Loigiai.com.vn cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho mục 2 trang 6,7,8 sách giáo khoa Toán 12 tập 2 chương trình Kết nối tri thức. Bài giải được các giáo viên có kinh nghiệm biên soạn, đảm bảo tính chính xác và giúp học sinh nắm vững kiến thức.
Chúng tôi hiểu rằng việc tự học Toán đôi khi gặp nhiều khó khăn. Vì vậy, loigiai.com.vn ra đời với mục tiêu hỗ trợ học sinh giải quyết các bài tập, hiểu rõ lý thuyết và đạt kết quả tốt nhất trong môn Toán.
Tính chất cơ bản của nguyên hàm
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 7 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^n}\left( {n \in \mathbb{N}*} \right)\).
a) Chứng minh rằng hàm số \(F\left( x \right) = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}}\) là một nguyên hàm của hàm số f(x). Từ đó tìm \(\int {{x^n}dx} \).
b) Từ kết quả câu a, tìm \(\int {k{x^n}dx} \) (với k là hằng số thực khác 0).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về khái niệm nguyên hàm của một hàm số để chứng minh: Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng K (hoặc một đoạn, hoặc một nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\) với mọi x thuộc K.
Sử dụng kiến thức về họ nguyên hàm của một hàm số để tính: Để tìm nguyên hàm của hàm số f(x) trên K, ta chỉ cần tìm một nguyên hàm F(x) của f(x) trên K và khi đó \(\int {f\left( x \right)dx = F\left( x \right) + C} \), C là hằng số.
Sử dụng tính chất cơ bản của nguyên hàm để tính: \(\int {kf\left( x \right)dx} = k\int {f\left( x \right)dx} \)
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: \(F'\left( x \right) = {\left( {\frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}}} \right)'} = \frac{{\left( {n + 1} \right){x^n}}}{{n + 1}} = {x^n} = f\left( x \right)\) nên hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x). Do đó, \(\int {{x^n}dx} = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\).
b) \(\int {k{x^n}dx} = k\int {{x^n}dx} = \frac{{k.{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 6 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Cho f(x) là hàm số liên tục trên K, k là một hằng số khác 0. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K.
a) Chứng minh rằng kF(x) là một nguyên hàm của hàm số kf(x) trên K.
b) Nêu nhận xét về \(\int {kf\left( x \right)dx} \) và \(k\int {f\left( x \right)dx} \)
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về khái niệm nguyên hàm của một hàm số để chứng minh: Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng K (hoặc một đoạn, hoặc một nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\) với mọi x thuộc K.
Sử dụng kiến thức về họ nguyên hàm của một hàm số để tính: Để tìm nguyên hàm của hàm số f(x) trên K, ta chỉ cần tìm một nguyên hàm F(x) của f(x) trên K và khi đó \(\int {f\left( x \right)dx = F\left( x \right) + C} \), C là hằng số.
Lời giải chi tiết:
a) Vì F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K nên \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\) nên \(kF'\left( x \right) = kf\left( x \right)\) (với k khác 0). Do đó, kF(x) là một nguyên hàm của hàm số kf(x) trên K.
b) Ta có: \(\int {kf\left( x \right)dx} = k\int {f\left( x \right)dx} \)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 7 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Tìm:
a) \(\int {\left( {3{x^2} + 1} \right)dx} \);
b) \(\int {{{\left( {2x - 1} \right)}^2}dx} \).
Phương pháp giải:
Sử dụng tính chất cơ bản của nguyên hàm để tính: \(\int {kf\left( x \right)dx} = k\int {f\left( x \right)dx} \)
Sử dụng kiến thức về nguyên hàm một tổng để tính: \(\int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]} \,dx = \int {f\left( x \right)dx + \int {g\left( x \right)dx} } \), \(\int {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]} \,dx = \int {f\left( x \right)dx - \int {g\left( x \right)dx} } \)
Lời giải chi tiết:
a) \(\int {\left( {3{x^2} + 1} \right)dx} = 3\int {{x^2}dx + \int {1dx = {x^3} + x + C} } \);
b) \(\int {{{\left( {2x - 1} \right)}^2}dx} = \int {\left( {4{x^2} - 4x + 1} \right)dx = 4\int {{x^2}dx - 4\int {xdx + \int {dx = \frac{{4{x^3}}}{3} - 2{x^2} + x + C} } } } \).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 7 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Cho f(x) và g(x) là hai hàm số liên tục trên K. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x), G(x) là một nguyên hàm của g(x) trên K.
a) Chứng minh rằng \(F\left( x \right) + G\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) + g\left( x \right)\) trên K.
b) Nêu nhận xét về \(\int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]} \,dx\) và \(\int {f\left( x \right)dx + \int {g\left( x \right)dx} } \).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về khái niệm nguyên hàm của một hàm số để chứng minh: Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng K (hoặc một đoạn, hoặc một nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\) với mọi x thuộc K.
Sử dụng kiến thức về họ nguyên hàm của một hàm số để tính: Để tìm nguyên hàm của hàm số f(x) trên K, ta chỉ cần tìm một nguyên hàm F(x) của f(x) trên K và khi đó \(\int {f\left( x \right)dx = F\left( x \right) + C} \), C là hằng số.
Lời giải chi tiết:
Trả lời câu hỏi Vận dụng trang 8 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Doanh thu bán hàng của một công ty khi bán một loại sản phẩm là số tiền R(x) (triệu đồng) thu được khi x đơn vị sản phẩm được bán ra. Tốc độ biến động (thay đổi) của doanh thu khi x đơn vị sản phẩm đã được bán là hàm số \({M_R}\left( x \right) = R'\left( x \right)\). Một công ty công nghệ cho biết, tốc độ biến đổi doanh thu khi bán một loại con chíp của hãng được cho bởi \({M_R}\left( x \right) = 300 - 0,1x\), ở đó x là số lượng chíp đã bán ra. Tìm doanh thu của công ty khi đã bán 1 000 con chíp.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về nguyên hàm của hàm số để tính: Vì \({M_R}\left( x \right) = R'\left( x \right)\) nên doanh thu R(x) là một nguyên hàm của \({M_R}\left( x \right)\).
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\int {{M_R}\left( x \right)dx = \int {\left( {300 - 0,1x} \right)dx = 300\int {dx - 0,1\int {xdx = 300x - 0,05{x^2} + C} } } } \)
Do đó, \(R\left( x \right) = 300x - 0,05{x^2} + C\)
Ta có: \(R\left( 0 \right) = 0\) nên \(C = 0\). Do đó, \(R\left( x \right) = 300x - 0,05{x^2}\)
Doanh thu của công ty khi đã bán 1 000 con chíp là: \(R\left( {1000} \right) = 300.1000 - 0,{05.1000^2} = 250\;000\) (triệu đồng)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 6 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Cho f(x) là hàm số liên tục trên K, k là một hằng số khác 0. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K.
a) Chứng minh rằng kF(x) là một nguyên hàm của hàm số kf(x) trên K.
b) Nêu nhận xét về \(\int {kf\left( x \right)dx} \) và \(k\int {f\left( x \right)dx} \)
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về khái niệm nguyên hàm của một hàm số để chứng minh: Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng K (hoặc một đoạn, hoặc một nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\) với mọi x thuộc K.
Sử dụng kiến thức về họ nguyên hàm của một hàm số để tính: Để tìm nguyên hàm của hàm số f(x) trên K, ta chỉ cần tìm một nguyên hàm F(x) của f(x) trên K và khi đó \(\int {f\left( x \right)dx = F\left( x \right) + C} \), C là hằng số.
Lời giải chi tiết:
a) Vì F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K nên \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\) nên \(kF'\left( x \right) = kf\left( x \right)\) (với k khác 0). Do đó, kF(x) là một nguyên hàm của hàm số kf(x) trên K.
b) Ta có: \(\int {kf\left( x \right)dx} = k\int {f\left( x \right)dx} \)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 7 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^n}\left( {n \in \mathbb{N}*} \right)\).
a) Chứng minh rằng hàm số \(F\left( x \right) = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}}\) là một nguyên hàm của hàm số f(x). Từ đó tìm \(\int {{x^n}dx} \).
b) Từ kết quả câu a, tìm \(\int {k{x^n}dx} \) (với k là hằng số thực khác 0).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về khái niệm nguyên hàm của một hàm số để chứng minh: Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng K (hoặc một đoạn, hoặc một nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\) với mọi x thuộc K.
Sử dụng kiến thức về họ nguyên hàm của một hàm số để tính: Để tìm nguyên hàm của hàm số f(x) trên K, ta chỉ cần tìm một nguyên hàm F(x) của f(x) trên K và khi đó \(\int {f\left( x \right)dx = F\left( x \right) + C} \), C là hằng số.
Sử dụng tính chất cơ bản của nguyên hàm để tính: \(\int {kf\left( x \right)dx} = k\int {f\left( x \right)dx} \)
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: \(F'\left( x \right) = {\left( {\frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}}} \right)'} = \frac{{\left( {n + 1} \right){x^n}}}{{n + 1}} = {x^n} = f\left( x \right)\) nên hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x). Do đó, \(\int {{x^n}dx} = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\).
b) \(\int {k{x^n}dx} = k\int {{x^n}dx} = \frac{{k.{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 7 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Cho f(x) và g(x) là hai hàm số liên tục trên K. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x), G(x) là một nguyên hàm của g(x) trên K.
a) Chứng minh rằng \(F\left( x \right) + G\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) + g\left( x \right)\) trên K.
b) Nêu nhận xét về \(\int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]} \,dx\) và \(\int {f\left( x \right)dx + \int {g\left( x \right)dx} } \).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về khái niệm nguyên hàm của một hàm số để chứng minh: Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng K (hoặc một đoạn, hoặc một nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\) với mọi x thuộc K.
Sử dụng kiến thức về họ nguyên hàm của một hàm số để tính: Để tìm nguyên hàm của hàm số f(x) trên K, ta chỉ cần tìm một nguyên hàm F(x) của f(x) trên K và khi đó \(\int {f\left( x \right)dx = F\left( x \right) + C} \), C là hằng số.
Lời giải chi tiết:
Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 7 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Tìm:
a) \(\int {\left( {3{x^2} + 1} \right)dx} \);
b) \(\int {{{\left( {2x - 1} \right)}^2}dx} \).
Phương pháp giải:
Sử dụng tính chất cơ bản của nguyên hàm để tính: \(\int {kf\left( x \right)dx} = k\int {f\left( x \right)dx} \)
Sử dụng kiến thức về nguyên hàm một tổng để tính: \(\int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]} \,dx = \int {f\left( x \right)dx + \int {g\left( x \right)dx} } \), \(\int {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]} \,dx = \int {f\left( x \right)dx - \int {g\left( x \right)dx} } \)
Lời giải chi tiết:
a) \(\int {\left( {3{x^2} + 1} \right)dx} = 3\int {{x^2}dx + \int {1dx = {x^3} + x + C} } \);
b) \(\int {{{\left( {2x - 1} \right)}^2}dx} = \int {\left( {4{x^2} - 4x + 1} \right)dx = 4\int {{x^2}dx - 4\int {xdx + \int {dx = \frac{{4{x^3}}}{3} - 2{x^2} + x + C} } } } \).
Trả lời câu hỏi Vận dụng trang 8 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Doanh thu bán hàng của một công ty khi bán một loại sản phẩm là số tiền R(x) (triệu đồng) thu được khi x đơn vị sản phẩm được bán ra. Tốc độ biến động (thay đổi) của doanh thu khi x đơn vị sản phẩm đã được bán là hàm số \({M_R}\left( x \right) = R'\left( x \right)\). Một công ty công nghệ cho biết, tốc độ biến đổi doanh thu khi bán một loại con chíp của hãng được cho bởi \({M_R}\left( x \right) = 300 - 0,1x\), ở đó x là số lượng chíp đã bán ra. Tìm doanh thu của công ty khi đã bán 1 000 con chíp.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về nguyên hàm của hàm số để tính: Vì \({M_R}\left( x \right) = R'\left( x \right)\) nên doanh thu R(x) là một nguyên hàm của \({M_R}\left( x \right)\).
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\int {{M_R}\left( x \right)dx = \int {\left( {300 - 0,1x} \right)dx = 300\int {dx - 0,1\int {xdx = 300x - 0,05{x^2} + C} } } } \)
Do đó, \(R\left( x \right) = 300x - 0,05{x^2} + C\)
Ta có: \(R\left( 0 \right) = 0\) nên \(C = 0\). Do đó, \(R\left( x \right) = 300x - 0,05{x^2}\)
Doanh thu của công ty khi đã bán 1 000 con chíp là: \(R\left( {1000} \right) = 300.1000 - 0,{05.1000^2} = 250\;000\) (triệu đồng)
Mục 2 trong SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức thường tập trung vào một chủ đề quan trọng trong chương trình học. Việc nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập trong mục này là nền tảng để học tốt các kiến thức tiếp theo. Dưới đây là phân tích chi tiết và hướng dẫn giải các bài tập trang 6, 7, 8.
Mục 2 thường bao gồm các nội dung lý thuyết cơ bản, các ví dụ minh họa và các bài tập áp dụng. Để giải tốt các bài tập trong mục này, học sinh cần:
Bài 1 (Trang 6): Bài tập này thường yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về... (giải thích chi tiết bài tập và cách giải). Ví dụ:
Đề bài: ...
Lời giải: ...
Bài 2 (Trang 7): Bài tập này tập trung vào việc... (giải thích chi tiết bài tập và cách giải). Ví dụ:
Đề bài: ...
Lời giải: ...
Bài 3 (Trang 8): Bài tập này đòi hỏi học sinh phải... (giải thích chi tiết bài tập và cách giải). Ví dụ:
Đề bài: ...
Lời giải: ...
Mục 2 thường xuất hiện các dạng bài tập sau:
Để giải nhanh các bài tập trong Mục 2, học sinh có thể áp dụng các mẹo sau:
Kiến thức trong Mục 2 có ứng dụng rộng rãi trong thực tế và là nền tảng để học tốt các kiến thức tiếp theo. Ví dụ, kiến thức về... có thể được sử dụng để giải quyết các bài toán về...
Để củng cố kiến thức và kỹ năng giải bài tập trong Mục 2, học sinh có thể luyện tập thêm các bài tập sau:
| Công thức | Mô tả |
|---|---|
| Công thức 1 | ... |
| Công thức 2 | ... |
| Công thức 3 | ... |
Loigiai.com.vn hy vọng rằng với những hướng dẫn chi tiết và bài giải đầy đủ trên đây, các em học sinh sẽ tự tin hơn trong việc giải các bài tập trang 6, 7, 8 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức. Chúc các em học tốt!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Khám phá thế giới phân dạng, từ hình học trừu tượng đến ứng dụng trong nghệ thuật và tự nhiên. Tìm hiểu cách phân dạng tạo ra vẻ đẹp vô hạn!
Bạn đã bao giờ gặp một điều nghe có vẻ vô lý nhưng lại chứa đựng sự thật? Khám phá thế giới Paradox - những mâu thuẫn thú vị giúp bạn nhìn nhận cuộc sống dưới một góc độ mới lạ. Đọc ngay!
Khám phá 'Tên của trò chơi là bắt cóc' - cuốn sách hấp dẫn đưa bạn vào thế giới ngầm đầy rẫy những kẻ ác. Đánh giá chi tiết, phân tích sâu sắc và lý do bạn nên đọc ngay!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán lớp 1 khó nhất! Hướng dẫn phụ huynh cách hỗ trợ con học toán hiệu quả, tạo hứng thú và đạt kết quả tốt nhất. Khám phá các mẹo học tập thông minh!
Review sách 'Dữ liệu tử thần' của Jeffery Deaver. Khám phá cách tội phạm sử dụng thông tin cá nhân và học cách bảo vệ dữ liệu của bạn ngay hôm nay!
