Loigiai.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết và dễ hiểu cho mục 1 trang 6, 7, 8 sách giáo khoa Toán 12 tập 1 chương trình Chân trời sáng tạo. Bài giải được các thầy cô giáo có kinh nghiệm biên soạn, đảm bảo tính chính xác và đầy đủ.
Học sinh có thể tham khảo để hiểu rõ hơn về kiến thức bài học, rèn luyện kỹ năng giải bài tập và chuẩn bị tốt cho các kỳ thi sắp tới.
Tính đơn điệu của hàm số
Trả lời câu hỏi Thực hành 3 trang 9 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Chứng minh rằng hàm số \(f\left( x \right) = 3x - sinx\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\)
Phương pháp giải:
Tìm tập xác định D, đạo hàm f’(x) và dựa vào tính chất \( - 1 \le \cos x \le 1\)
Lời giải chi tiết:
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\)
\(f'(x) = 3 - \cos x\)
Ta có: \( - 1 \le \cos x \le 1\) nên \(2 \le 3 - \cos x \le 4\). Vì vậy \(f'(x) > 0\forall x \in \mathbb{R}\)
=> Hàm số \(f\left( x \right){\rm{ }} = {\rm{ }}3x{\rm{ }} - {\rm{ }}sinx\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\)
Trả lời câu hỏi Khám phá 1 trang 7 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho hàm số y = f(x) = \({x^2}\)
a) Từ đồ thị của hàm số y = f(x) (Hình 4), hãy chỉ ra các
khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số đã cho.
b) Tính đạo hàm f '(x) và xét dấu f '(x).
c) Từ đó, nhận xét về mối liên hệ giữa các khoảng đồng biến,
nghịch biến của hàm số với dấu của f '(x).
Phương pháp giải:
a) Hàm số y = f(x) gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi \({x_1}\), \({x_2}\) thuộc K mà \({x_1}\) < \({x_2}\) thì f(\({x_1}\)) < f(\({x_2}\)). Hàm số y = f(x) gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi \({x_1}\), \({x_2}\) thuộc K mà \({x_1}\) < \({x_2}\) thì f(\({x_1}\)) > f(\({x_2}\)).
b) Dựa vào công thức đạo hàm để tìm f '(x)
c) So sánh và rút ra nhận xét
Lời giải chi tiết:
a) Hàm số đồng biến trên khoảng (0; \( + \infty \))
Hàm số nghịch biến trên khoảng (\( - \infty \); 0)
b) f '(x) = (\({x^2}\))' = 2x
Ta có:
f '(x) > 0 \( \Leftrightarrow 2x > 0 \Leftrightarrow x > 0\)
f '(x) < 0 \( \Leftrightarrow 2x < 0 \Leftrightarrow x < 0\)
c) Nhận xét:
f’(x) > 0 trên K thì y = f(x) đồng biến trên K
f’(x) < 0 trên K thì y = f(x) nghịch biến trên K
Trả lời câu hỏi Thực hành 2 trang 9 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Xét tính đơn điệu của các hàm số sau:
a) \(f(x) = {x^3} - 6{x^2} + 9x\)
b) \(g(x) = \frac{1}{x}\)
Phương pháp giải:
Xác định tập xác định D, đạo hàm f’(x) và lập bảng biến thiên
Lời giải chi tiết:
a) \(f(x) = {x^3} - 6{x^2} + 9x\)
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\)
\(f'(x) = 3{x^2} - 12x + 9\)
\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = 1\end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số \(f(x) = {x^3} - 6{x^2} + 9x\) đồng biến trên các khoảng (\( - \infty \); 1) và (3; \( + \infty \)), nghịch biến trên khoảng (1; 3)
b) \(g(x) = \frac{1}{x}\)
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \{ 0\} \)
\(g'(x) = - \frac{1}{{{x^2}}}\)
Vì \({x^2} > 0\forall x \in \mathbb{R}\backslash \{ 0\} \) nên \(g'(x) < 0\forall x \in \mathbb{R}\backslash \{ 0\} \)
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số \(g(x) = \frac{1}{x}\) nghịch biến trên các khoảng (\( - \infty \); 0) và (0; \( + \infty \))
Trả lời câu hỏi Thực hành 1 trang 7 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = f(x) có đồ thị cho ở Hình 3.
Phương pháp giải:
Hàm số y = f(x) gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi \({x_1}\), \({x_2}\) thuộc K mà \({x_1}\) < \({x_2}\) thì f(\({x_1}\)) < f(\({x_2}\)). Hàm số y = f(x) gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi \({x_1}\), \({x_2}\) thuộc K mà \({x_1}\) < \({x_2}\) thì f(\({x_1}\)) > f(\({x_2}\)).
Lời giải chi tiết:
Hàm số đồng biến trên các khoảng (−3; -2) và (-1; 0)
Hàm số nghịch biến trên khoảng (-2; -1) và (0; 1)
Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 9 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Hãy trả lời câu hỏi trong Khởi động (trang 6) bằng cách xét dấu đạo hàm của hàm số \(h\left( t \right) = 6{t^3} - 81{t^2} + 324t\) với \(0 \le t \le 8\)
Trong 8 phút đầu kể từ khi xuất phát, độ cao h (tính bằng mét) của khinh khí cầu vào thời điểm t phút được cho bởi công thức \(h\left( t \right) = 6{t^3} - 81{t^2} + 324t\). Đồ thị của hàm số h(t) được biểu diễn trong hình bên. Trong các khoảng thời gian nào khinh khí cầu tăng dần độ cao, giảm dần độ cao? Độ cao của khinh khí cầu vào các thời điểm 3 phút và 6 phút sau khi xuất phát có gì đặc biệt?
Phương pháp giải:
Xét dấu h’(x) để tìm ra các khoảng đồng biến, nghịch biến
Lời giải chi tiết:
\(h\left( t \right) = 6{t^3} - 81{t^2} + 324t\)
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\)
\(h'(t) = 18{t^2} - 162t + 324\)
\(h'(t) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 3\\t = 6\end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:
Trong thời gian từ lúc xuất phát đến thời điểm 3 phút, độ cao của khinh khí cầu tăng dần từ 0m lên 405m
Độ cao của khinh khí cầu tăng dần từ 0m lên 405m trong thời gian từ lúc xuất phát đến thời điểm 3 phút, từ 324m lên 480m trong thời gian từ 6 phút đến 8 phút
Độ cao của khinh khí cầu giảm dần từ 405m xuống 324m trong thời gian từ 3 phút đến 6 phút
Trả lời câu hỏi Thực hành 1 trang 7 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = f(x) có đồ thị cho ở Hình 3.
Phương pháp giải:
Hàm số y = f(x) gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi \({x_1}\), \({x_2}\) thuộc K mà \({x_1}\) < \({x_2}\) thì f(\({x_1}\)) < f(\({x_2}\)). Hàm số y = f(x) gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi \({x_1}\), \({x_2}\) thuộc K mà \({x_1}\) < \({x_2}\) thì f(\({x_1}\)) > f(\({x_2}\)).
Lời giải chi tiết:
Hàm số đồng biến trên các khoảng (−3; -2) và (-1; 0)
Hàm số nghịch biến trên khoảng (-2; -1) và (0; 1)
Trả lời câu hỏi Khám phá 1 trang 7 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho hàm số y = f(x) = \({x^2}\)
a) Từ đồ thị của hàm số y = f(x) (Hình 4), hãy chỉ ra các
khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số đã cho.
b) Tính đạo hàm f '(x) và xét dấu f '(x).
c) Từ đó, nhận xét về mối liên hệ giữa các khoảng đồng biến,
nghịch biến của hàm số với dấu của f '(x).
Phương pháp giải:
a) Hàm số y = f(x) gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi \({x_1}\), \({x_2}\) thuộc K mà \({x_1}\) < \({x_2}\) thì f(\({x_1}\)) < f(\({x_2}\)). Hàm số y = f(x) gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi \({x_1}\), \({x_2}\) thuộc K mà \({x_1}\) < \({x_2}\) thì f(\({x_1}\)) > f(\({x_2}\)).
b) Dựa vào công thức đạo hàm để tìm f '(x)
c) So sánh và rút ra nhận xét
Lời giải chi tiết:
a) Hàm số đồng biến trên khoảng (0; \( + \infty \))
Hàm số nghịch biến trên khoảng (\( - \infty \); 0)
b) f '(x) = (\({x^2}\))' = 2x
Ta có:
f '(x) > 0 \( \Leftrightarrow 2x > 0 \Leftrightarrow x > 0\)
f '(x) < 0 \( \Leftrightarrow 2x < 0 \Leftrightarrow x < 0\)
c) Nhận xét:
f’(x) > 0 trên K thì y = f(x) đồng biến trên K
f’(x) < 0 trên K thì y = f(x) nghịch biến trên K
Trả lời câu hỏi Thực hành 2 trang 9 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Xét tính đơn điệu của các hàm số sau:
a) \(f(x) = {x^3} - 6{x^2} + 9x\)
b) \(g(x) = \frac{1}{x}\)
Phương pháp giải:
Xác định tập xác định D, đạo hàm f’(x) và lập bảng biến thiên
Lời giải chi tiết:
a) \(f(x) = {x^3} - 6{x^2} + 9x\)
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\)
\(f'(x) = 3{x^2} - 12x + 9\)
\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = 1\end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số \(f(x) = {x^3} - 6{x^2} + 9x\) đồng biến trên các khoảng (\( - \infty \); 1) và (3; \( + \infty \)), nghịch biến trên khoảng (1; 3)
b) \(g(x) = \frac{1}{x}\)
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \{ 0\} \)
\(g'(x) = - \frac{1}{{{x^2}}}\)
Vì \({x^2} > 0\forall x \in \mathbb{R}\backslash \{ 0\} \) nên \(g'(x) < 0\forall x \in \mathbb{R}\backslash \{ 0\} \)
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số \(g(x) = \frac{1}{x}\) nghịch biến trên các khoảng (\( - \infty \); 0) và (0; \( + \infty \))
Trả lời câu hỏi Thực hành 3 trang 9 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Chứng minh rằng hàm số \(f\left( x \right) = 3x - sinx\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\)
Phương pháp giải:
Tìm tập xác định D, đạo hàm f’(x) và dựa vào tính chất \( - 1 \le \cos x \le 1\)
Lời giải chi tiết:
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\)
\(f'(x) = 3 - \cos x\)
Ta có: \( - 1 \le \cos x \le 1\) nên \(2 \le 3 - \cos x \le 4\). Vì vậy \(f'(x) > 0\forall x \in \mathbb{R}\)
=> Hàm số \(f\left( x \right){\rm{ }} = {\rm{ }}3x{\rm{ }} - {\rm{ }}sinx\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\)
Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 9 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Hãy trả lời câu hỏi trong Khởi động (trang 6) bằng cách xét dấu đạo hàm của hàm số \(h\left( t \right) = 6{t^3} - 81{t^2} + 324t\) với \(0 \le t \le 8\)
Trong 8 phút đầu kể từ khi xuất phát, độ cao h (tính bằng mét) của khinh khí cầu vào thời điểm t phút được cho bởi công thức \(h\left( t \right) = 6{t^3} - 81{t^2} + 324t\). Đồ thị của hàm số h(t) được biểu diễn trong hình bên. Trong các khoảng thời gian nào khinh khí cầu tăng dần độ cao, giảm dần độ cao? Độ cao của khinh khí cầu vào các thời điểm 3 phút và 6 phút sau khi xuất phát có gì đặc biệt?
Phương pháp giải:
Xét dấu h’(x) để tìm ra các khoảng đồng biến, nghịch biến
Lời giải chi tiết:
\(h\left( t \right) = 6{t^3} - 81{t^2} + 324t\)
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\)
\(h'(t) = 18{t^2} - 162t + 324\)
\(h'(t) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 3\\t = 6\end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:
Trong thời gian từ lúc xuất phát đến thời điểm 3 phút, độ cao của khinh khí cầu tăng dần từ 0m lên 405m
Độ cao của khinh khí cầu tăng dần từ 0m lên 405m trong thời gian từ lúc xuất phát đến thời điểm 3 phút, từ 324m lên 480m trong thời gian từ 6 phút đến 8 phút
Độ cao của khinh khí cầu giảm dần từ 405m xuống 324m trong thời gian từ 3 phút đến 6 phút
Mục 1 của chương trình Toán 12 tập 1 Chân trời sáng tạo tập trung vào việc giới thiệu về giới hạn của hàm số. Đây là một khái niệm nền tảng quan trọng, mở đầu cho chương trình Giải tích. Việc nắm vững kiến thức về giới hạn sẽ giúp học sinh hiểu sâu hơn về các khái niệm tiếp theo như đạo hàm, tích phân.
Dưới đây là lời giải chi tiết cho từng bài tập trong mục 1, trang 6, 7, 8 SGK Toán 12 tập 1 Chân trời sáng tạo:
Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng định nghĩa giới hạn để tính giới hạn của các hàm số đơn giản. Cần chú ý đến việc phân tích hàm số và áp dụng các quy tắc tính giới hạn.
Ví dụ: Tính limx→2 (x2 + 1). Giải: Thay x = 2 vào hàm số, ta được 22 + 1 = 5. Vậy limx→2 (x2 + 1) = 5.
Bài tập này phức tạp hơn bài 1, đòi hỏi học sinh phải sử dụng các kỹ thuật biến đổi đại số để đưa về dạng giới hạn quen thuộc. Ví dụ, sử dụng phương pháp nhân liên hợp, chia đa thức.
Ví dụ: Tính limx→1 (x2 - 1) / (x - 1). Giải: Ta có (x2 - 1) / (x - 1) = (x - 1)(x + 1) / (x - 1) = x + 1 (với x ≠ 1). Vậy limx→1 (x2 - 1) / (x - 1) = limx→1 (x + 1) = 2.
Bài tập này thường liên quan đến các giới hạn vô cùng. Học sinh cần nắm vững các quy tắc tính giới hạn vô cùng và áp dụng một cách linh hoạt.
Ví dụ: Tính limx→+∞ (1/x). Giải: Khi x tiến tới vô cùng, 1/x tiến tới 0. Vậy limx→+∞ (1/x) = 0.
Hy vọng với lời giải chi tiết và phương pháp giải bài tập được trình bày trên đây, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về kiến thức giới hạn và tự tin giải các bài tập trong SGK Toán 12 tập 1 Chân trời sáng tạo.
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Khám phá thế giới phân dạng, từ hình học trừu tượng đến ứng dụng trong nghệ thuật và tự nhiên. Tìm hiểu cách phân dạng tạo ra vẻ đẹp vô hạn!
Bạn đã bao giờ gặp một điều nghe có vẻ vô lý nhưng lại chứa đựng sự thật? Khám phá thế giới Paradox - những mâu thuẫn thú vị giúp bạn nhìn nhận cuộc sống dưới một góc độ mới lạ. Đọc ngay!
Khám phá 'Tên của trò chơi là bắt cóc' - cuốn sách hấp dẫn đưa bạn vào thế giới ngầm đầy rẫy những kẻ ác. Đánh giá chi tiết, phân tích sâu sắc và lý do bạn nên đọc ngay!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán lớp 1 khó nhất! Hướng dẫn phụ huynh cách hỗ trợ con học toán hiệu quả, tạo hứng thú và đạt kết quả tốt nhất. Khám phá các mẹo học tập thông minh!
Review sách 'Dữ liệu tử thần' của Jeffery Deaver. Khám phá cách tội phạm sử dụng thông tin cá nhân và học cách bảo vệ dữ liệu của bạn ngay hôm nay!
