Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Tọa độ của Vectơ trong Không Gian, chương trình Toán 12 Chân Trời Sáng Tạo. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức nền tảng và quan trọng nhất về tọa độ vectơ, tọa độ điểm trong không gian, và các ứng dụng của chúng.
Chúng ta sẽ cùng nhau khám phá cách biểu diễn vectơ, tính toán các phép toán vectơ, và giải quyết các bài toán liên quan đến tọa độ trong không gian một cách hiệu quả.
Bài 2. Tọa độ của vecto trong không gian 1. Hệ trục tọa độ trong không gian
1. Hệ trục tọa độ trong không gian
| Trong không gian, cho ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc. Gọi \(\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k \) lần lượt là ba vecto đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz. Hệ ba trục như vậy được gọi là hệ trục tọa độ Descartes vuông góc Oxyz, hay đơn giản gọi là hệ tọa độ Oxyz. |
2. Tọa độ của điểm và vecto
a) Tọa độ của điểm
| Trong không gian Oxyz, cho điểm M. Nếu \[\overrightarrow {OM} = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \] thì ta gọi bộ ba số (x;y;z) là tọa độ điểm M đối với hệ trục tọa độ Oxyz và viết M = (x;y;z) hoặc M (x;y;z); x là hoành độ, y là tung độ, z là cao độ của điểm M. |
b) Tọa độ của vecto
| Trong không gian Oxyz, cho \(\overrightarrow a \). Nếu \(\overrightarrow a = {a_1}\overrightarrow i + {a_2}\overrightarrow j + {a_3}\overrightarrow k \) thì ta gọi bộ ba số \(\left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right)\) là tọa độ của \(\overrightarrow a \) đối với hệ tọa độ Oxyz và viết \(\overrightarrow a = \left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right)\) hoặc \(\overrightarrow a \left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right)\). |
Ví dụ: Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C có A(1;0;2), B(3;2;5), C(7;-3;9)
a) Tìm tọa độ của \(\overrightarrow {AA'} .\)
b) Tìm tọa độ của các điểm B’, C’.
Lời giải
a) Ta có: \(\overrightarrow {AA'} = ({x_{A'}} - {x_A};{y_{A'}} - {y_A};{z_{A'}} - {z_A}) = (4;0; - 1)\).
b) Gọi tọa độ của điểm B’ là (x,y,z) thì \(\overrightarrow {BB'} \) = (x - 3; y - 2; z - 5). Vì ABC.A’B’C’ là hình lăng trụ nên ABB’A’ là hình bình hành, suy ra \(\overrightarrow {AA'} \) = \(\overrightarrow {BB'} .\)
Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3 = 4\\y - 2 = 0\\z - 5 = - 1\end{array} \right.\) hay x = 7, y = 2, z = 4.
Vậy B’(7;2;4).
Lập luận tương tự suy ra C’ (11;-3;8).
Trong chương trình Toán 12 Chân Trời Sáng Tạo, phần tọa độ của vectơ trong không gian đóng vai trò quan trọng trong việc giải quyết các bài toán hình học không gian. Dưới đây là tổng hợp lý thuyết chi tiết và các ví dụ minh họa.
Để xác định vị trí của một điểm trong không gian, ta sử dụng hệ tọa độ Oxyz. Hệ tọa độ này bao gồm ba trục vuông góc nhau: trục Ox, trục Oy và trục Oz. Giao điểm của ba trục là gốc tọa độ O.
Mỗi điểm M trong không gian được xác định bởi bộ ba số thực (x, y, z), gọi là tọa độ của điểm M. Ký hiệu M(x, y, z).
Một vectơ trong không gian được xác định bởi độ dài và hướng. Vectơ a được biểu diễn bằng bộ bốn số thực (x, y, z, t), trong đó (x, y, z) là tọa độ của điểm cuối và t là hệ số tỉ lệ.
Tuy nhiên, thường ta chỉ quan tâm đến tọa độ của điểm cuối, ký hiệu a = (x, y, z).
Tích vô hướng của hai vectơ a = (x1, y1, z1) và b = (x2, y2, z2) được tính bằng công thức:
a ⋅ b = x1x2 + y1y2 + z1z2
Ứng dụng của tích vô hướng: xác định góc giữa hai vectơ, kiểm tra tính vuông góc của hai vectơ.
Tích có hướng của hai vectơ a = (x1, y1, z1) và b = (x2, y2, z2) được tính bằng công thức:
[a, b] = (y1z2 - z1y2, z1x2 - x1z2, x1y2 - y1x2)
Ứng dụng của tích có hướng: tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng, tính diện tích hình bình hành.
Bài 1: Cho A(1, 2, 3) và B(4, 5, 6). Tìm tọa độ của vectơ AB.
Giải:AB = (4 - 1, 5 - 2, 6 - 3) = (3, 3, 3)
Bài 2: Cho a = (1, 2, 3) và b = (4, 5, 6). Tính tích vô hướng a ⋅ b.
Giải:a ⋅ b = 1*4 + 2*5 + 3*6 = 4 + 10 + 18 = 32
Lý thuyết Tọa độ của Vectơ trong Không Gian là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán hình học không gian trong chương trình Toán 12 Chân Trời Sáng Tạo. Việc nắm vững các khái niệm và công thức sẽ giúp bạn tự tin hơn trong quá trình học tập và làm bài tập.
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Khám phá thế giới phân dạng, từ hình học trừu tượng đến ứng dụng trong nghệ thuật và tự nhiên. Tìm hiểu cách phân dạng tạo ra vẻ đẹp vô hạn!
Bạn đã bao giờ gặp một điều nghe có vẻ vô lý nhưng lại chứa đựng sự thật? Khám phá thế giới Paradox - những mâu thuẫn thú vị giúp bạn nhìn nhận cuộc sống dưới một góc độ mới lạ. Đọc ngay!
Khám phá 'Tên của trò chơi là bắt cóc' - cuốn sách hấp dẫn đưa bạn vào thế giới ngầm đầy rẫy những kẻ ác. Đánh giá chi tiết, phân tích sâu sắc và lý do bạn nên đọc ngay!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán lớp 1 khó nhất! Hướng dẫn phụ huynh cách hỗ trợ con học toán hiệu quả, tạo hứng thú và đạt kết quả tốt nhất. Khám phá các mẹo học tập thông minh!
Review sách 'Dữ liệu tử thần' của Jeffery Deaver. Khám phá cách tội phạm sử dụng thông tin cá nhân và học cách bảo vệ dữ liệu của bạn ngay hôm nay!
