Giải Mục 5 Trang 37,38 Sgk Toán 12 Tập 2 - Kết Nối Tri Thức

Giải mục 5 trang 37,38 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

Loigiai.com.vn cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho mục 5 trang 37,38 sách giáo khoa Toán 12 tập 2 chương trình Kết nối tri thức. Bài giải được trình bày rõ ràng, giúp học sinh nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.

Chúng tôi luôn cập nhật lời giải mới nhất và chính xác nhất, đảm bảo hỗ trợ tối đa cho quá trình học tập của bạn.

ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI MẶT PHẲNG SONG SONG VỚI NHAU

LT10

Trả lời câu hỏi Luyện tập 10 trang 37 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng: $\left( \alpha \right):5x + 2y - 4z + 6 = 0$ và $\left( \beta \right):10x + 4y - 2z + 12 = 0$

a) Hỏi $\left( \alpha \right)$ và $\left( \beta \right)$ có song song với nhau hay không?

b) Chứng minh rằng điểm $M\left( {1; - 3;5} \right)$ không thuộc mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ nhưng thuộc mặt phẳng $\left( \beta \right)$.

c) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua $M\left( {1; - 3;5} \right)$ và song song với $\left( \alpha \right)$.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về điều kiện để hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau để tính: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng $\left( \alpha \right):Ax + By + Cz + D = 0$, $\left( \beta \right):A'x + B'y + C'z + D' = 0$ với các vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right),\overrightarrow {n'} = \left( {A';B';C'} \right)$ tương ứng. Khi đó, $\left( \alpha \right)//\left( \beta \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {n'} = k\overrightarrow n \\D' \ne kD\end{array} \right.$ với k nào đó.

Sử dụng kiến thức về điều kiện để hai mặt phẳng song song để tính: Nếu hai mặt phẳng song song với nhau thì vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng kia.

Lời giải chi tiết:

a) Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có một vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {5;2; - 4} \right)$, mặt phẳng $\left( \beta \right)$ có một vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow {{n_\beta }} = \left( {10;4; - 2} \right)$.

Vì $\frac{5}{{10}} = \frac{4}{2} \ne \frac{{ - 4}}{2}$ nên $\overrightarrow {{n_\alpha }} $ và $\overrightarrow {{n_\beta }} $ không cùng phương. Do đó, hai mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ và $\left( \beta \right)$ không song song với nhau.

b) Vì $5.1 - 3.2 - 4.5 + 6 = 5 - 6 - 20 + 6 = - 15 \ne 0$ nên điểm $M\left( {1; - 3;5} \right)$ không thuộc mặt phẳng $\left( \alpha \right)$.

Vì $10.1 + 4.\left( { - 3} \right) - 2.5 + 12 = 0$ nên điểm $M\left( {1; - 3;5} \right)$ thuộc mặt phẳng $\left( \beta \right)$.

c) Vì mặt phẳng (P) song song với $\left( \alpha \right)$ nên mặt phẳng (P) nhận $\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {5;2; - 4} \right)$ làm một vectơ pháp tuyến. Mà điểm $M\left( {1; - 3;5} \right)$ thuộc (P) nên phương trình mặt phẳng (P) là:

$5\left( {x - 1} \right) + 2\left( {y + 3} \right) - 4\left( {z - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow 5x + 2y - 4z + 21 = 0$

HĐ9

Trả lời câu hỏi Hoạt động 9 trang 37 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng $\left( \alpha \right):Ax + By + Cz + D = 0$, $\left( \beta \right):A'x + B'y + C'z + D' = 0$ với các vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right),\overrightarrow {n'} = \left( {A';B';C'} \right)$ tương ứng.

Nếu hai mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ và $\left( \beta \right)$ song song hoặc trùng nhau thì các vectơ $\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'} $ có mối quan hệ gì?

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: Vectơ $\overrightarrow n \ne \overrightarrow 0 $ được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ nếu $\overrightarrow n $ vuông góc với $\left( \alpha \right)$.

Lời giải chi tiết:

Nếu hai mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ và $\left( \beta \right)$ song song hoặc trùng nhau thì giá của các vectơ $\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'} $ song song song hoặc trùng nhau. Do đó, các vectơ $\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'} $ cùng phương với nhau.

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

HĐ9
LT10
VD4

Trả lời câu hỏi Hoạt động 9 trang 37 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Nếu hai mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ và $\left( \beta \right)$ song song hoặc trùng nhau thì các vectơ $\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'} $ có mối quan hệ gì?

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Trả lời câu hỏi Luyện tập 10 trang 37 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng: $\left( \alpha \right):5x + 2y - 4z + 6 = 0$ và $\left( \beta \right):10x + 4y - 2z + 12 = 0$

a) Hỏi $\left( \alpha \right)$ và $\left( \beta \right)$ có song song với nhau hay không?

b) Chứng minh rằng điểm $M\left( {1; - 3;5} \right)$ không thuộc mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ nhưng thuộc mặt phẳng $\left( \beta \right)$.

c) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua $M\left( {1; - 3;5} \right)$ và song song với $\left( \alpha \right)$.

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

b) Vì $5.1 - 3.2 - 4.5 + 6 = 5 - 6 - 20 + 6 = - 15 \ne 0$ nên điểm $M\left( {1; - 3;5} \right)$ không thuộc mặt phẳng $\left( \alpha \right)$.

Vì $10.1 + 4.\left( { - 3} \right) - 2.5 + 12 = 0$ nên điểm $M\left( {1; - 3;5} \right)$ thuộc mặt phẳng $\left( \beta \right)$.

$5\left( {x - 1} \right) + 2\left( {y + 3} \right) - 4\left( {z - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow 5x + 2y - 4z + 21 = 0$

Trả lời câu hỏi Vận dụng 4 trang 37 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Trong một kì thi tuyển sinh có ba môn thi Toán, Văn, Tiếng Anh. Trong không gian Oxyz, người ta biểu diễn kết quả thi của mỗi thí sinh bởi điểm có hoành độ, tung độ, cao độ tương ứng là điểm Toán, Văn, Tiếng Anh của thí sinh đó.

a) Chứng minh rằng các điểm biểu diễn tương ứng với các thí sinh có tổng số điểm ba môn bằng 27 (nếu có) cùng thuộc mặt phẳng có phương trình $x + y + z - 27 = 0$.

b) Chứng minh rằng tồn tại một số mặt phẳng đôi một song song với nhau sao cho hai điểm biểu diễn ứng với hai thí sinh có tổng số điểm thi bằng nhau thì cùng thuộc một mặt phẳng trong số các mặt phẳng đó.

Giải mục 5 trang 37,38 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức 1

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về điều kiện để hai mặt phẳng song song để chứng minh: Nếu hai mặt phẳng song song với nhau thì vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng kia.

Lời giải chi tiết:

a) Gọi điểm Toán, Văn, Tiếng Anh của một thí sinh lần lượt là ${x_0};{y_0};{z_0}$ sao cho tổng điểm của thí sinh đó là 27. Khi đó, ${x_0} + {y_0} + {z_0} = 27$. Suy ra, điểm $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ biểu diễn kết quả thi của thí sinh đó.

Thay $x = {x_0};y = {y_0},z = {z_0}$ vào phương trình $x + y + z - 27 = 0$ ta có:

${{x}_{0}}+{{y}_{0}}+{{z}_{0}}-27=0\Leftrightarrow 27-27=0\left( LD \right)$

Do đó, điểm $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ thuộc mặt phẳng có phương trình $x + y + z - 27 = 0$.

Vậy các điểm biểu diễn tương ứng với các thí sinh có tổng số điểm ba môn bằng 27 (nếu có) cùng thuộc mặt phẳng có phương trình $x + y + z - 27 = 0$.

b) Xét phương trình mặt phẳng (M): $x + y + z - 24 = 0$

Gọi điểm Toán, Văn, Tiếng Anh của một thí sinh lần lượt là ${x_1};{y_1};{z_1}$ sao cho tổng điểm của thí sinh đó là 24. Khi đó, ${x_1} + {y_1} + {z_1} = 24$. Khi đó, điểm $A\left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)$ biểu diễn kết quả thi của thí sinh đó.

Thay $x = {x_1};y = {y_1},z = {z_1}$ vào phương trình $x + y + z - 24 = 0$ ta có:

${{x}_{1}}+{{y}_{1}}+{{z}_{1}}-24=0\Leftrightarrow 24-24=0\left( L \right)$

Do đó, điểm $A\left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)$ thuộc mặt phẳng có phương trình $x + y + z - 24 = 0$.

Vậy các điểm biểu diễn tương ứng với các thí sinh có tổng số điểm ba môn bằng 24 (nếu có) cùng thuộc mặt phẳng (M).

Xét phương trình mặt phẳng (N): $x + y + z - 20 = 0$

Gọi điểm Toán, Văn, Tiếng Anh của một thí sinh lần lượt là ${x_2};{y_2};{z_2}$ sao cho tổng điểm của thí sinh đó là 20. Khi đó, ${x_2} + {y_2} + {z_2} = 20$. Khi đó, điểm $B\left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)$ biểu diễn kết quả thi của thí sinh đó.

Thay $x = {x_2};y = {y_2},z = {z_2}$ vào phương trình $x + y + z - 20 = 0$ ta có:

${{x}_{2}}+{{y}_{2}}+{{z}_{2}}-20=0\Leftrightarrow 20-20=0\left( LD \right)$

Do đó, điểm $B\left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)$ thuộc mặt phẳng (N).

Vậy các điểm biểu diễn tương ứng với các thí sinh có tổng số điểm ba môn bằng 20 cùng thuộc mặt phẳng có phương trình (N).

Theo a, các điểm biểu diễn tương ứng với các thí sinh có tổng số điểm ba môn bằng 27 cùng thuộc mặt phẳng (P) có phương trình $x + y + z - 27 = 0$.

Ta thấy ba mặt phẳng (M), (N), (P) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n \left( {1;1;1} \right)$ và $ - 24 \ne - 20 \ne - 27$ nên ba mặt phẳng (M), (N), (P) song song với nhau.

Từ đó ta có kết luận: Tồn tại một số mặt phẳng đôi một song song với nhau sao cho hai điểm biểu diễn ứng với hai thí sinh có tổng số điểm thi bằng nhau thì cùng thuộc một mặt phẳng trong số các mặt phẳng đó.

VD4

Trả lời câu hỏi Vận dụng 4 trang 37 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Giải mục 5 trang 37,38 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức 2 1

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Thay $x = {x_0};y = {y_0},z = {z_0}$ vào phương trình $x + y + z - 27 = 0$ ta có:

${{x}_{0}}+{{y}_{0}}+{{z}_{0}}-27=0\Leftrightarrow 27-27=0\left( LD \right)$

Do đó, điểm $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ thuộc mặt phẳng có phương trình $x + y + z - 27 = 0$.

Vậy các điểm biểu diễn tương ứng với các thí sinh có tổng số điểm ba môn bằng 27 (nếu có) cùng thuộc mặt phẳng có phương trình $x + y + z - 27 = 0$.

b) Xét phương trình mặt phẳng (M): $x + y + z - 24 = 0$

Thay $x = {x_1};y = {y_1},z = {z_1}$ vào phương trình $x + y + z - 24 = 0$ ta có:

${{x}_{1}}+{{y}_{1}}+{{z}_{1}}-24=0\Leftrightarrow 24-24=0\left( L \right)$

Do đó, điểm $A\left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)$ thuộc mặt phẳng có phương trình $x + y + z - 24 = 0$.

Vậy các điểm biểu diễn tương ứng với các thí sinh có tổng số điểm ba môn bằng 24 (nếu có) cùng thuộc mặt phẳng (M).

Xét phương trình mặt phẳng (N): $x + y + z - 20 = 0$

Thay $x = {x_2};y = {y_2},z = {z_2}$ vào phương trình $x + y + z - 20 = 0$ ta có:

${{x}_{2}}+{{y}_{2}}+{{z}_{2}}-20=0\Leftrightarrow 20-20=0\left( LD \right)$

Do đó, điểm $B\left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)$ thuộc mặt phẳng (N).

Vậy các điểm biểu diễn tương ứng với các thí sinh có tổng số điểm ba môn bằng 20 cùng thuộc mặt phẳng có phương trình (N).

Theo a, các điểm biểu diễn tương ứng với các thí sinh có tổng số điểm ba môn bằng 27 cùng thuộc mặt phẳng (P) có phương trình $x + y + z - 27 = 0$.

Tự Tin Bứt Phá Kỳ Thi THPT Quốc Gia Môn Toán! Bạn muốn tự tin bứt phá Kỳ thi THPT Quốc gia môn Toán và vào đại học mơ ước? Đừng bỏ lỡ Giải mục 5 trang 37,38 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức đặc sắc thuộc chuyên mục đề toán lớp 12 trên nền tảng soạn toán của chúng tôi! Với bộ toán thpt bài tập được biên soạn chuyên sâu, bám sát cấu trúc đề thi và chương trình Toán 12, đây chính là "chiến lược vàng" giúp các em tối ưu hóa quá trình ôn luyện. Học sinh sẽ không chỉ làm chủ mọi dạng bài thi mà còn nắm vững chiến thuật làm bài hiệu quả. Nhờ phương pháp học trực quan, khoa học và hiệu quả học tập vượt trội, bạn sẽ sẵn sàng tự tin chinh phục điểm cao, vững bước vào cánh cửa đại học mơ ước!

Giải mục 5 trang 37,38 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức: Tổng quan

Mục 5 trong SGK Toán 12 tập 2 Kết nối tri thức thường xoay quanh các chủ đề về đạo hàm của hàm số lượng giác, ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số và tìm cực trị. Việc nắm vững kiến thức này là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong chương trình học.

Nội dung chi tiết mục 5 trang 37,38

Mục 5 trang 37,38 thường bao gồm các bài tập sau:

Bài tập 1: Tính đạo hàm của các hàm số lượng giác cơ bản như sin(x), cos(x), tan(x), cot(x).
Bài tập 2: Áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp để tính đạo hàm của các hàm số phức tạp hơn.
Bài tập 3: Sử dụng đạo hàm để tìm cực trị của hàm số lượng giác.
Bài tập 4: Khảo sát hàm số lượng giác bằng cách xác định khoảng đồng biến, nghịch biến, cực đại, cực tiểu và điểm uốn.

Phương pháp giải các bài tập trong mục 5

Để giải các bài tập trong mục 5 một cách hiệu quả, bạn cần nắm vững các kiến thức sau:

Công thức đạo hàm của các hàm số lượng giác: (sin(x))' = cos(x), (cos(x))' = -sin(x), (tan(x))' = 1/cos²(x), (cot(x))' = -1/sin²(x).
Quy tắc đạo hàm của hàm hợp: (u(v(x)))' = u'(v(x)) * v'(x).
Điều kiện để hàm số đạt cực trị: f'(x) = 0 và f''(x) ≠ 0.
Cách khảo sát hàm số: Xác định tập xác định, tìm đạo hàm cấp một và cấp hai, tìm điểm cực trị, xét dấu đạo hàm cấp một để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến, vẽ đồ thị hàm số.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số y = sin(2x + 1).

Giải: Sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp, ta có:

y' = cos(2x + 1) * (2x + 1)' = 2cos(2x + 1).

Ví dụ 2: Tìm cực trị của hàm số y = x + cos(x).

Giải:

Tính đạo hàm cấp một: y' = 1 - sin(x).
Giải phương trình y' = 0: 1 - sin(x) = 0 => sin(x) = 1 => x = π/2 + kπ (k ∈ Z).
Tính đạo hàm cấp hai: y'' = -cos(x).
Xét dấu đạo hàm cấp hai tại các điểm cực trị:
- Khi x = π/2 + kπ, y'' = -cos(π/2 + kπ) = 0.

Do y'' = 0 tại các điểm cực trị, cần xét thêm dấu của đạo hàm cấp ba để xác định bản chất của điểm cực trị. Tuy nhiên, trong trường hợp này, việc xét dấu đạo hàm cấp ba trở nên phức tạp. Thay vào đó, ta có thể xét dấu của đạo hàm cấp một xung quanh các điểm cực trị để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến và từ đó suy ra bản chất của điểm cực trị.

Lưu ý khi giải bài tập

Khi giải các bài tập về đạo hàm và khảo sát hàm số lượng giác, bạn cần chú ý các điểm sau:

Nắm vững các công thức đạo hàm cơ bản và quy tắc đạo hàm.
Sử dụng đúng các phương pháp giải bài tập.
Kiểm tra lại kết quả sau khi giải xong.
Luyện tập thường xuyên để nâng cao kỹ năng giải toán.

Kết luận

Giải mục 5 trang 37,38 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức đòi hỏi sự nắm vững kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm. Hy vọng với những hướng dẫn chi tiết và ví dụ minh họa trên, bạn sẽ tự tin hơn trong việc giải quyết các bài tập trong mục này. Chúc bạn học tập tốt!