Loigiai.com.vn cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho mục 1 trang 54, 55, 56 sách giáo khoa Toán 12 tập 2 chương trình Kết nối tri thức. Bài giải được trình bày rõ ràng, giúp học sinh nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.
Chúng tôi hiểu rằng việc tự học Toán 12 có thể gặp nhiều khó khăn. Vì vậy, loigiai.com.vn luôn cố gắng mang đến những giải pháp học tập hiệu quả nhất, giúp các em học sinh đạt kết quả tốt nhất.
PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 55 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu (S) trong các trường hợp sau:
a) Tâm là gốc tọa độ, bán kính \(R = 1\).
b) Đường kính AB, với \(A\left( {1; - 1;2} \right),B\left( {2; - 3; - 1} \right)\).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về phương trình mặt cầu để viết phương trình mặt cầu: Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R có phương trình \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\).
Lời giải chi tiết:
a) Mặt cầu (S) có tâm \(O\left( {0;0;0} \right)\), bán kính \(R = 1\) nên có phương trình là: \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 1\)
b) Đoạn thẳng AB có trung điểm là \(E\left( {\frac{3}{2}; - 2;\frac{1}{2}} \right)\).
Mặt cầu (S) có bán kính \(R = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}\sqrt {{{\left( {2 - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 3 + 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - 2} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {14} }}{2}\) và tâm \(E\left( {\frac{3}{2}; - 2;\frac{1}{2}} \right)\). Do đó, (S): \({\left( {x - \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{7}{2}\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 55 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình \({\left( {x + 2} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{9}{4}\).
a) Xác định tâm và bán kính của (S).
b) Hỏi điểm \(M\left( {2;0;1} \right)\) nằm trong, nằm ngoài hay thuộc mặt cầu (S)?
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về phương trình mặt cầu để xác định tâm và bán kính của mặt cầu: Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm \(I\left( {a;{\rm{ }}b;{\rm{ }}c} \right)\), bán kính R có phương trình \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\).
Sử dụng kiến thức về phương trình mặt cầu để xác định vị trí của điểm so với mặt cầu: Cho mặt cầu (S) tâm I, bán kính R và điểm M bất kì trong không gian:
+ Nếu \(IM = R\) thì M nằm trên mặt cầu (S) tâm I.
+ Nếu \(IM > R\) thì M nằm ngoài mặt cầu (S) tâm I.
+ Nếu \(IM < R\) thì M nằm trong mặt cầu (S) tâm I.
Lời giải chi tiết:
a) Ta viết lại phương trình mặt cầu (S) dưới dạng:
\({\left[ {x - \left( { - 2} \right)} \right]^2} + {\left( {y - 0} \right)^2} + {\left[ {z - \left( { - \frac{1}{2}} \right)} \right]^2} = {\left( {\frac{3}{2}} \right)^2}\)
Do đó, mặt cầu (S) có tâm \(I\left( { - 2;0;\frac{{ - 1}}{2}} \right)\) và bán kính \(R = \frac{3}{2}\).
b) Ta có: \(MI = \sqrt {{{\left( { - 2 - 2} \right)}^2} + {{\left( {0 - 0} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{ - 1}}{2} - 1} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {73} }}{2} > \frac{3}{2} = R\) nên điểm \(M\left( {2;0;1} \right)\) nằm ngoài mặt cầu (S).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 56 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho (S) là tập hợp các điểm \(M\left( {x;{\rm{ }}y;{\rm{ }}z} \right)\) có tọa độ thỏa mãn phương trình: \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 6y - 12 = 0\). Chứng minh rằng (S) là một mặt cầu. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về phương trình mặt cầu để chứng minh: Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm \(I\left( {a;b;c} \right),\) bán kính R có phương trình \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\)
Lời giải chi tiết:
Ta có: \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 6y - 12 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 4x + 4} \right) + \left( {{y^2} + 6y + 9} \right) + {z^2} = 25\)\( \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {z^2} = {5^2}\)
Do đó, (S) là mặt cầu có tâm \(I\left( {2; - 3;0} \right)\) và bán kính \(R = 5\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 56 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình:
\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 5y + 6z + \frac{{25}}{4} = 0\).
Xác định tâm, tính bán kính của (S).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về phương trình mặt cầu để tính: Với a, b, c, d là các hằng số, phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) có thể viết lại thành \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} - d\) và là phương trình của một mặt cầu (S) khi và chỉ khi \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\). Khi đó, (S) có tâm \(I\left( {a;{\rm{ }}b;{\rm{ }}c} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \).
Lời giải chi tiết:
Phương trình mặt cầu (S) đã cho tương ứng với \(a = - 2;b = \frac{5}{2};c = - 3,d = \frac{{25}}{4}\)
Nên mặt cầu (S) có tâm \(I\left( { - 2;\frac{5}{2}; - 3} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( {\frac{5}{2}} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} - \frac{{25}}{4}} = \sqrt {13} \)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 54 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) tâm và bán kính R (H.5.41). Khi đó, một điểm thuộc mặt cầu (S) khi và chỉ khi nó thỏa mãn điều kiện gì?
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về mặt cầu tâm để tìm điều kiện:
+ Mặt cầu tâm I bán kính R là tập hợp các điểm trong không gian cách I một khoảng bằng R.
+ Mỗi đường thẳng đi qua tâm mặt cầu đều cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt, đoạn thẳng nối hai điểm đó được gọi là đường kính mặt cầu. Mỗi đường kính của mặt cầu đều có trung điểm là tâm mặt cầu và có độ dài bằng hai lần bán kính mặt cầu.
Lời giải chi tiết:
Mặt cầu tâm I bán kính R là tập hợp các điểm trong không gian cách I một khoảng bằng R.
Do đó, điểm thuộc mặt cầu (S) khi và chỉ khi .
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 54 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) tâm và bán kính R (H.5.41). Khi đó, một điểm thuộc mặt cầu (S) khi và chỉ khi nó thỏa mãn điều kiện gì?
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về mặt cầu tâm để tìm điều kiện:
+ Mặt cầu tâm I bán kính R là tập hợp các điểm trong không gian cách I một khoảng bằng R.
+ Mỗi đường thẳng đi qua tâm mặt cầu đều cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt, đoạn thẳng nối hai điểm đó được gọi là đường kính mặt cầu. Mỗi đường kính của mặt cầu đều có trung điểm là tâm mặt cầu và có độ dài bằng hai lần bán kính mặt cầu.
Lời giải chi tiết:
Mặt cầu tâm I bán kính R là tập hợp các điểm trong không gian cách I một khoảng bằng R.
Do đó, điểm thuộc mặt cầu (S) khi và chỉ khi .
Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 55 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình \({\left( {x + 2} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{9}{4}\).
a) Xác định tâm và bán kính của (S).
b) Hỏi điểm \(M\left( {2;0;1} \right)\) nằm trong, nằm ngoài hay thuộc mặt cầu (S)?
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về phương trình mặt cầu để xác định tâm và bán kính của mặt cầu: Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm \(I\left( {a;{\rm{ }}b;{\rm{ }}c} \right)\), bán kính R có phương trình \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\).
Sử dụng kiến thức về phương trình mặt cầu để xác định vị trí của điểm so với mặt cầu: Cho mặt cầu (S) tâm I, bán kính R và điểm M bất kì trong không gian:
+ Nếu \(IM = R\) thì M nằm trên mặt cầu (S) tâm I.
+ Nếu \(IM > R\) thì M nằm ngoài mặt cầu (S) tâm I.
+ Nếu \(IM < R\) thì M nằm trong mặt cầu (S) tâm I.
Lời giải chi tiết:
a) Ta viết lại phương trình mặt cầu (S) dưới dạng:
\({\left[ {x - \left( { - 2} \right)} \right]^2} + {\left( {y - 0} \right)^2} + {\left[ {z - \left( { - \frac{1}{2}} \right)} \right]^2} = {\left( {\frac{3}{2}} \right)^2}\)
Do đó, mặt cầu (S) có tâm \(I\left( { - 2;0;\frac{{ - 1}}{2}} \right)\) và bán kính \(R = \frac{3}{2}\).
b) Ta có: \(MI = \sqrt {{{\left( { - 2 - 2} \right)}^2} + {{\left( {0 - 0} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{ - 1}}{2} - 1} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {73} }}{2} > \frac{3}{2} = R\) nên điểm \(M\left( {2;0;1} \right)\) nằm ngoài mặt cầu (S).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 55 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu (S) trong các trường hợp sau:
a) Tâm là gốc tọa độ, bán kính \(R = 1\).
b) Đường kính AB, với \(A\left( {1; - 1;2} \right),B\left( {2; - 3; - 1} \right)\).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về phương trình mặt cầu để viết phương trình mặt cầu: Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R có phương trình \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\).
Lời giải chi tiết:
a) Mặt cầu (S) có tâm \(O\left( {0;0;0} \right)\), bán kính \(R = 1\) nên có phương trình là: \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 1\)
b) Đoạn thẳng AB có trung điểm là \(E\left( {\frac{3}{2}; - 2;\frac{1}{2}} \right)\).
Mặt cầu (S) có bán kính \(R = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}\sqrt {{{\left( {2 - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 3 + 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - 2} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {14} }}{2}\) và tâm \(E\left( {\frac{3}{2}; - 2;\frac{1}{2}} \right)\). Do đó, (S): \({\left( {x - \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{7}{2}\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 56 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho (S) là tập hợp các điểm \(M\left( {x;{\rm{ }}y;{\rm{ }}z} \right)\) có tọa độ thỏa mãn phương trình: \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 6y - 12 = 0\). Chứng minh rằng (S) là một mặt cầu. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về phương trình mặt cầu để chứng minh: Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm \(I\left( {a;b;c} \right),\) bán kính R có phương trình \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\)
Lời giải chi tiết:
Ta có: \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 6y - 12 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 4x + 4} \right) + \left( {{y^2} + 6y + 9} \right) + {z^2} = 25\)\( \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {z^2} = {5^2}\)
Do đó, (S) là mặt cầu có tâm \(I\left( {2; - 3;0} \right)\) và bán kính \(R = 5\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 56 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình:
\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 5y + 6z + \frac{{25}}{4} = 0\).
Xác định tâm, tính bán kính của (S).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về phương trình mặt cầu để tính: Với a, b, c, d là các hằng số, phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) có thể viết lại thành \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} - d\) và là phương trình của một mặt cầu (S) khi và chỉ khi \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\). Khi đó, (S) có tâm \(I\left( {a;{\rm{ }}b;{\rm{ }}c} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \).
Lời giải chi tiết:
Phương trình mặt cầu (S) đã cho tương ứng với \(a = - 2;b = \frac{5}{2};c = - 3,d = \frac{{25}}{4}\)
Nên mặt cầu (S) có tâm \(I\left( { - 2;\frac{5}{2}; - 3} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( {\frac{5}{2}} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} - \frac{{25}}{4}} = \sqrt {13} \)
Mục 1 của chương trình Toán 12 tập 2 Kết nối tri thức thường tập trung vào một chủ đề quan trọng, thường là về đạo hàm hoặc tích phân. Việc nắm vững kiến thức trong mục này là nền tảng cho các bài học tiếp theo và các kỳ thi quan trọng. Bài viết này sẽ cung cấp lời giải chi tiết cho từng bài tập trong mục 1, trang 54, 55, 56 của sách giáo khoa, đồng thời giải thích các khái niệm và phương pháp liên quan.
Bài tập này thường yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm của hàm số để giải quyết các bài toán thực tế. Lời giải sẽ bao gồm các bước sau:
Bài tập này có thể liên quan đến việc tìm cực trị của hàm số. Lời giải sẽ bao gồm:
Bài tập này có thể yêu cầu học sinh ứng dụng đạo hàm để giải các bài toán về tối ưu hóa. Lời giải sẽ bao gồm:
Để giải quyết các bài tập trong mục 1, học sinh cần nắm vững các khái niệm sau:
Để học tập hiệu quả môn Toán 12, học sinh nên:
Hy vọng rằng bài viết này đã cung cấp cho bạn những lời giải chi tiết và hữu ích cho mục 1 trang 54,55,56 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức. Chúc bạn học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Khám phá thế giới phân dạng, từ hình học trừu tượng đến ứng dụng trong nghệ thuật và tự nhiên. Tìm hiểu cách phân dạng tạo ra vẻ đẹp vô hạn!
Bạn đã bao giờ gặp một điều nghe có vẻ vô lý nhưng lại chứa đựng sự thật? Khám phá thế giới Paradox - những mâu thuẫn thú vị giúp bạn nhìn nhận cuộc sống dưới một góc độ mới lạ. Đọc ngay!
Khám phá 'Tên của trò chơi là bắt cóc' - cuốn sách hấp dẫn đưa bạn vào thế giới ngầm đầy rẫy những kẻ ác. Đánh giá chi tiết, phân tích sâu sắc và lý do bạn nên đọc ngay!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán lớp 1 khó nhất! Hướng dẫn phụ huynh cách hỗ trợ con học toán hiệu quả, tạo hứng thú và đạt kết quả tốt nhất. Khám phá các mẹo học tập thông minh!
Review sách 'Dữ liệu tử thần' của Jeffery Deaver. Khám phá cách tội phạm sử dụng thông tin cá nhân và học cách bảo vệ dữ liệu của bạn ngay hôm nay!
