Lý Thuyết Biểu Thức Tọa Độ Của Các Phép Toán Vecto Toán 12 Kết Nối Tri Thức

Lý thuyết Biểu thức tọa độ của các phép toán vecto Toán 12 Kết nối tri thức

Chào mừng bạn đến với bài học lý thuyết về biểu thức tọa độ của các phép toán vecto trong chương trình Toán 12 Kết nối tri thức.

Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và quan trọng về cách biểu diễn các phép toán vecto bằng tọa độ, giúp bạn giải quyết các bài toán một cách hiệu quả và chính xác.

1. Biểu thức tọa độ của phép cộng hai vecto, phép trừ hai vecto, phép nhân một số với một vecto

1. Biểu thức tọa độ của phép cộng hai vecto, phép trừ hai vecto, phép nhân một số với một vecto

Các phép toán vecto cơ bản

Trong không gian Oxyz, cho hai vecto \(\overrightarrow a = (x;y;z)\) và \(\overrightarrow b = (x';y';z')\). Ta có:

\(\overrightarrow a + \overrightarrow b = (x + x';y + y';z + z')\)

\(\overrightarrow a - \overrightarrow b = (x - x';y - y';z - z')\)

\(k\overrightarrow a = (kx;ky;kz)\) với k là một số thực

Công thức tính tọa độ trung điểm đoạn thẳng và trọng tâm tam giác

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm không thẳng hàng \(A({x_A};{y_A};{z_A}),B({x_B};{y_B};{z_B}),C({x_C};{y_C};{z_C})\). Khi đó:

Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là \[\left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2};\frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}} \right)\]

Tọa độ trọng tâm tam giác ABC là \[\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3};\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}} \right)\]

2. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vecto \(\overrightarrow a = (x;y;z)\) và \(\overrightarrow b = (x';y';z')\) được xác định bởi công thức \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = xx' + yy' + zz'\)

3. Vận dụng tọa độ của vecto trong một số bài toán có liên quan đến thực tiễn

Ví dụ: Trong không gian với một hệ trục cho trước (đơn vị đo km), ra đa phát hiện một chiếc máy bay di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm A(800;500;7) đến điểm B (940;550;8) trong 10 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là gì?

Giải:

Gọi C(x;y;z) là vị trí của máy bay sau 5 phút tiếp theo. Vì hướng của máy bay không đổi nên \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {BC} \) cùng hướng. Do vận tốc bay không đổi và thời gian bay từ A đến B gấp đôi thời gian bay từ B đến C nên AB = 2BC.

Do đó, \(\overrightarrow {BC} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} = \left( {\frac{{940 - 800}}{2};\frac{{550 - 500}}{2};\frac{{8 - 7}}{2}} \right) = \left( {70;25;0,5} \right)\).

Mặt khác, \(\overrightarrow {BC} = (x - 940;y - 550;z - 8)\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}x - 940 = 70\\y - 550 = 25\\z - 8 = 0,5\end{array} \right.\).

Từ đó \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1010\\y = 575\\z = 8,5\end{array} \right.\) và vì vậy C(1010;575;8,5).

Vậy tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là (1010;575;8,5).

Lý thuyết Biểu thức tọa độ của các phép toán vecto Toán 12 Kết nối tri thức 1

Tự Tin Bứt Phá Kỳ Thi THPT Quốc Gia Môn Toán! Bạn muốn tự tin bứt phá Kỳ thi THPT Quốc gia môn Toán và vào đại học mơ ước? Đừng bỏ lỡ Lý thuyết Biểu thức tọa độ của các phép toán vecto Toán 12 Kết nối tri thức đặc sắc thuộc chuyên mục giải sgk toán 12 trên nền tảng soạn toán của chúng tôi! Với bộ toán trung học phổ thông bài tập được biên soạn chuyên sâu, bám sát cấu trúc đề thi và chương trình Toán 12, đây chính là "chiến lược vàng" giúp các em tối ưu hóa quá trình ôn luyện. Học sinh sẽ không chỉ làm chủ mọi dạng bài thi mà còn nắm vững chiến thuật làm bài hiệu quả. Nhờ phương pháp học trực quan, khoa học và hiệu quả học tập vượt trội, bạn sẽ sẵn sàng tự tin chinh phục điểm cao, vững bước vào cánh cửa đại học mơ ước!

Lý thuyết Biểu thức tọa độ của các phép toán vecto Toán 12 Kết nối tri thức

Trong chương trình Toán 12 Kết nối tri thức, phần hình học vecto đóng vai trò quan trọng, đặc biệt là việc ứng dụng biểu thức tọa độ để giải quyết các bài toán. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết lý thuyết về biểu thức tọa độ của các phép toán vecto, giúp học sinh nắm vững kiến thức và áp dụng vào thực tế.

1. Khái niệm cơ bản về Vectơ và Tọa độ Vectơ

Vectơ là một đoạn thẳng có hướng. Trong mặt phẳng tọa độ, một vectơ được xác định bởi tọa độ của điểm đầu và điểm cuối. Nếu A(x_A, y_A) và B(x_B, y_B) là hai điểm trong mặt phẳng, thì vectơ AB có tọa độ (x_B - x_A, y_B - y_A). Trong không gian, vectơ AB có tọa độ (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A).

2. Các Phép Toán Vectơ và Biểu Thức Tọa Độ

Các phép toán cơ bản trên vectơ bao gồm:

Phép cộng vectơ:a + b = (x_a + x_b, y_a + y_b) (trong mặt phẳng) hoặc a + b = (x_a + x_b, y_a + y_b, z_a + z_b) (trong không gian).
Phép trừ vectơ:a - b = (x_a - x_b, y_a - y_b) (trong mặt phẳng) hoặc a - b = (x_a - x_b, y_a - y_b, z_a - z_b) (trong không gian).
Phép nhân vectơ với một số:k.a = (kx_a, ky_a) (trong mặt phẳng) hoặc k.a = (kx_a, ky_a, kz_a) (trong không gian).

3. Tích Vô Hướng của Hai Vectơ

Tích vô hướng của hai vectơ a và b, ký hiệu là a.b, được tính bằng công thức:

a.b = x_ax_b + y_ay_b (trong mặt phẳng) hoặc a.b = x_ax_b + y_ay_b + z_az_b (trong không gian).

Ứng dụng của tích vô hướng:

Tính góc giữa hai vectơ.
Kiểm tra tính vuông góc của hai vectơ (a.b = 0).
Tính độ dài của vectơ.

4. Tích Có Hướng của Hai Vectơ (trong không gian)

Tích có hướng của hai vectơ a và b, ký hiệu là a x b, là một vectơ vuông góc với cả hai vectơ a và b. Tích có hướng được tính bằng công thức (dạng định thức):

	i	j	k
a x b	x_a	y_a	z_a
	x_b	y_b	z_b

Ứng dụng của tích có hướng:

Tính diện tích của hình bình hành tạo bởi hai vectơ.
Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.

5. Bài Tập Vận Dụng

Để hiểu rõ hơn về lý thuyết, bạn có thể thực hành với các bài tập sau:

Cho a = (2, -1) và b = (1, 3). Tính a + b, a - b và 2a.
Cho a = (1, 2, -1) và b = (0, -1, 3). Tính a.b và a x b.

6. Kết luận

Lý thuyết về biểu thức tọa độ của các phép toán vecto là nền tảng quan trọng trong chương trình Toán 12 Kết nối tri thức. Việc nắm vững lý thuyết và thực hành thường xuyên sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán một cách hiệu quả và tự tin. Chúc bạn học tốt!