hình 1, một học sinh đã vẽ đồ thị như Hình 2. Chỉ ra các cạnh và số biểu diễn độ dài con đường còn thiếu trong Hình 2.

Phương pháp giải:

Quan sát hình vè để trả lời

Lời giải chi tiết:

Các cạnh còn thiếu trong Hình 2 là: EM, NF.

Các số biểu diễn độ dài con đường còn thiếu trong Hình 2 là:

⦁ 7 (biểu diễn độ dài AM, MD);

⦁ 9 (biểu diễn độ dài EM);

⦁ 6 (biểu diễn độ dài MN, CN);

⦁ 8 (biểu diễn độ dài DF, EN);

⦁ 4 (biểu diễn độ dài NF).

Đồ thị biểu diễn đầy đủ các thông tin trong Hình 1 là:

Cho đồ thị có trọng số như Hình 5.

a) Chỉ ra trọng số của các cạnh AE, MN, CN.

b) Tính độ dài của các đường đi ABEN, EMFNE.

c) Chỉ ra ba đường đi khác nhau từ A đến D và tính độ dài của chúng.

d) Đường đi EMF có phải là đường đi ngắn nhất từ E đến F không?

Phương pháp giải:

Nếu mỗi cạnh của đồ thị G được gắn với một số thực (có thể là độ dài của đường đi trên mỗi cạnh, chi phí vận chuyển trên mỗi cạnh đó,…) thì đồ thị G được gọi là đồ thị có trọng số. Trọng số của cạnh a kí hiệu là \({w_a}\).

Tổng trọng số (hay độ dài) của các cạnh tạo thành đường đi gọi là độ dài của đường đi đó. Độ dài đường đi m kí hiệu là \({l_m}\). Đường đi có độ dài ngắn nhất trong các đường đi từ đỉnh A đến đỉnh B gọi là đường đi ngắn nhất từ A đến B.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có \({w_{AE}}\; = {\rm{ }}5;{\rm{ }}{w_{MN}}\; = {\rm{ }}1;{\rm{ }}{w_{CN}}\; = {\rm{ }}2.\)

b) Ta có:

\({l_{ABEN}}\; = {\rm{ }}{w_{AB}}\; + {\rm{ }}{w_{BE}}\; + {\rm{ }}{w_{EN}}\; = {\rm{ }}3{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }} + {\rm{ }}9{\rm{ }} = {\rm{ }}14;\)

\({l_{EMFNE}}\; = {\rm{ }}{w_{EM}}\; + {\rm{ }}{w_{MF}}\; + {\rm{ }}{w_{FN}}\; + {\rm{ }}{w_{NE}}\; = {\rm{ }}3{\rm{ }} + {\rm{ }}6{\rm{ }} + {\rm{ }}4{\rm{ }} + {\rm{ }}9{\rm{ }} = {\rm{ }}22.\)

c) Ba đường đi khác nhau từ A đến D là: AMD, AENFD, ABNCD.

Ta có:

\({l_{AMD}}\; = {\rm{ }}{w_{AM}}\; + {\rm{ }}{w_{MD}}\; = {\rm{ }}4{\rm{ }} + {\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}9.\)

\({l_{AENFD}}\; = {\rm{ }}{w_{AE}}\; + {\rm{ }}{w_{EN}}\; + {\rm{ }}{w_{NF}}\; + {\rm{ }}{w_{FD}}\; = {\rm{ }}5{\rm{ }} + {\rm{ }}9{\rm{ }} + {\rm{ }}4{\rm{ }} + {\rm{ }}7{\rm{ }} = {\rm{ }}25.\)

\({l_{ABNCD}}\; = {\rm{ }}{w_{AB}}\; + {\rm{ }}{w_{BN}}\; + {\rm{ }}{w_{NC}}\; + {\rm{ }}{w_{CD}}\; = {\rm{ }}3{\rm{ }} + {\rm{ }}6{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }} + {\rm{ }}10{\rm{ }} = {\rm{ }}21.\)

Vậy ba đường đi khác nhau từ A đến D là AMD (có độ dài bằng 9), AENFD (có độ dài bằng 25), ABNCD (có độ dài bằng 21).

d) Ta có EMNF là một đường đi từ E đến F.

Mà \({l_{EMNF}}\; = {\rm{ }}{w_{EM}}\; + {\rm{ }}{w_{MN}}\; + {\rm{ }}{w_{NF}}\; = {\rm{ }}3{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} + {\rm{ }}4{\rm{ }} = {\rm{ }}8,{\rm{ }}{l_{EMF}}\; = {\rm{ }}{w_{EM}}\; + {\rm{ }}{w_{MF}}\; = {\rm{ }}3{\rm{ }} + {\rm{ }}6{\rm{ }} = {\rm{ }}9.\)

Vì 8 < 9 nên \({l_{EMNF}}\; < {\rm{ }}{l_{EMF}}.\)

Vậy đường đi EMF không phải là đường đi ngắn nhất từ E đến F.