Loigiai.com.vn cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho mục 3 trang 46, 47, 48 sách giáo khoa Toán 12 tập 2 chương trình Kết nối tri thức. Bài giải được trình bày rõ ràng, giúp học sinh nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.
Chúng tôi hiểu rằng việc tự học Toán 12 có thể gặp nhiều khó khăn. Vì vậy, loigiai.com.vn luôn cố gắng mang đến những giải pháp học tập hiệu quả nhất, giúp các em học sinh đạt kết quả tốt nhất.
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Trả lời câu hỏi Luyện tập 8 trang 46 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, chứng minh rằng hai đường thẳng sau song song với nhau:
\({\Delta _1}:\frac{{x - 3}}{1} = \frac{y}{{ - 2}} = \frac{{z - 1}}{3}\) và \({\Delta _2}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 2}} = \frac{z}{3}\).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về vị trí tương đối của hai đường thẳng để chứng minh: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) lần lượt đi qua các điểm \({A_1}\left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right),{A_2}\left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)\) và tương ứng có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {{a_1};{b_1};{c_1}} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( {{a_2};{b_2};{c_2}} \right)\). Khi đó, \({\Delta _1}//{\Delta _2} \Leftrightarrow \) \(\overrightarrow {{u_1}} \) cùng phương với \(\overrightarrow {{u_2}} \) và \({A_1}\not \in {\Delta _2}\)
Lời giải chi tiết:
Đường thẳng \({\Delta _1}\) đi qua điểm \({A_1}\left( {3;0;1} \right)\) và có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1; - 2;3} \right)\).
Đường thẳng \({\Delta _2}\) có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1; - 2;3} \right)\).
Vì \(\overrightarrow {{u_1}} = \overrightarrow {{u_2}} \) nên \(\overrightarrow {{u_1}} \) cùng phương với \(\overrightarrow {{u_2}} \).
Lại có: \(\frac{{3 - 1}}{1} \ne \frac{{0 - 2}}{{ - 2}} \ne \frac{1}{3}\) nên điểm \({A_1}\left( {3;0;1} \right)\) không thuộc đường thẳng \({\Delta _2}\).
Do đó, hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) song song với nhau.
Trả lời câu hỏi Luyện tập 9 trang 47 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 3}}{4}\) và \({\Delta _2}:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{z}{4}\). Chứng minh rằng:
a) Hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) song song với nhau;
b) Đường thẳng \({\Delta _1}\) và trục Ox chéo nhau;
c) Đường thẳng \({\Delta _2}\) trùng với đường thẳng \({\Delta _3}:\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z + 4}}{4}\);
d) Đường thẳng \({\Delta _2}\) cắt trục Oz.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về vị trí tương đối của hai đường thẳng để chứng minh: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) lần lượt đi qua các điểm \({A_1}\left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right),{A_2}\left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)\) và tương ứng có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {{a_1};{b_1};{c_1}} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( {{a_2};{b_2};{c_2}} \right)\). Khi đó:
\({\Delta _1}//{\Delta _2} \Leftrightarrow \) \(\overrightarrow {{u_1}} \) cùng phương với \(\overrightarrow {{u_2}} \) và \({A_1}\not \in {\Delta _2}\)
\({\Delta _1} \equiv {\Delta _2} \Leftrightarrow \) \(\overrightarrow {{u_1}} \) cùng phương với \(\overrightarrow {{u_2}} \) và \({A_1} \in {\Delta _2}\)
\({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) chéo nhau \( \Leftrightarrow \overrightarrow {{A_1}{A_2}} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne 0\)
\({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) cắt nhau \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne \overrightarrow 0 \\\overrightarrow {{A_1}{A_2}} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = 0\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết:
Đường thẳng \({\Delta _1}\) đi qua điểm \({A_1}\left( {1; - 2;3} \right)\) và có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1;1;4} \right)\).
Đường thẳng \({\Delta _2}\) đi qua điểm \({A_2}\left( { - 1; - 1;0} \right)\) và có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1;1;4} \right)\).
a) Vì \(\overrightarrow {{u_1}} = \overrightarrow {{u_2}} \) nên \(\overrightarrow {{u_1}} \) cùng phương với \(\overrightarrow {{u_2}} \).
Lại có: \(\frac{{1 + 1}}{1} \ne \frac{{ - 2 + 1}}{1}\) nên điểm \({A_1}\left( {1; - 2;3} \right)\) không thuộc đường thẳng \({\Delta _2}\).
Do đó, hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) song song với nhau.
b) Trục Ox có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow i = \left( {1;0;0} \right)\) và đi qua điểm O(0;0;0).
Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow i } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&4\\0&0\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}4&1\\0&1\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&1\\1&0\end{array}} \right|} \right) = \left( {0;4; - 1} \right)\), \(\overrightarrow {{A_1}O} \left( { - 1;2; - 3} \right)\)
Vì \(\overrightarrow {{A_1}O} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow i } \right] = - 1.0 + 2.4 - 3.\left( { - 1} \right) = 11 \ne 0\) nên \({\Delta _1}\) và Ox chéo nhau.
c) Đường thẳng \({\Delta _3}\) có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_3}} = \left( {1;1;4} \right)\).
Vì \(\overrightarrow {{u_3}} = \overrightarrow {{u_2}} \) nên \(\overrightarrow {{u_3}} \) cùng phương với \(\overrightarrow {{u_2}} \).
Lại có: \(\frac{{ - 1 + 2}}{1} = \frac{{ - 1 + 2}}{1} = \frac{{0 + 4}}{4}\) nên điểm \({A_2}\left( { - 1; - 1;0} \right)\) thuộc đường thẳng \({\Delta _3}\).
Do đó, đường thẳng \({\Delta _2}\) trùng với đường thẳng \({\Delta _3}\).
d) Trục Oz có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\) và đi qua điểm O(0;0;0)
Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {{u_2}} ,\overrightarrow k } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&4\\0&1\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}4&1\\1&0\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&1\\0&0\end{array}} \right|} \right) = \left( {1; - 1;0} \right)\), \(\overrightarrow {{A_2}O} \left( {1;1;0} \right)\)
Vì \(\overrightarrow {{A_2}O} .\left[ {\overrightarrow {{u_2}} ,\overrightarrow k } \right] = 1.1 - 1.1 - 0.0 = 0\) và \(\left[ {\overrightarrow {{u_2}} ,\overrightarrow k } \right] = \left( {1; - 1;0} \right) \ne \overrightarrow 0 \) nên \({\Delta _2}\) cắt trục Oz.
Trả lời câu hỏi Luyện tập 10 trang 48 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng: \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3 + t\\z = 1 - t\end{array} \right.\) và \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = s\\y = 1 + 2s\\z = 3s\end{array} \right.\).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về vị trí tương đối của hai đường thẳng để tìm vị trí tương đối của \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\): Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) tương ứng có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {{a_1};{b_1};{c_1}} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( {{a_2};{b_2};{c_2}} \right)\) và có phương trình tham số: \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = {x_1} + {a_1}t\\y = {y_1} + {b_1}t\\z = {z_1} + {c_1}t\end{array} \right.\) \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = {x_2} + {a_2}s\\y = {y_2} + {b_2}s\\z = {z_2} + {c_2}s\end{array} \right.\). Xét hệ phương trình hai ẩn t, s: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {a_1}t = {x_2} + {a_2}s\\{y_1} + {b_1}t = {y_2} + {b_2}s\\{z_1} + {c_1}t = {z_2} + {c_2}s\end{array} \right.\left( * \right)\)
\({\Delta _1}//{\Delta _2} \Leftrightarrow \) \(\overrightarrow {{u_1}} \) cùng phương với \(\overrightarrow {{u_2}} \) và hệ (*) vô nghiệm.
\({\Delta _1} \equiv {\Delta _2} \Leftrightarrow \) Hệ (*) có vô số nghiệm.
\({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) chéo nhau \( \Leftrightarrow \)\(\overrightarrow {{u_1}} \) và \(\overrightarrow {{u_2}} \) không cùng phương và hệ (*) vô nghiệm.
\({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) cắt nhau \( \Leftrightarrow \) Hệ (*) có nghiệm duy nhất
Lời giải chi tiết:
\({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) có vectơ chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2;1; - 1} \right)\) và \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1;2;3} \right)\)
Vì \(\frac{2}{1} \ne \frac{1}{2}\) nên \(\overrightarrow {{u_1}} \) và \(\overrightarrow {{u_2}} \) không cùng phương. Do đó, \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) cắt nhau hoặc chéo nhau.
Xét hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}1 + 2t = s\\3 + t = 1 + 2s\\1 - t = 3s\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}s - 2t = 1\;\left( 1 \right)\\2s - t = 2\;\left( 2 \right)\\3s + t = 1\;\left( 3 \right)\end{array} \right.\)
Từ (1) và (2) ta có: \(s = 1;t = 0\), thay vào (3) ta thấy không thỏa mãn phương trình.
Do đó, hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) chéo nhau.
Trả lời câu hỏi Hoạt động 6 trang 46 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) lần lượt đi qua các điểm \({A_1}\left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right),{A_2}\left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)\) và tương ứng có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {{a_1};{b_1};{c_1}} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( {{a_2};{b_2};{c_2}} \right)\). (H.5.29).
a) Tìm điều kiện đối với \(\overrightarrow {{u_1}} \) và \(\overrightarrow {{u_2}} \) để \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) song song hoặc trùng nhau.
b) Giả sử \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne \overrightarrow 0 \) và \(\overrightarrow {{A_1}{A_2}} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = 0\) thì \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) có cắt nhau hay không?
c) Giả sử \(\overrightarrow {{A_1}{A_2}} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne 0\) thì \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) có chéo nhau hay không?
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về giá của vectơ trong không gian để tìm chứng minh: Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ được gọi là giá của vectơ.
Lời giải chi tiết:
a) Để \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) song song hoặc trùng nhau thì giá của hai vectơ \(\overrightarrow {{u_1}} \) và \(\overrightarrow {{u_2}} \) song song hoặc trùng nhau. Suy ra, \(\overrightarrow {{u_1}} \) và \(\overrightarrow {{u_2}} \) cùng phương.
b) Vì \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne \overrightarrow 0 \) mà \(\overrightarrow {{A_1}{A_2}} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = 0\) nên \(\overrightarrow {{A_1}{A_2}} = \overrightarrow 0 \), suy ra \({A_1}\) trùng \({A_2}\). Do đó, \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) cắt nhau.
c) Vì \(\overrightarrow {{A_1}{A_2}} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne 0\) nên \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne \overrightarrow 0 \) và \(\overrightarrow {{A_1}{A_2}} \ne \overrightarrow 0 \) nên \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) chéo nhau.
Trả lời câu hỏi Vận dụng 3 trang 48 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
(H.5.30) Trong không gian Oxyz, có hai vật thể lần lượt xuất phát từ A(1; 2; 0) và B(3; 5; 0) với vận tốc không đổi tương ứng là \(\overrightarrow {{v_1}} = \left( {2;1;3} \right),\overrightarrow {{v_2}} = \left( {1;2;1} \right)\). Hỏi trong quá trình chuyển động, hai vật thể trên có va chạm vào nhau hay không?
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về vị trí tương đối của hai đường thẳng để giải: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) lần lượt đi qua các điểm \({A_1}\left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right),{A_2}\left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)\) và tương ứng có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {{a_1};{b_1};{c_1}} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( {{a_2};{b_2};{c_2}} \right)\). Khi đó:
\({\Delta _1}//{\Delta _2} \Leftrightarrow \) \(\overrightarrow {{u_1}} \) cùng phương với \(\overrightarrow {{u_2}} \) và \({A_1}\not \in {\Delta _2}\).
\({\Delta _1} \equiv {\Delta _2} \Leftrightarrow \) \(\overrightarrow {{u_1}} \) cùng phương với \(\overrightarrow {{u_2}} \) và \({A_1} \in {\Delta _2}\).
\({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) chéo nhau \( \Leftrightarrow \overrightarrow {{A_1}{A_2}} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne 0\).
\({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) cắt nhau \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne \overrightarrow 0 \\\overrightarrow {{A_1}{A_2}} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = 0\end{array} \right.\) .
Lời giải chi tiết:
Gọi d là đường thẳng đi qua A và có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{v_1}} =\left( {2;1;3} \right)\).
Gọi d’ là đường thẳng đi qua B và có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{v_2}} =\left( {1;2;1} \right)\).
Vì \(\frac{2}{1} \ne \frac{1}{2}\) nên hai vectơ \(\overrightarrow {{v_1}} \) và \(\overrightarrow {{v_2}} \) không cùng phương.
Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {{v_1}} ;\overrightarrow {{v_2}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&3\\2&1\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&2\\1&1\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&1\\1&2\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 5;1;3} \right) \ne \overrightarrow 0 \), \(\overrightarrow {AB} \left( {2;3;0} \right)\).
Vì \(\overrightarrow {AB} .\left[ {\overrightarrow {{v_1}} ;\overrightarrow {{v_2}} } \right] = \left( { - 5} \right).2 + 1.3 + 3.0 = - 7 \ne 0\) nên d và d’ chéo nhau.
Do đó, hai vật trên không va chạm vào nhau.
Trả lời câu hỏi Hoạt động 6 trang 46 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) lần lượt đi qua các điểm \({A_1}\left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right),{A_2}\left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)\) và tương ứng có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {{a_1};{b_1};{c_1}} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( {{a_2};{b_2};{c_2}} \right)\). (H.5.29).
a) Tìm điều kiện đối với \(\overrightarrow {{u_1}} \) và \(\overrightarrow {{u_2}} \) để \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) song song hoặc trùng nhau.
b) Giả sử \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne \overrightarrow 0 \) và \(\overrightarrow {{A_1}{A_2}} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = 0\) thì \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) có cắt nhau hay không?
c) Giả sử \(\overrightarrow {{A_1}{A_2}} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne 0\) thì \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) có chéo nhau hay không?
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về giá của vectơ trong không gian để tìm chứng minh: Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ được gọi là giá của vectơ.
Lời giải chi tiết:
a) Để \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) song song hoặc trùng nhau thì giá của hai vectơ \(\overrightarrow {{u_1}} \) và \(\overrightarrow {{u_2}} \) song song hoặc trùng nhau. Suy ra, \(\overrightarrow {{u_1}} \) và \(\overrightarrow {{u_2}} \) cùng phương.
b) Vì \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne \overrightarrow 0 \) mà \(\overrightarrow {{A_1}{A_2}} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = 0\) nên \(\overrightarrow {{A_1}{A_2}} = \overrightarrow 0 \), suy ra \({A_1}\) trùng \({A_2}\). Do đó, \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) cắt nhau.
c) Vì \(\overrightarrow {{A_1}{A_2}} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne 0\) nên \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne \overrightarrow 0 \) và \(\overrightarrow {{A_1}{A_2}} \ne \overrightarrow 0 \) nên \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) chéo nhau.
Trả lời câu hỏi Luyện tập 8 trang 46 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, chứng minh rằng hai đường thẳng sau song song với nhau:
\({\Delta _1}:\frac{{x - 3}}{1} = \frac{y}{{ - 2}} = \frac{{z - 1}}{3}\) và \({\Delta _2}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 2}} = \frac{z}{3}\).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về vị trí tương đối của hai đường thẳng để chứng minh: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) lần lượt đi qua các điểm \({A_1}\left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right),{A_2}\left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)\) và tương ứng có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {{a_1};{b_1};{c_1}} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( {{a_2};{b_2};{c_2}} \right)\). Khi đó, \({\Delta _1}//{\Delta _2} \Leftrightarrow \) \(\overrightarrow {{u_1}} \) cùng phương với \(\overrightarrow {{u_2}} \) và \({A_1}\not \in {\Delta _2}\)
Lời giải chi tiết:
Đường thẳng \({\Delta _1}\) đi qua điểm \({A_1}\left( {3;0;1} \right)\) và có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1; - 2;3} \right)\).
Đường thẳng \({\Delta _2}\) có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1; - 2;3} \right)\).
Vì \(\overrightarrow {{u_1}} = \overrightarrow {{u_2}} \) nên \(\overrightarrow {{u_1}} \) cùng phương với \(\overrightarrow {{u_2}} \).
Lại có: \(\frac{{3 - 1}}{1} \ne \frac{{0 - 2}}{{ - 2}} \ne \frac{1}{3}\) nên điểm \({A_1}\left( {3;0;1} \right)\) không thuộc đường thẳng \({\Delta _2}\).
Do đó, hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) song song với nhau.
Trả lời câu hỏi Luyện tập 9 trang 47 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 3}}{4}\) và \({\Delta _2}:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{z}{4}\). Chứng minh rằng:
a) Hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) song song với nhau;
b) Đường thẳng \({\Delta _1}\) và trục Ox chéo nhau;
c) Đường thẳng \({\Delta _2}\) trùng với đường thẳng \({\Delta _3}:\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z + 4}}{4}\);
d) Đường thẳng \({\Delta _2}\) cắt trục Oz.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về vị trí tương đối của hai đường thẳng để chứng minh: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) lần lượt đi qua các điểm \({A_1}\left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right),{A_2}\left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)\) và tương ứng có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {{a_1};{b_1};{c_1}} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( {{a_2};{b_2};{c_2}} \right)\). Khi đó:
\({\Delta _1}//{\Delta _2} \Leftrightarrow \) \(\overrightarrow {{u_1}} \) cùng phương với \(\overrightarrow {{u_2}} \) và \({A_1}\not \in {\Delta _2}\)
\({\Delta _1} \equiv {\Delta _2} \Leftrightarrow \) \(\overrightarrow {{u_1}} \) cùng phương với \(\overrightarrow {{u_2}} \) và \({A_1} \in {\Delta _2}\)
\({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) chéo nhau \( \Leftrightarrow \overrightarrow {{A_1}{A_2}} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne 0\)
\({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) cắt nhau \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne \overrightarrow 0 \\\overrightarrow {{A_1}{A_2}} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = 0\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết:
Đường thẳng \({\Delta _1}\) đi qua điểm \({A_1}\left( {1; - 2;3} \right)\) và có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1;1;4} \right)\).
Đường thẳng \({\Delta _2}\) đi qua điểm \({A_2}\left( { - 1; - 1;0} \right)\) và có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1;1;4} \right)\).
a) Vì \(\overrightarrow {{u_1}} = \overrightarrow {{u_2}} \) nên \(\overrightarrow {{u_1}} \) cùng phương với \(\overrightarrow {{u_2}} \).
Lại có: \(\frac{{1 + 1}}{1} \ne \frac{{ - 2 + 1}}{1}\) nên điểm \({A_1}\left( {1; - 2;3} \right)\) không thuộc đường thẳng \({\Delta _2}\).
Do đó, hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) song song với nhau.
b) Trục Ox có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow i = \left( {1;0;0} \right)\) và đi qua điểm O(0;0;0).
Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow i } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&4\\0&0\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}4&1\\0&1\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&1\\1&0\end{array}} \right|} \right) = \left( {0;4; - 1} \right)\), \(\overrightarrow {{A_1}O} \left( { - 1;2; - 3} \right)\)
Vì \(\overrightarrow {{A_1}O} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow i } \right] = - 1.0 + 2.4 - 3.\left( { - 1} \right) = 11 \ne 0\) nên \({\Delta _1}\) và Ox chéo nhau.
c) Đường thẳng \({\Delta _3}\) có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_3}} = \left( {1;1;4} \right)\).
Vì \(\overrightarrow {{u_3}} = \overrightarrow {{u_2}} \) nên \(\overrightarrow {{u_3}} \) cùng phương với \(\overrightarrow {{u_2}} \).
Lại có: \(\frac{{ - 1 + 2}}{1} = \frac{{ - 1 + 2}}{1} = \frac{{0 + 4}}{4}\) nên điểm \({A_2}\left( { - 1; - 1;0} \right)\) thuộc đường thẳng \({\Delta _3}\).
Do đó, đường thẳng \({\Delta _2}\) trùng với đường thẳng \({\Delta _3}\).
d) Trục Oz có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\) và đi qua điểm O(0;0;0)
Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {{u_2}} ,\overrightarrow k } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&4\\0&1\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}4&1\\1&0\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&1\\0&0\end{array}} \right|} \right) = \left( {1; - 1;0} \right)\), \(\overrightarrow {{A_2}O} \left( {1;1;0} \right)\)
Vì \(\overrightarrow {{A_2}O} .\left[ {\overrightarrow {{u_2}} ,\overrightarrow k } \right] = 1.1 - 1.1 - 0.0 = 0\) và \(\left[ {\overrightarrow {{u_2}} ,\overrightarrow k } \right] = \left( {1; - 1;0} \right) \ne \overrightarrow 0 \) nên \({\Delta _2}\) cắt trục Oz.
Trả lời câu hỏi Luyện tập 10 trang 48 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng: \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3 + t\\z = 1 - t\end{array} \right.\) và \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = s\\y = 1 + 2s\\z = 3s\end{array} \right.\).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về vị trí tương đối của hai đường thẳng để tìm vị trí tương đối của \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\): Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) tương ứng có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {{a_1};{b_1};{c_1}} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( {{a_2};{b_2};{c_2}} \right)\) và có phương trình tham số: \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = {x_1} + {a_1}t\\y = {y_1} + {b_1}t\\z = {z_1} + {c_1}t\end{array} \right.\) \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = {x_2} + {a_2}s\\y = {y_2} + {b_2}s\\z = {z_2} + {c_2}s\end{array} \right.\). Xét hệ phương trình hai ẩn t, s: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {a_1}t = {x_2} + {a_2}s\\{y_1} + {b_1}t = {y_2} + {b_2}s\\{z_1} + {c_1}t = {z_2} + {c_2}s\end{array} \right.\left( * \right)\)
\({\Delta _1}//{\Delta _2} \Leftrightarrow \) \(\overrightarrow {{u_1}} \) cùng phương với \(\overrightarrow {{u_2}} \) và hệ (*) vô nghiệm.
\({\Delta _1} \equiv {\Delta _2} \Leftrightarrow \) Hệ (*) có vô số nghiệm.
\({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) chéo nhau \( \Leftrightarrow \)\(\overrightarrow {{u_1}} \) và \(\overrightarrow {{u_2}} \) không cùng phương và hệ (*) vô nghiệm.
\({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) cắt nhau \( \Leftrightarrow \) Hệ (*) có nghiệm duy nhất
Lời giải chi tiết:
\({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) có vectơ chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2;1; - 1} \right)\) và \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1;2;3} \right)\)
Vì \(\frac{2}{1} \ne \frac{1}{2}\) nên \(\overrightarrow {{u_1}} \) và \(\overrightarrow {{u_2}} \) không cùng phương. Do đó, \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) cắt nhau hoặc chéo nhau.
Xét hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}1 + 2t = s\\3 + t = 1 + 2s\\1 - t = 3s\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}s - 2t = 1\;\left( 1 \right)\\2s - t = 2\;\left( 2 \right)\\3s + t = 1\;\left( 3 \right)\end{array} \right.\)
Từ (1) và (2) ta có: \(s = 1;t = 0\), thay vào (3) ta thấy không thỏa mãn phương trình.
Do đó, hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) chéo nhau.
Trả lời câu hỏi Vận dụng 3 trang 48 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
(H.5.30) Trong không gian Oxyz, có hai vật thể lần lượt xuất phát từ A(1; 2; 0) và B(3; 5; 0) với vận tốc không đổi tương ứng là \(\overrightarrow {{v_1}} = \left( {2;1;3} \right),\overrightarrow {{v_2}} = \left( {1;2;1} \right)\). Hỏi trong quá trình chuyển động, hai vật thể trên có va chạm vào nhau hay không?
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về vị trí tương đối của hai đường thẳng để giải: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) lần lượt đi qua các điểm \({A_1}\left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right),{A_2}\left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)\) và tương ứng có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {{a_1};{b_1};{c_1}} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( {{a_2};{b_2};{c_2}} \right)\). Khi đó:
\({\Delta _1}//{\Delta _2} \Leftrightarrow \) \(\overrightarrow {{u_1}} \) cùng phương với \(\overrightarrow {{u_2}} \) và \({A_1}\not \in {\Delta _2}\).
\({\Delta _1} \equiv {\Delta _2} \Leftrightarrow \) \(\overrightarrow {{u_1}} \) cùng phương với \(\overrightarrow {{u_2}} \) và \({A_1} \in {\Delta _2}\).
\({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) chéo nhau \( \Leftrightarrow \overrightarrow {{A_1}{A_2}} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne 0\).
\({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) cắt nhau \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne \overrightarrow 0 \\\overrightarrow {{A_1}{A_2}} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = 0\end{array} \right.\) .
Lời giải chi tiết:
Gọi d là đường thẳng đi qua A và có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{v_1}} =\left( {2;1;3} \right)\).
Gọi d’ là đường thẳng đi qua B và có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{v_2}} =\left( {1;2;1} \right)\).
Vì \(\frac{2}{1} \ne \frac{1}{2}\) nên hai vectơ \(\overrightarrow {{v_1}} \) và \(\overrightarrow {{v_2}} \) không cùng phương.
Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {{v_1}} ;\overrightarrow {{v_2}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&3\\2&1\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&2\\1&1\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&1\\1&2\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 5;1;3} \right) \ne \overrightarrow 0 \), \(\overrightarrow {AB} \left( {2;3;0} \right)\).
Vì \(\overrightarrow {AB} .\left[ {\overrightarrow {{v_1}} ;\overrightarrow {{v_2}} } \right] = \left( { - 5} \right).2 + 1.3 + 3.0 = - 7 \ne 0\) nên d và d’ chéo nhau.
Do đó, hai vật trên không va chạm vào nhau.
Mục 3 trong SGK Toán 12 tập 2 chương trình Kết nối tri thức thường tập trung vào một chủ đề cụ thể trong chương trình học. Để giải quyết các bài tập trong mục này, học sinh cần nắm vững kiến thức lý thuyết, các định nghĩa, định lý và công thức liên quan. Việc hiểu rõ bản chất của vấn đề là yếu tố then chốt để tìm ra lời giải chính xác.
Để cung cấp một giải pháp toàn diện, chúng ta sẽ đi sâu vào từng bài tập trong mục 3, trang 46, 47 và 48 của SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức. Mỗi bài tập sẽ được phân tích kỹ lưỡng, bao gồm:
Đề bài: Giải phương trình logarit sau: log2(x + 3) = 4
Lời giải:
Kết luận: Phương trình có nghiệm x = 13.
Đề bài: Tính đạo hàm của hàm số y = x3 - 2x2 + 5x - 1
Lời giải:
Sử dụng quy tắc đạo hàm của tổng và hiệu, ta có:
y' = 3x2 - 4x + 5
Kết luận: Đạo hàm của hàm số là y' = 3x2 - 4x + 5.
Đề bài: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sin(x) trên đoạn [0, π]
Lời giải:
Hàm số sin(x) đạt giá trị lớn nhất là 1 khi x = π/2 và đạt giá trị nhỏ nhất là 0 khi x = 0 hoặc x = π.
Kết luận: Giá trị lớn nhất của hàm số là 1 và giá trị nhỏ nhất là 0.
Trong quá trình giải bài tập, học sinh cần lưu ý những điều sau:
Ngoài SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức, học sinh có thể tham khảo thêm các tài liệu sau:
Hy vọng rằng với lời giải chi tiết và những lưu ý trên, các em học sinh sẽ tự tin hơn khi giải các bài tập trong mục 3 trang 46,47,48 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức. Chúc các em học tập tốt!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Khám phá thế giới phân dạng, từ hình học trừu tượng đến ứng dụng trong nghệ thuật và tự nhiên. Tìm hiểu cách phân dạng tạo ra vẻ đẹp vô hạn!
Bạn đã bao giờ gặp một điều nghe có vẻ vô lý nhưng lại chứa đựng sự thật? Khám phá thế giới Paradox - những mâu thuẫn thú vị giúp bạn nhìn nhận cuộc sống dưới một góc độ mới lạ. Đọc ngay!
Khám phá 'Tên của trò chơi là bắt cóc' - cuốn sách hấp dẫn đưa bạn vào thế giới ngầm đầy rẫy những kẻ ác. Đánh giá chi tiết, phân tích sâu sắc và lý do bạn nên đọc ngay!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán lớp 1 khó nhất! Hướng dẫn phụ huynh cách hỗ trợ con học toán hiệu quả, tạo hứng thú và đạt kết quả tốt nhất. Khám phá các mẹo học tập thông minh!
Review sách 'Dữ liệu tử thần' của Jeffery Deaver. Khám phá cách tội phạm sử dụng thông tin cá nhân và học cách bảo vệ dữ liệu của bạn ngay hôm nay!
