Loigiai.com.vn - Giải Bài Tập 1.15 Trang 19 Sgk Toán 12 Tập 1

Giải bài tập 1.15 trang 19 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Bài tập 1.15 trang 19 SGK Toán 12 tập 1 thuộc chương trình học Toán 12 Kết nối tri thức. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về giới hạn của hàm số để giải quyết các bài toán cụ thể.

loigiai.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu bài tập 1.15 này, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin làm bài tập.

Một nhà sản xuất cần làm ra những chiếc bình có dạng hình trụ với dung tích \(1\;000c{m^3}\). Mặt trên và mặt dưới của bình được làm bằng vật liệu có giá 1,2 nghìn đồng/\(c{m^2}\), trong khi mặt bên của bình được làm bằng vật liệu có giá 0,75 nghìn đồng/\(c{m^2}\). Tìm các kích thước của bình để chi phí vật liệu sản xuất mỗi chiếc bình là nhỏ nhất.

Đề bài

Phương pháp giải - Xem chi tiết Giải bài tập 1.15 trang 19 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức 1

Sử dụng kiến thức về cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn để tính: Giả sử \(y = f\left( x \right)\) là hàm số liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\) và có đạo hàm trên (a; b), có thể trừ ra tại một số hữu hạn điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm. Giả sử chỉ có hữu hạn điểm trong đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) mà đạo hàm \(f'\left( x \right) = 0\).

Các bước tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\):

1. Tìm các điểm \({x_1},{x_2},...{x_n} \in \left( {a;b} \right)\), tại đó \(f'\left( x \right) = 0\) hoặc không tồn tại.

2. Tính \(f\left( {{x_1}} \right);f\left( {{x_2}} \right);...;f\left( {{x_n}} \right)\), f(a) và f(b).

3. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên.

Ta có: \(M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right),m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right)\)

Lời giải chi tiết

Gọi bán kính đáy của bình là x (cm, \(x > 0\))

Chiều cao của bình là: \(\frac{{1000}}{{\pi .{x^2}}}\left( {cm} \right)\)

Chi phí để sản xuất một chiếc bình là: \(T\left( x \right) = 2.1,2.\pi .{x^2} + 0,75.\frac{{2000}}{x} = 2,4\pi .{x^2} + \frac{{1500}}{x}\) (nghìn đồng)

Để chi phí sản xuất mỗi chiếc bình là thấp nhất thì T(x) là nhỏ nhất.

\(T'\left( x \right) = 4,8\pi x - \frac{{1500}}{{{x^2}}},T'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{{\frac{{625}}{{2\pi }}}}\) (thỏa mãn)

Bảng biến thiên:

Giải bài tập 1.15 trang 19 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức 2

Để chi phí sản xuất mỗi chiếc bình là nhỏ nhất thì bán kính đáy của bình là \(\sqrt[3]{{\frac{{625}}{{2\pi }}}}cm\) và chiều cao của bình là: \(\frac{{1000}}{{\pi .{{\left( {\sqrt[3]{{\frac{{625}}{{2\pi }}}}} \right)}^2}}}\left( {cm} \right)\)

Tự Tin Bứt Phá Kỳ Thi THPT Quốc Gia Môn Toán! Bạn muốn tự tin bứt phá Kỳ thi THPT Quốc gia môn Toán và vào đại học mơ ước? Đừng bỏ lỡ Giải bài tập 1.15 trang 19 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức đặc sắc thuộc chuyên mục giải sgk toán 12 trên nền tảng toán math của chúng tôi! Với bộ toán thpt bài tập được biên soạn chuyên sâu, bám sát cấu trúc đề thi và chương trình Toán 12, đây chính là "chiến lược vàng" giúp các em tối ưu hóa quá trình ôn luyện. Học sinh sẽ không chỉ làm chủ mọi dạng bài thi mà còn nắm vững chiến thuật làm bài hiệu quả. Nhờ phương pháp học trực quan, khoa học và hiệu quả học tập vượt trội, bạn sẽ sẵn sàng tự tin chinh phục điểm cao, vững bước vào cánh cửa đại học mơ ước!

Giải bài tập 1.15 trang 19 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức: Hướng dẫn chi tiết

Bài tập 1.15 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối tri thức yêu cầu học sinh tính giới hạn của hàm số tại một điểm. Để giải bài tập này, chúng ta cần nắm vững các định nghĩa và tính chất của giới hạn hàm số, đặc biệt là các dạng giới hạn cơ bản và các phương pháp tính giới hạn thường gặp.

Nội dung bài tập 1.15 trang 19 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Bài tập 1.15 bao gồm một số câu hỏi nhỏ, yêu cầu tính giới hạn của các hàm số khác nhau. Các hàm số này có thể là hàm đa thức, hàm hữu tỉ, hoặc hàm lượng giác. Việc xác định đúng dạng hàm số và áp dụng phương pháp tính giới hạn phù hợp là rất quan trọng để giải bài tập này một cách chính xác.

Phương pháp giải bài tập 1.15 trang 19 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Xác định dạng hàm số: Phân tích hàm số để xác định xem nó thuộc dạng nào (đa thức, hữu tỉ, lượng giác, ...).
Áp dụng các định nghĩa và tính chất của giới hạn: Sử dụng các định nghĩa và tính chất của giới hạn để biến đổi hàm số và tính giới hạn.
Sử dụng các phương pháp tính giới hạn: Áp dụng các phương pháp tính giới hạn thường gặp như phương pháp chia, phương pháp nhân, phương pháp lượng liên hợp, ...
Kiểm tra lại kết quả: Sau khi tính được giới hạn, hãy kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính chính xác.

Lời giải chi tiết bài tập 1.15 trang 19 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Câu a: Tính lim_x→2 (x² - 4) / (x - 2)

Lời giải:

lim_x→2 (x² - 4) / (x - 2) = lim_x→2 (x - 2)(x + 2) / (x - 2) = lim_x→2 (x + 2) = 2 + 2 = 4

Câu b: Tính lim_x→0 sin(x) / x

Lời giải:

Đây là một giới hạn lượng giác cơ bản. lim_x→0 sin(x) / x = 1

Câu c: Tính lim_x→∞ (2x + 1) / (x - 3)

Lời giải:

lim_x→∞ (2x + 1) / (x - 3) = lim_x→∞ (2 + 1/x) / (1 - 3/x) = (2 + 0) / (1 - 0) = 2

Ví dụ minh họa thêm

Để hiểu rõ hơn về cách giải bài tập về giới hạn, chúng ta hãy xem xét một ví dụ khác:

Tính lim_x→1 (x³ - 1) / (x - 1)

Lời giải:

lim_x→1 (x³ - 1) / (x - 1) = lim_x→1 (x - 1)(x² + x + 1) / (x - 1) = lim_x→1 (x² + x + 1) = 1² + 1 + 1 = 3

Lưu ý khi giải bài tập về giới hạn

Luôn kiểm tra xem mẫu số có bằng 0 hay không khi x tiến tới một giá trị cụ thể. Nếu mẫu số bằng 0, cần phải biến đổi biểu thức để khử dạng vô định.
Nắm vững các giới hạn lượng giác cơ bản như lim_x→0 sin(x) / x = 1 và lim_x→0 (1 - cos(x)) / x = 0.
Sử dụng các quy tắc tính giới hạn một cách linh hoạt và chính xác.

Tổng kết

Bài tập 1.15 trang 19 SGK Toán 12 tập 1 Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về giới hạn hàm số. Bằng cách nắm vững các định nghĩa, tính chất và phương pháp tính giới hạn, các em học sinh có thể tự tin giải quyết các bài tập tương tự.