Bài tập 2.42 trang 74 SGK Toán 12 tập 1 thuộc chương trình học Toán 12 Kết nối tri thức. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế.
loigiai.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu bài tập 2.42 này, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin làm bài tập.
Hình 2.53 minh họa một chiếc đèn được treo cách trần nhà 0,5m, cách hai tường lần lượt là 1,2m và 1,6m. Hai bức tường vuông góc với nhau và cùng vuông góc với trần nhà. Người ta di chuyển chiếc đèn đó đến vị trí mới cách trần nhà là 0,4m, cách hai tường đều là 1,5m. a) Lập một hệ trục tọa độ Oxyz phù hợp và xác định tọa độ của bóng đèn lúc đầu và sau khi di chuyển. b) Vị trí mới của bóng đèn cách vị trí ban đầu là bao nhiêu mét? (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).
Đề bài
Hình 2.53 minh họa một chiếc đèn được treo cách trần nhà 0,5m, cách hai tường lần lượt là 1,2m và 1,6m. Hai bức tường vuông góc với nhau và cùng vuông góc với trần nhà. Người ta di chuyển chiếc đèn đó đến vị trí mới cách trần nhà là 0,4m, cách hai tường đều là 1,5m.a) Lập một hệ trục tọa độ Oxyz phù hợp và xác định tọa độ của bóng đèn lúc đầu và sau khi di chuyển.b) Vị trí mới của bóng đèn cách vị trí ban đầu là bao nhiêu mét? (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Sử dụng kiến thức về hệ tọa độ trong không gian để giải thích: Trong không gian, ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau tại gốc O của mỗi trục. Gọi \(\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k \) lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz. Hệ ba trục tọa độ như vậy được gọi là hệ trục tọa độ Descartes vuông góc Oxyz (hay đơn giản là hệ tọa độ Oxyz). Điểm O được gọi là gốc tọa độ, các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Ozx) đôi một vuông góc với nhau và được gọi là các mặt phẳng tọa độ. Không gian với hệ tọa độ Oxyz còn được gọi là không gian Oxyz.
b) Sử dụng kiến thức về độ dài đoạn thẳng trong không gian để tính: Nếu \(A\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right)\) và \(B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right)\) thì \(AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2} + {{\left( {{z_B} - {z_A}} \right)}^2}} \).
Lời giải chi tiết
a) Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như sau:
+ Gốc O trùng với một góc của phòng
+ Mặt phẳng (Oxy) trùng với trần nhà, mặt phẳng (Oxz) và mặt phẳng (Oyz) trùng với hai bức tường (như hình vẽ).
Tọa độ của bóng đèn lúc đầu là A(1,6; 1,2; 0,5)
Tọa độ bóng đèn sau khi di chuyển là: B(1,5; 1,5; 0,4)
Bài tập 2.42 trang 74 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức là một bài toán ứng dụng đạo hàm để giải quyết một vấn đề thực tế. Bài toán này thường liên quan đến việc tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một hàm số trong một khoảng cho trước. Để giải bài toán này, học sinh cần nắm vững các kiến thức về đạo hàm, cực trị của hàm số và các phương pháp giải bài toán tối ưu.
Trước khi bắt đầu giải bài tập, chúng ta cần phân tích kỹ đề bài để hiểu rõ yêu cầu và các dữ kiện đã cho. Điều này giúp chúng ta xây dựng được phương án giải quyết bài toán một cách hiệu quả nhất. Thông thường, đề bài sẽ cung cấp một hàm số và yêu cầu tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của hàm số đó trên một khoảng cho trước.
Để giải bài tập 2.42 trang 74 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức, chúng ta có thể áp dụng các bước sau:
(Nội dung lời giải chi tiết sẽ được trình bày tại đây, bao gồm các bước giải cụ thể, các phép tính và kết luận. Ví dụ:)
Bài 2.42: Một người nông dân muốn xây dựng một chuồng trại hình chữ nhật có diện tích 100 m2. Người đó muốn sử dụng một bức tường hiện có làm một cạnh của chuồng trại. Chi phí xây dựng mỗi mét tường là 50.000 đồng. Hỏi người nông dân cần xây dựng chuồng trại với kích thước như thế nào để chi phí xây dựng là thấp nhất?
Lời giải:
Gọi x và y là chiều dài và chiều rộng của chuồng trại. Diện tích của chuồng trại là xy = 100. Chi phí xây dựng chuồng trại là C = 50000(x + 2y). Ta cần tìm x và y sao cho C nhỏ nhất.
Từ xy = 100, ta có y = 100/x. Thay vào biểu thức C, ta được C = 50000(x + 200/x). Để tìm giá trị nhỏ nhất của C, ta tính đạo hàm của C theo x:
C' = 50000(1 - 200/x2). Đặt C' = 0, ta được 1 - 200/x2 = 0, suy ra x2 = 200, do đó x = √200 = 10√2. Khi đó, y = 100/(10√2) = 5√2.
Vậy, kích thước của chuồng trại là x = 10√2 m và y = 5√2 m để chi phí xây dựng là thấp nhất.
Để hiểu rõ hơn về phương pháp giải bài tập này, chúng ta có thể xem xét một ví dụ minh họa khác. Ví dụ, bài tập 2.43 trang 74 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức cũng là một bài toán ứng dụng đạo hàm để giải quyết một vấn đề thực tế. Bằng cách áp dụng các bước giải tương tự như trên, chúng ta có thể tìm ra lời giải cho bài tập này.
Bài tập 2.42 trang 74 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức là một bài toán quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng vận dụng đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế. Bằng cách nắm vững các kiến thức và phương pháp giải đã trình bày, các em học sinh có thể tự tin giải quyết các bài tập tương tự.
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Khám phá thế giới phân dạng, từ hình học trừu tượng đến ứng dụng trong nghệ thuật và tự nhiên. Tìm hiểu cách phân dạng tạo ra vẻ đẹp vô hạn!
Bạn đã bao giờ gặp một điều nghe có vẻ vô lý nhưng lại chứa đựng sự thật? Khám phá thế giới Paradox - những mâu thuẫn thú vị giúp bạn nhìn nhận cuộc sống dưới một góc độ mới lạ. Đọc ngay!
Khám phá 'Tên của trò chơi là bắt cóc' - cuốn sách hấp dẫn đưa bạn vào thế giới ngầm đầy rẫy những kẻ ác. Đánh giá chi tiết, phân tích sâu sắc và lý do bạn nên đọc ngay!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán lớp 1 khó nhất! Hướng dẫn phụ huynh cách hỗ trợ con học toán hiệu quả, tạo hứng thú và đạt kết quả tốt nhất. Khám phá các mẹo học tập thông minh!
Review sách 'Dữ liệu tử thần' của Jeffery Deaver. Khám phá cách tội phạm sử dụng thông tin cá nhân và học cách bảo vệ dữ liệu của bạn ngay hôm nay!
