Loigiai.com.vn cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho mục 6 trang 38,39 SGK Toán 12 tập 2 chương trình Kết nối tri thức. Bài giải được trình bày rõ ràng, giúp học sinh nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.
Chúng tôi luôn cập nhật lời giải mới nhất và chính xác nhất, đảm bảo hỗ trợ tối đa cho quá trình học tập của bạn.
KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG
Trả lời câu hỏi Luyện tập 11 trang 39 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):x + 3y + z + 2 = 0\) và \(\left( Q \right):x + 3y + z + 5 = 0\)
a) Chứng minh rằng (P) và (Q) song song với nhau.
b) Lấy một điểm thuộc (P), tính khoảng cách từ điểm đó đến (Q). Từ đó tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về điều kiện để hai mặt phẳng song song để chứng minh: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right):Ax + By + Cz + D = 0\), \(\left( \beta \right):A'x + B'y + C'z + D' = 0\) với các vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right),\overrightarrow {n'} = \left( {A';B';C'} \right)\) tương ứng. Khi đó, \(\left( \alpha \right)//\left( \beta \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {n'} = k\overrightarrow n \\D' \ne kD\end{array} \right.\) với k nào đó.
Sử dụng kiến thức về khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng để tính: Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):Ax + By + Cz + D = 0\) là \(d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\).
Lời giải chi tiết:
a) Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;3;1} \right)\), mặt phẳng (Q) có một vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1;3;1} \right)\). Vì \(\overrightarrow {{n_P}} = \overrightarrow {{n_Q}} \) và \(2 \ne 5\) nên (P) và (Q) song song với nhau.
b) Lấy điểm A(0; 0; -2) thuộc mặt phẳng (P). Ta có: \(d\left( {A,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {0 + 3.0 - 2 + 5} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {3^2} + {1^2}} }} = \frac{{3\sqrt {11} }}{{11}}\)
Vì (P) và (Q) song song với nhau nên \(d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = d\left( {A,\left( Q \right)} \right) = \frac{{3\sqrt {11} }}{{11}}\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 10 trang 38 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):Ax + By + Cz + D = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)\). Gọi N là hình chiếu vuông góc của M trên (P). (H.5.13)
a) Giải thích vì sao tồn tại số k để \(\overrightarrow {MN} = k\overrightarrow n \). Tính tọa độ của N theo k, tọa độ của M và các hệ số A, B, C, D.
b) Thay tọa độ của N vào phương trình mặt phẳng (P) để từ đó tính k theo tọa độ của M và các hệ số A, B, C, D.
c) Từ \(\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \left| k \right|\left| {\overrightarrow n } \right|\), hãy tính độ dài của đoạn thẳng MN theo tọa độ của M và các hệ số A, B, C, D. Từ đó suy ra công thức tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về vectơ pháp tuyến của mặt phẳng để chứng minh: Vectơ \(\overrightarrow n \ne \overrightarrow 0 \) được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) nếu giá của \(\overrightarrow n \) vuông góc với \(\left( \alpha \right)\).
Lời giải chi tiết:
a) Vì N là hình chiếu vuông góc của M trên (P) nên \(MN \bot \left( P \right)\). Mà \(\overrightarrow n \) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) nên hai vectơ \(\overrightarrow {MN} \) và \(\overrightarrow n \) cùng phương. Do đó, tồn tại số k để \(\overrightarrow {MN} = k\overrightarrow n \). Suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_N} - {x_M} = kA\\{y_N} - {y_M} = kB\\{z_N} - {z_M} = kC\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_N} = kA + {x_0}\\{y_N} = kB + {y_0}\\{z_N} = kC + {z_0}\end{array} \right.\) nên \(N\left( {kA + {x_0};kB + {y_0};kC + {z_0}} \right)\)
b) Thay \(x = kA + {x_0};y = kB + {y_0};z = kC + {z_0}\) vào phương trình \(Ax + By + Cz + D = 0\) ta có: \(A\left( {kA + {x_0}} \right) + B\left( {kB + {y_0}} \right) + C\left( {kC + {z_0}} \right) + D = 0\)
\( \Leftrightarrow k{A^2} + A{x_0} + k{B^2} + B{y_0} + k{C^2} + C{z_0} + D = 0\)
\( \Leftrightarrow k\left( {{A^2} + {B^2} + {C^2}} \right) + A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D = 0\)\( \Leftrightarrow k = \frac{{ - \left( {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right)}}{{{A^2} + {B^2} + {C^2}}}\)
c) Ta có: \(\left| {\overrightarrow n } \right| = \sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} \) nên \(\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \left| k \right|\left| {\overrightarrow n } \right| = \left| k \right|\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} \) \( = \sqrt {\frac{{{{\left( {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right)}^2}\left( {{A^2} + {B^2} + {C^2}} \right)}}{{{{\left( {{A^2} + {B^2} + {C^2}} \right)}^2}}}} \)\( = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\)
Do đó, công thức tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là:
\(d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\)
Trả lời câu hỏi Vận dụng 5 trang 39 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Góc quan sát ngang của một camera là \({115^0}\). Trong không gian Oxyz, camera được đặt tại điểm C(1; 2; 4) và chiếu thẳng về phía mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y + 2z + 3 = 0\). Hỏi vùng quan sát được trên mặt phẳng (P) của camera là hình tròn có bán kính bằng bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng để tính: Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):Ax + By + Cz + D = 0\) là \(d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\).
Lời giải chi tiết:
Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (P) là: \(d\left( {C,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1.1 + 2.2 + 2.4 + 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = \frac{{16}}{3}\)
Vùng quan sát trên mặt phẳng (P) của camera là hình tròn có bán kính là:
\(R = d\left( {C,\left( P \right)} \right).\tan \frac{{{{115}^0}}}{2} \approx 8,4\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 10 trang 38 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):Ax + By + Cz + D = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)\). Gọi N là hình chiếu vuông góc của M trên (P). (H.5.13)
a) Giải thích vì sao tồn tại số k để \(\overrightarrow {MN} = k\overrightarrow n \). Tính tọa độ của N theo k, tọa độ của M và các hệ số A, B, C, D.
b) Thay tọa độ của N vào phương trình mặt phẳng (P) để từ đó tính k theo tọa độ của M và các hệ số A, B, C, D.
c) Từ \(\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \left| k \right|\left| {\overrightarrow n } \right|\), hãy tính độ dài của đoạn thẳng MN theo tọa độ của M và các hệ số A, B, C, D. Từ đó suy ra công thức tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về vectơ pháp tuyến của mặt phẳng để chứng minh: Vectơ \(\overrightarrow n \ne \overrightarrow 0 \) được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) nếu giá của \(\overrightarrow n \) vuông góc với \(\left( \alpha \right)\).
Lời giải chi tiết:
a) Vì N là hình chiếu vuông góc của M trên (P) nên \(MN \bot \left( P \right)\). Mà \(\overrightarrow n \) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) nên hai vectơ \(\overrightarrow {MN} \) và \(\overrightarrow n \) cùng phương. Do đó, tồn tại số k để \(\overrightarrow {MN} = k\overrightarrow n \). Suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_N} - {x_M} = kA\\{y_N} - {y_M} = kB\\{z_N} - {z_M} = kC\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_N} = kA + {x_0}\\{y_N} = kB + {y_0}\\{z_N} = kC + {z_0}\end{array} \right.\) nên \(N\left( {kA + {x_0};kB + {y_0};kC + {z_0}} \right)\)
b) Thay \(x = kA + {x_0};y = kB + {y_0};z = kC + {z_0}\) vào phương trình \(Ax + By + Cz + D = 0\) ta có: \(A\left( {kA + {x_0}} \right) + B\left( {kB + {y_0}} \right) + C\left( {kC + {z_0}} \right) + D = 0\)
\( \Leftrightarrow k{A^2} + A{x_0} + k{B^2} + B{y_0} + k{C^2} + C{z_0} + D = 0\)
\( \Leftrightarrow k\left( {{A^2} + {B^2} + {C^2}} \right) + A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D = 0\)\( \Leftrightarrow k = \frac{{ - \left( {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right)}}{{{A^2} + {B^2} + {C^2}}}\)
c) Ta có: \(\left| {\overrightarrow n } \right| = \sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} \) nên \(\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \left| k \right|\left| {\overrightarrow n } \right| = \left| k \right|\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} \) \( = \sqrt {\frac{{{{\left( {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right)}^2}\left( {{A^2} + {B^2} + {C^2}} \right)}}{{{{\left( {{A^2} + {B^2} + {C^2}} \right)}^2}}}} \)\( = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\)
Do đó, công thức tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là:
\(d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 11 trang 39 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):x + 3y + z + 2 = 0\) và \(\left( Q \right):x + 3y + z + 5 = 0\)
a) Chứng minh rằng (P) và (Q) song song với nhau.
b) Lấy một điểm thuộc (P), tính khoảng cách từ điểm đó đến (Q). Từ đó tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về điều kiện để hai mặt phẳng song song để chứng minh: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right):Ax + By + Cz + D = 0\), \(\left( \beta \right):A'x + B'y + C'z + D' = 0\) với các vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right),\overrightarrow {n'} = \left( {A';B';C'} \right)\) tương ứng. Khi đó, \(\left( \alpha \right)//\left( \beta \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {n'} = k\overrightarrow n \\D' \ne kD\end{array} \right.\) với k nào đó.
Sử dụng kiến thức về khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng để tính: Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):Ax + By + Cz + D = 0\) là \(d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\).
Lời giải chi tiết:
a) Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;3;1} \right)\), mặt phẳng (Q) có một vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1;3;1} \right)\). Vì \(\overrightarrow {{n_P}} = \overrightarrow {{n_Q}} \) và \(2 \ne 5\) nên (P) và (Q) song song với nhau.
b) Lấy điểm A(0; 0; -2) thuộc mặt phẳng (P). Ta có: \(d\left( {A,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {0 + 3.0 - 2 + 5} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {3^2} + {1^2}} }} = \frac{{3\sqrt {11} }}{{11}}\)
Vì (P) và (Q) song song với nhau nên \(d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = d\left( {A,\left( Q \right)} \right) = \frac{{3\sqrt {11} }}{{11}}\).
Trả lời câu hỏi Vận dụng 5 trang 39 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Góc quan sát ngang của một camera là \({115^0}\). Trong không gian Oxyz, camera được đặt tại điểm C(1; 2; 4) và chiếu thẳng về phía mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y + 2z + 3 = 0\). Hỏi vùng quan sát được trên mặt phẳng (P) của camera là hình tròn có bán kính bằng bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng để tính: Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):Ax + By + Cz + D = 0\) là \(d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\).
Lời giải chi tiết:
Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (P) là: \(d\left( {C,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1.1 + 2.2 + 2.4 + 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = \frac{{16}}{3}\)
Vùng quan sát trên mặt phẳng (P) của camera là hình tròn có bán kính là:
\(R = d\left( {C,\left( P \right)} \right).\tan \frac{{{{115}^0}}}{2} \approx 8,4\)
Mục 6 trong SGK Toán 12 tập 2 Kết nối tri thức thường xoay quanh các chủ đề về đạo hàm của hàm số, ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và giải các bài toán tối ưu. Việc nắm vững kiến thức trong mục này là vô cùng quan trọng, không chỉ cho kỳ thi THPT Quốc gia mà còn là nền tảng cho việc học tập nâng cao sau này.
Mục 6 thường bao gồm các nội dung sau:
Dưới đây là giải chi tiết các bài tập trong mục 6 trang 38,39 SGK Toán 12 tập 2 Kết nối tri thức:
Ví dụ: Cho hàm số y = sin(x^2 + 1). Tính y'.
Giải:
Áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp, ta có:
y' = cos(x^2 + 1) * (2x) = 2x * cos(x^2 + 1)
Giải:
y' = 2x + 2. Thay x = 0, ta được y'(0) = 2.
Giải:
1. Tập xác định: D = R
2. Đạo hàm: y' = 3x^2 - 3
3. Giải phương trình y' = 0: 3x^2 - 3 = 0 => x = ±1
4. Bảng biến thiên:
| x | -∞ | -1 | 1 | +∞ | |
|---|---|---|---|---|---|
| y' | + | 0 | - | + | |
| y | ↗ | 4 | ↘ | 0 | ↗ |
5. Kết luận: Hàm số đồng biến trên (-∞, -1) và (1, +∞), nghịch biến trên (-1, 1). Hàm số đạt cực đại tại x = -1 với giá trị là 4, đạt cực tiểu tại x = 1 với giá trị là 0.
Hy vọng với lời giải chi tiết và những hướng dẫn trên, các bạn học sinh sẽ tự tin hơn trong việc giải các bài tập mục 6 trang 38,39 SGK Toán 12 tập 2 Kết nối tri thức. Chúc các bạn học tập tốt!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Khám phá thế giới phân dạng, từ hình học trừu tượng đến ứng dụng trong nghệ thuật và tự nhiên. Tìm hiểu cách phân dạng tạo ra vẻ đẹp vô hạn!
Bạn đã bao giờ gặp một điều nghe có vẻ vô lý nhưng lại chứa đựng sự thật? Khám phá thế giới Paradox - những mâu thuẫn thú vị giúp bạn nhìn nhận cuộc sống dưới một góc độ mới lạ. Đọc ngay!
Khám phá 'Tên của trò chơi là bắt cóc' - cuốn sách hấp dẫn đưa bạn vào thế giới ngầm đầy rẫy những kẻ ác. Đánh giá chi tiết, phân tích sâu sắc và lý do bạn nên đọc ngay!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán lớp 1 khó nhất! Hướng dẫn phụ huynh cách hỗ trợ con học toán hiệu quả, tạo hứng thú và đạt kết quả tốt nhất. Khám phá các mẹo học tập thông minh!
Review sách 'Dữ liệu tử thần' của Jeffery Deaver. Khám phá cách tội phạm sử dụng thông tin cá nhân và học cách bảo vệ dữ liệu của bạn ngay hôm nay!
