Loigiai.com.vn cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho mục 3 trang 33, 34, 35 sách giáo khoa Toán 12 tập 2 chương trình Kết nối tri thức. Bài giải được trình bày rõ ràng, giúp học sinh nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.
Chúng tôi hiểu rằng việc tự học Toán 12 có thể gặp nhiều khó khăn. Vì vậy, loigiai.com.vn luôn cố gắng mang đến những giải pháp học tập hiệu quả nhất, giúp các em học sinh đạt kết quả tốt nhất.
Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng
Trả lời câu hỏi Hoạt động 5 trang 33 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)\).
Dựa vào HĐ4, hãy nêu phương trình của \(\left( \alpha \right)\).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về phương trình tổng quát của mặt phẳng để giải: Trong không gian Oxyz, mỗi phương trình \(Ax + By + Cz + D = 0\) (các hệ số A, B, C không đồng thời bằng 0) xác định một mặt phẳng nhận \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.
Lời giải chi tiết:
Gọi điểm M(x; y; z) thuộc \(\left( \alpha \right)\). Khi đó, hai vectơ \(\overrightarrow n \) và \(\overrightarrow {{M_o}M} \) vuông góc với nhau.
Ta có: \(\overrightarrow {{M_o}M} \left( {x - {x_0};y - {y_0};z - {z_0}} \right)\)
Suy ra phương trình của \(\left( \alpha \right)\) là: \(A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow Ax + By + Cz - A{x_0} - B{y_0} - C{z_0} = 0\)
Vậy phương trình của \(\left( \alpha \right)\) là: \(Ax + By + Cz - A{x_0} - B{y_0} - C{z_0} = 0\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 6 trang 33 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \(M\left( {1;2; - 4} \right)\) và vuông góc với trục Oz.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và biết vectơ pháp tuyến để viết phương trình: Trong không gian Oxyz, nếu mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)\) thì có phương trình là:
\(A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0 \Leftrightarrow Ax + By + Cz + D = 0\) với \(D = - \left( {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0}} \right)\)
Lời giải chi tiết:
Vì mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) vuông góc với trục Oz nên mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) nhận \(\overrightarrow n \left( {0;0;1} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến. Mà mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \(M\left( {1;2; - 4} \right)\) nên phương trình tổng quát của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là: \(0\left( {x - 1} \right) + 0\left( {y - 2} \right) + 1.\left( {z + 4} \right) = 0 \Leftrightarrow z + 4 = 0\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 6 trang 33 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và biết cặp vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right),\overrightarrow v = \left( {a';b';c'} \right)\).
a) Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
b) Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và biết vectơ pháp tuyến để viết phương trình: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)\) thì có phương trình là:
\(A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0 \Leftrightarrow Ax + By + Cz + D = 0\) với \(D = A{x_0} - B{y_0} - C{y_0}\)
Lời giải chi tiết:
a) Vì \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) là các vectơ chỉ phương của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\). Do đó, \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) cùng vuông góc với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là: \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( {bc' - b'c;ca' - c'a;ab' - a'b} \right)\).
b) Vì mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\) và đi qua điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) nên phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là:
\(\left( {bc' - b'c} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + \left( {ca' - c'a} \right)\left( {y - {y_0}} \right) + \left( {ab' - a'b} \right)\left( {z - {z_0}} \right) = 0\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 7 trang 343 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho các điểm \(A\left( {1; - 2; - 1} \right),B\left( {4;1;2} \right),C\left( {2;3;1} \right)\). Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \(A\left( {1; - 2; - 1} \right)\) đồng thời song song với trục Oy và đường thẳng BC.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và biết cặp vectơ chỉ phương: Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và biết cặp vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) có thể thực hiện theo các bước sau:
+ Tìm vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\).
+ Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua M và biết vectơ pháp tuyến\(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\).
Lời giải chi tiết:
Trục Oy có một vectơ chỉ phương là: \(\overrightarrow j = \left( {0;1;0} \right)\).
Đường thẳng BC có một vectơ chỉ phương là: \(\overrightarrow {BC} \left( { - 2;2; - 1} \right)\).
Vì mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \(A\left( {1; - 2; - 1} \right)\) đồng thời song song với trục Oy và đường thẳng BC nên mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) nhận \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow j } \right]\) làm một vectơ pháp tuyến.
\(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow j } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 1}\\1&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&{ - 2}\\0&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&2\\0&1\end{array}} \right|} \right) = \left( {1;0; - 2} \right)\)
Do đó, phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là: \(1\left( {x - 1} \right) - 2\left( {z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 2z - 3 = 0\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 7 trang 34 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm không thẳng hàng \(A\left( {1;2;3} \right),B\left( { - 1;3;4} \right),C\left( {2; - 1;2} \right)\)
a) Hãy chỉ ra một cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (ABC).
b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và biết cặp vectơ chỉ phương: Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và biết cặp vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) có thể thực hiện theo các bước sau:
+ Tìm vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\).
+ Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua M và biết vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\).
Lời giải chi tiết:
a) Mặt phẳng (ABC) có cặp vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} \left( { - 2;1;1} \right),\overrightarrow {AC} \left( {1, - 3; - 1} \right)\).
b) Mặt phẳng (ABC) có cặp vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} \left( { - 2;1;1} \right),\overrightarrow {AC} \left( {1, - 3; - 1} \right)\) nên có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]\).
Ta có: \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&1\\{ - 3}&{ - 1}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - 2}\\{ - 1}&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&1\\1&{ - 3}\end{array}} \right|} \right) = \left( {2; - 1;5} \right)\)
Mặt phẳng (ABC) đi qua điểm \(A\left( {1;2;3} \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {2; - 1;5} \right)\) nên phương trình mặt phẳng (ABC) là: \(2\left( {x - 1} \right) - \left( {y - 2} \right) + 5\left( {z - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - y + 5z - 15 = 0\).
Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 35 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong tình huống mở đầu, hãy thực hiện các bước sau và trả lời câu hỏi đã được nêu ra.
a) Xác định tọa độ của vị trí \({M_1},{M_2},{M_3}\) của vật tương ứng với các thời điểm \(t = 0,t = \frac{\pi }{2},t = \pi \).
b) Chứng minh rằng \({M_1},{M_2},{M_3}\) không thẳng hàng và viết phương trình mặt phẳng \(\left( {{M_1}{M_2}{M_3}} \right)\).
c) Vị trí \(M\left( {\cos t - \sin t,\cos t + \sin t,\cos t} \right)\) có luôn thuộc mặt phẳng \(\left( {{M_1}{M_2}{M_3}} \right)\) hay không?
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về lập phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng để viết: Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi ba điểm không thẳng hàng A, B, C có thể thực hiện theo các bước sau:
+ Tìm cặp vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \)
+ Tìm vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]\).
+ Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua A và biết vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n \).
Lời giải chi tiết:
a) Với \(t = 0\) ta có: \({M_1}\left( {1;1;1} \right)\)
Với \(t = \frac{\pi }{2}\) ta có: \({M_2}\left( { - 1;1;0} \right)\)
Với \(t = \pi \) ta có: \({M_3}\left( { - 1; - 1; - 1} \right)\)
b) Hai vectơ \(\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \left( { - 2;0; - 1} \right),\overrightarrow {{M_1}{M_3}} \left( { - 2; - 2; - 2} \right)\) không cùng phương nên ba điểm \({M_1},{M_2},{M_3}\) không thẳng hàng.
c) Mặt phẳng \(\left( {{M_1}{M_2}{M_3}} \right)\) có cặp vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \left( { - 2;0; - 1} \right),\overrightarrow {{M_1}{M_3}} \left( { - 2; - 2; - 2} \right)\) nên có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{M_1}{M_2}} ,\overrightarrow {{M_1}{M_3}} } \right]\).
Ta có: \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{M_1}{M_2}} ,\overrightarrow {{M_1}{M_3}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 1}\\{ - 2}&{ - 2}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&{ - 2}\\{ - 2}&{ - 2}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&0\\{ - 2}&{ - 2}\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 2; - 2;4} \right)\)
Mặt phẳng \(\left( {{M_1}{M_2}{M_3}} \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \left( { - 2; - 2;4} \right)\) và đi qua điểm \({M_2}\left( { - 1;1;0} \right)\) nên phương trình mặt phẳng \(\left( {{M_1}{M_2}{M_3}} \right)\) là:
\( - 2\left( {x + 1} \right) - 2\left( {y - 1} \right) + 4z = 0 \Leftrightarrow x + 1 + y - 1 - 2z = 0 \Leftrightarrow x + y - 2z = 0\) (1)
c) Với \(M\left( {\cos t - \sin t,\cos t + \sin t,\cos t} \right)\) thay vào (1) ta có:
$\cos t-\sin t+\cos t+\sin t-2\cos t=0\Leftrightarrow 0=0\left( L D\right)$
Vậy \(M\left( {\cos t - \sin t,\cos t + \sin t,\cos t} \right)\) thuộc mặt phẳng \(\left( {{M_1}{M_2}{M_3}} \right)\). Do đó, vật thể M luôn chuyển động trong một mặt phẳng cố định.
Trả lời câu hỏi Luyện tập 8 trang 35 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
(H.5.8) Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) không đi qua gốc tọa độ và cắt ba trục Ox, Oy, Oz tương ứng tại các điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) \(\left( {a,b,c \ne 0} \right)\).
Chứng minh rằng mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có phương trình \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\) (Phương trình trên được gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về lập phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng để viết: Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi ba điểm không thẳng hàng A, B, C có thể thực hiện theo các bước sau:
+ Tìm cặp vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \)
+ Tìm vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]\).
+ Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua A và biết vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n \).
Lời giải chi tiết:
Mặt phẳng (ABC) có cặp vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} \left( { - a;b;0} \right),\overrightarrow {AC} \left( { - a;0;c} \right)\) nên có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]\).
Ta có: \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}b&0\\0&c\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - a}\\c&{ - a}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - a}&b\\{ - a}&0\end{array}} \right|} \right) = \left( {bc;ac;ab} \right)\)
Mặt phẳng (ABC) đi qua điểm A(a; 0; 0) và vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {bc;ac;ab} \right)\) nên phương trình mặt phẳng (ABC) là:
\(bc\left( {x - a} \right) + acy + abz = 0 \Leftrightarrow bcx + acy + abz = bca \Leftrightarrow \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\) (đpcm)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 5 trang 33 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)\).
Dựa vào HĐ4, hãy nêu phương trình của \(\left( \alpha \right)\).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về phương trình tổng quát của mặt phẳng để giải: Trong không gian Oxyz, mỗi phương trình \(Ax + By + Cz + D = 0\) (các hệ số A, B, C không đồng thời bằng 0) xác định một mặt phẳng nhận \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.
Lời giải chi tiết:
Gọi điểm M(x; y; z) thuộc \(\left( \alpha \right)\). Khi đó, hai vectơ \(\overrightarrow n \) và \(\overrightarrow {{M_o}M} \) vuông góc với nhau.
Ta có: \(\overrightarrow {{M_o}M} \left( {x - {x_0};y - {y_0};z - {z_0}} \right)\)
Suy ra phương trình của \(\left( \alpha \right)\) là: \(A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow Ax + By + Cz - A{x_0} - B{y_0} - C{z_0} = 0\)
Vậy phương trình của \(\left( \alpha \right)\) là: \(Ax + By + Cz - A{x_0} - B{y_0} - C{z_0} = 0\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 6 trang 33 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \(M\left( {1;2; - 4} \right)\) và vuông góc với trục Oz.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và biết vectơ pháp tuyến để viết phương trình: Trong không gian Oxyz, nếu mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)\) thì có phương trình là:
\(A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0 \Leftrightarrow Ax + By + Cz + D = 0\) với \(D = - \left( {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0}} \right)\)
Lời giải chi tiết:
Vì mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) vuông góc với trục Oz nên mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) nhận \(\overrightarrow n \left( {0;0;1} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến. Mà mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \(M\left( {1;2; - 4} \right)\) nên phương trình tổng quát của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là: \(0\left( {x - 1} \right) + 0\left( {y - 2} \right) + 1.\left( {z + 4} \right) = 0 \Leftrightarrow z + 4 = 0\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 6 trang 33 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và biết cặp vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right),\overrightarrow v = \left( {a';b';c'} \right)\).
a) Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
b) Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và biết vectơ pháp tuyến để viết phương trình: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)\) thì có phương trình là:
\(A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0 \Leftrightarrow Ax + By + Cz + D = 0\) với \(D = A{x_0} - B{y_0} - C{y_0}\)
Lời giải chi tiết:
a) Vì \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) là các vectơ chỉ phương của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\). Do đó, \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) cùng vuông góc với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là: \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( {bc' - b'c;ca' - c'a;ab' - a'b} \right)\).
b) Vì mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\) và đi qua điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) nên phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là:
\(\left( {bc' - b'c} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + \left( {ca' - c'a} \right)\left( {y - {y_0}} \right) + \left( {ab' - a'b} \right)\left( {z - {z_0}} \right) = 0\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 7 trang 343 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho các điểm \(A\left( {1; - 2; - 1} \right),B\left( {4;1;2} \right),C\left( {2;3;1} \right)\). Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \(A\left( {1; - 2; - 1} \right)\) đồng thời song song với trục Oy và đường thẳng BC.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và biết cặp vectơ chỉ phương: Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và biết cặp vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) có thể thực hiện theo các bước sau:
+ Tìm vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\).
+ Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua M và biết vectơ pháp tuyến\(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\).
Lời giải chi tiết:
Trục Oy có một vectơ chỉ phương là: \(\overrightarrow j = \left( {0;1;0} \right)\).
Đường thẳng BC có một vectơ chỉ phương là: \(\overrightarrow {BC} \left( { - 2;2; - 1} \right)\).
Vì mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \(A\left( {1; - 2; - 1} \right)\) đồng thời song song với trục Oy và đường thẳng BC nên mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) nhận \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow j } \right]\) làm một vectơ pháp tuyến.
\(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow j } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 1}\\1&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&{ - 2}\\0&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&2\\0&1\end{array}} \right|} \right) = \left( {1;0; - 2} \right)\)
Do đó, phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là: \(1\left( {x - 1} \right) - 2\left( {z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 2z - 3 = 0\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 7 trang 34 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm không thẳng hàng \(A\left( {1;2;3} \right),B\left( { - 1;3;4} \right),C\left( {2; - 1;2} \right)\)
a) Hãy chỉ ra một cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (ABC).
b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và biết cặp vectơ chỉ phương: Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và biết cặp vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) có thể thực hiện theo các bước sau:
+ Tìm vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\).
+ Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua M và biết vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\).
Lời giải chi tiết:
a) Mặt phẳng (ABC) có cặp vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} \left( { - 2;1;1} \right),\overrightarrow {AC} \left( {1, - 3; - 1} \right)\).
b) Mặt phẳng (ABC) có cặp vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} \left( { - 2;1;1} \right),\overrightarrow {AC} \left( {1, - 3; - 1} \right)\) nên có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]\).
Ta có: \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&1\\{ - 3}&{ - 1}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - 2}\\{ - 1}&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&1\\1&{ - 3}\end{array}} \right|} \right) = \left( {2; - 1;5} \right)\)
Mặt phẳng (ABC) đi qua điểm \(A\left( {1;2;3} \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {2; - 1;5} \right)\) nên phương trình mặt phẳng (ABC) là: \(2\left( {x - 1} \right) - \left( {y - 2} \right) + 5\left( {z - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - y + 5z - 15 = 0\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 8 trang 35 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
(H.5.8) Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) không đi qua gốc tọa độ và cắt ba trục Ox, Oy, Oz tương ứng tại các điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) \(\left( {a,b,c \ne 0} \right)\).
Chứng minh rằng mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có phương trình \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\) (Phương trình trên được gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về lập phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng để viết: Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi ba điểm không thẳng hàng A, B, C có thể thực hiện theo các bước sau:
+ Tìm cặp vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \)
+ Tìm vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]\).
+ Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua A và biết vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n \).
Lời giải chi tiết:
Mặt phẳng (ABC) có cặp vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} \left( { - a;b;0} \right),\overrightarrow {AC} \left( { - a;0;c} \right)\) nên có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]\).
Ta có: \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}b&0\\0&c\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - a}\\c&{ - a}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - a}&b\\{ - a}&0\end{array}} \right|} \right) = \left( {bc;ac;ab} \right)\)
Mặt phẳng (ABC) đi qua điểm A(a; 0; 0) và vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {bc;ac;ab} \right)\) nên phương trình mặt phẳng (ABC) là:
\(bc\left( {x - a} \right) + acy + abz = 0 \Leftrightarrow bcx + acy + abz = bca \Leftrightarrow \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\) (đpcm)
Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 35 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong tình huống mở đầu, hãy thực hiện các bước sau và trả lời câu hỏi đã được nêu ra.
a) Xác định tọa độ của vị trí \({M_1},{M_2},{M_3}\) của vật tương ứng với các thời điểm \(t = 0,t = \frac{\pi }{2},t = \pi \).
b) Chứng minh rằng \({M_1},{M_2},{M_3}\) không thẳng hàng và viết phương trình mặt phẳng \(\left( {{M_1}{M_2}{M_3}} \right)\).
c) Vị trí \(M\left( {\cos t - \sin t,\cos t + \sin t,\cos t} \right)\) có luôn thuộc mặt phẳng \(\left( {{M_1}{M_2}{M_3}} \right)\) hay không?
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về lập phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng để viết: Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi ba điểm không thẳng hàng A, B, C có thể thực hiện theo các bước sau:
+ Tìm cặp vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \)
+ Tìm vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]\).
+ Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua A và biết vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n \).
Lời giải chi tiết:
a) Với \(t = 0\) ta có: \({M_1}\left( {1;1;1} \right)\)
Với \(t = \frac{\pi }{2}\) ta có: \({M_2}\left( { - 1;1;0} \right)\)
Với \(t = \pi \) ta có: \({M_3}\left( { - 1; - 1; - 1} \right)\)
b) Hai vectơ \(\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \left( { - 2;0; - 1} \right),\overrightarrow {{M_1}{M_3}} \left( { - 2; - 2; - 2} \right)\) không cùng phương nên ba điểm \({M_1},{M_2},{M_3}\) không thẳng hàng.
c) Mặt phẳng \(\left( {{M_1}{M_2}{M_3}} \right)\) có cặp vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \left( { - 2;0; - 1} \right),\overrightarrow {{M_1}{M_3}} \left( { - 2; - 2; - 2} \right)\) nên có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{M_1}{M_2}} ,\overrightarrow {{M_1}{M_3}} } \right]\).
Ta có: \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{M_1}{M_2}} ,\overrightarrow {{M_1}{M_3}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 1}\\{ - 2}&{ - 2}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&{ - 2}\\{ - 2}&{ - 2}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&0\\{ - 2}&{ - 2}\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 2; - 2;4} \right)\)
Mặt phẳng \(\left( {{M_1}{M_2}{M_3}} \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \left( { - 2; - 2;4} \right)\) và đi qua điểm \({M_2}\left( { - 1;1;0} \right)\) nên phương trình mặt phẳng \(\left( {{M_1}{M_2}{M_3}} \right)\) là:
\( - 2\left( {x + 1} \right) - 2\left( {y - 1} \right) + 4z = 0 \Leftrightarrow x + 1 + y - 1 - 2z = 0 \Leftrightarrow x + y - 2z = 0\) (1)
c) Với \(M\left( {\cos t - \sin t,\cos t + \sin t,\cos t} \right)\) thay vào (1) ta có:
$\cos t-\sin t+\cos t+\sin t-2\cos t=0\Leftrightarrow 0=0\left( L D\right)$
Vậy \(M\left( {\cos t - \sin t,\cos t + \sin t,\cos t} \right)\) thuộc mặt phẳng \(\left( {{M_1}{M_2}{M_3}} \right)\). Do đó, vật thể M luôn chuyển động trong một mặt phẳng cố định.
Mục 3 trong SGK Toán 12 tập 2 chương trình Kết nối tri thức thường xoay quanh các chủ đề về đạo hàm của hàm số, ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và giải các bài toán liên quan đến cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Việc nắm vững kiến thức và kỹ năng giải các bài tập trong mục này là vô cùng quan trọng để học sinh có thể làm bài thi tốt và hiểu sâu hơn về môn Toán.
Để giúp học sinh hiểu rõ hơn về nội dung và phương pháp giải các bài tập trong mục 3, loigiai.com.vn xin trình bày chi tiết lời giải cho từng bài tập:
Bài tập này thường yêu cầu học sinh tính đạo hàm của một hàm số. Để giải bài tập này, học sinh cần nắm vững các quy tắc tính đạo hàm của các hàm số cơ bản như hàm đa thức, hàm lượng giác, hàm mũ, hàm logarit. Ví dụ, nếu hàm số là f(x) = x2 + 2x + 1, thì đạo hàm của hàm số là f'(x) = 2x + 2.
Bài tập này thường yêu cầu học sinh tìm cực trị của hàm số. Để giải bài tập này, học sinh cần tìm các điểm mà đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại, sau đó xét dấu đạo hàm để xác định xem các điểm đó là điểm cực đại hay điểm cực tiểu. Ví dụ, nếu đạo hàm f'(x) đổi dấu từ dương sang âm tại x = a, thì x = a là điểm cực đại của hàm số.
Bài tập này thường yêu cầu học sinh giải các bài toán ứng dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng cho trước. Để giải bài tập này, học sinh cần tìm các điểm cực trị của hàm số trên khoảng đó, sau đó tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị và tại các đầu mút của khoảng. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng đó là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong các giá trị vừa tính được.
| Hàm số | Đạo hàm |
|---|---|
| f(x) = c (hằng số) | f'(x) = 0 |
| f(x) = xn | f'(x) = nxn-1 |
| f(x) = sin(x) | f'(x) = cos(x) |
| f(x) = cos(x) | f'(x) = -sin(x) |
Loigiai.com.vn hy vọng rằng với lời giải chi tiết và những hướng dẫn trên, các em học sinh sẽ tự tin hơn khi giải các bài tập về đạo hàm và ứng dụng đạo hàm trong chương trình Toán 12 tập 2. Chúc các em học tập tốt!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Khám phá thế giới phân dạng, từ hình học trừu tượng đến ứng dụng trong nghệ thuật và tự nhiên. Tìm hiểu cách phân dạng tạo ra vẻ đẹp vô hạn!
Bạn đã bao giờ gặp một điều nghe có vẻ vô lý nhưng lại chứa đựng sự thật? Khám phá thế giới Paradox - những mâu thuẫn thú vị giúp bạn nhìn nhận cuộc sống dưới một góc độ mới lạ. Đọc ngay!
Khám phá 'Tên của trò chơi là bắt cóc' - cuốn sách hấp dẫn đưa bạn vào thế giới ngầm đầy rẫy những kẻ ác. Đánh giá chi tiết, phân tích sâu sắc và lý do bạn nên đọc ngay!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán lớp 1 khó nhất! Hướng dẫn phụ huynh cách hỗ trợ con học toán hiệu quả, tạo hứng thú và đạt kết quả tốt nhất. Khám phá các mẹo học tập thông minh!
Review sách 'Dữ liệu tử thần' của Jeffery Deaver. Khám phá cách tội phạm sử dụng thông tin cá nhân và học cách bảo vệ dữ liệu của bạn ngay hôm nay!
