Lý Thuyết Hệ Trục Tọa Độ Trong Không Gian Toán 12 Kết Nối Tri Thức

Lý thuyết Hệ trục tọa độ trong không gian Toán 12 Kết nối tri thức

Chào mừng bạn đến với bài học về lý thuyết Hệ trục tọa độ trong không gian, một phần quan trọng trong chương trình Toán 12 Kết nối tri thức. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và nâng cao về hệ trục tọa độ, giúp bạn giải quyết các bài toán liên quan một cách hiệu quả.

Chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về khái niệm hệ trục tọa độ, cách xác định tọa độ của điểm và vector trong không gian, cũng như các ứng dụng của hệ trục tọa độ trong việc giải quyết các bài toán hình học không gian.

1. Hệ trục tọa độ trong không gian

1. Hệ trục tọa độ trong không gian

Trong không gian, ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau tại gốc O của mỗi trục. Gọi \(\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k \) lần lượt là các vecto đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz

- Hệ ba trục như vậy được gọi là hệ trục tọa độ Descartes vuông góc Oxyz, hay đơn giản là hệ tọa độ Oxyz

- Điểm O được gọi là gốc tọa độ

- Các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Oxz) đôi một vuông góc với nhau được gọi là các mặt phẳng tọa độ

Không gian với hệ tọa độ Oxyz còn được gọi là không gian Oxyz

2. Tọa độ của điểm, tọa độ của vecto trong không gian

Tọa độ của điểm

Trong không gian Oxyz, cho một điểm M tùy ý. Bộ ba số (x;y;z) duy nhất sao cho \(\overrightarrow {OM} = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \) được gọi là tọa độ của điểm M đối với hệ tọa độ Oxyz. Khi đó, ta viết M = (x,y,z), trong đó x là hoành độ, y là tung độ và z là cao độ của M

Tọa độ của vecto

Trong không gian Oxyz, cho vecto \(\overrightarrow a \) tùy ý. Bộ ba số (x;y;z) duy nhất sao cho \(\overrightarrow a = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \) được gọi là tọa độ của vecto \(\overrightarrow a \) đối với hệ tọa độ Oxyz. Khi đó, ta viết \(\overrightarrow a \) = (x,y,z) hoặc \(\overrightarrow a \) (x,y,z)

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(M({x_M};{y_M};{z_M})\) và \(N({x_N};{y_N};{z_N})\). Khi đó:

\(\overrightarrow {MN} = ({x_N} - {x_M};{y_N} - {y_M};{z_N} - {z_M})\)

Ví dụ: Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C có A(1;0;2), B(3;2;5), C(7;-3;9)

a) Tìm tọa độ của \(\overrightarrow {AA'} \)

b) Tìm tọa độ của các điểm B’, C’

Lời giải

a) Ta có: \(\overrightarrow {AA'} = ({x_{A'}} - {x_A};{y_{A'}} - {y_A};{z_{A'}} - {z_A}) = (4;0; - 1)\)

b) Gọi tọa độ của điểm B’ là (x,y,z) thì \(\overrightarrow {BB'} \) = (x-3;y-2;z-5). Vì ABC.A’B’C’ là hình lăng trụ nên ABB’A’ là hình bình hành, suy ra \(\overrightarrow {AA'} \) = \(\overrightarrow {BB'} \)

Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3 = 4\\y - 2 = 0\\z - 5 = - 1\end{array} \right.\) hay x = 7, y = 2, z = 4. Vậy B’(7;2;4)

Lập luận tương tự suy ra C’(11;-3;8)

Lý thuyết Hệ trục tọa độ trong không gian Toán 12 Kết nối tri thức 1

Tự Tin Bứt Phá Kỳ Thi THPT Quốc Gia Môn Toán! Bạn muốn tự tin bứt phá Kỳ thi THPT Quốc gia môn Toán và vào đại học mơ ước? Đừng bỏ lỡ Lý thuyết Hệ trục tọa độ trong không gian Toán 12 Kết nối tri thức đặc sắc thuộc chuyên mục giải sgk toán 12 trên nền tảng môn toán của chúng tôi! Với bộ toán thpt bài tập được biên soạn chuyên sâu, bám sát cấu trúc đề thi và chương trình Toán 12, đây chính là "chiến lược vàng" giúp các em tối ưu hóa quá trình ôn luyện. Học sinh sẽ không chỉ làm chủ mọi dạng bài thi mà còn nắm vững chiến thuật làm bài hiệu quả. Nhờ phương pháp học trực quan, khoa học và hiệu quả học tập vượt trội, bạn sẽ sẵn sàng tự tin chinh phục điểm cao, vững bước vào cánh cửa đại học mơ ước!

Lý thuyết Hệ trục tọa độ trong không gian Toán 12 Kết nối tri thức

Hệ trục tọa độ trong không gian là một công cụ quan trọng trong hình học không gian, cho phép chúng ta biểu diễn vị trí của các điểm và vector bằng các số. Việc nắm vững lý thuyết này là nền tảng để giải quyết các bài toán phức tạp hơn về hình học không gian.

1. Hệ trục tọa độ Oxyz

Hệ trục tọa độ Oxyz trong không gian là tập hợp ba đường thẳng Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau tại gốc O. Ox, Oy, Oz được gọi là các trục tọa độ. Giao điểm O được gọi là gốc tọa độ.

Mỗi trục tọa độ có một hướng xác định, thường được xác định bởi chiều dương của trục đó. Việc chọn chiều dương của các trục tọa độ là tùy ý, nhưng phải tuân thủ quy tắc bàn tay phải.

2. Tọa độ của điểm trong không gian

Tọa độ của một điểm M trong không gian là bộ ba số (x; y; z), ký hiệu là M(x; y; z). Trong đó:

x là hoành độ của điểm M, là khoảng cách có dấu từ hình chiếu của M lên mặt phẳng (Oy, Oz) đến mặt phẳng (Oyz).
y là tung độ của điểm M, là khoảng cách có dấu từ hình chiếu của M lên mặt phẳng (Ox, Oz) đến mặt phẳng (Oxz).
z là cao độ của điểm M, là khoảng cách có dấu từ hình chiếu của M lên mặt phẳng (Ox, Oy) đến mặt phẳng (Oxy).

Để xác định tọa độ của một điểm, ta thực hiện phép chiếu vuông góc của điểm đó lên các trục tọa độ và đo khoảng cách từ gốc tọa độ đến hình chiếu trên mỗi trục.

3. Tọa độ của vector trong không gian

Tọa độ của một vector a trong không gian là bộ ba số (ax; ay; az), ký hiệu là a = (ax; ay; az). Trong đó:

ax là hoành độ của vector a, là tọa độ của điểm cuối trừ đi tọa độ của điểm đầu trên trục Ox.
ay là tung độ của vector a, là tọa độ của điểm cuối trừ đi tọa độ của điểm đầu trên trục Oy.
az là cao độ của vector a, là tọa độ của điểm cuối trừ đi tọa độ của điểm đầu trên trục Oz.

Nếu A(xA; yA; zA) và B(xB; yB; zB) là hai điểm trong không gian, thì vector AB có tọa độ là AB = (xB - xA; yB - yA; zB - zA).

4. Các phép toán trên vector trong không gian

Cho hai vector a = (ax; ay; az) và b = (bx; by; bz). Ta có:

Phép cộng vector: a + b = (ax + bx; ay + by; az + bz)
Phép trừ vector: a - b = (ax - bx; ay - by; az - bz)
Phép nhân vector với một số thực k: ka = (kax; kay; kaz)
Tích vô hướng của hai vector: a.b = axbx + ayby + azbz
Độ dài của vector a: |a| = √((ax)^2 + (ay)^2 + (az)^2)

5. Ứng dụng của hệ trục tọa độ trong không gian

Hệ trục tọa độ trong không gian được ứng dụng rộng rãi trong việc giải quyết các bài toán hình học không gian, như:

Tính khoảng cách giữa hai điểm.
Tính góc giữa hai vector.
Xác định phương trình của đường thẳng và mặt phẳng.
Giải các bài toán về hình chiếu.

Việc nắm vững lý thuyết và các công thức liên quan đến hệ trục tọa độ trong không gian sẽ giúp bạn tự tin giải quyết các bài toán hình học không gian một cách hiệu quả và chính xác.