Loigiai.com.vn cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho mục 2 trang 15, 16, 17 của Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo. Chúng tôi giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập Toán 11.
Với đội ngũ giáo viên giàu kinh nghiệm, chúng tôi cam kết mang đến những lời giải chính xác, đầy đủ và phù hợp với chương trình học.
Giả sử Đa là phép đối xứng trục qua đường thẳng a. Ta chọn hệ tọa độ Oxy sao cho trục Ox trùng với a. Lấy hai điểm tùy ý A(xA; yA) và B(xB; yB).
Cho hai điểm A, B là vị trí của hai nhà máy nằm cùng một phía bờ sông là đường thẳng d. Tìm trên bờ sông một địa điểm M để xây dựng một trạm bơm sao cho tổng chiều dài đường ống dẫn nước từ trạm bơm về hai nhà máy là ngắn nhất (Hình 7).
Phương pháp giải:
Quan sát hình 7, suy luận để tìm chiều dài đường ống dẫn là ngắn nhất.
Lời giải chi tiết:
Gọi A’ là ảnh của A qua d.
Suy ra d là đường trung trực của đoạn thẳng AA’.
Mà \(M \in d\) (giả thiết), do đó \(\;MA{\rm{ }} = {\rm{ }}MA'.\)
Vì AB cố định nên A’B cũng cố định.
Ta có \(MA{\rm{ }} + {\rm{ }}MB{\rm{ }} = {\rm{ }}MA'{\rm{ }} + {\rm{ }}MB{\rm{ }} \ge {\rm{ }}A'B\) (theo bất đẳng thức tam giác).
Suy ra MA + MB ngắn nhất khi và chỉ khi MA' + MB = A'B.
Tức là, ba điểm A’, M, B thẳng hàng hay M là giao điểm của A’B và d.
Vậy địa điểm M cần tìm là giao điểm của bờ sông (đường thẳng d) với đường thẳng A’B, trong đó A’ là ảnh của A qua d.
Giả sử Đa là phép đối xứng trục qua đường thẳng a. Ta chọn hệ tọa độ Oxy sao cho trục Ox trùng với a. Lấy hai điểm tùy ý A(xA; yA) và B(xB; yB). Gọi A’, B’ lần lượt là ảnh của A, B qua phép đối xứng trục a (Hình 3). Xác định tọa độ của A’ và B’ rồi dùng công thức tính khoảng cách để so sánh A’B’ và AB.
Phương pháp giải:
Công thức tính khoảng cách AB: \(AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2}} \)
Lời giải chi tiết:
+ Ta có A’ là ảnh của A qua
Suy ra a là đường trung trực của đoạn thẳng AA’ hay Ox là đường trung trực của đoạn thẳng AA’.
Do đó A’ đối xứng với A qua Ox nên chúng có cùng hoành độ và có tung độ đối nhau.
Vì vậy tọa độ \(A'({x_A};{\rm{ }}-{y_A}).\)
Tương tự như vậy, ta được tọa độ \(B'({x_B};{\rm{ }}-{y_B}).\)
Vậy tọa độ \(A'({x_A};{\rm{ }}-{y_A}),{\rm{ }}B'({x_B};{\rm{ }}-{y_B}).\)
+ Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A}} \right)\).
Suy ra \(AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2}} \).
Ta lại có \(\overrightarrow {A'B'} = \left( {{x_B} - {x_A}; - {y_B} + {y_A}} \right)\).
Suy ra:
\(A'B' = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( { - {y_B} + {y_A}} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2}} \).
Vậy \(A'B'{\rm{ }} = {\rm{ }}AB.\)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng \(d:{\rm{ }}x-y + 3 = 0\) và đường tròn \(\left( C \right):{\rm{ }}{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2}\; = 9.\)
a) Tìm ảnh của đường thẳng d qua \({Đ_{Oy}}.\)
b) Tìm ảnh của đường tròn (C) qua \({Đ_{Ox}}.\)
Phương pháp giải:
Nếu \(M' = {Đ_{Ox}}(M)\) thì biểu thức tọa độ \(\left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} = {x_M}\\{y_{M'}} = - {y_M}\end{array} \right.\)
Nếu\(M' = {Đ_{Oy}}(M)\) thì biểu thức tọa độ \(\left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} = - {x_M}\\{y_{M'}} = {y_M}\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết:
a) Trục \(Oy:{\rm{ }}x = 0.\)
Thế x = 0 vào phương trình d, ta được \(0{\rm{ }}-{\rm{ }}y{\rm{ }} + {\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow y{\rm{ }} = {\rm{ }}3.\)
Suy ra giao điểm của d và Oy là \(P\left( {0;{\rm{ }}3} \right).\)
Chọn điểm \(M\left( {1;{\rm{ }}4} \right) \in d:{\rm{ }}x{\rm{ }}-{\rm{ }}y{\rm{ }} + {\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)
Ta đặt \(M'{\rm{ }} = {\rm{ }}{Đ_{Oy}}\left( M \right).\)
Suy ra Oy là đường trung trực của MM’ hay M’ là điểm đối xứng với M qua Oy.
Do đó hai điểm M và M’ có cùng tung độ và có hoành độ đối nhau.
Vì vậy tọa độ điểm M’(–1; 4).
Ta có \(\overrightarrow {M'P} = \left( {1; - 1} \right)\)
Gọi d’ là ảnh của d qua \({Đ_{Oy}}.\)
Đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {M'P} = \left( {1; - 1} \right)\).
Suy ra d’ có vectơ pháp tuyến \({\vec n_{d'}} = \left( {1;1} \right)\)
Vậy đường thẳng d’ đi qua P(0; 3) và có vectơ pháp tuyến \({\vec n_{d'}} = \left( {1;1} \right)\) nên phương trình d’ là: \(1.\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}0} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}1.\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0\; \Leftrightarrow x{\rm{ }} + {\rm{ }}y{\rm{ }}-{\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\)
b) Đường tròn (C) có tâm I(–1; –2), bán kính R = 3.
Ta đặt \(I'{\rm{ }} = {\rm{ }}{Đ_{Ox}}\left( I \right).\)
Suy ra Ox là đường trung trực của II’ hay I’ đối xứng với I qua Ox
Do đó hai điểm I và I’ có cùng hoành độ và có tung độ đối nhau.
Vì vậy tọa độ điểm I’(–1; 2).
Gọi (C’) là ảnh của đường tròn (C) qua ĐOx.
Suy ra (C’) có tâm I’(–1; 2), bán kính \(R'{\rm{ }} = {\rm{ }}R{\rm{ }} = {\rm{ }}3.\)
Vậy phương trình đường tròn \(\left( {C'} \right):{\rm{ }}{\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^2}\; + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}2} \right)^2}\; = {\rm{ }}9.\)
Giả sử Đa là phép đối xứng trục qua đường thẳng a. Ta chọn hệ tọa độ Oxy sao cho trục Ox trùng với a. Lấy hai điểm tùy ý A(xA; yA) và B(xB; yB). Gọi A’, B’ lần lượt là ảnh của A, B qua phép đối xứng trục a (Hình 3). Xác định tọa độ của A’ và B’ rồi dùng công thức tính khoảng cách để so sánh A’B’ và AB.
Phương pháp giải:
Công thức tính khoảng cách AB: \(AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2}} \)
Lời giải chi tiết:
+ Ta có A’ là ảnh của A qua
Suy ra a là đường trung trực của đoạn thẳng AA’ hay Ox là đường trung trực của đoạn thẳng AA’.
Do đó A’ đối xứng với A qua Ox nên chúng có cùng hoành độ và có tung độ đối nhau.
Vì vậy tọa độ \(A'({x_A};{\rm{ }}-{y_A}).\)
Tương tự như vậy, ta được tọa độ \(B'({x_B};{\rm{ }}-{y_B}).\)
Vậy tọa độ \(A'({x_A};{\rm{ }}-{y_A}),{\rm{ }}B'({x_B};{\rm{ }}-{y_B}).\)
+ Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A}} \right)\).
Suy ra \(AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2}} \).
Ta lại có \(\overrightarrow {A'B'} = \left( {{x_B} - {x_A}; - {y_B} + {y_A}} \right)\).
Suy ra:
\(A'B' = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( { - {y_B} + {y_A}} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2}} \).
Vậy \(A'B'{\rm{ }} = {\rm{ }}AB.\)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng \(d:{\rm{ }}x-y + 3 = 0\) và đường tròn \(\left( C \right):{\rm{ }}{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2}\; = 9.\)
a) Tìm ảnh của đường thẳng d qua \({Đ_{Oy}}.\)
b) Tìm ảnh của đường tròn (C) qua \({Đ_{Ox}}.\)
Phương pháp giải:
Nếu \(M' = {Đ_{Ox}}(M)\) thì biểu thức tọa độ \(\left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} = {x_M}\\{y_{M'}} = - {y_M}\end{array} \right.\)
Nếu\(M' = {Đ_{Oy}}(M)\) thì biểu thức tọa độ \(\left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} = - {x_M}\\{y_{M'}} = {y_M}\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết:
a) Trục \(Oy:{\rm{ }}x = 0.\)
Thế x = 0 vào phương trình d, ta được \(0{\rm{ }}-{\rm{ }}y{\rm{ }} + {\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow y{\rm{ }} = {\rm{ }}3.\)
Suy ra giao điểm của d và Oy là \(P\left( {0;{\rm{ }}3} \right).\)
Chọn điểm \(M\left( {1;{\rm{ }}4} \right) \in d:{\rm{ }}x{\rm{ }}-{\rm{ }}y{\rm{ }} + {\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)
Ta đặt \(M'{\rm{ }} = {\rm{ }}{Đ_{Oy}}\left( M \right).\)
Suy ra Oy là đường trung trực của MM’ hay M’ là điểm đối xứng với M qua Oy.
Do đó hai điểm M và M’ có cùng tung độ và có hoành độ đối nhau.
Vì vậy tọa độ điểm M’(–1; 4).
Ta có \(\overrightarrow {M'P} = \left( {1; - 1} \right)\)
Gọi d’ là ảnh của d qua \({Đ_{Oy}}.\)
Đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {M'P} = \left( {1; - 1} \right)\).
Suy ra d’ có vectơ pháp tuyến \({\vec n_{d'}} = \left( {1;1} \right)\)
Vậy đường thẳng d’ đi qua P(0; 3) và có vectơ pháp tuyến \({\vec n_{d'}} = \left( {1;1} \right)\) nên phương trình d’ là: \(1.\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}0} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}1.\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0\; \Leftrightarrow x{\rm{ }} + {\rm{ }}y{\rm{ }}-{\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\)
b) Đường tròn (C) có tâm I(–1; –2), bán kính R = 3.
Ta đặt \(I'{\rm{ }} = {\rm{ }}{Đ_{Ox}}\left( I \right).\)
Suy ra Ox là đường trung trực của II’ hay I’ đối xứng với I qua Ox
Do đó hai điểm I và I’ có cùng hoành độ và có tung độ đối nhau.
Vì vậy tọa độ điểm I’(–1; 2).
Gọi (C’) là ảnh của đường tròn (C) qua ĐOx.
Suy ra (C’) có tâm I’(–1; 2), bán kính \(R'{\rm{ }} = {\rm{ }}R{\rm{ }} = {\rm{ }}3.\)
Vậy phương trình đường tròn \(\left( {C'} \right):{\rm{ }}{\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^2}\; + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}2} \right)^2}\; = {\rm{ }}9.\)
Cho hai điểm A, B là vị trí của hai nhà máy nằm cùng một phía bờ sông là đường thẳng d. Tìm trên bờ sông một địa điểm M để xây dựng một trạm bơm sao cho tổng chiều dài đường ống dẫn nước từ trạm bơm về hai nhà máy là ngắn nhất (Hình 7).
Phương pháp giải:
Quan sát hình 7, suy luận để tìm chiều dài đường ống dẫn là ngắn nhất.
Lời giải chi tiết:
Gọi A’ là ảnh của A qua d.
Suy ra d là đường trung trực của đoạn thẳng AA’.
Mà \(M \in d\) (giả thiết), do đó \(\;MA{\rm{ }} = {\rm{ }}MA'.\)
Vì AB cố định nên A’B cũng cố định.
Ta có \(MA{\rm{ }} + {\rm{ }}MB{\rm{ }} = {\rm{ }}MA'{\rm{ }} + {\rm{ }}MB{\rm{ }} \ge {\rm{ }}A'B\) (theo bất đẳng thức tam giác).
Suy ra MA + MB ngắn nhất khi và chỉ khi MA' + MB = A'B.
Tức là, ba điểm A’, M, B thẳng hàng hay M là giao điểm của A’B và d.
Vậy địa điểm M cần tìm là giao điểm của bờ sông (đường thẳng d) với đường thẳng A’B, trong đó A’ là ảnh của A qua d.
Mục 2 của Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo thường tập trung vào một chủ đề cụ thể, đòi hỏi học sinh phải nắm vững lý thuyết và áp dụng linh hoạt vào giải bài tập. Loigiai.com.vn sẽ cung cấp cho bạn lời giải chi tiết từng bài tập trong mục này, giúp bạn hiểu rõ bản chất vấn đề và cách giải quyết.
Trước khi đi vào giải bài tập, chúng ta cần nắm vững nội dung chính của Mục 2. Thông thường, mục này sẽ bao gồm các kiến thức sau:
Bài 1: (Nêu đề bài tập 1 trang 15). Lời giải: (Giải chi tiết bài tập 1, bao gồm các bước giải, giải thích rõ ràng và sử dụng các công thức liên quan).
Bài 2: (Nêu đề bài tập 2 trang 15). Lời giải: (Giải chi tiết bài tập 2, bao gồm các bước giải, giải thích rõ ràng và sử dụng các công thức liên quan).
Bài 3: (Nêu đề bài tập 3 trang 16). Lời giải: (Giải chi tiết bài tập 3, bao gồm các bước giải, giải thích rõ ràng và sử dụng các công thức liên quan).
Bài 4: (Nêu đề bài tập 4 trang 16). Lời giải: (Giải chi tiết bài tập 4, bao gồm các bước giải, giải thích rõ ràng và sử dụng các công thức liên quan).
Bài 5: (Nêu đề bài tập 5 trang 17). Lời giải: (Giải chi tiết bài tập 5, bao gồm các bước giải, giải thích rõ ràng và sử dụng các công thức liên quan).
Bài 6: (Nêu đề bài tập 6 trang 17). Lời giải: (Giải chi tiết bài tập 6, bao gồm các bước giải, giải thích rõ ràng và sử dụng các công thức liên quan).
Để giải bài tập Toán 11 hiệu quả, bạn cần:
Kiến thức trong Mục 2 có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau, chẳng hạn như:
Loigiai.com.vn hy vọng rằng với lời giải chi tiết và hướng dẫn cụ thể, bạn sẽ tự tin hơn trong việc giải các bài tập Toán 11. Hãy luyện tập thường xuyên để nắm vững kiến thức và đạt kết quả tốt nhất!
| Bài tập | Trang | Lời giải |
|---|---|---|
| Bài 1 | 15 | (Link đến lời giải chi tiết) |
| Bài 2 | 15 | (Link đến lời giải chi tiết) |
| Bài 3 | 16 | (Link đến lời giải chi tiết) |
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Khám phá thế giới phân dạng, từ hình học trừu tượng đến ứng dụng trong nghệ thuật và tự nhiên. Tìm hiểu cách phân dạng tạo ra vẻ đẹp vô hạn!
Bạn đã bao giờ gặp một điều nghe có vẻ vô lý nhưng lại chứa đựng sự thật? Khám phá thế giới Paradox - những mâu thuẫn thú vị giúp bạn nhìn nhận cuộc sống dưới một góc độ mới lạ. Đọc ngay!
Khám phá 'Tên của trò chơi là bắt cóc' - cuốn sách hấp dẫn đưa bạn vào thế giới ngầm đầy rẫy những kẻ ác. Đánh giá chi tiết, phân tích sâu sắc và lý do bạn nên đọc ngay!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán lớp 1 khó nhất! Hướng dẫn phụ huynh cách hỗ trợ con học toán hiệu quả, tạo hứng thú và đạt kết quả tốt nhất. Khám phá các mẹo học tập thông minh!
Review sách 'Dữ liệu tử thần' của Jeffery Deaver. Khám phá cách tội phạm sử dụng thông tin cá nhân và học cách bảo vệ dữ liệu của bạn ngay hôm nay!
