Giải Bài Tập 4.28 Trang 28 Sgk Toán 12 Tập 2 - Kết Nối Tri Thức

Giải bài tập 4.28 trang 28 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

Bài tập 4.28 trang 28 SGK Toán 12 tập 2 thuộc chương trình học Toán 12 Kết nối tri thức. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế.

Loigiai.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu bài tập 4.28, giúp các em học sinh hiểu rõ phương pháp giải và tự tin làm bài tập.

Tìm họ tất cả các nguyên hàm của các hàm số sau: a) \(y = {2^x} - \frac{1}{x}\); b) \(y = x\sqrt x + 3\cos x - \frac{2}{{{{\sin }^2}x}}\).

Đề bài

Tìm họ tất cả các nguyên hàm của các hàm số sau:

a) \(y = {2^x} - \frac{1}{x}\);

b) \(y = x\sqrt x + 3\cos x - \frac{2}{{{{\sin }^2}x}}\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết Giải bài tập 4.28 trang 28 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức 1

Sử dụng kiến thức về tính chất cơ bản của nguyên hàm để tính: \(\int {kf\left( x \right)dx} = k\int {f\left( x \right)dx} \)

Sử dụng kiến thức về nguyên hàm một tổng để tính: \(\int {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]} \,dx = \int {f\left( x \right)dx - \int {g\left( x \right)dx} } \), \(\int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]} \,dx = \int {f\left( x \right)dx + \int {g\left( x \right)dx} } \)

Sử dụng kiến thức về nguyên hàm của hàm số lũy thừa để tính:

\(\int {{x^\alpha }dx} = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C\left( {\alpha \ne - 1} \right),\int {\frac{1}{x}} dx = \ln \left| x \right| + C\)

Sử dụng kiến thức về nguyên hàm của hàm số mũ để tính: \(\int {{a^x}dx} = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C\left( {0 < a \ne 1} \right)\)

Sử dụng kiến thức về nguyên hàm của hàm số lượng giác để tính:

\(\int {\cos x} dx = \sin x + C,\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} dx = - \cot x + C\)

Lời giải chi tiết

a) \(\int {\left( {{2^x} - \frac{1}{x}} \right)dx} = \int {{2^x}dx} - \int {\frac{1}{x}dx} = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} - \ln \left| x \right| + C\)

b) \(\int {\left( {x\sqrt x + 3\cos x - \frac{2}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx} = \int {{x^{\frac{3}{2}}}dx} + 3\int {\cos x - 2\int {\frac{{dx}}{{{{\sin }^2}x}}} } \)

\( = \frac{{2{x^2}\sqrt x }}{5} + 3\sin x + 2\cot x + C\)

Tự Tin Bứt Phá Kỳ Thi THPT Quốc Gia Môn Toán! Bạn muốn tự tin bứt phá Kỳ thi THPT Quốc gia môn Toán và vào đại học mơ ước? Đừng bỏ lỡ Giải bài tập 4.28 trang 28 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức đặc sắc thuộc chuyên mục đề toán 12 trên nền tảng toán của chúng tôi! Với bộ lý thuyết toán thpt bài tập được biên soạn chuyên sâu, bám sát cấu trúc đề thi và chương trình Toán 12, đây chính là "chiến lược vàng" giúp các em tối ưu hóa quá trình ôn luyện. Học sinh sẽ không chỉ làm chủ mọi dạng bài thi mà còn nắm vững chiến thuật làm bài hiệu quả. Nhờ phương pháp học trực quan, khoa học và hiệu quả học tập vượt trội, bạn sẽ sẵn sàng tự tin chinh phục điểm cao, vững bước vào cánh cửa đại học mơ ước!

Giải bài tập 4.28 trang 28 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức: Hướng dẫn chi tiết

Bài tập 4.28 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức là một bài toán ứng dụng đạo hàm để giải quyết một vấn đề thực tế. Để giải bài tập này, học sinh cần nắm vững các kiến thức về đạo hàm của hàm số, các quy tắc tính đạo hàm và cách sử dụng đạo hàm để tìm cực trị của hàm số.

Phân tích đề bài

Trước khi bắt đầu giải bài tập, chúng ta cần phân tích đề bài để hiểu rõ yêu cầu của bài toán. Đề bài thường cho một tình huống thực tế và yêu cầu chúng ta tìm một giá trị tối ưu nào đó, ví dụ như giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, hoặc chi phí thấp nhất. Để làm được điều này, chúng ta cần xây dựng một hàm số biểu diễn mối quan hệ giữa các yếu tố trong bài toán và sau đó sử dụng đạo hàm để tìm cực trị của hàm số đó.

Lời giải chi tiết bài tập 4.28

Để giải bài tập 4.28, chúng ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xây dựng hàm số. Dựa vào thông tin trong đề bài, chúng ta xây dựng một hàm số biểu diễn mối quan hệ giữa các yếu tố trong bài toán. Hàm số này thường có dạng f(x), trong đó x là biến độc lập và f(x) là giá trị cần tìm.
Bước 2: Tính đạo hàm. Chúng ta tính đạo hàm của hàm số f(x), ký hiệu là f'(x). Đạo hàm của hàm số cho chúng ta biết tốc độ thay đổi của hàm số tại một điểm bất kỳ.
Bước 3: Tìm cực trị. Chúng ta tìm các điểm mà đạo hàm f'(x) bằng 0 hoặc không xác định. Các điểm này là các điểm cực trị của hàm số.
Bước 4: Xác định loại cực trị. Chúng ta sử dụng đạo hàm cấp hai f''(x) để xác định loại cực trị của hàm số tại các điểm cực trị. Nếu f''(x) > 0 thì điểm đó là điểm cực tiểu, nếu f''(x) < 0 thì điểm đó là điểm cực đại.
Bước 5: Kết luận. Dựa vào kết quả tìm được, chúng ta kết luận về giá trị tối ưu của bài toán.

Ví dụ minh họa

Giả sử đề bài yêu cầu tìm kích thước của một hình hộp chữ nhật có thể tích V cho trước sao cho diện tích bề mặt của hình hộp là nhỏ nhất. Chúng ta có thể giải bài toán này như sau:

Gọi x, y, z là kích thước của hình hộp chữ nhật.
Thể tích của hình hộp là V = xyz.
Diện tích bề mặt của hình hộp là S = 2(xy + yz + zx).
Chúng ta có thể biểu diễn z theo x và y: z = V/(xy).
Thay z vào công thức tính diện tích bề mặt, ta được S = 2(xy + yV/(xy) + xV/(xy)) = 2(xy + V/x + V/y).
Tính đạo hàm riêng của S theo x và y: ∂S/∂x = 2(y - V/x^2) và ∂S/∂y = 2(x - V/y^2).
Giải hệ phương trình ∂S/∂x = 0 và ∂S/∂y = 0, ta được x = y = (V)^(1/3).
Thay x = y = (V)^(1/3) vào z = V/(xy), ta được z = (V)^(1/3).
Vậy hình hộp chữ nhật có kích thước x = y = z = (V)^(1/3) là hình hộp có diện tích bề mặt nhỏ nhất.

Lưu ý khi giải bài tập ứng dụng đạo hàm

Khi giải bài tập ứng dụng đạo hàm, chúng ta cần lưu ý một số điều sau:

Đọc kỹ đề bài và hiểu rõ yêu cầu của bài toán.
Xây dựng hàm số biểu diễn mối quan hệ giữa các yếu tố trong bài toán một cách chính xác.
Tính đạo hàm một cách cẩn thận và chính xác.
Kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính hợp lý.

Bài tập tương tự

Để củng cố kiến thức về ứng dụng đạo hàm, bạn có thể làm thêm một số bài tập tương tự như sau:

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = -x^2 + 4x + 5.
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x^3 - 3x^2 + 2.
Tìm kích thước của một hình trụ có thể tích V cho trước sao cho diện tích toàn phần của hình trụ là nhỏ nhất.

Hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, các bạn học sinh có thể tự tin giải bài tập 4.28 trang 28 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức và các bài tập tương tự. Chúc các bạn học tập tốt!