Giải Bài Tập 4.34 Trang 28 Sgk Toán 12 Tập 2 - Kết Nối Tri Thức

Giải bài tập 4.34 trang 28 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

Bài tập 4.34 trang 28 SGK Toán 12 tập 2 thuộc chương trình học Toán 12 Kết nối tri thức. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế.

Loigiai.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu bài tập 4.34, giúp các em học sinh hiểu rõ phương pháp giải và tự tin làm bài tập.

Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau xung quanh trục Ox: a) \(y = 1 - {x^2},y = 0,x = - 1,x = 1\); b) \(y = \sqrt {25 - {x^2}} ,y = 0,x = 2,x = 4\).

Đề bài

Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau xung quanh trục Ox:

a) \(y = 1 - {x^2},y = 0,x = - 1,x = 1\);

b) \(y = \sqrt {25 - {x^2}} ,y = 0,x = 2,x = 4\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết Giải bài tập 4.34 trang 28 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức 1

Sử dụng kiến thức về công thức tính thể tích của khối tròn xoay để tính: Cho hàm số f(x) liên tục, không âm trên đoạn [a; b]. Khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = a,x = b\) xung quanh trục hoành, ta được hình khối gọi là một khối tròn xoay. Khi cắt khối tròn xoay đó bởi một mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm \(x \in \left[ {a;b} \right]\) được một hình tròn có bán kính f(x). Thể tích của khối tròn xoay này là: \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} \).

Lời giải chi tiết

a) Thể tích khối tròn xoay cần tính là:

\(V = \pi \int\limits_{ - 1}^1 {{{\left( {1 - {x^2}} \right)}^2}dx} = \pi \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {1 - 2{x^2} + {x^4}} \right)dx} = \pi \left( {x - \frac{{2{x^3}}}{3} + \frac{{{x^5}}}{5}} \right)\left| \begin{array}{l}1\\ - 1\end{array} \right.\)

\( = \pi \left( {1 - \frac{2}{3} + \frac{1}{5} + 1 - \frac{2}{3} + \frac{1}{5}} \right) = \frac{{16}}{{15}}\pi \)

b) Thể tích khối tròn xoay cần tính là:

\(V = \pi \int\limits_2^4 {\left( {25 - {x^2}} \right)dx} = \pi \left( {25x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)\left| \begin{array}{l}4\\2\end{array} \right. = \pi \left( {25.4 - \frac{{{4^3}}}{3} - 25.2 + \frac{{{2^3}}}{3}} \right) = \frac{{94}}{3}\pi \)

Tự Tin Bứt Phá Kỳ Thi THPT Quốc Gia Môn Toán! Bạn muốn tự tin bứt phá Kỳ thi THPT Quốc gia môn Toán và vào đại học mơ ước? Đừng bỏ lỡ Giải bài tập 4.34 trang 28 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức đặc sắc thuộc chuyên mục toán 12 trên nền tảng đề thi toán của chúng tôi! Với bộ lý thuyết toán thpt bài tập được biên soạn chuyên sâu, bám sát cấu trúc đề thi và chương trình Toán 12, đây chính là "chiến lược vàng" giúp các em tối ưu hóa quá trình ôn luyện. Học sinh sẽ không chỉ làm chủ mọi dạng bài thi mà còn nắm vững chiến thuật làm bài hiệu quả. Nhờ phương pháp học trực quan, khoa học và hiệu quả học tập vượt trội, bạn sẽ sẵn sàng tự tin chinh phục điểm cao, vững bước vào cánh cửa đại học mơ ước!

Giải bài tập 4.34 trang 28 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức: Hướng dẫn chi tiết

Bài tập 4.34 trang 28 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức là một bài toán ứng dụng đạo hàm để giải quyết một vấn đề thực tế. Để giải bài tập này, học sinh cần nắm vững các kiến thức về đạo hàm của hàm số, các quy tắc tính đạo hàm và cách sử dụng đạo hàm để tìm cực trị của hàm số.

Phân tích đề bài

Trước khi bắt đầu giải bài tập, chúng ta cần phân tích đề bài để hiểu rõ yêu cầu của bài toán. Đề bài thường cho một tình huống thực tế và yêu cầu chúng ta tìm một giá trị tối ưu nào đó, ví dụ như giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, hoặc chi phí thấp nhất. Để làm được điều này, chúng ta cần xây dựng một hàm số biểu diễn mối quan hệ giữa các yếu tố trong bài toán và sau đó sử dụng đạo hàm để tìm cực trị của hàm số đó.

Lời giải chi tiết bài tập 4.34

Để giải bài tập 4.34 trang 28 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức, chúng ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xây dựng hàm số. Dựa vào thông tin được cung cấp trong đề bài, chúng ta xây dựng một hàm số biểu diễn mối quan hệ giữa các yếu tố trong bài toán. Hàm số này thường có dạng f(x), trong đó x là biến độc lập và f(x) là giá trị cần tìm.
Bước 2: Tính đạo hàm của hàm số. Chúng ta tính đạo hàm f'(x) của hàm số f(x). Đạo hàm f'(x) biểu diễn tốc độ thay đổi của hàm số f(x) theo biến x.
Bước 3: Tìm các điểm cực trị của hàm số. Chúng ta giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các điểm cực trị của hàm số. Các điểm cực trị là các điểm mà tại đó đạo hàm f'(x) bằng 0 hoặc không tồn tại.
Bước 4: Xác định loại cực trị. Chúng ta sử dụng đạo hàm cấp hai f''(x) để xác định loại cực trị của các điểm cực trị. Nếu f''(x) > 0 tại một điểm cực trị, thì điểm đó là điểm cực tiểu. Nếu f''(x) < 0 tại một điểm cực trị, thì điểm đó là điểm cực đại.
Bước 5: Tìm giá trị tối ưu. Dựa vào loại cực trị và giá trị của hàm số tại các điểm cực trị, chúng ta tìm giá trị tối ưu của hàm số.

Ví dụ minh họa

Giả sử đề bài yêu cầu tìm kích thước của một hình hộp chữ nhật có thể tích V cho trước sao cho diện tích bề mặt của hình hộp chữ nhật là nhỏ nhất. Chúng ta có thể giải bài tập này như sau:

Gọi x, y, z là kích thước của hình hộp chữ nhật.
Thể tích của hình hộp chữ nhật là V = xyz.
Diện tích bề mặt của hình hộp chữ nhật là S = 2(xy + yz + zx).
Chúng ta có thể biểu diễn z theo x và y: z = V/(xy).
Thay z = V/(xy) vào công thức tính diện tích bề mặt, ta được S = 2(xy + yV/(xy) + xV/(xy)) = 2(xy + V/x + V/y).
Tính đạo hàm riêng của S theo x và y: ∂S/∂x = 2(y - V/x^2) và ∂S/∂y = 2(x - V/y^2).
Giải hệ phương trình ∂S/∂x = 0 và ∂S/∂y = 0, ta được x = y = (V)^(1/3).
Thay x = y = (V)^(1/3) vào z = V/(xy), ta được z = (V)^(1/3).
Vậy, hình hộp chữ nhật có kích thước x = y = z = (V)^(1/3) là hình hộp chữ nhật có diện tích bề mặt nhỏ nhất.

Lưu ý khi giải bài tập

Khi giải bài tập ứng dụng đạo hàm, chúng ta cần lưu ý một số điểm sau:

Đọc kỹ đề bài và hiểu rõ yêu cầu của bài toán.
Xây dựng hàm số biểu diễn mối quan hệ giữa các yếu tố trong bài toán một cách chính xác.
Tính đạo hàm của hàm số một cách cẩn thận.
Kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính chính xác.

Kết luận

Bài tập 4.34 trang 28 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng ứng dụng đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế. Hy vọng rằng với hướng dẫn chi tiết này, các em học sinh sẽ hiểu rõ phương pháp giải bài tập và tự tin làm bài tập.