Loigiai.com.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho bài tập 12 trang 60 SGK Toán 12 tập 2 chương trình Chân trời sáng tạo. Chúng tôi giúp bạn hiểu rõ bản chất bài toán và rèn luyện kỹ năng giải Toán hiệu quả.
Bài tập này thuộc chương trình Toán 12 tập 2, tập trung vào các kiến thức về tích phân và ứng dụng của tích phân.
Trong không gian (Oxyz), cho hình lăng trụ đứng (OBC.O'B'C') có đáy là tam giác (OBC) vuông tại (O). Cho biết (Bleft( {3;0;0} right)), (Cleft( {0;1;0} right)), (O'left( {0;0;2} right)). Tính góc giữa: a) hai đường thẳng (BO') và (B'C). b) hai mặt phẳng (left( {O'BC} right)) và (left( {OBC} right)). c) đường thẳng (B'C) và mặt phẳng (left( {O'BC} right)).
Đề bài
Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ đứng OBC.O'B'C' có đáy là tam giác OBC vuông tại O. Cho biết B(3;0;0), C(0;1;0), O'(0;0;2). Tính góc giữa:
a) Hai đường thẳng BO' và B'C.
b) Hai mặt phẳng (O'BC) và (OBC).
c) Đường thẳng B'C và mặt phẳng (O'BC).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Chỉ ra \(\overrightarrow {BO'} \) và \(\overrightarrow {B'C} \) lần lượt là các vectơ chỉ phương của các đường thẳng \(BO'\) và \(B'C\), sau đó sử dụng công thức \(\cos \left( {BO',B'C} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {BO} ',\overrightarrow {B'C} } \right)} \right|\).
b) Với mặt phẳng \(\left( {O'BC} \right)\), ta cần chỉ ra một cặp vectơ chỉ phương, rồi tính tích có hướng để lần lượt tìm ra vectơ pháp tuyến \(\vec n\).
Với mặt phẳng \(\left( {OBC} \right)\), chỉ ra rằng \(\overrightarrow {OO'} \) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó.
Từ đó suy ra \(\cos \left( {\left( {O'BC} \right),\left( {OBC} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {OO'} ,\vec n} \right)} \right|\).
c) Từ câu a và b, ta có \(\overrightarrow {B'C} \) là một vectơ chỉ phương của \(B'C\), \(\vec n\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {O'BC} \right)\). Suy ra \(\sin \left( {B'C,\left( {O'BC} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {B'C} ,\vec n} \right)} \right|\).
Lời giải chi tiết
a) Ta có toạ độ các điểm \(O\left( {0;0;0} \right)\), \(B\left( {3;0;0} \right)\), \(C\left( {0;1;0} \right)\), \(O'\left( {0;0;2} \right)\). Suy ra \(B'\left( {3;0;2} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {BO'} = \left( { - 3;0;2} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(BO'\) và \(\overrightarrow {B'C} = \left( { - 3;1; - 2} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(B'C\). Suy ra:
\(\cos \left( {BO',B'C} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {BO} ',\overrightarrow {B'C} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\left( { - 3} \right).\left( { - 3} \right) + 0.1 + 2.\left( { - 2} \right)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {0^2} + {2^2}} .\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{5}{{\sqrt {182} }}\)
Từ đó \(\left( {BO',B'C} \right) \approx {68^o}15'\).
b) Mặt phẳng \(\left( {O'BC} \right)\) có cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {BC} = \left( { - 3;1;0} \right)\) và \(\overrightarrow {BO'} = \left( { - 3;0;2} \right)\). Suy ra một vectơ pháp tuyến của \(\left( {O'BC} \right)\) là \(\vec n = \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BO'} } \right] = \left( {2;6;3} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( {OBC} \right)\) có \(OO' \bot \left( {OBC} \right)\) nên \(\overrightarrow {OO'} = \left( {0;0;2} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của \(\left( {OBC} \right)\).
Suy ra
\(\cos \left( {\left( {O'BC} \right),\left( {OBC} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {OO'} ,\vec n} \right)} \right| = \frac{{\left| {2.0 + 6.0 + 3.2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {6^2} + {3^2}} .\sqrt {{0^2} + {0^2} + {2^2}} }} = \frac{3}{7}\).
Vậy \(\left( {\left( {O'BC} \right),\left( {OBC} \right)} \right) \approx {64^o}37'\).
c) Ta có \(\overrightarrow {B'C} = \left( { - 3;1; - 2} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(B'C\).
Ta có \(\vec n = \left( {2;6;3} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {O'BC} \right)\). Suy ra
\(\sin \left( {B'C,\left( {O'BC} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {B'C} ,\vec n} \right)} \right| = \frac{{\left| {\left( { - 3} \right).2 + 1.6 + \left( { - 2} \right).3} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{2^2} + {6^2} + {3^2}} }} = \frac{{3\sqrt {14} }}{{49}}\)
Vậy \(\left( {B'C,\left( {O'BC} \right)} \right) \approx {13^o}15'\).
Bài tập 12 trang 60 SGK Toán 12 tập 2 chương trình Chân trời sáng tạo yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về tích phân để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong. Đây là một dạng bài tập quan trọng, thường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi THPT Quốc gia. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các khái niệm cơ bản về tích phân, phương pháp tính tích phân và kỹ năng vẽ đồ thị hàm số.
Trước khi bắt đầu giải bài tập, điều quan trọng là phải đọc kỹ đề bài và xác định rõ yêu cầu của bài toán. Trong bài tập 12 trang 60, học sinh cần xác định các đường cong giới hạn diện tích, tìm giao điểm của các đường cong và thiết lập tích phân để tính diện tích hình phẳng.
Để giải bài tập tích phân diện tích, học sinh có thể áp dụng các phương pháp sau:
Đề bài: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x2 và y = 2x.
Lời giải:
S = ∫02 (2x - x2) dx
S = [x2 - (x3/3)]02 = (22 - (23/3)) - (02 - (03/3)) = 4 - 8/3 = 4/3
Kết luận: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x2 và y = 2x là 4/3.
Ngoài bài tập 12 trang 60, còn rất nhiều bài tập tương tự về tích phân diện tích. Để giải quyết các bài tập này, học sinh cần luyện tập thường xuyên và nắm vững các phương pháp giải đã trình bày ở trên. Một số dạng bài tập tương tự bao gồm:
Để học tập và ôn thi môn Toán hiệu quả, đặc biệt là các bài tập về tích phân, học sinh nên:
Bài tập 12 trang 60 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng, giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải tích phân diện tích. Hy vọng với lời giải chi tiết và các phương pháp giải đã trình bày, các bạn học sinh sẽ tự tin hơn khi đối mặt với các bài tập tương tự trong các kỳ thi sắp tới.
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Khám phá thế giới phân dạng, từ hình học trừu tượng đến ứng dụng trong nghệ thuật và tự nhiên. Tìm hiểu cách phân dạng tạo ra vẻ đẹp vô hạn!
Bạn đã bao giờ gặp một điều nghe có vẻ vô lý nhưng lại chứa đựng sự thật? Khám phá thế giới Paradox - những mâu thuẫn thú vị giúp bạn nhìn nhận cuộc sống dưới một góc độ mới lạ. Đọc ngay!
Khám phá 'Tên của trò chơi là bắt cóc' - cuốn sách hấp dẫn đưa bạn vào thế giới ngầm đầy rẫy những kẻ ác. Đánh giá chi tiết, phân tích sâu sắc và lý do bạn nên đọc ngay!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán lớp 1 khó nhất! Hướng dẫn phụ huynh cách hỗ trợ con học toán hiệu quả, tạo hứng thú và đạt kết quả tốt nhất. Khám phá các mẹo học tập thông minh!
Review sách 'Dữ liệu tử thần' của Jeffery Deaver. Khám phá cách tội phạm sử dụng thông tin cá nhân và học cách bảo vệ dữ liệu của bạn ngay hôm nay!
