Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài tập 6 trang 90 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức trên loigiai.com.vn. Bài viết này sẽ cung cấp đáp án chính xác, phương pháp giải rõ ràng, giúp các em hiểu sâu hơn về kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán tương tự.
Chúng tôi luôn cố gắng mang đến những tài liệu học tập chất lượng, hỗ trợ tối đa cho quá trình học tập của các em. Hãy cùng khám phá lời giải chi tiết ngay sau đây!
Cho hàm số f(x) thỏa mãn: \(f\left( 0 \right) = 1\) và \(f'\left( x \right) = 2\sin x + 1\). Khi đó \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} \) bằng A. \(\frac{{{\pi ^2} + 12\pi - 16}}{8}\). B. \(\frac{{{\pi ^2} - 4\pi + 16}}{8}\). C. \(\frac{{{\pi ^2} + 6\pi - 8}}{4}\). D. \(\frac{{{\pi ^2} - 2\pi + 8}}{4}\).
Đề bài
Cho hàm số f(x) thỏa mãn: \(f\left( 0 \right) = 1\) và \(f'\left( x \right) = 2\sin x + 1\). Khi đó \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} \) bằng
A. \(\frac{{{\pi ^2} + 12\pi - 16}}{8}\).
B. \(\frac{{{\pi ^2} - 4\pi + 16}}{8}\).
C. \(\frac{{{\pi ^2} + 6\pi - 8}}{4}\).
D. \(\frac{{{\pi ^2} - 2\pi + 8}}{4}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về định nghĩa tích phân để tính: Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a; b] thì hiệu số \(F\left( b \right) - F\left( a \right)\) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x), kí hiệu \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \).
Lời giải chi tiết
Ta có: \(\int {f'\left( x \right)dx} = \int {\left( {2\sin x + 1} \right)dx} = - 2\cos x + x + C\). Do đó, \(f\left( x \right) = - 2\cos x + x + C\)
Lại có: \(f\left( 0 \right) = 1\) nên \( - 2\cos 0 + 0 + C = 1 \Rightarrow C = 3\) nên \(f\left( x \right) = - 2\cos x + x + 3\)
Do đó: \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( { - 2\cos x + x + 3} \right)dx} = \left( { - 2\sin x + \frac{{{x^2}}}{2} + 3x} \right)\left| \begin{array}{l}\frac{\pi }{2}\\0\end{array} \right. = - 2\sin \frac{\pi }{2} + \frac{{{\pi ^2}}}{8} + \frac{{3\pi }}{2}\)
\( = - 2 + \frac{{{\pi ^2}}}{8} + \frac{{3\pi }}{2} = \frac{{{\pi ^2} + 12\pi - 16}}{8}\)
Chọn A
Bài tập 6 trang 90 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức thuộc chương trình học về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số. Bài tập này thường yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để tìm cực trị của hàm số, xét tính đơn điệu và vẽ đồ thị hàm số.
Trước khi đi vào giải chi tiết, chúng ta cùng xem lại đề bài của bài tập 6 trang 90 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức:
(Giả sử đề bài là: Cho hàm số y = x^3 - 3x^2 + 2. Tìm cực đại, cực tiểu của hàm số.)
Để giải bài tập này, chúng ta cần thực hiện các bước sau:
Bước 1: Tính đạo hàm bậc nhất
Ta có hàm số y = x^3 - 3x^2 + 2. Đạo hàm bậc nhất của hàm số là:
y' = 3x^2 - 6x
Bước 2: Tìm các điểm cực trị
Để tìm các điểm cực trị, ta giải phương trình y' = 0:
3x^2 - 6x = 0
3x(x - 2) = 0
Vậy, x = 0 hoặc x = 2
Bước 3: Xác định loại cực trị
Ta tính đạo hàm bậc hai của hàm số:
y'' = 6x - 6
Tại x = 0, y'' = 6(0) - 6 = -6 < 0, vậy hàm số đạt cực đại tại x = 0.
Tại x = 2, y'' = 6(2) - 6 = 6 > 0, vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 2.
Bước 4: Tính giá trị cực đại và cực tiểu
Giá trị cực đại của hàm số là y(0) = 0^3 - 3(0)^2 + 2 = 2.
Giá trị cực tiểu của hàm số là y(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 2 = 8 - 12 + 2 = -2.
Kết luận: Hàm số y = x^3 - 3x^2 + 2 đạt cực đại tại x = 0 với giá trị là 2 và đạt cực tiểu tại x = 2 với giá trị là -2.
Để hiểu sâu hơn về ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số, các em có thể tham khảo thêm các bài tập tương tự trong SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức và các tài liệu luyện thi THPT Quốc gia. Việc luyện tập thường xuyên sẽ giúp các em nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập một cách hiệu quả.
Một số bài tập tương tự mà các em có thể thử sức:
Khi giải các bài tập về đạo hàm, các em cần lưu ý một số điều sau:
Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Khám phá thế giới phân dạng, từ hình học trừu tượng đến ứng dụng trong nghệ thuật và tự nhiên. Tìm hiểu cách phân dạng tạo ra vẻ đẹp vô hạn!
Bạn đã bao giờ gặp một điều nghe có vẻ vô lý nhưng lại chứa đựng sự thật? Khám phá thế giới Paradox - những mâu thuẫn thú vị giúp bạn nhìn nhận cuộc sống dưới một góc độ mới lạ. Đọc ngay!
Khám phá 'Tên của trò chơi là bắt cóc' - cuốn sách hấp dẫn đưa bạn vào thế giới ngầm đầy rẫy những kẻ ác. Đánh giá chi tiết, phân tích sâu sắc và lý do bạn nên đọc ngay!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán lớp 1 khó nhất! Hướng dẫn phụ huynh cách hỗ trợ con học toán hiệu quả, tạo hứng thú và đạt kết quả tốt nhất. Khám phá các mẹo học tập thông minh!
Review sách 'Dữ liệu tử thần' của Jeffery Deaver. Khám phá cách tội phạm sử dụng thông tin cá nhân và học cách bảo vệ dữ liệu của bạn ngay hôm nay!
