Loigiai.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết và dễ hiểu cho mục 1 trang 44, 45, 46, 47 sách giáo khoa Toán 12 tập 2 chương trình Chân trời sáng tạo. Bài giải được các thầy cô giáo biên soạn kỹ lưỡng, giúp học sinh nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải bài tập.
Chúng tôi luôn cập nhật nhanh chóng và chính xác lời giải các bài tập trong SGK Toán 12 tập 2, đáp ứng nhu cầu học tập của học sinh trên toàn quốc.
Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \({M_0}\) cố định và vectơ \(\vec a\) khác \(\vec 0\). Có bao nhiêu đường thẳng \(d\) đi qua \({M_0}\) và song song hoặc trùng với giá của \(\vec a\)?
Trả lời câu hỏi Thực hành 2 trang 46 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho đường thẳng \(d\) có phương trình tham số \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 8t\\y = - 4t\\z = 3 + 12t\end{array} \right.\)
a) Tìm hai vectơ chỉ phương của \(d.\)
b) Tìm ba điểm trên \(d.\)
Phương pháp giải:
a) Từ phương trình tham số, chỉ ra hai vectơ chỉ phương của đường thẳng.
b) Từ phương trình tham số, chỉ ra ba điểm nằm trên đường thẳng.
Lời giải chi tiết:
a) Từ phương trình tham số, ta có \(\vec a = \left( {8; - 4;12} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d.\)
Chọn \(\vec b = \frac{1}{4}\vec a = \left( {2; - 1;3} \right)\), ta có \(\vec b\) cũng là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d.\)
b) Thay \(t = 0\) vào phương trình tham số của \(d\), ta được \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 8.0\\y = - 4.0\\z = 3 + 12.0\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 0\\z = 3\end{array} \right.\)
Vậy \(A\left( { - 1;0;3} \right)\) là một điểm nằm trên đường thẳng \(d.\)
Thay \(t = 1\) vào phương trình tham số của \(d\), ta được \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 8.1\\y = - 4.1\\z = 3 + 12.1\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x = 7\\y = - 4\\z = 15\end{array} \right.\)
Vậy \(B\left( {7; - 4;15} \right)\) là một điểm nằm trên đường thẳng \(d.\)
Thay \(t = 2\) vào phương trình tham số của \(d\), ta được \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 8.2\\y = - 4.2\\z = 3 + 12.2\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x = 15\\y = - 8\\z = 27\end{array} \right.\)
Vậy \(C\left( {15; - 8;27} \right)\) là một điểm nằm trên đường thẳng \(d.\)
Trả lời câu hỏi Thực hành 3 trang 46 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Viết phương trình tham số của đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A\left( {5;0; - 7} \right)\) và nhận \(\vec v = \left( {9;0; - 2} \right)\) làm vectơ chỉ phương. Đường thẳng \(d\) có đi qua điểm \(M\left( { - 4;0; - 5} \right)\) không?
Phương pháp giải:
Viết phương trình đường thẳng \(d.\)
Để kiểm tra điểm \(M\) có nằm trên đường thẳng \(d\) hay không, thực hiện thay hoành độ của điểm \(M\) vào phương trình để tìm tham số \(t\), sau đó thay tung độ và cao độ của \(z\) vào các phương trình còn lại để kiểm tra xem phương trình có thoả mãn hay không.
Lời giải chi tiết:
Phương trình tham số của \(d\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + 9t\\y = 0\\z = - 7 - 2t\end{array} \right.\)
Thay hoành độ điểm \(M\) vào phương trình \(x = 5 + 9t\), ta được \( - 4 = 5 + 9t\), suy ra \(t = - 1.\)
Thay \(t = - 1\), tung độ và cao độ của điểm \(M\) vào các phương trình còn lại, ta thấy các phương trình đó thoả mãn (do \(0 = 0\) và \( - 5 = - 7 - 2.\left( { - 1} \right)\)).
Vậy đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M.\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 46 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho đường thẳng \(d\) có phương trình tham số \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + {a_1}t\\y = {y_0} + {a_2}t\\z = {z_0} + {a_3}t\end{array} \right.\) với \({a_1}\), \({a_2}\), \({a_3}\) đều khác 0. Lấy điểm \(M\left( {x;y;z} \right)\) bất kì thuộc \(d\). So sánh các biểu thức \(\frac{{x - {x_0}}}{{{a_1}}}\); \(\frac{{y - {y_0}}}{{{a_2}}}\); \(\frac{{z - {z_0}}}{{{a_3}}}.\)
Phương pháp giải:
Lần lượt tính các biểu thức \(\frac{{x - {x_0}}}{{{a_1}}}\); \(\frac{{y - {y_0}}}{{{a_2}}}\); \(\frac{{z - {z_0}}}{{{a_3}}}\) và so sánh các kết quả.
Lời giải chi tiết:
Ta có \(M\left( {x;y;z} \right)\) thuộc \(d\), nên ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + {a_1}t\\y = {y_0} + {a_2}t\\z = {z_0} + {a_3}t\end{array} \right.\)
Suy ra \(\frac{{x - {x_0}}}{{{a_1}}} = t\); \(\frac{{y - {y_0}}}{{{a_2}}} = t\); \(\frac{{z - {z_0}}}{{{a_3}}} = t.\)
Như vậy \(\frac{{x - {x_0}}}{{{a_1}}} = \frac{{y - {y_0}}}{{{a_2}}} = \frac{{z - {z_0}}}{{{a_3}}}.\)
Trả lời câu hỏi Thực hành 4 trang 46 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Viết phương trình chính tắc của đường thẳng \(d\) đi qua điểm \({M_0}\left( {5;0; - 6} \right)\) và nhận \(\vec a = \left( {3;2; - 4} \right)\) làm vectơ chỉ phương.
Phương pháp giải:
Phương trình chính tắc của đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và nhận \(\vec a = \left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right)\) làm vectơ chỉ phương là \(\frac{{x - {x_0}}}{{{a_1}}} = \frac{{y - {y_0}}}{{{a_2}}} = \frac{{z - {z_0}}}{{{a_3}}}.\)
Lời giải chi tiết:
Phương trình chính tắc của đường thẳng \(d\) đi qua điểm \({M_0}\left( {5;0; - 6} \right)\) và nhận \(\vec a = \left( {3;2; - 4} \right)\) làm vectơ chỉ phương là \(\frac{{x - 5}}{3} = \frac{{y - 0}}{2} = \frac{{z - \left( { - 6} \right)}}{{ - 4}}\) hay \(\frac{{x - 5}}{3} = \frac{y}{2} = \frac{{z + 6}}{{ - 4}}.\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 47 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho đường thẳng \(d\) đi qua hai điểm \(A\left( {2;2;1} \right)\) và \(B\left( {4;5;3} \right).\)
a) Tìm một vectơ chỉ phương của \(d.\)
b) Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của \(d.\)
Phương pháp giải:
a) Đường thẳng \(d\) đi qua hai điểm \(A\) và \(B\) nên nó nhận \(\overrightarrow {AB} \) là một vectơ chỉ phương.
b) Viết phương trình đường thẳng \(d\) đi qua \(A\) và có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} .\)
Lời giải chi tiết:
a) Đường thẳng \(d\) đi qua hai điểm \(A\left( {2;2;1} \right)\) và \(B\left( {4;5;3} \right)\) nên nó nhận \(\overrightarrow {AB} \left( {2;3;2} \right)\) là một vectơ chỉ phương.
b) Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) đi qua \(A\left( {2;2;1} \right)\) và có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} \left( {2;3;2} \right)\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = 2 + 3t\\z = 1 + 2t\end{array} \right.\)
Phương trình chính tắc của đường thẳng \(d\) đi qua \(A\left( {2;2;1} \right)\) và có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} \left( {2;3;2} \right)\) là \(\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z - 1}}{2}.\)
Trả lời câu hỏi Thực hành 5 trang 47 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng \(MN\), biết \(M\left( {2;0; - 1} \right)\) và \(N\left( {4;3;1} \right).\)
Phương pháp giải:
Đường thẳng \(MN\) đi qua hai điểm \(M\) và \(N\) nên \(\overrightarrow {MN} \) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng, từ đó viết được phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng \(MN.\)
Lời giải chi tiết:
Ta có \(\overrightarrow {MN} = \left( {2;3;2} \right)\).
Đường thẳng \(MN\) đi qua điểm \(M\left( {2;0; - 1} \right)\) và có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {MN} = \left( {2;3;2} \right)\) nên phương trình tham số của đường thẳng \(MN\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = 0 + 3t\\z = - 1 + 2t\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = 3t\\z = - 1 + 2t\end{array} \right.\); phương trình chính tắc của đường thẳng \(MN\) là \(\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y - 0}}{3} = \frac{{z + 1}}{2}\) hay \(\frac{{x - 2}}{2} = \frac{y}{3} = \frac{{z + 1}}{2}.\)
Trả lời câu hỏi Thực hành 1 trang 44 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Trong không gian \(Oxyz\), cho hình lăng trụ tam giác \(ABC.A'B'C'\) với \(A\left( {1;2;1} \right)\), \(B\left( {7;5;3} \right)\), \(C\left( {4;2;0} \right)\), \(A'\left( {4;9;9} \right)\). Tìm toạ độ một vectơ chỉ phương của mỗi đường thẳng \(AB\), \(A'C'\) và \(BB'.\)
Phương pháp giải:
Các đường thẳng \(AB\), \(A'C'\) và \(BB'\) có một vectơ chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow {AB} \), \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {AA'} .\)
Lời giải chi tiết:
Ta có \(\overrightarrow {AB} \left( {6;3;2} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(AB.\)
Ta có \(AC\parallel A'C'\) nên \(\overrightarrow {AC} \left( {3;0; - 1} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(A'C'.\)
Ta có \(AA'\parallel BB'\) nên \(\overrightarrow {AA'} \left( {3;7;8} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(BB'.\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 44 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \({M_0}\) cố định và vectơ \(\vec a\) khác \(\vec 0\). Có bao nhiêu đường thẳng \(d\) đi qua \({M_0}\) và song song hoặc trùng với giá của \(\vec a\)?
Phương pháp giải:
Trong không gian, qua một điểm không nằm trên một đường thẳng, có duy nhất một đường thẳng đi qua điểm và song song với đường thẳng đó.
Lời giải chi tiết:
Nếu điểm \({M_0}\) nằm trên giá của vectơ \(\vec a\), thì đường thẳng đó là đường thẳng duy nhất cần tìm.
Nếu điểm \({M_0}\) không nằm trên giá của vectơ \(\vec a\), do trong không gian, qua một điểm không nằm trên một đường thẳng, có duy nhất một đường thẳng đi qua điểm và song song với đường thẳng đó, nên tồn tại duy nhất một đường thẳng đi qua \({M_0}\) và song song với giá của vectơ \(\vec a\).
Như vậy, có duy nhất một đường thẳng \(d\) đi qua \({M_0}\) và song song hoặc trùng với giá của \(\vec a.\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 44 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d\) đi qua điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) cố định và có vectơ chỉ phương là \(\vec a = \left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right)\) khác \(\vec 0.\)
a) Giải thích tại sao ta có thể viết \(M \in d \Leftrightarrow \overrightarrow {{M_0}M} = t\vec a{\rm{ }}\left( {t \in \mathbb{R}} \right).\)
b) Với \(M\left( {x;y;z} \right)\) thuộc \(d\), hãy tính \(x\), \(y\), \(z\) theo \({x_0}\), \({y_0}\), \({z_0}\) và \({a_1}\), \({a_2}\), \({a_3}.\)
Phương pháp giải:
a) Chỉ ra rằng \(\overrightarrow {{M_0}M} \) và \(\vec a\) là hai vectơ cùng phương.
b) Sử dụng tính chất của hai vectơ cùng phương.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có \(\vec a\) là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\).
Nếu \(M \in d\), ta có \(d\) đi qua hai điểm \(M\) và \({M_0}\) nên hai vectơ \(\overrightarrow {{M_0}M} \) và \(\vec a\) là hai vectơ cùng phương, suy ra \(\overrightarrow {{M_0}M} = t\vec a\) với \(t \in \mathbb{R}\).
Ngược lại, với \(\overrightarrow {{M_0}M} = t\vec a\) thì \(\overrightarrow {{M_0}M} \) và \(\vec a\) là hai vectơ cùng phương. Mà \(\vec a\) là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\), nên \(\overrightarrow {{M_0}M} \) cũng là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\). Do \({M_0} \in d\), nên ta suy ra \(M \in d\).
b) Ta có \(\overrightarrow {{M_0}M} = \left( {x - {x_0};y - {y_0};z - {z_0}} \right)\) và \(\vec a = \left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right)\).
Theo câu a, ta có \(\overrightarrow {{M_0}M} = t\vec a\) nên \(\left( {x - {x_0};y - {y_0};z - {z_0}} \right) = t\left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right)\)
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}x - {x_0} = t{a_1}\\y - {y_0} = t{a_2}\\z - {z_0} = t{a_3}\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + t{a_1}\\y = {y_0} + t{a_2}\\z = {z_0} + t{a_3}\end{array} \right.\)
Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 47 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Một mô hình cầu treo được thiết kế trong không gian \(Oxyz\) như hình dưới đây. Viết phương trình tham số của làn đường \(d\) đi qua hai điểm \(M\left( {4;3;20} \right)\) và \(N\left( {4;1000;20} \right).\)
Phương pháp giải:
Đường thẳng \(d\) đi qua hai điểm \(M\) và \(N\) nên \(\overrightarrow {MN} \) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng, từ đó viết được phương trình tham số của \(d.\)
Lời giải chi tiết:
Ta có \(\overrightarrow {MN} = \left( {0;997;0} \right)\).
Đường thẳng \(d\) đi qua hai điểm \(M\) và \(N\) nên \(\overrightarrow {MN} \) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng. Suy ra vectơ \(\vec u = \frac{1}{{997}}\overrightarrow {MN} = \left( {0;1;0} \right)\) cũng là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d.\)
Phương trình tham số của làn đường \(d\) đi qua \(M\left( {4;3;20} \right)\) và có một vectơ chỉ phương \(\vec u = \left( {0;1;0} \right)\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + 0t\\y = 3 + t\\z = 20 + 0t\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 3 + t\\z = 20\end{array} \right.\).
Đặt \(t' = t + 3\), phương trình tham số của làn đường \(d\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = t'\\z = 20\end{array} \right.\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 44 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \({M_0}\) cố định và vectơ \(\vec a\) khác \(\vec 0\). Có bao nhiêu đường thẳng \(d\) đi qua \({M_0}\) và song song hoặc trùng với giá của \(\vec a\)?
Phương pháp giải:
Trong không gian, qua một điểm không nằm trên một đường thẳng, có duy nhất một đường thẳng đi qua điểm và song song với đường thẳng đó.
Lời giải chi tiết:
Nếu điểm \({M_0}\) nằm trên giá của vectơ \(\vec a\), thì đường thẳng đó là đường thẳng duy nhất cần tìm.
Nếu điểm \({M_0}\) không nằm trên giá của vectơ \(\vec a\), do trong không gian, qua một điểm không nằm trên một đường thẳng, có duy nhất một đường thẳng đi qua điểm và song song với đường thẳng đó, nên tồn tại duy nhất một đường thẳng đi qua \({M_0}\) và song song với giá của vectơ \(\vec a\).
Như vậy, có duy nhất một đường thẳng \(d\) đi qua \({M_0}\) và song song hoặc trùng với giá của \(\vec a.\)
Trả lời câu hỏi Thực hành 1 trang 44 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Trong không gian \(Oxyz\), cho hình lăng trụ tam giác \(ABC.A'B'C'\) với \(A\left( {1;2;1} \right)\), \(B\left( {7;5;3} \right)\), \(C\left( {4;2;0} \right)\), \(A'\left( {4;9;9} \right)\). Tìm toạ độ một vectơ chỉ phương của mỗi đường thẳng \(AB\), \(A'C'\) và \(BB'.\)
Phương pháp giải:
Các đường thẳng \(AB\), \(A'C'\) và \(BB'\) có một vectơ chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow {AB} \), \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {AA'} .\)
Lời giải chi tiết:
Ta có \(\overrightarrow {AB} \left( {6;3;2} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(AB.\)
Ta có \(AC\parallel A'C'\) nên \(\overrightarrow {AC} \left( {3;0; - 1} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(A'C'.\)
Ta có \(AA'\parallel BB'\) nên \(\overrightarrow {AA'} \left( {3;7;8} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(BB'.\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 44 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d\) đi qua điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) cố định và có vectơ chỉ phương là \(\vec a = \left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right)\) khác \(\vec 0.\)
a) Giải thích tại sao ta có thể viết \(M \in d \Leftrightarrow \overrightarrow {{M_0}M} = t\vec a{\rm{ }}\left( {t \in \mathbb{R}} \right).\)
b) Với \(M\left( {x;y;z} \right)\) thuộc \(d\), hãy tính \(x\), \(y\), \(z\) theo \({x_0}\), \({y_0}\), \({z_0}\) và \({a_1}\), \({a_2}\), \({a_3}.\)
Phương pháp giải:
a) Chỉ ra rằng \(\overrightarrow {{M_0}M} \) và \(\vec a\) là hai vectơ cùng phương.
b) Sử dụng tính chất của hai vectơ cùng phương.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có \(\vec a\) là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\).
Nếu \(M \in d\), ta có \(d\) đi qua hai điểm \(M\) và \({M_0}\) nên hai vectơ \(\overrightarrow {{M_0}M} \) và \(\vec a\) là hai vectơ cùng phương, suy ra \(\overrightarrow {{M_0}M} = t\vec a\) với \(t \in \mathbb{R}\).
Ngược lại, với \(\overrightarrow {{M_0}M} = t\vec a\) thì \(\overrightarrow {{M_0}M} \) và \(\vec a\) là hai vectơ cùng phương. Mà \(\vec a\) là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\), nên \(\overrightarrow {{M_0}M} \) cũng là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\). Do \({M_0} \in d\), nên ta suy ra \(M \in d\).
b) Ta có \(\overrightarrow {{M_0}M} = \left( {x - {x_0};y - {y_0};z - {z_0}} \right)\) và \(\vec a = \left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right)\).
Theo câu a, ta có \(\overrightarrow {{M_0}M} = t\vec a\) nên \(\left( {x - {x_0};y - {y_0};z - {z_0}} \right) = t\left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right)\)
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}x - {x_0} = t{a_1}\\y - {y_0} = t{a_2}\\z - {z_0} = t{a_3}\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + t{a_1}\\y = {y_0} + t{a_2}\\z = {z_0} + t{a_3}\end{array} \right.\)
Trả lời câu hỏi Thực hành 2 trang 46 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho đường thẳng \(d\) có phương trình tham số \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 8t\\y = - 4t\\z = 3 + 12t\end{array} \right.\)
a) Tìm hai vectơ chỉ phương của \(d.\)
b) Tìm ba điểm trên \(d.\)
Phương pháp giải:
a) Từ phương trình tham số, chỉ ra hai vectơ chỉ phương của đường thẳng.
b) Từ phương trình tham số, chỉ ra ba điểm nằm trên đường thẳng.
Lời giải chi tiết:
a) Từ phương trình tham số, ta có \(\vec a = \left( {8; - 4;12} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d.\)
Chọn \(\vec b = \frac{1}{4}\vec a = \left( {2; - 1;3} \right)\), ta có \(\vec b\) cũng là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d.\)
b) Thay \(t = 0\) vào phương trình tham số của \(d\), ta được \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 8.0\\y = - 4.0\\z = 3 + 12.0\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 0\\z = 3\end{array} \right.\)
Vậy \(A\left( { - 1;0;3} \right)\) là một điểm nằm trên đường thẳng \(d.\)
Thay \(t = 1\) vào phương trình tham số của \(d\), ta được \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 8.1\\y = - 4.1\\z = 3 + 12.1\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x = 7\\y = - 4\\z = 15\end{array} \right.\)
Vậy \(B\left( {7; - 4;15} \right)\) là một điểm nằm trên đường thẳng \(d.\)
Thay \(t = 2\) vào phương trình tham số của \(d\), ta được \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 8.2\\y = - 4.2\\z = 3 + 12.2\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x = 15\\y = - 8\\z = 27\end{array} \right.\)
Vậy \(C\left( {15; - 8;27} \right)\) là một điểm nằm trên đường thẳng \(d.\)
Trả lời câu hỏi Thực hành 3 trang 46 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Viết phương trình tham số của đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A\left( {5;0; - 7} \right)\) và nhận \(\vec v = \left( {9;0; - 2} \right)\) làm vectơ chỉ phương. Đường thẳng \(d\) có đi qua điểm \(M\left( { - 4;0; - 5} \right)\) không?
Phương pháp giải:
Viết phương trình đường thẳng \(d.\)
Để kiểm tra điểm \(M\) có nằm trên đường thẳng \(d\) hay không, thực hiện thay hoành độ của điểm \(M\) vào phương trình để tìm tham số \(t\), sau đó thay tung độ và cao độ của \(z\) vào các phương trình còn lại để kiểm tra xem phương trình có thoả mãn hay không.
Lời giải chi tiết:
Phương trình tham số của \(d\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + 9t\\y = 0\\z = - 7 - 2t\end{array} \right.\)
Thay hoành độ điểm \(M\) vào phương trình \(x = 5 + 9t\), ta được \( - 4 = 5 + 9t\), suy ra \(t = - 1.\)
Thay \(t = - 1\), tung độ và cao độ của điểm \(M\) vào các phương trình còn lại, ta thấy các phương trình đó thoả mãn (do \(0 = 0\) và \( - 5 = - 7 - 2.\left( { - 1} \right)\)).
Vậy đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M.\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 46 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho đường thẳng \(d\) có phương trình tham số \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + {a_1}t\\y = {y_0} + {a_2}t\\z = {z_0} + {a_3}t\end{array} \right.\) với \({a_1}\), \({a_2}\), \({a_3}\) đều khác 0. Lấy điểm \(M\left( {x;y;z} \right)\) bất kì thuộc \(d\). So sánh các biểu thức \(\frac{{x - {x_0}}}{{{a_1}}}\); \(\frac{{y - {y_0}}}{{{a_2}}}\); \(\frac{{z - {z_0}}}{{{a_3}}}.\)
Phương pháp giải:
Lần lượt tính các biểu thức \(\frac{{x - {x_0}}}{{{a_1}}}\); \(\frac{{y - {y_0}}}{{{a_2}}}\); \(\frac{{z - {z_0}}}{{{a_3}}}\) và so sánh các kết quả.
Lời giải chi tiết:
Ta có \(M\left( {x;y;z} \right)\) thuộc \(d\), nên ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + {a_1}t\\y = {y_0} + {a_2}t\\z = {z_0} + {a_3}t\end{array} \right.\)
Suy ra \(\frac{{x - {x_0}}}{{{a_1}}} = t\); \(\frac{{y - {y_0}}}{{{a_2}}} = t\); \(\frac{{z - {z_0}}}{{{a_3}}} = t.\)
Như vậy \(\frac{{x - {x_0}}}{{{a_1}}} = \frac{{y - {y_0}}}{{{a_2}}} = \frac{{z - {z_0}}}{{{a_3}}}.\)
Trả lời câu hỏi Thực hành 4 trang 46 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Viết phương trình chính tắc của đường thẳng \(d\) đi qua điểm \({M_0}\left( {5;0; - 6} \right)\) và nhận \(\vec a = \left( {3;2; - 4} \right)\) làm vectơ chỉ phương.
Phương pháp giải:
Phương trình chính tắc của đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và nhận \(\vec a = \left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right)\) làm vectơ chỉ phương là \(\frac{{x - {x_0}}}{{{a_1}}} = \frac{{y - {y_0}}}{{{a_2}}} = \frac{{z - {z_0}}}{{{a_3}}}.\)
Lời giải chi tiết:
Phương trình chính tắc của đường thẳng \(d\) đi qua điểm \({M_0}\left( {5;0; - 6} \right)\) và nhận \(\vec a = \left( {3;2; - 4} \right)\) làm vectơ chỉ phương là \(\frac{{x - 5}}{3} = \frac{{y - 0}}{2} = \frac{{z - \left( { - 6} \right)}}{{ - 4}}\) hay \(\frac{{x - 5}}{3} = \frac{y}{2} = \frac{{z + 6}}{{ - 4}}.\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 47 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho đường thẳng \(d\) đi qua hai điểm \(A\left( {2;2;1} \right)\) và \(B\left( {4;5;3} \right).\)
a) Tìm một vectơ chỉ phương của \(d.\)
b) Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của \(d.\)
Phương pháp giải:
a) Đường thẳng \(d\) đi qua hai điểm \(A\) và \(B\) nên nó nhận \(\overrightarrow {AB} \) là một vectơ chỉ phương.
b) Viết phương trình đường thẳng \(d\) đi qua \(A\) và có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} .\)
Lời giải chi tiết:
a) Đường thẳng \(d\) đi qua hai điểm \(A\left( {2;2;1} \right)\) và \(B\left( {4;5;3} \right)\) nên nó nhận \(\overrightarrow {AB} \left( {2;3;2} \right)\) là một vectơ chỉ phương.
b) Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) đi qua \(A\left( {2;2;1} \right)\) và có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} \left( {2;3;2} \right)\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = 2 + 3t\\z = 1 + 2t\end{array} \right.\)
Phương trình chính tắc của đường thẳng \(d\) đi qua \(A\left( {2;2;1} \right)\) và có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} \left( {2;3;2} \right)\) là \(\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z - 1}}{2}.\)
Trả lời câu hỏi Thực hành 5 trang 47 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng \(MN\), biết \(M\left( {2;0; - 1} \right)\) và \(N\left( {4;3;1} \right).\)
Phương pháp giải:
Đường thẳng \(MN\) đi qua hai điểm \(M\) và \(N\) nên \(\overrightarrow {MN} \) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng, từ đó viết được phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng \(MN.\)
Lời giải chi tiết:
Ta có \(\overrightarrow {MN} = \left( {2;3;2} \right)\).
Đường thẳng \(MN\) đi qua điểm \(M\left( {2;0; - 1} \right)\) và có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {MN} = \left( {2;3;2} \right)\) nên phương trình tham số của đường thẳng \(MN\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = 0 + 3t\\z = - 1 + 2t\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = 3t\\z = - 1 + 2t\end{array} \right.\); phương trình chính tắc của đường thẳng \(MN\) là \(\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y - 0}}{3} = \frac{{z + 1}}{2}\) hay \(\frac{{x - 2}}{2} = \frac{y}{3} = \frac{{z + 1}}{2}.\)
Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 47 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Một mô hình cầu treo được thiết kế trong không gian \(Oxyz\) như hình dưới đây. Viết phương trình tham số của làn đường \(d\) đi qua hai điểm \(M\left( {4;3;20} \right)\) và \(N\left( {4;1000;20} \right).\)
Phương pháp giải:
Đường thẳng \(d\) đi qua hai điểm \(M\) và \(N\) nên \(\overrightarrow {MN} \) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng, từ đó viết được phương trình tham số của \(d.\)
Lời giải chi tiết:
Ta có \(\overrightarrow {MN} = \left( {0;997;0} \right)\).
Đường thẳng \(d\) đi qua hai điểm \(M\) và \(N\) nên \(\overrightarrow {MN} \) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng. Suy ra vectơ \(\vec u = \frac{1}{{997}}\overrightarrow {MN} = \left( {0;1;0} \right)\) cũng là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d.\)
Phương trình tham số của làn đường \(d\) đi qua \(M\left( {4;3;20} \right)\) và có một vectơ chỉ phương \(\vec u = \left( {0;1;0} \right)\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + 0t\\y = 3 + t\\z = 20 + 0t\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 3 + t\\z = 20\end{array} \right.\).
Đặt \(t' = t + 3\), phương trình tham số của làn đường \(d\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = t'\\z = 20\end{array} \right.\).
Mục 1 của chương trình Toán 12 tập 2 Chân trời sáng tạo tập trung vào việc ôn tập và hệ thống hóa kiến thức về đạo hàm. Đây là một phần quan trọng, nền tảng cho việc giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong chương trình. Việc nắm vững các khái niệm, định lý và kỹ năng liên quan đến đạo hàm là điều kiện cần thiết để đạt kết quả tốt trong các kỳ thi.
Các bài tập trên trang 44 tập trung vào việc sử dụng đạo hàm để xác định các khoảng đơn điệu, cực trị của hàm số. Để giải quyết các bài tập này, học sinh cần:
Ví dụ, bài 1 yêu cầu khảo sát hàm số y = x3 - 3x2 + 2. Học sinh cần thực hiện các bước trên để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến và các điểm cực trị của hàm số này.
Trang 45 tập trung vào việc sử dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng cho trước. Để giải quyết các bài tập này, học sinh cần:
Ví dụ, bài 2 yêu cầu tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = x2 - 4x + 3 trên đoạn [-1; 3]. Học sinh cần thực hiện các bước trên để tìm ra giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn này.
Các bài tập trên trang 46 và 47 là sự kết hợp của các kiến thức và kỹ năng đã học ở trang 44 và 45. Học sinh cần vận dụng linh hoạt các kiến thức này để giải quyết các bài tập phức tạp hơn. Các bài tập này thường yêu cầu học sinh phải kết hợp nhiều phương pháp khác nhau, chẳng hạn như phương pháp đổi biến, phương pháp xét hàm số, v.v.
Ngoài sách giáo khoa, học sinh có thể tham khảo thêm các tài liệu sau:
Việc giải các bài tập trong mục 1 trang 44, 45, 46, 47 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo là một bước quan trọng trong quá trình học tập môn Toán của học sinh. Hy vọng rằng với lời giải chi tiết và dễ hiểu mà loigiai.com.vn cung cấp, các em học sinh sẽ nắm vững kiến thức và đạt kết quả tốt trong các kỳ thi.
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Khám phá thế giới phân dạng, từ hình học trừu tượng đến ứng dụng trong nghệ thuật và tự nhiên. Tìm hiểu cách phân dạng tạo ra vẻ đẹp vô hạn!
Bạn đã bao giờ gặp một điều nghe có vẻ vô lý nhưng lại chứa đựng sự thật? Khám phá thế giới Paradox - những mâu thuẫn thú vị giúp bạn nhìn nhận cuộc sống dưới một góc độ mới lạ. Đọc ngay!
Khám phá 'Tên của trò chơi là bắt cóc' - cuốn sách hấp dẫn đưa bạn vào thế giới ngầm đầy rẫy những kẻ ác. Đánh giá chi tiết, phân tích sâu sắc và lý do bạn nên đọc ngay!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán lớp 1 khó nhất! Hướng dẫn phụ huynh cách hỗ trợ con học toán hiệu quả, tạo hứng thú và đạt kết quả tốt nhất. Khám phá các mẹo học tập thông minh!
Review sách 'Dữ liệu tử thần' của Jeffery Deaver. Khám phá cách tội phạm sử dụng thông tin cá nhân và học cách bảo vệ dữ liệu của bạn ngay hôm nay!
