Loigiai.com.vn cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập trong mục 2 SGK Toán 12 tập 2 chương trình Chân trời sáng tạo. Chúng tôi giúp bạn nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải toán và đạt kết quả tốt nhất trong học tập.
Với đội ngũ giáo viên giàu kinh nghiệm, chúng tôi cam kết mang đến cho bạn những lời giải chính xác, đầy đủ và phù hợp với từng đối tượng học sinh.
Cho ba đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + t\\y = 1 + 2t\\z = 1 + 3t\end{array} \right.\), \(d':\left\{ \begin{array}{l}x = 2t'\\y = 7 + 4t'\\z = 2 + 6t'\end{array} \right.\); \(d'':\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + 2t''\\y = 3 + 4t''\\z = 4 + 6t''\end{array} \right.\). a) Nêu nhận xét về ba vectơ chỉ phương của \(d\), \(d'\) và \(d''\). b) Xét điểm \(M\left( {4;1;1} \right)\) nằm trên \(d\). Điểm \(M\) có nằm trên \(d'\) hoặc \(d''\) không? c) Từ các kết quả trên, ta có thể kết luậ
Trả lời câu hỏi Thực hành 6 trang 49 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Kiểm tra tính song song hoặc trùng nhau của các đường thẳng sau:
a) \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 7 + 4t\\y = 3 - 2t\\z = 2 - 2t\end{array} \right.\) và \(d':\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y - 5}}{{ - 1}} = \frac{{z - 4}}{{ - 1}}.\)
b) \(d:\frac{x}{3} = \frac{y}{3} = \frac{{z - 1}}{4}\) và \(d':\frac{{x - 2}}{3} = \frac{{y - 9}}{3} = \frac{{z - 5}}{4}.\)
Phương pháp giải:
Chỉ ra các vectơ chỉ phương của các đường thẳng, kiểm tra xem các vectơ có cùng phương hay không. Sau đó chọn một điểm bất kì nằm trên đường thẳng này, kiểm tra xem nó có nằm trên đường thẳng kia không.
Lời giải chi tiết:
a) Đường thẳng \(d\) đi qua \(M\left( {7;3;2} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec a = \left( {4; - 2; - 2} \right)\).
Đường thẳng \(d'\) có vectơ chỉ phương \(\vec a' = \left( {2; - 1; - 1} \right) = \frac{1}{2}\vec a\).
Thay toạ độ điểm \(M\left( {7;3;2} \right)\) vào phương trình đường thẳng \(d'\) ta có:
\(\frac{{7 - 3}}{2} = \frac{{3 - 5}}{{ - 1}} = \frac{{2 - 4}}{{ - 1}}\). Phương trình thoả mãn, vậy \(M\) thuộc \(d'\). Suy ra \(d \equiv d'\).
b) Đường thẳng \(d\) đi qua \(N\left( {0;0;1} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec a = \left( {3;3;4} \right)\).
Đường thẳng \(d'\) có vectơ chỉ phương \(\vec a' = \left( {3;4;4} \right) = \vec a\).
Thay toạ độ điểm \(N\left( {0;0;1} \right)\) vào phương trình đường thẳng \(d'\) ta có:
\(\frac{{0 - 2}}{3} = \frac{{0 - 9}}{3} = \frac{{1 - 5}}{4}\). Phương trình không thoả mãn, vậy \(N\) không thuộc \(d'\). Suy ra \(d\parallel d'\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 5 trang 48 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho ba đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + t\\y = 1 + 2t\\z = 1 + 3t\end{array} \right.\), \(d':\left\{ \begin{array}{l}x = 2t'\\y = 7 + 4t'\\z = 2 + 6t'\end{array} \right.\); \(d'':\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + 2t''\\y = 3 + 4t''\\z = 4 + 6t''\end{array} \right.\).
a) Nêu nhận xét về ba vectơ chỉ phương của \(d\), \(d'\) và \(d''.\)
b) Xét điểm \(M\left( {4;1;1} \right)\) nằm trên \(d\). Điểm \(M\) có nằm trên \(d'\) hoặc \(d''\) không?
c) Từ các kết quả trên, ta có thể kết luận gì về vị trí tương đối giữa \(d\) và \(d'\), \(d\) và \(d''\)?
Phương pháp giải:
a) Xác định các vectơ chỉ phương của các đường thẳng \(d\), \(d'\) và \(d''\) và nhận xét.
b) Thay hoành độ điểm \(M\) vào phương trình đường thẳng \(d'\) để tìm giá trị của tham số \(t'\), sau đó thay tung độ, cao độ của \(M\) và giá trị của tham số vừa tìm được vào các phương trình còn lại của đường thẳng \(d'\) để nhận xét điểm \(M\) có nằm trên \(d'\) hay không. Thực hiện tương tự để nhận xét điểm \(M\) có nằm trên \(d''\) hay không.
c) Từ câu b, rút ra kết luận.
Lời giải chi tiết:
a) Các đường thẳng \(d\), \(d'\) và \(d''\) có các vectơ chỉ phương lần lượt là \(\vec u\left( {1;2;3} \right)\), \(\vec u'\left( {2;4;6} \right)\) và \(\vec u''\left( {2;4;6} \right)\).
Ta có \(\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{3}{6}\) nên ba vectơ \(\vec u\), \(\vec u'\) và \(\vec u''\) là các vectơ cùng phương. Suy ra \(d\), \(d'\) và \(d''\) hoặc song song hoặc trùng nhau.
b) Thay hoành độ điểm \(M\) vào phương trình \(x = 2t'\) ta có \(4 = 2t'\), suy ra \(t' = 2\).
Thay \(y = 1\) và \(t' = 2\) vào phương trình \(y = 7 + 4t'\), ta có \(1 = 7 + 4.2\). Điều này là vô lí. Vậy điểm \(M\) không thuộc \(d'\).
Thay hoành độ điểm \(M\) vào phương trình \(x = 5 + 2t''\) ta có \(4 = 5 + 2t''\), suy ra \(t'' = - \frac{1}{2}\).
Thay \(y = 1\), \(z = 1\) và \(t'' = - \frac{1}{2}\) vào các phương trình còn lại của đường thẳng \(d''\), ta có \(\left\{ \begin{array}{l}1 = 3 + 4.\frac{{ - 1}}{2}\\1 = 4 + 6.\frac{{ - 1}}{2}\end{array} \right.\). Các phương trình đều thoả mãn. Vậy điểm \(M\) thuộc \(d''\).
c) Từ các câu a và b, ta có \(d\), \(d'\) và \(d''\) hoặc song song hoặc trùng nhau; điểm \(M\) thuộc \(d\) và \(d''\), \(M\) không thuộc \(d'\). Vậy ta suy ra \(d\parallel d'\) và \(d \equiv d''\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 6 trang 50 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho ba đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + 3t\\z = 3 - t\end{array} \right.\); \(d':\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2t'\\y = - 2 + t'\\z = 1 + 3t'\end{array} \right.\) và \(d'':\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2t''\\y = - 2 + t''\\z = 3 + 3t''\end{array} \right.\)
a) Đường thẳng \(d'\) và đường thẳng \(d''\) có song song hay trùng với đường thẳng \(d\) không?
b) Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}1 + t = 2 - 2t'\\2 + 3t = - 2 + t'\\3 - t = 1 + 3t'\end{array} \right.\) (ẩn \(t\) và \(t'\)).
Từ đó nhận xét về vị trí tương đối giữa \(d\) và \(d'.\)
c) Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}1 + t = 2 - 2t''\\2 + 3t = - 2 + t''\\3 - t = 3 + 3t''\end{array} \right.\) (ẩn \(t\) và \(t''\)).
Từ đó nhận xét về vị trí tương đối giữa \(d\) và \(d''.\)
Phương pháp giải:
a) Chỉ ra các vectơ chỉ phương của các đường thẳng, nhận xét các vectơ có cùng phương hay không, từ đó kết luận.
b) Giải hệ phương trình và rút ra nhận xét.
c) Giải hệ phương trình và rút ra nhận xét.
Lời giải chi tiết:
a) Các vectơ chỉ phương của các đường thẳng \(d\), \(d'\) và \(d''\) lần lượt là \(\vec u = \left( {1;3; - 1} \right)\), \(\vec u' = \left( { - 2;1;3} \right)\) và \(\vec u'' = \left( { - 2;1;3} \right)\).
Ta thấy rằng \(\frac{1}{{ - 2}} \ne \frac{3}{1}\), nên vectơ \(\vec u\) không cùng phương với các vectơ \(\vec u'\) và \(\vec u''\).
Suy ra đường thẳng \(d'\) và đường thẳng \(d''\) không song song hay trùng với đường thẳng \(d\).
b) Xét hai phương trình đầu của hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}1 + t = 2 - 2t'\\2 + 3t = - 2 + t'\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}t + 2t' = 1\\3t - t' = - 4\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}7t = - 7\\t + 2t' = 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = - 1\\t' = 1\end{array} \right..\)
Thay \(t = - 1\) và \(t' = 1\) vào phương trình thứ ba, ta thấy phương trình thoả mãn (do \(4 = 4\)). Vậy \(t = - 1\) và \(t' = 1\) là nghiệm duy nhất của hệ phương trình.
Suy ra hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) có điểm chung, tức chúng cắt nhau.
c) Xét hai phương trình đầu của hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}1 + t = 2 - 2t'\\2 + 3t = - 2 + t'\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}t + 2t' = 1\\3t - t' = - 4\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}7t = - 7\\t + 2t' = 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = - 1\\t' = 1\end{array} \right..\)
Thay \(t = - 1\) và \(t' = 1\) vào phương trình thứ ba, ta thấy phương trình không thoả mãn (do \(4 \ne 6\)). Vậy hệ phương trình vô nghiệm.
Suy ra hai đường thẳng \(d\) và \(d''\) không có điểm chung, tức chúng chéo nhau.
Trả lời câu hỏi Thực hành 7 trang 52 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) trong mỗi trường hợp sau:
a) \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = 1 - t\\z = 2 - 3t\end{array} \right.\) và \(d':\frac{{x - 2}}{4} = \frac{y}{7} = \frac{{z + 1}}{{11}}.\)
b) \(d:\frac{{x - 4}}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{2}\) và \(d':\frac{{x - 2}}{3} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{9}.\)
Phương pháp giải:
Chỉ ra một vectơ chỉ phương \(\vec a\) và một điểm \(M\) nằm trên đường thẳng \(d.\)
Chỉ ra một vectơ chỉ phương \(\vec a'\) và một điểm \(M'\) nằm trên đường thẳng \(d'.\)
Tính tích có hướng \(\left[ {\vec a,\vec a'} \right]\), sau đó tính tích vô hướng \(\left[ {\vec a,\vec a'} \right].\overrightarrow {MM'} \). Nếu tích vô hướng bằng 0, hai đường thẳng cắt nhau, ngược lại thì hai đường thẳng chéo nhau.
Lời giải chi tiết:
a) Đường thẳng \(d\) đi qua \(M\left( {0;1;2} \right)\) và có một vectơ chỉ phương \(\vec a = \left( {2; - 1; - 3} \right)\).
Đường thẳng \(d'\) đi qua \(M'\left( {2;0; - 1} \right)\) và có một vectơ chỉ phương \(\vec a' = \left( {4;7;11} \right)\).
Ta có \(\left[ {\vec a,\vec a'} \right] = \left( {10; - 34;18} \right)\) và \(\overrightarrow {MM'} = \left( {2; - 1; - 3} \right)\)
Suy ra \(\left[ {\vec a,\vec a'} \right].\overrightarrow {MM'} = 10.2 + \left( { - 34} \right)\left( { - 1} \right) + 18.\left( { - 3} \right) = 0\).
Vậy hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) cắt nhau.
b) Đường thẳng \(d\) đi qua \(M\left( {4;1;1} \right)\) và có một vectơ chỉ phương \(\vec a = \left( {1;2;2} \right)\).
Đường thẳng \(d'\) đi qua \(M'\left( {2;1;1} \right)\) và có một vectơ chỉ phương \(\vec a' = \left( {3;2;9} \right)\).
Ta có \(\left[ {\vec a,\vec a'} \right] = \left( {14; - 3; - 4} \right)\) và \(\overrightarrow {MM'} = \left( { - 2;0;0} \right)\)
Suy ra \(\left[ {\vec a,\vec a'} \right].\overrightarrow {MM'} = 14.\left( { - 2} \right) + \left( { - 3} \right).0 + \left( { - 4} \right).0 = - 28 \ne 0.\)
Vậy hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) chéo nhau.
Trả lời câu hỏi Hoạt động 7 trang 52 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho hai đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + t\\y = 1 + 2t\\z = 1 - t\end{array} \right.\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l}x = t'\\y = 7 + 4t'\\z = 9t'\end{array} \right.\).
a) Tìm vectơ chỉ phương \(\vec a\) và \(\vec a'\) lần lượt của \(d\) và \(d'.\)
b) Tính tích vô hướng \(\vec a.\vec a'\). Từ đó, có nhận xét gì về hai đường thẳng \(d\) và \(d'?\)
Phương pháp giải:
a) Xác định các vectơ chỉ phương của các đường thẳng.
b) Sử dụng công thức tính tích vô hướng để tính \(\vec a.\vec a'\) và rút ra nhận xét.
Lời giải chi tiết:
a) Đường thẳng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec a = \left( {1;2; - 1} \right)\).
Đường thẳng \(d'\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec a' = \left( {1;4;9} \right)\).
b) Ta có \(\vec a.\vec a' = 1.1 + 2.4 + \left( { - 1} \right).9 = 0\). Suy ra hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec a'\) có giá vuông góc với nhau. Vậy hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) vuông góc với nhau.
Trả lời câu hỏi Thực hành 8 trang 53 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Kiểm tra tính vuông góc của các cặp đường thẳng sau:
a) \(d:\frac{x}{1} = \frac{{y + 1}}{{ - 3}} = \frac{z}{1}\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + t\\y = t\\z = - 6 + 2t\end{array} \right.\).
b) \(d:\frac{{x + 2}}{7} = \frac{{y + 1}}{3} = \frac{{z + 1}}{1}\) và \(d':\frac{{x + 2}}{2} = \frac{{y - 5}}{2} = \frac{{z - 5}}{2}.\)
Phương pháp giải:
Xác định các vectơ chỉ phương của các đường thẳng, sau đó tính tích vô hướng của hai vectơ đó.
Lời giải chi tiết:
a) Đường thẳng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec a = \left( {1; - 3;1} \right)\).
Đường thẳng \(d'\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec a' = \left( {1;1;2} \right)\).
Ta có \(\vec a.\vec a' = 1.1 + \left( { - 3} \right).1 + 1.2 = 0.\)
Vậy hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) vuông góc với nhau.
b) Đường thẳng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec a = \left( {7;3;1} \right)\).
Đường thẳng \(d'\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec a' = \left( {2;2;2} \right)\).
Ta có \(\vec a.\vec a' = 7.2 + 3.2 + 2.2 = 24 \ne 0.\)
Vậy hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) không vuông góc với nhau.
Trả lời câu hỏi Vận dụng 4 trang 53 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Một phần mềm mô phỏng vận động viên đang tập bắn sứng trong không gian \(Oxyz\). Cho biết trục \(d\) của nòng súng và cọc đỡ bia \(d'\) có phương trình lần lượt là \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 20\\z = 9\end{array} \right.\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l}x = 10\\y = 20\\z = 1 + 3t'\end{array} \right.\). Xét vị trí tương đối giữa \(d\) và \(d'\), chúng có vuông góc với nhau không?
Phương pháp giải:
Xác định các vectơ chỉ phương của các đường thẳng, sau đó tính tích vô hướng của hai vectơ đó.
Lời giải chi tiết:
Trục \(d\) của nòng súng có một vectơ chỉ phương là \(\vec a = \left( {1;0;0} \right)\).
Cọc đỡ bia \(d'\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec a' = \left( {0;0;3} \right).\)
Ta có \(\vec a.\vec a' = 1.0 + 0.0 + 0.3 = 0.\)
Vậy \(d\) và \(d'\) vuông góc với nhau.
Xét hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}t = 10\\20 = 20\\9 = 1 + 3t'\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 10\\t' = \frac{8}{3}\end{array} \right.\).
Hệ phương trình có một nghiệm duy nhất, do đó \(d\) cắt \(d'.\)
Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 49 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Trên một máy khoan bàn đã thiết lập sẵn một hệ toạ độ. Nêu nhận xét về vị trí giữa trục \(d\) của mũi khoan và trục \(d'\) của giá đỡ có phương trình lần lượt là \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\\z = 1 + t\end{array} \right.\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l}x = 10\\y = 20\\z = 5 + 5t'\end{array} \right.\)
Phương pháp giải:
Chỉ ra các vectơ chỉ phương của các đường thẳng, kiểm tra xem các vectơ có cùng phương hay không. Sau đó chọn một điểm bất kì nằm trên đường thẳng này, kiểm tra xem nó có nằm trên đường thẳng kia không.
Lời giải chi tiết:
Trục \(d\) của mũi khoan đi qua điểm \(M\left( {1;1;1} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec a = \left( {0;0;1} \right)\).
Trục \(d'\) của giá đỡ có vectơ chỉ phương \(\vec a' = \left( {0;0;5} \right) = 5\vec a\).
Thay toạ độ điểm \(M\left( {1;1;1} \right)\) vào phương trình đường thẳng \(d'\) ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}1 = 10\\1 = 20\\1 = 5 + 5t\end{array} \right.\). Điều này là vô lí. Vậy trục của mũi khoan song song với trục của giá đỡ.
Trả lời câu hỏi Vận dụng 3 trang 52 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Trên phần mềm thiết kế chiếc cầu treo, cho đường thẳng \(d\) trên trụ cầu và đường thẳng \(d'\) trên sàn cầu có phương trình lần lượt là: \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 0\\z = 50 + t\end{array} \right.\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l}x = 20\\y = t'\\z = 50\end{array} \right.\).
Xét vị trí tương đối giữa \(d\) và \(d'.\)
Phương pháp giải:
Chỉ ra các vectơ chỉ phương của các đường thẳng, kiểm tra xem chúng có cùng phương hay không. Sau đó, viết phương trình đường thẳng \(d'\) dưới dạng tham số, và giải hệ phương trình. Nếu hệ có nghiệm duy nhất, hai đường thẳng đó cắt nhau; nếu hệ vô nghiệm, hai đường thẳng đó chéo nhau.
Lời giải chi tiết:
Đường thẳng \(d\) đi qua \(M\left( {0;0;50} \right)\) và có một vectơ chỉ phương \(\vec a = \left( {0;0;1} \right)\).
Đường thẳng \(d'\) đi qua \(M'\left( {20;0;50} \right)\) và có một vectơ chỉ phương \(\vec a' = \left( {0;1;0} \right)\).
Ta có \(\left[ {\vec a,\vec a'} \right] = \left( { - 1;0;0} \right)\) và \(\overrightarrow {MM'} \left( {20;0;0} \right)\).
Suy ra \(\left[ {\vec a,\vec a'} \right].\overrightarrow {MM'} = \left( { - 1} \right).20 + 0.0 + 0.0 = - 20 \ne 0.\)
Vậy hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) chéo nhau.
Trả lời câu hỏi Hoạt động 5 trang 48 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho ba đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + t\\y = 1 + 2t\\z = 1 + 3t\end{array} \right.\), \(d':\left\{ \begin{array}{l}x = 2t'\\y = 7 + 4t'\\z = 2 + 6t'\end{array} \right.\); \(d'':\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + 2t''\\y = 3 + 4t''\\z = 4 + 6t''\end{array} \right.\).
a) Nêu nhận xét về ba vectơ chỉ phương của \(d\), \(d'\) và \(d''.\)
b) Xét điểm \(M\left( {4;1;1} \right)\) nằm trên \(d\). Điểm \(M\) có nằm trên \(d'\) hoặc \(d''\) không?
c) Từ các kết quả trên, ta có thể kết luận gì về vị trí tương đối giữa \(d\) và \(d'\), \(d\) và \(d''\)?
Phương pháp giải:
a) Xác định các vectơ chỉ phương của các đường thẳng \(d\), \(d'\) và \(d''\) và nhận xét.
b) Thay hoành độ điểm \(M\) vào phương trình đường thẳng \(d'\) để tìm giá trị của tham số \(t'\), sau đó thay tung độ, cao độ của \(M\) và giá trị của tham số vừa tìm được vào các phương trình còn lại của đường thẳng \(d'\) để nhận xét điểm \(M\) có nằm trên \(d'\) hay không. Thực hiện tương tự để nhận xét điểm \(M\) có nằm trên \(d''\) hay không.
c) Từ câu b, rút ra kết luận.
Lời giải chi tiết:
a) Các đường thẳng \(d\), \(d'\) và \(d''\) có các vectơ chỉ phương lần lượt là \(\vec u\left( {1;2;3} \right)\), \(\vec u'\left( {2;4;6} \right)\) và \(\vec u''\left( {2;4;6} \right)\).
Ta có \(\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{3}{6}\) nên ba vectơ \(\vec u\), \(\vec u'\) và \(\vec u''\) là các vectơ cùng phương. Suy ra \(d\), \(d'\) và \(d''\) hoặc song song hoặc trùng nhau.
b) Thay hoành độ điểm \(M\) vào phương trình \(x = 2t'\) ta có \(4 = 2t'\), suy ra \(t' = 2\).
Thay \(y = 1\) và \(t' = 2\) vào phương trình \(y = 7 + 4t'\), ta có \(1 = 7 + 4.2\). Điều này là vô lí. Vậy điểm \(M\) không thuộc \(d'\).
Thay hoành độ điểm \(M\) vào phương trình \(x = 5 + 2t''\) ta có \(4 = 5 + 2t''\), suy ra \(t'' = - \frac{1}{2}\).
Thay \(y = 1\), \(z = 1\) và \(t'' = - \frac{1}{2}\) vào các phương trình còn lại của đường thẳng \(d''\), ta có \(\left\{ \begin{array}{l}1 = 3 + 4.\frac{{ - 1}}{2}\\1 = 4 + 6.\frac{{ - 1}}{2}\end{array} \right.\). Các phương trình đều thoả mãn. Vậy điểm \(M\) thuộc \(d''\).
c) Từ các câu a và b, ta có \(d\), \(d'\) và \(d''\) hoặc song song hoặc trùng nhau; điểm \(M\) thuộc \(d\) và \(d''\), \(M\) không thuộc \(d'\). Vậy ta suy ra \(d\parallel d'\) và \(d \equiv d''\).
Trả lời câu hỏi Thực hành 6 trang 49 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Kiểm tra tính song song hoặc trùng nhau của các đường thẳng sau:
a) \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 7 + 4t\\y = 3 - 2t\\z = 2 - 2t\end{array} \right.\) và \(d':\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y - 5}}{{ - 1}} = \frac{{z - 4}}{{ - 1}}.\)
b) \(d:\frac{x}{3} = \frac{y}{3} = \frac{{z - 1}}{4}\) và \(d':\frac{{x - 2}}{3} = \frac{{y - 9}}{3} = \frac{{z - 5}}{4}.\)
Phương pháp giải:
Chỉ ra các vectơ chỉ phương của các đường thẳng, kiểm tra xem các vectơ có cùng phương hay không. Sau đó chọn một điểm bất kì nằm trên đường thẳng này, kiểm tra xem nó có nằm trên đường thẳng kia không.
Lời giải chi tiết:
a) Đường thẳng \(d\) đi qua \(M\left( {7;3;2} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec a = \left( {4; - 2; - 2} \right)\).
Đường thẳng \(d'\) có vectơ chỉ phương \(\vec a' = \left( {2; - 1; - 1} \right) = \frac{1}{2}\vec a\).
Thay toạ độ điểm \(M\left( {7;3;2} \right)\) vào phương trình đường thẳng \(d'\) ta có:
\(\frac{{7 - 3}}{2} = \frac{{3 - 5}}{{ - 1}} = \frac{{2 - 4}}{{ - 1}}\). Phương trình thoả mãn, vậy \(M\) thuộc \(d'\). Suy ra \(d \equiv d'\).
b) Đường thẳng \(d\) đi qua \(N\left( {0;0;1} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec a = \left( {3;3;4} \right)\).
Đường thẳng \(d'\) có vectơ chỉ phương \(\vec a' = \left( {3;4;4} \right) = \vec a\).
Thay toạ độ điểm \(N\left( {0;0;1} \right)\) vào phương trình đường thẳng \(d'\) ta có:
\(\frac{{0 - 2}}{3} = \frac{{0 - 9}}{3} = \frac{{1 - 5}}{4}\). Phương trình không thoả mãn, vậy \(N\) không thuộc \(d'\). Suy ra \(d\parallel d'\).
Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 49 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Trên một máy khoan bàn đã thiết lập sẵn một hệ toạ độ. Nêu nhận xét về vị trí giữa trục \(d\) của mũi khoan và trục \(d'\) của giá đỡ có phương trình lần lượt là \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\\z = 1 + t\end{array} \right.\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l}x = 10\\y = 20\\z = 5 + 5t'\end{array} \right.\)
Phương pháp giải:
Chỉ ra các vectơ chỉ phương của các đường thẳng, kiểm tra xem các vectơ có cùng phương hay không. Sau đó chọn một điểm bất kì nằm trên đường thẳng này, kiểm tra xem nó có nằm trên đường thẳng kia không.
Lời giải chi tiết:
Trục \(d\) của mũi khoan đi qua điểm \(M\left( {1;1;1} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec a = \left( {0;0;1} \right)\).
Trục \(d'\) của giá đỡ có vectơ chỉ phương \(\vec a' = \left( {0;0;5} \right) = 5\vec a\).
Thay toạ độ điểm \(M\left( {1;1;1} \right)\) vào phương trình đường thẳng \(d'\) ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}1 = 10\\1 = 20\\1 = 5 + 5t\end{array} \right.\). Điều này là vô lí. Vậy trục của mũi khoan song song với trục của giá đỡ.
Trả lời câu hỏi Hoạt động 6 trang 50 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho ba đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + 3t\\z = 3 - t\end{array} \right.\); \(d':\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2t'\\y = - 2 + t'\\z = 1 + 3t'\end{array} \right.\) và \(d'':\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2t''\\y = - 2 + t''\\z = 3 + 3t''\end{array} \right.\)
a) Đường thẳng \(d'\) và đường thẳng \(d''\) có song song hay trùng với đường thẳng \(d\) không?
b) Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}1 + t = 2 - 2t'\\2 + 3t = - 2 + t'\\3 - t = 1 + 3t'\end{array} \right.\) (ẩn \(t\) và \(t'\)).
Từ đó nhận xét về vị trí tương đối giữa \(d\) và \(d'.\)
c) Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}1 + t = 2 - 2t''\\2 + 3t = - 2 + t''\\3 - t = 3 + 3t''\end{array} \right.\) (ẩn \(t\) và \(t''\)).
Từ đó nhận xét về vị trí tương đối giữa \(d\) và \(d''.\)
Phương pháp giải:
a) Chỉ ra các vectơ chỉ phương của các đường thẳng, nhận xét các vectơ có cùng phương hay không, từ đó kết luận.
b) Giải hệ phương trình và rút ra nhận xét.
c) Giải hệ phương trình và rút ra nhận xét.
Lời giải chi tiết:
a) Các vectơ chỉ phương của các đường thẳng \(d\), \(d'\) và \(d''\) lần lượt là \(\vec u = \left( {1;3; - 1} \right)\), \(\vec u' = \left( { - 2;1;3} \right)\) và \(\vec u'' = \left( { - 2;1;3} \right)\).
Ta thấy rằng \(\frac{1}{{ - 2}} \ne \frac{3}{1}\), nên vectơ \(\vec u\) không cùng phương với các vectơ \(\vec u'\) và \(\vec u''\).
Suy ra đường thẳng \(d'\) và đường thẳng \(d''\) không song song hay trùng với đường thẳng \(d\).
b) Xét hai phương trình đầu của hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}1 + t = 2 - 2t'\\2 + 3t = - 2 + t'\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}t + 2t' = 1\\3t - t' = - 4\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}7t = - 7\\t + 2t' = 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = - 1\\t' = 1\end{array} \right..\)
Thay \(t = - 1\) và \(t' = 1\) vào phương trình thứ ba, ta thấy phương trình thoả mãn (do \(4 = 4\)). Vậy \(t = - 1\) và \(t' = 1\) là nghiệm duy nhất của hệ phương trình.
Suy ra hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) có điểm chung, tức chúng cắt nhau.
c) Xét hai phương trình đầu của hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}1 + t = 2 - 2t'\\2 + 3t = - 2 + t'\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}t + 2t' = 1\\3t - t' = - 4\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}7t = - 7\\t + 2t' = 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = - 1\\t' = 1\end{array} \right..\)
Thay \(t = - 1\) và \(t' = 1\) vào phương trình thứ ba, ta thấy phương trình không thoả mãn (do \(4 \ne 6\)). Vậy hệ phương trình vô nghiệm.
Suy ra hai đường thẳng \(d\) và \(d''\) không có điểm chung, tức chúng chéo nhau.
Trả lời câu hỏi Thực hành 7 trang 52 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) trong mỗi trường hợp sau:
a) \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = 1 - t\\z = 2 - 3t\end{array} \right.\) và \(d':\frac{{x - 2}}{4} = \frac{y}{7} = \frac{{z + 1}}{{11}}.\)
b) \(d:\frac{{x - 4}}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{2}\) và \(d':\frac{{x - 2}}{3} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{9}.\)
Phương pháp giải:
Chỉ ra một vectơ chỉ phương \(\vec a\) và một điểm \(M\) nằm trên đường thẳng \(d.\)
Chỉ ra một vectơ chỉ phương \(\vec a'\) và một điểm \(M'\) nằm trên đường thẳng \(d'.\)
Tính tích có hướng \(\left[ {\vec a,\vec a'} \right]\), sau đó tính tích vô hướng \(\left[ {\vec a,\vec a'} \right].\overrightarrow {MM'} \). Nếu tích vô hướng bằng 0, hai đường thẳng cắt nhau, ngược lại thì hai đường thẳng chéo nhau.
Lời giải chi tiết:
a) Đường thẳng \(d\) đi qua \(M\left( {0;1;2} \right)\) và có một vectơ chỉ phương \(\vec a = \left( {2; - 1; - 3} \right)\).
Đường thẳng \(d'\) đi qua \(M'\left( {2;0; - 1} \right)\) và có một vectơ chỉ phương \(\vec a' = \left( {4;7;11} \right)\).
Ta có \(\left[ {\vec a,\vec a'} \right] = \left( {10; - 34;18} \right)\) và \(\overrightarrow {MM'} = \left( {2; - 1; - 3} \right)\)
Suy ra \(\left[ {\vec a,\vec a'} \right].\overrightarrow {MM'} = 10.2 + \left( { - 34} \right)\left( { - 1} \right) + 18.\left( { - 3} \right) = 0\).
Vậy hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) cắt nhau.
b) Đường thẳng \(d\) đi qua \(M\left( {4;1;1} \right)\) và có một vectơ chỉ phương \(\vec a = \left( {1;2;2} \right)\).
Đường thẳng \(d'\) đi qua \(M'\left( {2;1;1} \right)\) và có một vectơ chỉ phương \(\vec a' = \left( {3;2;9} \right)\).
Ta có \(\left[ {\vec a,\vec a'} \right] = \left( {14; - 3; - 4} \right)\) và \(\overrightarrow {MM'} = \left( { - 2;0;0} \right)\)
Suy ra \(\left[ {\vec a,\vec a'} \right].\overrightarrow {MM'} = 14.\left( { - 2} \right) + \left( { - 3} \right).0 + \left( { - 4} \right).0 = - 28 \ne 0.\)
Vậy hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) chéo nhau.
Trả lời câu hỏi Vận dụng 3 trang 52 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Trên phần mềm thiết kế chiếc cầu treo, cho đường thẳng \(d\) trên trụ cầu và đường thẳng \(d'\) trên sàn cầu có phương trình lần lượt là: \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 0\\z = 50 + t\end{array} \right.\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l}x = 20\\y = t'\\z = 50\end{array} \right.\).
Xét vị trí tương đối giữa \(d\) và \(d'.\)
Phương pháp giải:
Chỉ ra các vectơ chỉ phương của các đường thẳng, kiểm tra xem chúng có cùng phương hay không. Sau đó, viết phương trình đường thẳng \(d'\) dưới dạng tham số, và giải hệ phương trình. Nếu hệ có nghiệm duy nhất, hai đường thẳng đó cắt nhau; nếu hệ vô nghiệm, hai đường thẳng đó chéo nhau.
Lời giải chi tiết:
Đường thẳng \(d\) đi qua \(M\left( {0;0;50} \right)\) và có một vectơ chỉ phương \(\vec a = \left( {0;0;1} \right)\).
Đường thẳng \(d'\) đi qua \(M'\left( {20;0;50} \right)\) và có một vectơ chỉ phương \(\vec a' = \left( {0;1;0} \right)\).
Ta có \(\left[ {\vec a,\vec a'} \right] = \left( { - 1;0;0} \right)\) và \(\overrightarrow {MM'} \left( {20;0;0} \right)\).
Suy ra \(\left[ {\vec a,\vec a'} \right].\overrightarrow {MM'} = \left( { - 1} \right).20 + 0.0 + 0.0 = - 20 \ne 0.\)
Vậy hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) chéo nhau.
Trả lời câu hỏi Hoạt động 7 trang 52 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho hai đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + t\\y = 1 + 2t\\z = 1 - t\end{array} \right.\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l}x = t'\\y = 7 + 4t'\\z = 9t'\end{array} \right.\).
a) Tìm vectơ chỉ phương \(\vec a\) và \(\vec a'\) lần lượt của \(d\) và \(d'.\)
b) Tính tích vô hướng \(\vec a.\vec a'\). Từ đó, có nhận xét gì về hai đường thẳng \(d\) và \(d'?\)
Phương pháp giải:
a) Xác định các vectơ chỉ phương của các đường thẳng.
b) Sử dụng công thức tính tích vô hướng để tính \(\vec a.\vec a'\) và rút ra nhận xét.
Lời giải chi tiết:
a) Đường thẳng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec a = \left( {1;2; - 1} \right)\).
Đường thẳng \(d'\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec a' = \left( {1;4;9} \right)\).
b) Ta có \(\vec a.\vec a' = 1.1 + 2.4 + \left( { - 1} \right).9 = 0\). Suy ra hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec a'\) có giá vuông góc với nhau. Vậy hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) vuông góc với nhau.
Trả lời câu hỏi Thực hành 8 trang 53 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Kiểm tra tính vuông góc của các cặp đường thẳng sau:
a) \(d:\frac{x}{1} = \frac{{y + 1}}{{ - 3}} = \frac{z}{1}\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + t\\y = t\\z = - 6 + 2t\end{array} \right.\).
b) \(d:\frac{{x + 2}}{7} = \frac{{y + 1}}{3} = \frac{{z + 1}}{1}\) và \(d':\frac{{x + 2}}{2} = \frac{{y - 5}}{2} = \frac{{z - 5}}{2}.\)
Phương pháp giải:
Xác định các vectơ chỉ phương của các đường thẳng, sau đó tính tích vô hướng của hai vectơ đó.
Lời giải chi tiết:
a) Đường thẳng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec a = \left( {1; - 3;1} \right)\).
Đường thẳng \(d'\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec a' = \left( {1;1;2} \right)\).
Ta có \(\vec a.\vec a' = 1.1 + \left( { - 3} \right).1 + 1.2 = 0.\)
Vậy hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) vuông góc với nhau.
b) Đường thẳng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec a = \left( {7;3;1} \right)\).
Đường thẳng \(d'\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec a' = \left( {2;2;2} \right)\).
Ta có \(\vec a.\vec a' = 7.2 + 3.2 + 2.2 = 24 \ne 0.\)
Vậy hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) không vuông góc với nhau.
Trả lời câu hỏi Vận dụng 4 trang 53 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Một phần mềm mô phỏng vận động viên đang tập bắn sứng trong không gian \(Oxyz\). Cho biết trục \(d\) của nòng súng và cọc đỡ bia \(d'\) có phương trình lần lượt là \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 20\\z = 9\end{array} \right.\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l}x = 10\\y = 20\\z = 1 + 3t'\end{array} \right.\). Xét vị trí tương đối giữa \(d\) và \(d'\), chúng có vuông góc với nhau không?
Phương pháp giải:
Xác định các vectơ chỉ phương của các đường thẳng, sau đó tính tích vô hướng của hai vectơ đó.
Lời giải chi tiết:
Trục \(d\) của nòng súng có một vectơ chỉ phương là \(\vec a = \left( {1;0;0} \right)\).
Cọc đỡ bia \(d'\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec a' = \left( {0;0;3} \right).\)
Ta có \(\vec a.\vec a' = 1.0 + 0.0 + 0.3 = 0.\)
Vậy \(d\) và \(d'\) vuông góc với nhau.
Xét hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}t = 10\\20 = 20\\9 = 1 + 3t'\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 10\\t' = \frac{8}{3}\end{array} \right.\).
Hệ phương trình có một nghiệm duy nhất, do đó \(d\) cắt \(d'.\)
Mục 2 của SGK Toán 12 tập 2 chương trình Chân trời sáng tạo thường tập trung vào một chủ đề quan trọng trong chương trình học. Việc nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập trong mục này là rất cần thiết để hiểu rõ các khái niệm và áp dụng chúng vào các bài toán thực tế.
Để hiểu rõ hơn về Mục 2, chúng ta cần xác định nội dung chính mà nó đề cập đến. Thông thường, mục này sẽ bao gồm các kiến thức lý thuyết, các ví dụ minh họa và các bài tập vận dụng. Việc đọc kỹ SGK và ghi chép lại những điểm quan trọng là bước đầu tiên để tiếp cận với Mục 2.
Để giải bài tập trong Mục 2 một cách hiệu quả, bạn cần áp dụng các phương pháp giải phù hợp. Dưới đây là một số gợi ý:
Dưới đây là lời giải chi tiết cho các bài tập trong Mục 2, trang 48, 49, 50, 51, 52, 53 SGK Toán 12 tập 2 Chân trời sáng tạo:
Đề bài: ... (Nội dung bài tập)
Lời giải: ... (Lời giải chi tiết)
Đề bài: ... (Nội dung bài tập)
Lời giải: ... (Lời giải chi tiết)
Đề bài: ... (Nội dung bài tập)
Lời giải: ... (Lời giải chi tiết)
Đề bài: ... (Nội dung bài tập)
Lời giải: ... (Lời giải chi tiết)
Đề bài: ... (Nội dung bài tập)
Lời giải: ... (Lời giải chi tiết)
Đề bài: ... (Nội dung bài tập)
Lời giải: ... (Lời giải chi tiết)
Trong quá trình giải bài tập, bạn cần chú ý đến các đơn vị đo lường, các dấu hiệu đặc biệt và các điều kiện của bài toán. Việc sử dụng máy tính bỏ túi có thể giúp bạn tính toán nhanh chóng và chính xác hơn. Tuy nhiên, bạn cũng cần hiểu rõ bản chất của bài toán và không nên quá phụ thuộc vào máy tính.
Các kiến thức và kỹ năng giải bài tập trong Mục 2 có ứng dụng rất lớn trong thực tế. Ví dụ, trong lĩnh vực kinh tế, bạn có thể sử dụng các kiến thức về đạo hàm để tối ưu hóa lợi nhuận. Trong lĩnh vực kỹ thuật, bạn có thể sử dụng các kiến thức về tích phân để tính diện tích và thể tích. Do đó, việc nắm vững kiến thức trong Mục 2 là rất quan trọng để chuẩn bị cho tương lai.
Hy vọng rằng với lời giải chi tiết và các phương pháp giải hiệu quả mà loigiai.com.vn cung cấp, bạn sẽ tự tin hơn trong việc giải các bài tập trong Mục 2 SGK Toán 12 tập 2 Chân trời sáng tạo. Chúc bạn học tập tốt!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Khám phá thế giới phân dạng, từ hình học trừu tượng đến ứng dụng trong nghệ thuật và tự nhiên. Tìm hiểu cách phân dạng tạo ra vẻ đẹp vô hạn!
Bạn đã bao giờ gặp một điều nghe có vẻ vô lý nhưng lại chứa đựng sự thật? Khám phá thế giới Paradox - những mâu thuẫn thú vị giúp bạn nhìn nhận cuộc sống dưới một góc độ mới lạ. Đọc ngay!
Khám phá 'Tên của trò chơi là bắt cóc' - cuốn sách hấp dẫn đưa bạn vào thế giới ngầm đầy rẫy những kẻ ác. Đánh giá chi tiết, phân tích sâu sắc và lý do bạn nên đọc ngay!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán lớp 1 khó nhất! Hướng dẫn phụ huynh cách hỗ trợ con học toán hiệu quả, tạo hứng thú và đạt kết quả tốt nhất. Khám phá các mẹo học tập thông minh!
Review sách 'Dữ liệu tử thần' của Jeffery Deaver. Khám phá cách tội phạm sử dụng thông tin cá nhân và học cách bảo vệ dữ liệu của bạn ngay hôm nay!
